METODE RESPON FREKUENSI

PENDAHULUANRespon Frekuensi adalah tanggap keadaan tunak suatu sistem terhadap masukan sinusoida.Kelebihan dari pendekatan respons frekuensi dalam mencari kriteria kestabilan adalah tidak perlu lagi menentukan akar-akar persamaan karakteristik.Kelebihan lainnya adalah bahwa pengujian respon frekuensi pada umumnya sederhana dan dapat dilakukan secara teliti dengan menggunakan pembangkit sinyal sinusoida yang telah tersedia dan alat-alat ukur yang teliti.Seringkali fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimental dengan pengujian respon frekuensi.Korelasi antara respon frekuensi dan transien adalah tidak langsung, kecuali untuk sistem orde kedua.*

Keadaan Tunak thd masukan sinusoidaKarakteristik respon frekuensi suatu sistem dapat diperoleh secara langsung dari fungsi alih sinusoida, yaitu fungsi alih yang diperoleh dengan mengganti s dengan jw (frekuensi).Tinjau sistem linier parameter konstan, dengan masukkan x(t) adalah sinusoida: x(t) = X sin wtMisal fungsi alih G(s) dapat ditulis sebagai perbandingan dua polinomial dalam s, yaitu:*

Selanjutnya transformasi Laplace keluaran Y(s) adalah :dimana X(s) adalah transformasi Laplace dari masukan x(t)Untuk sistem yang stabil, bagian nyata dari si adalah negatif dan respon keadaan tunak sistem linier stabil parameter konstan terhadap masukan sinusoida tidak tergantung pada syarat awal (syarat awal nol).Jika Y(s) hanya terdiri dari kutub-kutub yang berbeda, maka persamaan dapat diurai secara parsial menjadi:*

dimana a dan bi adalah konstanta-konstanta dan a adalah konjugasi kompleks dari a.Transformasi Laplace balik dari persamaan memberikan:Untuk sistem stabil si mempunyai bagian nyata negatif. Oleh karena itu jika t mendekati , maka e-st mendekati nol, maka respon keadaan tunak sistem adalah:dimana konstanta a dapat dihitung sebagai berikut:*

Dengan cara yang sama, konjugasi a :Karena G(jw) adalah besaran kompleks, maka dapat ditulis dalam bentuk:dimana |G(jw)| menyatakan besar dan menyatakan sudut dari G(jw).Dengan cara yang sama, ekspresi untuk G(-jw):Selanjutnya persamaan dapat ditulis:*

dimana Y = X|G(jw)|.Kita lihat bahwa suatu sistem linier stabil parameter konstan yang dikenai masukan sinusoida, pada keadaan tunak, akan mempunyai keluaran sinusoida dengan frekuensi yang sama dengan masukan. Tetapi amplitudo dan fasa dari keluaran, pada umumnya berbeda dengan masukan.Amplitudo keluaran merupakan hasil kali amplitudo masukan dengan |G(jw)|, sedangkan sudut fasa berbeda dari masukan sebesar = G(jw)*

untuk masukan sinusoida:Sudut fasa negatif disebut fasa ketinggalan (phase lag), sudut fasa positif disebut fasa mendahului (phase lead)*

Respons frekuensi menggambarkan besar dari gelombangsinus keluaran bervariasi sebagai fungsi dari frekuensigelombang sinus masukan.

Gelombang SinusGelombang Sinus*

SOALTinjau sistem dibawah ini:Untuk masukan sinusoida x(t) = X sin wt , maka gambarkan fungsi keluarannya y(t).Jawab:Fungsi alih G(s) adalah:Dengan mensubstitusikan s=jw pada G(s) diperoleh:*

Perbandingan amplitudo keluaran terhadap masukan adalah:Sedangkan sudut fasa adalah :Jadi, untuk masukan x(t) = X sin wt , keluaran y(t) dapat diperoleh sebagai berikut:Dapat dilihat bahwa untuk w yang kecil, amplitudo keluaran y(t) hampir sama dengan K kali amplitudo masukan.Pergeseran fasa keluarannya adalah kecil untuk w yang kecil.*

Untuk w yang besar, amplitudo keluarannya kecil dan hampir berbanding terbalik dengan w.Pergeseran fasa keluarannya mendekati -90 jika w mendekati tak terhingga.*

Respon frekuensi dari diagram kutub-nolRespon frekuensi dapat ditentukan secara grafis dari diagram kutub-nol fungsi alih.Tinjau fungsi alih berikut:dimana p dan z adalah nyata.Respon frekuensi dapat ditentukan dari :Besar G(jw) adalah :*

Dan sudut fasa G(jw) adalah*

Dari analisis respon transien sistem loop tertutup, kita tahu bahwa pasangan konjugasi kompleks didekat sumbu jw akan menghasilkan mode osilasi respon transien yang tinggiPada respon frekuensi, pasangan kutub-kutub semacam itu akan menghasilkan puncak respon yang tinggi.Sebagai contoh tinjau fungsi alih berikut:dimana p1 dan p2 adalah konjugasi kompleks, seperti diperlihatkan pada gambar berikut.*

*

Karena |AP||BP| adalah sangat kecil di dekat w = w1 , maka |G(jw)| sangat besar.Jadi sepasang kutub konjugasi kompleks di dekat sumbu jw akan menimbulkan puncak respon frekuensi yang tinggi.Sebaliknya jika respon frekuensi tidak mempunyai puncak yang tinggi, maka fungsi alih tersebut tidak mempunyai kutub-kutub konjugasi kompleks di dekat sumbu jw.Fungsi alih semacan ini tidak akan menunjukkan osilasi transien yang tinggi.Karena respon frekuensi secara tidak langsung menunjukkan letak kutub dan nol dari fungsi alih, maka kita dapat memprediksi karakteristik respon transien suatu sistem dari karakteristik respon frekuensinya.*

DIAGRAM BODEAda tiga jenis penyajian :Diagram Logaritmik atau Diagram BodeDiagram PolarDiagram Log Besar terhadap Fasa

Karakteristik respon frekuensi sistem kontrol dengan fungsi alih sinusoidal dicirikan oleh besar dan sudut fasa, dengan frekuensi sebagai parameternya.Fungsi alih sinusoida dapat disajikan dengan dua diagram yang terpisah:- Diagram besar terhadap frekuensi- Diagram sudut fasa terhadap frekuensiKeduanya digambar terhadap frekuensi dalam skala logaritmik.*

Satuan yang digunakan dalam penyajian logaritmik adalah decibel (db): db = 20 log10 |G(jw)|.Kurva-kurva digambarkan pada kertas semilog, dengan menggunakan skala log untuk frekuensi dan skala linier untuk besar (dalam dB) atau sudut fasa (dalam derajat).Kelebihan utama penggunaan diagram logaritmik adalah bahwa perkalian dapat diubah menjadi penjumlahan.Penentuan fungsi alih secara eksperimental dapat dipermudah jika data respon frekuensi disajikan dalam bentuk diagram logaritmik.Penyajian logaritmik berguna dalam menunjukkan karakteristik fungsi alih baik pada frekuensi rendah maupun pada frekuensi tinggi dalam satu diagram.*

Faktor-faktor Dasar dari G(jw)H(jw)Faktor-faktor dasar yang sangat sering terdapat pada suatu fungsi alih sembarang G(jw)H(jw) adalah:Penguatan KFaktor integral dan turunan (jw)1Faktor orde pertama (1 + jwT)1Faktor kuadratik [1 + 2(jw/wn) + (jw/wn)2]1Buat bentuk umum setiap G(jw)H(jw) dengan membuat sketsa kurva untuk setiap faktor dan menyusun diagram logaritmik gabungan dengan menjumlah kurva-kurva individual secara grafis (penjumlahan logaritma penguatan berkaitan dengan mengalikan).Proses untuk mendapatkan diagram logaritmik selanjutnya dapat disederhanakan dengan menggunakan pendekatan asimtotik pada kurva untuk setiap faktor.*

Faktor Penguatan KSetiap angka yang lebih besar dari satu mempunyai harga positif dalam decibel, sedangkan angka yang lebih kecil dari satu mempunyai harga negatif.Kurva log-besar untuk suatu penguatan K yang konstan merupakan garis lurus horisontal dengan besar 20 log K db.Sudut fasa dari penguatan K adalah nol.Pengaruh perubahan penguatan K pada fungsi alih adalah menaikkan atau menurunkan kurva log-besar dari fungsi alih tersebut sesuai dengan besar 20 log K , tetapi tidak mempunyai pengaruh pada sudut fasa.Gambar berikut memperlihatkan garis konversi bilangan-decibel dimana harga decibel setiap bilangan dapat diperoleh dari garis ini.

*

Jika bilangan membesar dengan faktor 10, maka harga decibel membesar dengan faktor 20. Bisa dibuktikan dengan20 log (K x 10n) = 20 log K + 20nKebalikan suatu bilangan :20 log K = - log (1/K)*

Faktor Integral dan Turunan (jw)1Besar logaritmik dari 1/jw dalam db adalah :20 log |1/jw| = -20 log w dbsudut fasa dari 1/jw adalah konstan (-90).Pada diagram logaritmik, perbandingan frekuensi dinyatakan dalam bentuk oktaf atau dekade.Oktaf adalah pita frekuensi dari w1 sampai 2 w1 , dimana w1 adalah suatu harga frekuensi sembarang.Dekade adalah pita frekuensi dari w1 sampai 10w1 dimana w1 juga merupakan suatu frekuensi sembarang.Pada kertas semilog, setiap perbandingan frekuensi dapat dinyatakan dengan jarak horisontal yang sama. Misalnya jarak horisontal dari w = 1 sampai w = 10 sama dengan jarak horisontal dari w = 3 sampai w = 30.*

Jika log besar -20 log w db digambar terhadap w pada skala logaritmik, akan diperoleh suatu garis lurus. Karena:(-20 log 10 w) db = (-20 log w -20) dbMaka kemiringan garis tersebut adalah:-20 db/dekade atau -6 db/oktafDengan cara yang sama, log besar dari jw dalam db adalah:20 log |jw| = 20 log w dbSudut fasa dari jw adalah konstan (90).Kurva log-besar tersebut merupakan suatu garis lurus dengan kemiringan 20 db/dekade.Gambar berikut menunjukkan kurva respon frekuensi masing-masing untuk 1/jw dan jw.*

Kurva respon frekuensi dari 1/jwKurva respon frekuensi dari jw*

Kedua log-besar tersebut menjadi sama dengan 0 db pada w=1.Fungsi alih mengandung faktor (1/jw)n atau (jw)n , maka besar log-besar masing-masing menjadi:atauSelanjutnya kemiringan kurva log-besar masing-masing adalah -20n db/dekade dan 20n db/dekade.Sudut fasa dari (1/jw)n adalah -90 x n di seluruh daerah frekuensi, sedangkan sudut fasa dari (jw)n adalah 90 x n di seluruh daerah frekuensi.*

Faktor Orde Pertama (1+jwT)1Log-besar dari faktor orde pertama : adalahUntuk frekuensi rendah, w > 1/TPada w=1/T log-besar = 0 db; pada w=10/T log-besar = -20 db (-20 db/dekade).*

Jadi harga -20 log wT mengecil 20 db setiap dekade dari w.Untuk w >> 1/T, kurva log-besar menjadi suatu garis lurus dengan kemiringan -20 db/dekade (-6 db/oktaf).Penyajian logaritmik kurva respon frekuensi dari faktor : 1/(1+jwT) dapat didekati dengan dua buah garis lurus asimtot:- Garis lurus 0 db untuk daerah frekuensi 0 < w < 1/T- Garis lurus dengan kemiringan -20 db/dekade (1/T < w < ).Frekuensi pada perpotongan dua asimtot disebut frekuensi patah (break/corner frequency), yaitu w = 1/T.Frekuensi patah membagi kurva respon frekuensi menjadi dua daerah: frekuensi rendah dan frekuensi tinggi.*

Sudut fasa dari faktor 1/(1 + jwT) adalah = - tan-1 wTPada frekuensi nol, sudut fasa =0.Pada frekuensi patah, sudut fasanya adalahDi titik tak terhingga, sudut fasa =-90. Karena sudut fasa dinyatakan oleh fungsi tangen balik, maka sudut fasa akan simetrik pada titik infleksi di =-45. *

*

3dB5*

SOALRCViVoFilter RCFungsi pindah:*

Bode plotMag (dB)Phase (deg)Kemiringan 20 dB/decdimulai dari frek. kutub*

Bode plot - single zero Mag, dBPhase, degww020Kemiringan +20 dB/dec0 90*

Bode plot - Single poleMag, dBPhase, degww1/10t0-200-90*

SOALJawab:Dua kutub: s = -1, dan s = -5Satu nol: s = -2Buat diagram Bode untuk setiap kutub/nol secara terpisah,Kemudian gabungkan untuk memperoleh hasil akhir.*

Mag, dBPhase, degww02009010.110-90-20100*

Mag, dBPhase, degww02009010.110-90-20100*

Mag, dBPhase, degww02009010.110-90-20100*

Mag, dBPhase, degww02009010.110-90-20100Overall responseis sum of componentresponses*

*Faktor Kuadratik [1 + 2(jw/wn) + (jw/wn)2] 1A Complex Conjugate Pair of PolesThe magnitude and phase plots of a complex conjugate (underdamped) pair of poles is more complicated than those for a simple pole. Consider the transfer function:

MagnitudeThe magnitude is given by

*Let's consider three cases for the value of the frequency:

Case 1) 0. This is the high frequency case. We can write an approximation for the magnitude of the transfer function

The high frequency approximation is at shown in green on the diagram below. It is a straight line with a slope of -40 dB/decade going through the break frequency at 0 dB. That is, for every factor of 10 increase in frequency, the magnitude drops by 40 dB.

*Case 3) 0. It can be shown that a peak occurs in the magnitude plot near the break frequency. The derivation of the approximate amplitude and location of the peak are given here. We make the approximation that a peak exists only when 0

*The peak will have an amplitude of 5.00 or 14 dB.

The resulting asymptotic approximation is shown as a black dotted line, the exact response is a black solid line.

*

*