8/10/2019 statmat2

1/15

ESTIMASI TITIK

Estimasi titik atau penaksir titik adalah suatunilai yang akandigunakan untuk

menaksir (atau menduga) nilai populasi (biasa disebut parameter) yang pada umumnya tidak kitaketahui nilai sebenarnya.

Ada 4 metode untuk mendapatkan nilai estimasi berdasarkan sampel (statistic) :

1. Metode Moment

2. Metode Likelihood Max (Kemungkinan maksimal)

3. Metode Kuadrat Terkecil

4. Metode Chi-Square Minimum

Namun yang disarankan dalam kurikulum / silabus, kita hanya akan mempelajari metode

moument dan metode likelihood max. Hal ini dikarenakan kedua metode tersebut yang palingbanyak digunakan.

1. Metode Moment

Misal X adalah variable random/peubah acak X kontinu (atau diskrit) dengan fungsi

kepadatan peluang (FKP) berbentuk ; f ( X ; dengan k parameter yang tidakdiketahui nilainya.

Misalkanlagi merupakan sebuah sampel acak berukuran n. Untuk itu kitadefinisikan k momen sekitar pusat sampel pertama sebagai berikut :

=

; t = 1,2,..,kKemudian kita tentukan lagi k buah momen sekitarpusat populasipertama dengan

rumus :

= E , t = 1,2,..,kCatatan : E = ) ; X diskrit

E = ) ; X kontinu

Jadi, merupakan fungsi dari k parameter yang tidak kita ketahui.Penyamaan moment sampel dan moment populasi akan menghasilkan k persamaan dalam

k parameter yang nilainya tidak diketahui.

Jadi, = ; t = 1,2,.k

8/10/2019 statmat2

2/15

Solusidaripernyataan :

= Di notasikan dengan sebagai penaksir moment untuk . Untuk lebih

memahami penaksir titik dengan metode moment, simak / ikuti dengan baik contoh-contohdibawah ini :

a. Misalkan peubah acak X berdistribusi dengan tidak diketahui. Tentukanpenaksir titik untuk dengan menggunakan metode moment !

Pembahasan :

Fkp dari X adalah :

Diskrit _ p (x:) =

; x = 0,1 , 0

; x yang lain

sebagai parameter

= ; t = 1,2,..k

Moment sampel= = =Moment populasi =

=

= 0 =

Jadi, = =

b. Misalkan peubah acak X berdistribusi B ( m, ) dengan m diketahui dan tidakdiketahui. Tentukan penaksir titik untuk denganmenggunakan metode moment !

Pembahasan :Fkp dari X adalah :

f(x;m;) = ; x = 0,1,2,..m0 ; yang lain

Moment sampel :

8/10/2019 statmat2

3/15

Moment Populasi = E (x) = = m

Dengan menyamakan di dapat X = m . , jadi = 2. Metode Kemungkinan Maksimum

Metode yang terbaik untuk menentukan penaksir titik sebuah parameter adalah metode

kemungkinan maksimum.

Missal x adalah peubah acak kontinu dengan fkp : f ( x; ) , dengan tidakdiketahui.Misalkan lagi fungsi

sebuah sampel acak berukuran n. maka fungsi

kemungkinan (likelihood function) dari sampel acak berukuran n tersebut adalah :

L ( ) = f ( )= f( ; ) f(; ; )

- Dalam hal ini fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui

- Penaksir kemungkinan maksimum adalahnilai yang memaksimumkanfungsikemungkinan L (;).Evaluasi Estimator

Di bawah ini diberikan sifat-sifat penaksir parameter.

1. Tidak Bias (unbiased)

Dikatakan penaksir tak bias bagi jika E ()= Catatan :

1. Jika E () dikatakan penaksir bias bagi 2. Penaksir yang bias dapat dibuat tak bias dengan mengubah pengali atau

penambah konstanta.

Ingat!!!!!!

,

8/10/2019 statmat2

4/15

Misal x adalah peubah acak dengan rata-rata danvarian(apapun distribusinya).Jika , merupakan sebuah sampel acak berukuran n. maka apakah rata-ratasampel x dan variansampel= merupakan penaksir tak bias untuk + ..?jawab :kita akan membuktikan E(x) =

Bukti : E(x) = E =

)

=E

= , E = 1,2,.n

=

= (n.)= (TERBUKTI)

VARIANS MINIMUM

Rumus batas bawah Cramer Rao untuk varians adalah :var () * +

Atau var () * +

Kita akan menyelidiki apakah rata-rata sampel x dari distribusi normal yang tidak

diketahui variansnya mencapai batas bawah Cramer Rao. Telah kita ketahui bahwa

= x dan var x = . Kita hanya akan membuktikan apakah var x = mencapaibatas bawah Cramer Rao.

Ingat !!!!!

8/10/2019 statmat2

5/15

X (,) ; F(x;,) =

= ; -< X < Ln f(x;,= - -

= 0 -

2 ( ) (-1)=

( )

() =

Berdasarkan Rumus Cramer Rao :

Var () = * +

= * +

= = = =

Ternyata Var () mencapai batas bawah Cramer Rao

EfisiensiRelatif (ER)

Jika keduanya penaksir tidak bias untuk maka Efisiensi Relatif didefinisikan : ER =

Keterangan :

Jika ER < 1 dikatakan lebih efisiensi dari Jika ER > 1 dikatakan lebih efisiensi dari StatistikCukup

Definisi :

Statistic T=T ( dikatakan statistic cukup untuk parameter , jika fungsidensitas / kepadatan peluang bersyarat :

8/10/2019 statmat2

6/15

P Tidak bergantung / tidak memuat

Contoh :

Misal ( merupakan n buah sampel yang berasal dari distribusiBernouli yang saling bebas, dengan P = dan = 1- ; i=1,2,.n.Apakah T(x) = merupakan statistik cukup untuk ?Jawab :

B ( 1, p( , Xi = 0,1p( )= p(Xi)

= = p( = Xi (1,) = (t) = + (1-) (E)

= Initidak lain adalah MGF dari B = ( n . )Jadi,

P ( ) =

Atau P ( ) = Kesimpulan :

P

* +

P ( )

; ternyata tidak memuat

Jadi T = merupakan STATISTIK CUKUP

8/10/2019 statmat2

7/15

Keluarga Eksponensial

Definisi :

Suatu fungsi densitas dengan satu parameter, termasuk keluarga Eksponensial. Jika

fungsi densitas tersebut dapat diuraikan (dapat diubah) dalam bentuk :

F(X;) = C () h(x)Contoh :

Misal peubah acak x berdistribusi Binomial dengan parameter n dan ;apakahF(X;) termasuk keluarga Eksponensial ?

Jawab :

X (n;F(X;) = ; x=0,1,2,..n.

=

=

=

= C() , T(x) , Q() , h(x)

Kesimpulan :

f(X;) adalah keluarga Eksponensial

Catatan :

Jika sebuah sampel acak dari distribusi f(x,) maka fungsi distribusigabunganya adalah :

F( = f(Xi;)=

[

]

= Conroh :

Misal diambil dari distribusi B ( ;). Apakahf( ,keluargaEksponensial ?

8/10/2019 statmat2

8/15

Jawab :

X (n;P(x) = P(Xi;) =

=

[

]

=

= =

Kesimpulan :

F(Xi;) adalahKeluarga Eksponensial

Hubungan antara Keluarga Eksponensial dan Statistik cukup. Jikaf(Xi;) KeluargaEksponensial. Maka :

F(Xi;) = Dalam hal ini, unsur T(x) adalah Statistik Cukup. Sesuai contoh diatas maka T(x) =

adalah Statistik Cukup.

8/10/2019 statmat2

9/15

8/10/2019 statmat2

10/15

b. Langkah awal kita adalah mencari Var x

Var (x) = E = E

E

=

= = 0 +

= 0 +

= 0 + = 0 + =2

Jadi Var (x) = 2 =

Var x = Var =

=

=

=

Kesimpulan , Var (x) = ; TERBUKTI

c. Var (x) =

x < k )

x < k )

Misalkan ,

x < )

x < ) Jadi, x adalah penaksir yang konsisten untuk

8/10/2019 statmat2

11/15

SOAL 2

Misal sebuah sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusi N( )a. Buktikan bahwa Y =

adalah penaksir yang tak bias untuk

b. Apakah Y penaksir konsisten ?

c. Apakah Var (x) = minimum ?

d. Apakah Var (x) memenuhi batas bawah Cramer-Rao ?

Jawab :

a. X E (x) = Var (x) =

Y =

E (Y) = E * +=

=

= Jadi, Y adalah penaksir untuk yang tak bias , TERBUKTI

b. Var (x) = Var (Y) = Var

=

=

=

Jadi Y - < k )

Y - < k )

Misal : k Jadi, Y - < )

atau

P Jadi Penaksir Y untuk , TIDAK KONSISTEN

8/10/2019 statmat2

12/15

c. Var (x) = akan minimum jika Var (x) = minimum kita akan melakukan

Var (x) = apakah minimum.Misal : Var (x) =

d.Var (x) = N

Jadi, Var x akan minimum bila , karena itu Var x di definisikan :Var (x) =

Jadi, var (x) minimum

Kesimpulannya : Var x = minimum

d. Apakah Var x = mencapai batas bawah CramerRao ?

Jawab :

X f(

ln f( x;

= - (x-

= -

Var memenuhi semua batas bawah CramerRao adalah :

, * +-

= * +

Var x = mencapai batas bawah CramerRao , TERBUKTI

8/10/2019 statmat2

13/15

SOAL 3 :

Misalkan sampel acak berukuran n yang berasal dari distribusiPoisson dengan rata-rata a.

Buktikan bahwa x penaksir tak bias bagi b. Buktikan bahwa x penaksir konsisten

c. Tentukan penaksir tak bias bervariansi minimum

Jawab :

a. Langkah awal yang harus dilakukan adalah mencari E(x)

X p (x, E(x) =

= = = = =

Jadi, E(x) = E(x) = E

= =

=

Jadi, E(x) = Kesimpulan : X adalah penaksir tak bias untuk , TERBUKTI

b. Langkah awal kita adalah mencari Var (x)

Var (x) = E * E= E

=

** = =

8/10/2019 statmat2

14/15

Var (x) = Var x =

=

=

X - k )

X - k )

=

X - )

atau

X - ) = 1Kesimpulan : X penaksir KONSISTEN

c. Tentukan penaksir titik tak bias bervariasi minimum bagi E(x) = E(x) = Var (x) = Var (x) = X F(x) =

Berdasarkan Varian Minimum CramerRao :

Var (x) minimum = * +

f(x) =

Ln f(x;

Jadi , E * + * +

8/10/2019 statmat2

15/15

= -

= -

Jadi, Var Minimum =

, *

+-

= * +=

=

Jadi, TERBUKTI Var (x) =mencapai batas bawah Cramer - Rao