Teori Antrian

Basic Queueing ProcessCustomer yg sdh dilayani

PendahuluanAntrian : Suatu kondisi dimana suatu objek (orang, barang, dokumen, alat, kendaraan) menunggu atau antri untuk di proses atau memperoleh pelayanan.Ketidak-seimbangan antara kecepatan kedatangan objek yang membutuhkan pelayanan dengan kapasitas/kecepatan pelayanan.Ketidak-pastian/keragaman:Kecepatan/tingkat kedatangan objek yang memerlukan pelayanan.Kecepatan/kapasitas pelayanan.Masalah antara Cost akibat Antri vs Cost krn kondisi Idle dari fasilitas pelayanan (over capacity)Total Biaya : karena antri/tertunda + biaya pelayanan.Diskripsi kinerja suatu Sistem Antrian:Nilai tengah Lama atau Jumlah Objek yang menunggu/antriNilai tengah Lama atau jumlah objek dalam sistemProporsi waktu/peluang server dalam keadaan sibuk atau idle.Peluang jumlah objek di dalam antrian atau sistem.

Sheet1

Urutan DatangWaktu ke datanganWaktu mulai ProsesProses selesaiWaktu MenungguWaktu Idle ServerWaktu antar ke datanganWaktu ProsesJumlah Unit Dalam Sistem

100808

210101602106

31516271511

423273948123

5313948889

63748531165

743536010672

8526066896

962667741011

106977829751

118282890137

12909010001810

13100100010

4.238.338.082468101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698100

Jumlah Unit dalam sistemProporsi Waktu

00.03

10.51

20.38

30.08

Sheet2

Sheet3

Karakteristik Model Antrian:

Kedatangan : Sumber populasi (Finit/Infinit) Distribusi peluang kedatangan Antrian : Disiplin Antrian (FIFS, LCFS, SIRO,SPT, GD) Jumlah Antrian/Tahap (Single, Multiple) Kapasitas Antrian (Finit/Infinit) Pelayanan : Jumlah pelayanan Satu atau Lebih Dari Satu: Paralel Serial Distribusi peluang kecepatan pelayanan

Input Characteristics

Waiting Line Characteristics

Service Characteristics

(x|y|z);(u|v|w)X: distribusi waktu kedatangan (antar kedatangan)Y: distribusi waktu pelayanan (kepergian dari sistem)

M = distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan EksponentialGI= distribusi kedatangan General IndependentG = Distribusi kedatangan GeneralD = waktu antar kedatangan dan pelayanan : Deterministik.

Z: jumlah paralel serverU: disiplin pelayanan/antrian V: jumlah maksimum objek dalam sistemW: jumlah/ukuran populasi sumber kedatangan

Pada kasus Material Handling, kendaraan pengangkut dapat:Sebagai Objek yang mengantri, misal:Pada kasus Pabrik penggilingan tebu:Truk mengangkut tebu dari kebun, antri di depan pabrik untuk dibongkar muatan tebunya. Pada kasus proses produksi di pabrik:Kendaraan pengangkut yang mengangkut bahan dari gudang menunggu untuk dibongkar muatannya di depan pabrik , atauKendaraan pengangkut yang mengangkut hasil dari salah satu tahapan produksi menunggu dibongkar muatannya didepan tahapan produksi berikutnya.Variabel keputusan : o. bagaimana mengatur kecepatan kedatangan kendaraan pengangkut () o. bagaimana mengatur kecepatan pelayanan /pembongkaran (u):1) menambah jumlah server/stasion/operator kasus M server ( M > 1)2) jumlah server tetap 1 tetapi kecepatannya / kapasitas pembongkarannya ditingkatkan.

Sebagai Server yang memberikan pelayanan pengangkutan, dan dalam hal ini sebagai Objek yang antri adalah jumlah order pengangkutan atau jumlah bahan yang akan diangkut. Variabel keputusan : o. bagaimana mengatur kecepatan pengangkutan (u), atau o. bagaimana menentukan jumlah kendaraan pengangkut. kasus M server ( M > 1)

The Birth and Death ProcessProses Kedatangan dan Kepergian dari Sistem Antrian.N(t) : Status dari sistem (jumlah objek dalam sistem) pada waktu t (t 0).Menjelaskan secara probabilistik bagaimana N(t) berubah dengan bertambahnya atau meningkatnya t.Birth and Death terjadi secara random.Asumsi:Given N(t) = n, distribusi peluang dari waktu tersisa hingga kemudian terjadi birth : exponential dengan parameter n (n=0,1,2)Given N(t) = n, distribusi peluang dari waktu tersisa hingga kemudian terjadi death : exponential dengan parameter n (n=0,1,2)Pada satu saat hanya dapat terjadi 1 birth atau 1 death.

Rate In = Rate Out PrincipleUntuk setiap n status dari sistem (n=0,1,2..) : mean rate kejadian kedatangan masuk ke dalam sistem harus sama dengan mean rate kejadian kepergian keluar dari sistem. Mean Rate: ekspektasi (nilai harapan) jumlah kejadian (datang atau pergi) per unit waktu.Persamaan yang mengekspresikan prinsip ini dsb: balance equation for state - n

Sheet1

Urutan DatangWaktu ke datanganWaktu mulai ProsesProses selesaiWaktu MenungguWaktu Idle ServerWaktu antar ke datanganWaktu ProsesJumlah Unit Dalam Sistem

100808

210101602106

31516271511

423273948123

5313948889

63748531165

743536010672

8526066896

962667741011

106977829751

118282890137

12909010001810

13100100010

4.238.338.082468101214161820222426283032343638404244464850525456586062646668707274767880828486889092949698100

Jumlah Unit dalam sistemProporsi Waktu

00.03

10.51

20.38

30.08

Sheet2

StatusRate in = rate out

0

1

2

...

n-1

n

.

Sheet3

Steady State Probabilities, sistem pada status n atau jumlah objek dalam sistem = n

Single Line-Single Server (sumber populasi objek yang dilayani dan kapasitas antriantak terbatas)Nilai tengah Panjang antrian atau nilai tengah jumlah objek yg antriNilai tengah Jumlah objek yg ada dalam sistem (yg antri + sedang dilayani)Nilai tengah lama suatu objek menunggu untuk dilayani atau antriNilai tengah lama suatu objek berada dalam sistem antrian (antri+dilayani)Peluang atau proporsi waktu server dalam keadaan idle : peluang tidak ada objek dalam sistem antrianPeluang terdapat sejumlah n objek berada dalam sistem antrian

Single Channel Multiple Server (Paralel)(sumber populasi objek yang dilayani dan kapasitas antrian tak terbatas)Nilai tengah lama waktu suatu objek menunggu untuk dilayani Peluang bahwa suatu objek yang datang harus menunggu untuk dilayani. Peluang terdapat sejumlah n objek berada dalam sistem antrian(antri + sedang dilayani)

Bahan atau produk dari satu tahapan proses dipindahkan ke tahapan berikutnya dengan menggunakan konveyor.Kapasitas konveyor terbatas, sehingga jika sudah melampaui kapasitasnya maka bahan atau produk tidak bisa ditempatkan ke atas konveyor (dkl: tidak bisa masuk ke dalam sistem antrian) Hal tersebut dapat terjadi karena kecepatan atau kapasitas dua tahapan proses tidak seimbang, atau kecepatan proses tidak seimbang dengan kecepatan kedatangan bahan yang dibawa oleh konveyor.Pada kasus industri jasa Salon kecantikan, jika tempat duduk untuk antri sudah penuh, maka pelanggan berikutnya yang datang tidak jadi (tidak masuk) atau pindah ke salon yang lain. Variabel keputusan:o. Menentukan berapa kapasitas atau panjang konveyor, atau menentukan berapa kapasitas atau kecepatan proses .Single Line-Single Server (sumber populasi objek yang dilayani tak terbatas akan tetapi kapasitas antrianatau jumlah objek dalam sistem antrian terbatas).Truncated Waiting Line Model

N : kapasitas atau jumlah maksimum objek yang ada dalam sistem antrian.Peluang objek yang datang mendapati bahwa antrian dalam keadaan penuh sehingga tidak bisa atau tidak jadi masuk ke dalam sistem.

Suatu industri alat mesin pertanian menggunakan overhead cranes untuk memindahkan komponen dari satu tahap ke tahapan proses perakitan berikutnya. Jika masinis pada suatu stasion kerja membutuhkan cranes, tetapi tidak ada cranes yang tersedia, maka dia harus menunggu. Gaji seorang masinis adalah Rp. 25 ribu per jam. Sebaliknya jika cranes dalam keadaan idle maka kompensasi biaya per jam yang dikeluarkan adalah Rp. 75 ribu. Berapa banyak jumlah cranes yang dioperasikan, jika diketahui bahwa rata-rata kecepatan pelayanan cranes adalah 5 menit , sedangkan kebutuhan pelayanan pengangkutan terhadap cranes adalah 0,05 kali per menit.

Pada suatu industri, antara output tahap proses A dibawa ke tahap proses B dengan menggunakan roller conveyor. Jarak antara A dan B atau panjang konveyor adalah 10 m. Bahan yang dipindahkan adalah dalam bentuk unit (satuan), dimana 1 Unit bahan membutuhkan space di atas konveyor sepanjang 25 cm, sehingga jumlah bahan di atas konveyor maksimum adalah 40 unit. Rata-rata kecepatan bahan yang datang ke proses B adalah 8 unit per menit, dan proses pada tahap B adalah 10 unit per menit. Berapa peluang terjadinya blocking pada proses A (yaitu kondisi output proses A tidak dapat ditempatkan di atas konveyor karena konveyor penuh). Jika biaya terjadinya blocking adalah Rp 100/menit, biaya terjadinya kondisi Idle pada proses B adalah Rp. 125/menit, kemudian biaya operasi dan investasi konveyor adalah Rp. 500 per menit, berapa Total biayanya. Berapa total biaya seandainya jarak antara A dan B atau panjang konveyor adalah 8 m.

Pada musim panen tebu, kendaraan truk yang mengngkut batang tebu datang ke pabrik untuk dibongkar dan kemudian batang tebu digiling. Setiap hari kedatangan truk bersifat random mengikuti sebaran peluang POISSON dengan rata-rata 4 truk per jam. Kapasitas atau kecepatan pembongkaran / penggilingan tebu bersifat random mengikuti sebaran peluang EKSPONENSIAL dan rata-rata 6 truk per jam atau 10 menit per truk. :Berapa banyak dan berapa lama rata-rata kendaraan truk pengangkut tebu harus menunggu.Berapa besar peluang atau proporsi waktu dalam 1 jam fasilitas pembongkaran/penggilingan dalam keadaan IDLE.Jumlah dan lama batang tebu di dalam truk yang menunggu akan menentukan penurunan kualitas tebu yang berakibat kepada penurunan rendemen gula yang dihasilkan. Untuk itu manajemen bermaksud untuk menambah fasilitas pembongkaran /penggilingan menjadi 2 atau 3 unit. Akan tetapi penambahan fasilitas ini akan menambah biaya operasi dan kemungkinan proporsi waktu fasilitas menganggur akan semakin besar. Masalah yang dihadapi adalah apakah manajemen perlu menambah fasilitas pembongkaran/penggilingan dan kalau ditambah apakah 2 atau 3 unit.

Finite Calling PopulationKedatangan objek yang dilayani berasal dari populasi yang jumlahnya terbatas.N = ukuran populasiLq = l + m l N - Pn =P0N!(N - n)!where n = 1, 2, ..., N(1- P0)Probability that no customers are in systemProbability of exactly n customers in systemAverage number of customers in queue

Average time customerspends in systemAverage time customer spends in queueAverage number of customers in system

Finite Calling Popn Example20 kendaraan tiba di gudang pabrik untuk dibongkar muatannya dengan rata-rata waktu antar kedatangan 1 unit setiap 200 jam l = 1/200 hr = 0.005/hrRata-rata lama waktu bongkar muatan = 3.6 hrs m = 1/3.6 hr = 0.2778/hrProbability that no machines are in system=1(0.005/0.2778)n20!(20 - n)!S20 n = 0= 0.652

Lq = 0.005 + 0.2778 0.005= 20 (1- 0.652)Average number of machines in queueW =Wq +L = Lq + (1-P0) = 0.169 + (1-0.62) = 0.520Wq = (N - L) l LqAverage time machinespends in systemAverage time machinespends in queueAverage number of machines in system= 0.169 l + m lN (1- P0) (20 - 0.520) 0.005 0.169== 1.741.74 +10.278== 5.33 hrs

l /sm mLq =lLr =Wq =m1W =Average number of customers in queueAverage time customerspends in systemAverage time customer spends in queueUtilization factor