TUGAS PLAT DAN RANGKA BETON

“TEORI GARIS LELEH PADA PLAT SEGITIGA SAMA SISI”

OLEH:

1. Amru Khikmi Igam 1050601001110032. Ach. Lailatul Qomar 1050601001110313. Fery Kustiawan 1050601011110134. Riska Anshar 1050601011110215. Apriansah Saputra 105060107111009

JURUSAN SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2012/2013

PENDAHULUAN

Yield line adalah suatu pemecahan yang dapat digunakan dalam plat beton dimana

terjadinya tegangan leleh dan rotasi secara plastis muncul. Teori ini dapat digunakan dalam

berbagai jenis pola tergantung dari kondisi pembebanan, kondisi perletakan dan

dimensinya. Teori Yield line ini dapat menganalisa mekanisme keruntuhan di batas

ultimatenya. Teori ini berprinsipkan pada:

Kerja akibat rotasi Yield Line = Kerja akibat pemberian beban

Metode Yield Line telah lama digunakan dalam menganalisa plat. Hal ini telah

menjadi perhatian umum sejak tahun 1990 oleh beberapa peneliti seperti Graf dan Bachi.

Di awal tahun 1922, Ingerslev seorang peneliti berkebangsaan Rusia mempesentasikam

sebuah makalah di Institution of Structural Engineers di London dengan judul collapse mode

of rectangular slabs. Beberapa pengarang seperti R H Wood, L Jones , A Sawczuk dan

T.Jaeger, R Park, K O Kemp, C T Morley, M Kwiecinski dan masih banyak lagi,

menggabungkan dan mengembangkan konsep asli dari Johansen sehingga membuat teori

Yield Line ini menjadi sebuah teori yang sangat bermanfaat sebagai alat untuk mendesain

dengan taraf Internasional.

Seperti yang diketahui teori Yield Line dirintis pada tahun 1940an oleh seorang

insinyur dan peneliti berkebangsaan Denmark yang bernama K W Johansen. Pada tahun

1960 sampai 1980 dilaporkan bahwa secara teoritis aplikasi dari teori Yield Line ini telah

mempermudah dalam perhitungan struktur plat dan plat – beam. Untuk menunjang hasil

perkejaan ini, pengetesan secara intesif dilakukan untuk membuktikan kebenaran dari teori

ini,dan hasilnya sangat bagus dimana hanya ada sedikit perbedaan yang dibandingkan

antara teoritis dan percobaan. Di dalam percobaanya dimana sendi disimulasikan menjadi

suatu konstruksi yang menerus, dan hasilnya beban ultimate yang didapatkan lebih bagus

daripada yang diprediksikan secara teoritis.

TEORI YIELD LINE

Teori Yield Line merupakan analisis beban secara ultimate. Teori ini menetapkan

bahwa momen yang ditimbulkan seperti pembebanan pada plat dimana diletakkan pada

satu titik dimana akan terjadinya keruntuhan.

Teori ini dapat membuat suatu desain konstruksi menjadi lebih sederhana dan lebih

ekonomis, salah satu contohnya adalah pembangunan European Concrete Building Project

di Cardington.

Teori ini dapat dengan mudah diterapkan di dalam berbagai jenis plat, baik dengan

ataupun tanpa beam. Seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 yang merupakan plat dengan

pembebanan sampai terjadinya keruntuhan. Pada awal pembebanan reaksi yang terjadi

pada plat adalah elastic dengan tegangan maksimum dan defleksi yang terjadi di titik pusat

plat. Pada saat ini memungkinkan terjadinya retak seperti rambut yang akan muncul dimana

kekuatan lentur dari beton telah terlampaui yang terletak di tengah bentang.

Bertambahnya nilai pembebanan mempercepat terjadinya retakan ini,dan

selanjutnya retakannya akan semakin besar dari titik defleksi maksimumnya, dan

penambahan terus dilakukan maka keretakan akan berpindah ke bagian yang bebas dari

plat dimana pada waktu yang sama semua tegangan lenturnya akan melalui garis leleh dari

Yield line ini.

Gambar1 . Keretakan yang terjadi pada plat

Pada keadaan ultimate seperti ini, plat akan mengalami keruntuhan. Seperti yang

digambarkan pada gambar 2 plat dibagi menjadi daerah A, B , C, dan D. Daerah – daerah ini

juga berputar pada sumbu rotasinya yang biasanya sepanjang batas plat tersebut, yang akan

berdampak pada pada pergeseran beban yang diberikan. Di titik inilah beban yang diberikan

akan di salurkan pada garis sumbu rotasi di garis lelehnya yang disamakan dengan beban

bergerak yang diberikan pada daerahnya. Inilah yang disebut dengan Teori Yield Line.

Gambar 2. Mekanisme pembentukan pola dari Yield Line

POLA YIELD LINE

Ketika suatu plat dibebani sampai terjadinya keruntuhan, garis leleh yang terjadi

akan membentuk suatu daerah dimana terjadi tekanan maksimum dan selanjutya akan

menjadi sendi plastis. Seperti yang telah dijelaskan di atas, sendi plastis ini akan

berkembang menjadi suatu mekanisme yang membentuk pola dari garis leleh (Yield Line).

Teori ini akan membagi plat menjadi daerah tersendiri, dimana sesuai dengan arah

rotasinya.

Untuk dapat mengidentifikasi dari pola yang sah dan solusi dari teori Yield line ini

maka ada beberapa hal yang dapat diperhatikan, yakni:

Sumbu rotasi biasanya sepanjang batas plat dan sepanjang kolom,

Garis dari Yield Line merupakan sebuah garis lurus,

Garis Yield Line yang berada diantara daerah – daerah yang berbatasan haruslah

melalui titik persimpangan dari sumbu rotasi dari tiap daerahnya,

Garis dari Yield Line harus berakhir di batas plat tersebut,

Pada perletakan menerus akan bernilai negatif dan untuk perletakan simpel bernilai

positif.

Setelah pola dari Yield Line telah ditentukan maka sekarang hal yang perlu dilakukan

adalah menentukan penurunan di satu titik ( biasanya di titik penurunan maksimumnya)

dimana semua rotasi yang terjadi dapat ditentukan, hal ini dapat digambarkan di dalam

gambar 3.

Gambar 3 . Pola Yield Line yang memungkinkan untuk plat sederhana

Di dalam Teori Yield Line ada kemungkinan munculnya beberapa pola yang sah

dalam perhitungannya. Tetapi sebagai seorang perencana haruslah dapat menentukan salah

satu pola yang dapat menghasilkan momen maksimum atau sekurang – kurangnya sampai

terjadi keruntuhan pada plat akibat beban yang diberikan. Ada beberapa cara bagi seorang

perencana dalam menentukan pola yang paling kritis atau yang paling mendekati dalam

perencanaanya:

Dengan menggunakan prinsip yang pertama yaitu dengan work method

Menggunakan rumus untuk situasi yang standar

Bisa dilihat bahwa pola dari Yield Line memberikan hasil, baik itu benar ataupun

secara teoritis tidaklah aman. Tapi seperti yang telah dibahas sebelumnya, secara teoritis hal

ini dapat mudah diatasi dengan mencoba pola – pola berbeda yang memungkinkan yang

disertai dengan nilai toleransi, yang akan dijelaskan nantinya.

Pola dari Yield Line adalah terutama berasal dari sumbu rotasinya dan juga harus

dipastikan bahwa garis yang dihasilkan merupakan suatu garis lurus, melalui titilk

persimpangan dari daerahnya masing – masing dan berakhir pada batas plat tersebut.

Beberapa contoh dari pola plat yang simpel akan diperlihatkan pada gambar 2.4. Mengingat

bahwa plat seperti sebuah kue mungkin dapat membuat para perencana dapat lebih mudah

untuk menvisualisasikan pola dari Yield Line yang sesuai atau yang paking cocok.

Tujuan dari menginvestigasi dari pola Yield Line ini adalah untuk dapat menentukan

pola yang dapat memberikan nilai momen yang paling kritis ( nilai momen yang palig

maksimum ). Namun analisa yang secara menyeluruh jarang diperlukan dan memilih

beberapa pola yang lebih simpel dan efisien umumnya dapat dijadikan solusi dimana tingkat

kesalahannya sangatlah minim.

Gambar 4 Pola Yield Line yang simpel

CORNERS LEVERS

Corners Levers menjelaskan hal – hal yang terjadi pada plat dua arah dimana garis Yield Line

mengalami pemisahan pada di bagian sudut dalamnya. Pemisahan ini terkait dengan

pembentukan garis Yield Line yang bernilai negative yang melewati nagian sudut dari plat

yang digambarkan pada gambar 5

Gambar 5. Akibat dari Corner Levers pada plat dengan perletakan sederhana dimana di bagian sudutnya

ditekan dan dicegah terjadinya lifting

Di dalam analisa, pola dari Yield Line biasanya diasumsikan bahwa garis yang

melewati di bagian sudut tidak ada terjadi pemisahan, dimana dalam hal ini corner levers di

abaikan sehingga membuat perhitungan menjadi lebih simpel. Hal ini dibuat dengan adanya

beberapa alasan, yakni :

Biasanya di dalam perhitungan dampak dari adanya corner levers tidaklah memiliki

pengaruh yang besar,

Suatu analisa yang meengikutsertakan hal ini akan menjadi terlalu rumit untuk

diselesaikan.

ATURAN 10%

Pemakaian aturan 10% di dalam mendesain momen yang ditimbulkan pada plat

sederhana dapat memberikan suatu kemudahan dimana adanya kesalahan dalam analisa

Yield Line dan memberikan suatu jaminan terhadap diabaikannya corner levers. Pada plat

yang mengalami tekanan yang relatif rendah, pemakaian aturan ini dapat meningkatkan

nilai momen sebesar 10%, hal ini sama dengan peningkatan 10% penguatan di dalam desain

plat.

Seorang perencana mungkin saja mencari solusi secara teliti, tetapi dengan

diterapkan aturan 10% ini,maka dalam hal analisa dapat menjadi lebih simpel dan dalam

desain mereka dapat berada dalam sisi yang aman tanpa terlalu konservatif ataupun

tidaklah ekonomis. Satu – satunya situasi dimana diperbolehkan menggunakan aturan 10%

ini adalah pada kasus dimana suatu plat yang memiliki sudut yang sangat rumit dan

konfigurasi tertentu dari plat dengan beban terpusat ataupun beban merata yang nilainya

sangat besar. Aturan ini sangatlah penting di dalam penggunaanya di dalam lapangan tetapi

tidak sebagai referensi di dalam penggunaan secara akademis.

PLAT ISOTROPIS

Dalam kasus yang paling umun yakni dalam susunan tulangan pada plat, tulangan ini

terdiri dari dua bagian yakni tulangan atas dan tulangan bawah yang menyebabkan

terjadinya garis leleh. Hal ini dapat memungkinkan bagi seorang perancang untuk dapat

menyelidiki berbagai jenis kemungkinan dan perletakan dari tiap plat terutama plat dengan

bentuk yang tidak beraturan dan memiliki sudut.

PLAT ORTHOTROPIS

Di dalam Plat Orthotropis mempunyai nilai yang berbeda dalam hal pemnguatannya

dalam dua arah. Biasanya tidak diperlukannya penguatan di dalam two way slab haruslah

sama dengan plat dua arah. Plat ini cenderung dalam jarak yang lebih pendek dan arah ini

dapat memberikan penguatan yang sangatlah besar.

KONSEP YIELD LINE

Di dalam Teori Yield Line biasanya diasumsikan bahwa penurunan maksimum yang

terjadi (δmax) di dalam kondisi kesatuan yang terjadi pada setiap daerah di plat. Ketika

menghitung energi eksternal yang terjadi (W) penurunan yang terjadi merupakan akibat

adanya diberikan pembebanan pada daerah masing – masing plat yang dapat ditunjukkan

sebagai faktor L1/L2, dimana L1 merupakan jarak yang tegak lurus terhadap arah sumbu

rotasinya dan L2 merupakan jarak yang tegak lurus dengan lokasi dimana terjadinya δmax

dari arah sumbu rotasi masing – masing daerah pada plat.

Gambar 6. Panjang L1 dan L2

Arah Sumbu Rotasi dari setiap daerah biasanya bertepatan dengan batas plat

tersebut. Dimana L2 merupakan nilai konstan untuk semua beban pada semua daerah, dan

jarak L1 sangat tergantung pada lokasi pusat massa beban yang ada pada daerah tersebut.

Untuk mempermudah dalam mengetahui nilai dari L1 / L2 ketika diberikan beban yang

merata seperti yang ditunjukkan pada gambar 6 maka dapat digunakan ketentuan:

1/2 untuk semua daerah berbentuk persegi panjang

1/3 untuk semua daerah berbentuk segitiga dimana puncak dari segitiga berada

pada titik penurunan maksimum

2/3 untuk semua daerah berbentuk segitiga dimana puncak dari segitiga berada

pada sumbu rotasinya.

Konsep dari Yield Line adalah menyamakan kerja yang disebabkan oleh pembebanan

pada plat dengan kerja yang disebabkan oleh gaya – gaya dalam yang menghasilkan rotasi

pada plat, dapat dirumuskan:

Kerja eksternal = Kerja Internal

E = I

Σ (A×W ×n )=Σ (M ×l×θ )

Dimana :

A = Luas daerah

W = Beban yang diberikan

n = Jarak titik berat tiap daerah

M = momen

l = panjang

θ = rotasi

Contoh soal

Diketahui:

• PLAT ISO TROPIS

• BENTUK SEGITIGA SAMA SISI

• BEBAN MERATA Qu

• PANJANG SISI = L

Ditanya : Mu =?

Jawab :

Gambar Segmen 1

Tinjau keseimbangan pada

segmen plat BCD

60

60

60

III II

ID

C B

A

12L√3

L

118L√3

3030

120

D

C B

16L√3

L

DASAR ANALISA METODE KERJA VIRTUAL

Kerja akibat beban luar = energy yang dipakai untuk rotasi plat sepanjang garis leleh kerja total = 0

Terbentuk pola garis leleh yang membentuk segmen-segmen

Segmen-segmen yang terjadi dianggap kaku (Rigid Body) maka lendutan adalah kecil

Deformasi plastis dianggap terjadi sepanjang garis leleh dan pada titik potong garis leleh timbul lendutan sebesar = δ

Tidak terjadi perubahan beban atas dan momen batas

Akibat “Qu” terjadi usaha luar = ∬ Qu . δ dxdy = ∑ (Wu . δ)

Usaha dalam melawan = ∑ (Mu . θ . L )

Persamaan :

kerja Luar = kerja dalam ∑ (Wu . δ) = ∑ (Mu . θ . ℓ )

GARIS LELEH BCD

Sudut putar segmen terhadap segmen leleh

θ=θ1+θ2

118L√3

3030

120

D

C B

16L√3

L

θ2θ1 δ

DC B

D’

Rotasi garis leleh

θ= δ12L+ δ12L

θ= 2δ12L

θ=4δL

1. Perhitungan Kerja dalam

Kerja dalam=M u .θ . L

¿M u .4 δL. L

¿4 δ M u

2. Perhitungan Kerja Luar

Kerja luar = luas segmen pelat x lendutan yang terjadi di titik berat

Kerja Luar ¿ 12. L. √3

6. L . qu .

δ3

¿ √336. δ . qu . L

2

3. Perhitungan Mu didapatkan dari persamaan “ Kerja Dalam = Kerja Luar”

3 (4 δ . M u )=3(√336 .δ . qu . L2)12δ . M u=

√312. δ . qu . L

2

M u=√3 . qu . L2

Perhitungan Tulangan

Contoh soal:

Perencanaan Tulangan

Qu (Beban merata) = 2.5 ton/m

H (Tebal Plat) = 12 cm

d’ (selimut beton) = 5 cm

d = h - d’ = 7 cm

f’c (mutu beton) = 22.5 Mpa

fy (mutu tulangan = 300 MPa

Dari perhitungan dengan menggunakan teori garis leleh, Diperoleh besar momen ultimate,

Maka besar momen dapat dihitung:

Mu = √3 qu L2

= √3 . 2,5 . 72

= 212,176 t.m

= 2,12176 KN.m

Mu = √3 qu L2

Perencanaan tulangan tunggal pada pelat

Mn = Mu∅

= 212.1760.8

= 265,22 t.m = 2,6522 KN.m

Rn = Mn

b .d2 =2.6522.10001000 .702

= 0,00054

m = fy

0,85 f ' c =

3000,85 .22,5

= 15,7

= 1m (1−√1−2m .Rnfy )

= 115,7 (1−√1−2(15,7)(0,00054 )300 )

= 0,0000018

min = 1,4fy

= 1,4300

= 0,0047

max = 0,75 . b

= 0,75 (0,85 . f ' cfy . β1 . 600600+ fy )

= 0,75 (0,85 . 22,5300 .0,85 . 600600+300 )

= 0,027

Syarat : min max

Karena min ,maka nilai = min = 0,0047

As perlu = . b . d

= 0,0047 . 1000 . 70

= 329 mm2 = 3,29 cm2

Dipakai tulangan ulir 200-D10 = 3,57 cm2 = 357 mm2 > 329 mm2

C = T

Cc = T

0,85 f’c. b. a = As.fy

0,85.22,5. 1000 . a = 357 . 300

a = 5,61 mm

Letak garis netral c = a❑

c = 5,60,85

c = 6,59 mm

Kontrol regangan tarik gaya (s) = d−cc

x c

= 50−6,596,59

x 0,003

= 0,02

Tegangan baja tarik (fs) = s . Es

= 0,02 . 200000

= 4000 Mpa > 300 Mpa . . . .OK!

Momen lentur nominal (Mn) = As . fy (d−a2 )= 357 . 300 (70−5,62 )= 7,19712 KNm

Syarat :

Mn❑

> Mu

Mn7,197120,8

> 2,12176

8,9964 KNm > 2,12176. . . . .. OK!