BAB 3

DISTIRBUSI SAMPLING

A. POPULASI DAN SAMPEL

Populasi (universe) adalah totalitas dari semua objek atau individu yang memiliki karakteristik tertentu, jelas dan lengkap yang akan diteliti(bahan penelitian). Objek atau nilai disebut unit analisis atau elemen populasi. Unit analisis dapat berupa orang, perusahaan, hasil produksi, rumah tangga, dan tanah pertanian.

Sampel adalah bagian dari populasi yang diambil melalui cara-cara tertentu yang juga memiliki karakteristik tertentu, jelas, dan lengkap yang dianggap bias mewakili populasi. Objek atau nilai yang akan diteliti dalam sampel disebut unit sampel. Unit sampel mungkin sama dengan unit analisis, tetapi mungkin juga tidak.

Unutk menerangkan karakteristik dari populasi dan sampel, digunakan istilah parameter dan statistic. Parameter dan statistic adalah besaran yang berupa data ringkasan atau angka ringkasan yang menunjukkan suatu ciri dari populasi dan sampel. Parameter dan statistic merupakan hasil hitungan nilai dari semua unit didalam populasi dan sampel bersangkutan.

Berikut ini table lambing yang digunakan untuk parameter dan statistic.

TABEL 3.1 LAMBANG PARAMETER DAN STATISTIK

Besaran Lambing Parameter(Populasi)

Lambing Statistik(Sampel)

Rata-rataVariansSimpangan BakuJumlah Observasipopulasi

µσ 2

σNP

S2

SNp

B. METODE SAMPLING

Metode sampling adalah cara pengumpulan data yang hanya mengambil sebagian elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi. Cara pengumpulan data yang lain adalah sensus. Sensus adalah cara pengumpulan data yang mengambil setiap elemen populasi atau karakteristik yang ada dalam populasi.

Untuk sesuatu hal maka sensus dilaksanakan, tetapi karena sesuatu hal pula mungkin sensus tidak dapat dilaksanakan dan kemudian dipilih sampling. Alas an-alasan dipilihnya sampling antara lain sebagai berikut.

1) Objek penelitian yang homogenDalam menghadapi objek penelitian yang homogeny atau 100% sama, sensus tidak perlu dilaksanakan, cukup hanya dengan melakukan sampling untuk memperoleh data yang diperlukan. Contoh objek yang bersifat homogeny ialah : darah dalam tubuh seseorang, dan kadar garam air laut.

2) Objek penelitian yang mudah rusakDalam menghadapi objek penelitian yang mudah rusak, sensus tidak mungkin dilakukan sebab akan merusak objek yang akan diteliti.

Contoh :Penelitian mengenai rasa jeruk tidak mungkin dilakukan dengan mencicipi satu persatu jeruk satu kebun.

3) Penghematan biaya dan waktuBiaya yang dikeluarkan untuk melakukan sensus jauh lebih besar dibandingkan dengan sampling, sehingga penggunaan sensus banyak menimbulkan pemborosan, sedangkan penggunaan sampling lebih efisien. Hal itu disebabkan pada sensus objek yang diteliti jauh lebih banyak dibandingkan objek yang akan diteliti pada sampling. Demikian pula halnya dengan waktu. Waktu yang digunakan untuk melakukan sensus lebih lama jika dibandingkan dengan waktu yang digunakan untuk melakukan sampling.

4) Masalah ketelitianPada sensus objek yang akan diteliti, lebih banyak dibandingkan dengan pada sampling, sehingga keakuratan hasil penelitiannya juga lebih kecil dari pada sampling. Pengalaman mengatakan bahwa semakin banyak objek yang diteliti, semakin kurang pula ketelitian yang dihasilkan.

5) Ukuran populasi Seperti diketahui bahwa berdasarkan ukurannya populasi dapat berupa populasi berhingga dan populasi tak berhingga. Untuk populasi tak berhingga , yaitu populasi yang memiliki banyak objek tidak berhingga banyaknya, sensus tidak mungkin dilakukan. Untuk populasi berhingga, tetapi memiliki objek yang sedemikian besarnya, sensus juga sulit untuk dilaksanakan. Untuk keadaan seperti itu, sampling lebih cocok untuk digunakan.

6) Factor ekonomisFactor ekonomis diartkikan apakah kegunaan dari hasil penelitian sepadan dengan biaya, waktu, dan tenaga yang telah dikeluarkan untuk penelitian tersebut. Jika tidak, mengapa harus dilakukan sensus yang memakan biaya waktu, dan tenaga yang banyak dan sebagai alternatifnya dilakukan sampling.

Metode sampling pada dasarnya dapat dibedakan atas dua macam, yaitu sampling random dan sampling nonrandom.

1. Sampling Random (Sampling Acak)

Sampling random atau sampling probabilitas adalah cara pengambilan sampel dengan semua objek atau elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel. Hasil dari sampling random memiliki sifat yang objektif.

Yang termasuk sampling random, antara lain sampling random sederhana, sampling berlapis, sampling sistematis, dan sampling kelompok.

a. Sampling random sederhanaSampling random sederhana adalah bentuk sampling random yang sifatnya sederhana, tiap sampel yang berukuran sama memiliki probabilitas sama untuk terpilih dari populasi. Sampling random sederhana dilakukan apabila :1) Elemen-elemen populasi yang bersangkutan homogeny;2) Hanya diketahui identitas-identitas dari satuan-satuan individu (elemen) dalam

populasi, sedangkan keterangan lain mengenai populasi, seperti derajat keseragaman, pembagian dalam golongan-golongan tidak diketahui, dan sebagainya.

Sampling random sederhana dapat dilakukan dengan menngunakan dua metode, yaitu metode undian dan metode table random.

1) Metode undianMetode undian adalah yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan pola pengundian. Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.a) Memberi nomor kode urut pada semua elemen populasi pada lembar kertas-

kertas kecil.b) Menggulung lembar kertas-kertas kecil kemudian memasukkannya ke dalam

kotak, mengocoknya dengan rata, dan mengambilnya satu per satu.c) Hasil undian itu merupakan sampel yang dipilih. Metode undian hanya cocok

untuk jumlah populasi yang kecil.

2) Metode table randomMetode table random adalah metode yang prosesnya dilakukan dengan menggunakan table bilangan random. Table bilangan random adalah table yang dibentuk dari bilangan biasa yang diperoleh secara berturut-turut dengan sebuah proses random serta disusun kedalam suatu table. (lihat lampiran).Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.a) Memberi nomor urut (mulai dari 1) pada semua elemen populasi, sebanyak

elemen tersebut.b) Secara acak, memilih salah satu halaman table bilangan random, demikian

pula dengan pemilihan kolom dan barisnya.c) Nomor-nomor yang terpilih dari table tersebut merupakan nomor-nomor dari

sampel. Apabila nomor sampel sudah terpilih atau muncul, kemudian muncul lagi, maka nomor itu dilewati.

Contoh soal :PT TERBANG BERSAMA memiliki 100 orang karyawan. Jika akan dipilih 15 orang sebagai sampel penelitian, tentukan nomor-nomor karyawan tersebut sebagai sampel dengan menggunakan table bilangan random!

Penyelesaian :(1) Ke-100 orang karyawan diberi nomor 01, 02, 03, 04, 05, …, 100.(2) Dari pengacakan, misalkan terpilih table bilangan random seribu angka

kedua, kolom 3 dan 4, baris ke-6.(3) Dari table bilangan random, diperoleh nomor-nomor karyawan sebagai

sampel, yaitu : 86, 04, 50, 62, 59, 01, 75, 80, 58, 65, 50, 76, 92, 95, 03.

b. Sampling berlapis (sampling stratified)Sampling berlapis adalah bentuk samping random yang populasi atau elemen populasinya dibagi dalam kelompok-kelompok yang disebut strata. Sampling stratified dilakukan apabila :1) Elemen-elemen populasi heterogen;2) Ada kriteria yang akan dipergunakan sebagai dasar untuk menstratifikasi populasi

kedalam stratum-srtatum, misalnya variable yang akan diteliti;3) Ada data pendahuluan dari populasi mengenai kriteria yang akan digunakan untuk

stratifikasi;4) Dapat diketahui dengan tepat jumlah satuan-satuan individu dari setiap stratum

dalam populasi.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.

1) Membagi populasi menjadi beberapa stratum.2) Mengambil sebuah sampel random dari tiap stratum. Banyaknya unsur yang

dipilih dari tiap stratum boleh sebanding atau tidak sebanding dengan jumlah stratum dalam populasinya. Jika pengambilan banyaknya unsur tiap stratum sebanding dengan ukuran-ukuran tiap stratum pengambilannya dilakukan secara random, dinamakan proportional random sampling.

3) Menggabungkan hasil dari pengambilan sampel tiap stratum, menjadi satu sampel yang diperlukan.

Contoh soal :Sebuah populasi terdiri atas 500 pedagang kaki lima, dengan komposisi 200 pedagang makanan, 150 pedagang barang mainan, 100 pedagang kerajinan, dan 50 pedagang rokok. Jika 20 pedagang kaki lima itu hendak dijadikan sampel, tentukan banyakya sampel tiap stratum (gunakan metode sebanding) dan nomor-nomor sampel yang dipilih (gunakan table bilangan random) pada tiap stratum.

Penyelesaian :(a) Pengelompokan sampel menjadi beberapa stratum diperlihatkan pada table

berikut ini.

TABEL 3.2 PENGELOMPOKAN SAMPEL

Stratum Jenis Usaha JumlahIIIIIIIV

MakananBarang MainanKerajinanRokok

20015010050

Jumlah 500

(b) Pengambilan sampel dari masing-masing stratum adalah sebagai berikut.

Stratum I = 200500 x 20 = 8 pedagang

Stratum II = 150500

x 20 = 6 pedagang

Stratum IIIStratum IVJumlah sampel pada tiap tratum dilakukan dengan menggunakan table bilangan random. Silakan sendiri !

c. Sampling sistematisSampling sistemati adalah bentuk sampling random yang mengambil elemen-elemen yang akan diselidiki berdasarkan urutan tertentu dari populasi yang telah disusun secara teratur. Sampling sistematis dilakukan apabila :1) Identifikasi atau nama dari elemen-elemen dalam populasi itu terdapat dalam

suatu daftar, sehingga elemen-elemen tersebut dapat diberi nomor urut;2) Populasi memiliki pola beraturan, seperti blok-blok dalam kota atau rumah-rumah

pada suatu ruas jalan.

Proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.

1) Jumlah elemen dalam populasi dibagi dengan jumlah unsur yang diinginkan dalam sampel, sehingga terdapat subpopulasi-subpopulasi yang memiliki jumlah elemen yang sama (memiliki interval yang sama).

2) Dari subpopulasi pertama dipilih sebuah anggota dari sampel yang dikehendaki, biasanya dengan menggunakan table bilangan random.

3) Anggota dari subsample pertama yang dipilh digunakan sebagai titik acuan (awal) untuk memilih sampel berikutnya, pada setiap jarak interval tertentu.

Contoh soal :

Sebuah populasi yang memiliki elemen 800, hendak diambil 20 sampel sebagai bahan penelitian. Tentukan nomor-nomor sampel yang terpilih !

Penyelesaian :

(1) Ke-800 elemen diberi nomor urut 001, 002, …, 800. Ke-800 elemen dibagi menjadi 20 subpopulasi, dimana setiap subpopulasi terdiri atas 40 elemen.

(2) Dengan menggunakan table bilangan random, diperoleh sebuah sampel pertama sebagai titik acuan, misalkan bernomor 007.

(3) Karena sampel pertama jatuh pada nomor 007, maka nomor untuk sampel-sampel berikutnya adalah 047, 087, 127, 167, 207, 247, 287, 327, 367, 407, 447, 487, 527, 567, 607, 647, 687, 727, 767.

d. Sampling kelompok (sampling cluster)Sampling kelompok adalah bentuk sampling random yang populasinya dibagi menjadi beberapa kelompok (cluster) dengan menggunakan aturan-aturan tertentu, seperti batas-batas alam dan wilayah administrasi pemerintahan proses pengerjaannya ialah sebagai berikut.1) Membagi populasi ke dalam beberapa subkelompok.2) Memilih satu atau sejumlah kelompok dari kelompok-kelompok tersebut.

Pemilihan kelompok-kelompok itu dilakukan secara random.3) Menentukan sampel dari satu atau sejumlah kelompok yang terpilih, secara

random.

Antara sampling cluster dan sampling stratified terdapat perbedaan dari cara pengmbilan sampelnya. Pada sampling cluster samplenya diambil dari cluster yang terpilih, sedangkan pada sampling stratified sampelnya diambil dari seluruh stratum.

Contoh soal :

Sebuah desa yang memiliki 1.500 KK, akan diteliti mengenai respon penggunaan bumbu masak merk ASSOI. Untuk keperluan tersebut dipilih sampel sebanyak 50 KK. Dari 1.500 KK tersebut kita bagi menjadi 150 kelompok dengan anggota 10 KK tiap kelompok yang berdekatan. Dari 150 kelompok itu, dipilih sebuah sampel random yang terdiri atas 5 kelompok. Dengan demikian, dari 5 kelompok pilihan itu, diperoleh 5 x 10 = 50 KK sebagai sampel.

2. Sampling Nonrandom (Sampling Tidak Acak)

Sampling nonrandom atau sampel nonprobabilitas adalah cara pengambilan sampel yang semua objek atau elemen populasinya tidak memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai sampel.

Hasil dari sampling nonrandom memiliki sifat subjektif atau kurang objektif. Hal itu disebabkan pada waktu sampel diambil dari populasi, probabilitas tidak diikutsertakan, tetapi berdasarkan aspek pribadi seseorang.

Yang termasuk sampling nonrandom, antara lain sampling kuota, sampling pertimbangan, dan sampling seadanya.

a. Sampling kuotaSampling kuota adalah bentuk sampling nonrandom yang mencirikan lebih dahulu segala sesuatu yang berhubungan dengan pengmbilan sampel. Dengan demikian, petugas hanya mengumpulkan data mengenai sesuatu yang telah dirinci. Akan tetapi, pengambilan unit samplingnya ditentukan oleh si petugas.

Contoh :sebuah kawasan dihuni oleh 1.000 KK. Dalam rangka penelitian, diperlukan 50 KK dalam kategori umur dan pendapatan tertentu. Dalam penentuan sampel sebanyak 50 KK itu, petugas melakukannya atas pertimbangan sendiri.

b. Sampling pertimbanganSampling pertimbangan adalah bentuk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya ditentukan oleh peneliti berdasarkan pertimbangan atau kebijaksanaannya. Cara sampling pertimbangan cocok untuk studi kasus.

Contoh :Dari penyebaran 100 kuesioner, ternyata yang kembali hanya 30 (30%). Berdasarkan pertimbangan tertentu dari peneliti atau ahli, diputuskan untuk menggunakan 30 kuesioner tersebut sebagai data sampel.

c. Sampling seadanya

Sampling seadanya adalah benutk sampling nonrandom yang pengambilan sampelnya dilakukan seadanya atau berdasarkan kemudahannya mendapatkan data yang diperlukan. Pada sampling seadanya, tingkat kerepresentatifansampel tidak terlalu diperhatikan.

Contoh :

Pengambilan sampel mengenai ramalan tentang partai yang akan menjadi pemenang pada pemilu yang akan dating. Pengmbilan sampelnya dilakukan dengan mengumpulkan opini masyarakat, dalam hal ini adalah orang-orang yang lewat pada suatu jalan. Orang-orang yang lewat tersebut tidak merupakan bagian representative dari keseluruhan masyarakat yang berhak memilih.

C. TEKNIK PENENTUAN JUMLAH SAMPEL

Untuk menentukan banyaknya sampel yang dapat diambil dari suatu populasi yang berukuran tertentu digunakan perhitungan sebagai berikut.

1. Untuk Pengambilan Sampel dengan Pengambilan

Pengambilan sampel disebut dengan pengambilan jika anggota yang telah diambil untuk dijadikan sampel disatukan kembali dengan anggota populasi lainnya sehingga masih ada kesempatan untuk dipilih kembali. Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran dengan pengembalian maka banyaknya sampel yang mungkin diambil adalah

Contoh :

Untuk populasi berukuran 4 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, dan sampel yang diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah 42 = 16 buah, yaitu :

Sampel 1 : AA sampel 9 : CA

Sampel 2 : AB sampel 10 : CB

Sampel 3 : AC sampel 11 : CC

Sampel 4 : AD sampel 12 : CD

Sampel 5 : BA sampel 13 : DA

Sampel 6 : BB sampel 14 : DB

Sampel 7 : BC sampel 15 : DC

Sampel 8 : BD sampel 16 : DD

Nn

Secara teoritis, populasi berhingga dikenali sampling dengan cara pengembalian dapat dianggap sebagai populasi tak berhingga. Hal itu disebabkan berapapun banyaknya sampel yang diambil, populasi tidak akan pernah habis.

2. Untuk Pengambilan Sampel Tanpa Pengembalian

Pengambilan sampel disebtu tanpa pengembalian jika anggota populasi yang telah diambil untuk dijadikan sampel tidak disatukan dengan anggota populasi lainnya. Jika dari populasi berukuran N diambil sampel berukuran n tanpa pengembalian maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah

∁= Nn! ( N−n ) !

Contoh :

Untuk populasi berukuran 5 dengan anggota-anggotanya A, B, C, D, E, dan sampel yang diambil berukuran 2 maka banyaknya sampel yang mungkin dapat diambil adalah

C25 =

5!2! (5−2 ) !

= 10 buah sampel

Ke-10 buah sampel itu adalah

Sampel 1 : AB sampel 6 : BD

Sampel 2 : AC sampel 7 : BE

Sampel 3 : AD sampel 8 : CD

Sampel 4 : AE sampel 9 : CE

Sampel 5 : BC sampel 10 : DE

D. PENGERTIAN DISTRIBUSI SAMPLING

Distribusi sampling adalah distribusi dari besaran-besaran statistic, seperti rata-rata, simpangan baku, proporsi, (persentase) yang mungkin muncul dari sampel-sampel. Distribusi dari rata-rata sampel disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel, distribusi dari proporsi sampel disebut distribusi sampling proporsi atau distribusi proporsi sampel, dan sebagainya.

Contoh :

Jika besar populasi adalah 3 (N = 3), misalkan A, B, C, kemudian diambil sampel berukuran 2 (n = 2), maka akan diperoleh 3 sampel, yaitu AB, BC, AC, (sampelnya tanpa pengembalian).

Dari ke-3 sampel tersebut dihitung rata-ratanya, maka didapatkan 3 rata-rata sampel. Tiga rata-rata sampel tersebut membentuk suatu distribusi, disebut distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel. Demikian pula dengan perhitungan simpangan baku, varians, proporsi sampel akan membentuk distribusi simpangan baku, distribusi varians, dan distribusi proporsi.

E. JENIS-JENIS DISTRIBUSI SAMPLING

Berdasarkan besaran statistic yang digunakan, dikenal beberapa jenis distribusi dan sampling, yaitu distribusi sampling rata-rata, proporsi, beda dua rata-rata, dan beda dua proporsi.

1. Distribusi Sampling Rata-rata

Distribusi sampling rata-rata atau distribusi rata-rata sampel adalah distribusi dari besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel.

Contoh soal :

Sebuah populasi berukuran 6 yang anggotanya adalah 2, 3, 5, 6, 8, 9, dan sampelnya berukuran 2. Buatlah distribusi sampling rata-ratanya jika pengambilan sampelnya dilakukan tanpa pengembalian!

Penyelesaian:

Sampel berukuran 2 (n = 2) dengan rata-ratanya yang dapat dibentuk dari populasi berukuran 6 (N = 6) dengan anggota 2, 3, 5, 6, 8, 9, adalah

Sampel 1 : 2;3 dengan rata-rata = 2,5

Sampel 2 : 2;5 dengan rata-rata = 3,5

Sampel 3 : 2;6 dengan rata-rata = 4

Sampel 4 : 2;8 dengan rata-rata = 5

Sampel 5 : 2;9 dengan rata-rata = 5,5

Sampel 6 : 3;5 dengan rata-rata = 4

Sampel 7 : 3;6 dengan rata-rata = 4,5

Sampel 8 : 3;8 dengan rata-rata = 5,5

Sampel 9 : 3;9 dengan rata-rata = 6

Sampel 10 : 5;6 dengan rata-rata = 5,5

Sampel 11 : 5;8 dengan rata-rata = 6,5

Sampel 12 : 5;9 dengan rata-rata = 7

Sampel 13 : 6;8 dengan rata-rata = 7

Sampel 14 : 6;9 dengan rata-rata = 7,5

Sampel 15 : 8;9 dengan rata-rata = 8,5

Distribusi sampling rata-ratanya diperlihatkan dalam table berikut ini.

TABEL 3.3 DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA

x f Probabilitas2,53,54

4,55

5,56

6,57

7,58,5

11211311211

0,070,070,130,070,070,200,070,070,130,070,07

Jumlah 15 1,00

Pada distribusi sampling rata-rata berlaku hal-hal berikut ini.

a. Pemilihan sampel dari populasi terbatasbila populasi terbatas yang berukuran N dan distribusi normal dengan rata-rata µ dzn simpangan baku σ , rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random berukuran n dan dipilih dari populasi diatas, akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku seperti ini.

1) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau nN

> 5% :

µx = µ

σ x = σ

√n

Contoh soal :Toko UNDUR-UNDUR memiliki karyawan, yaitu A, B, C, D, E dengan upah per jam (ribuan rupiah) : 2, 3, 3, 4, 5. Jika upah yang diperoleh itu dianggap sebagai populasi, tentukan :a) Rata-rata sampel dari 2 unsur (upah dari dua karyawan),b) Rata-rata dari rata-rata sampel,c) Simpangan baku dari rata-rata sampel!

Pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian,

Penyelesaian:

Banyaknya sampel yang mungkin adalah

C25 =

5!2! (5−2 ) !

= 10 buah

Ke-10 buah sampel itu ialah:

1. 2;3 6. 3;4

2. 2;3 7. 3;5

3. 2;4 8. 3;4

4. 2;5 9. 3;5

5. 3;3 10. 4;5

a. Rata-rata sampelya ialah :

Sampel 1 = 2;5 Sampel 6 = 3;5

Sampel 2 = 2;5 Sampel 7 = 4

Sampel 3 = 3 Sampel 8 = 3;5

Sampel 4 = 3;5 Sampel 9 = 4

Sampel 5 = 3 Sampel 10 = 4;5

b. Rata-rata dari rata-ratasampel adalah

µ =2+3+3+4+5

5 = 3,4µ = µ = 3,4

c. Simpangan baku dari rata-rata sampel :

σ=√ (2−3,4 )5

= 1,02

=

= 1,02

√2 √ 5−2

5−1

= 0,62

b. Untuk pemilihan sampel dari populasi yang tidak terbatas

bila populasi memiliki ukuran yang tidak berhingga dan didistribusikan secara normal dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ , maka rata-rata sampel X yang didasarkan pada sampel random yang berukuran n dan yang dipilih dengan pengembalian atau tanpa pengembalian dari populasi tersebut akan memiliki distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku :

µx = µ dan σ x = σ

√n

c. Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata

Penggunaan daftar distribusi normal untuk distribusi sampling rata-rata, dapat digunakan rumus :

Z = X−μ

σ

1) Untuk populasi terbatas atau nN

> 5%, berlaku :

Z = X−μ

σx atau Z =

X−μ

σ√n √ N−n

N−1

2) Untuk populasi tidak terbatas atau nN

≤ 5%, berlaku :

Z = X−μ

σx atau Z =

X−μσ

√n

Pada umumnya, normalitas dari distribusi sampling rata-rata disebut teori limit sentral dan dinyatakan sebagai berikut.1) Jika populasi cukup besar dan berdistribusi secara normal maka distribusi

sampling rata-ratanya akan normal.2) Jika distribusi populasi tidak normal maka distribusi sampling rata-ratanya akan

mendekati normal, apabila jimlah sampel cukup besar, biasanya 30 atau lebih (n ≥ 30).

3) Distribusi normal dari rata-rata sample memiliki rata-rata yang sama dengan rata-rata harapan E (X) dan simpangan baku σ x . Nilai-nilai itu dapat dihitung dari rata-rata populasi (μ) dan simpangan baku populasi (σ ¿.

Contoh soal :

Upah per jam para pekerja PT GEBYAR memiliki tingkat upah rata-rata Rp. 500,00 per jam dan simpangan baku Rp. 60,00. Berapa probabilitas bahwa upah rata-rata 50 orang pekerja yang merupakan sampel random akan berada diantara Rp. 510,00 dan Rp. 520,00?

Penyelesaian :

Jika ukuran populasi tidak diketahui maka dianggap sebagai populasi tidak terbatas.

µ = 500; σ = Rp. 60; n = 50; X = 510 dan 520

Dengan demikian :

σ = σ

√n

= 60

√50 = 8,485

Z = X−µ

σ

Untuk X = 510 maka Z 510−500

8.485 = 1,18

Untuk X = 520 maka Z 520−500

8.485 = 2,36

Didapat : P (1,18 < Z < 2,36)

P(1,13 < Z < 2,36) = P(0 < Z < 2,36) – P(0 < Z < 1,18)

= 0,4909 – 0,3810

= 0,1099

Jadi, probabilitas bahwa upah rata-rata dari sampel berada diantara Rp. 510,00 dan Rp. 520,00 adalah 0,1099 atau 10,99% atau 11%.

2. Distribusi Sampling Proporsi

Proporsi dari populasi dinyatakan dengan P = XN

dan proporsi untuk sampel dinyatakan

dengan p = Xn

.

Distribusi sampling proporsi adalah distribusi dari proporsi (persentase) yang diperoleh dari semua sampel sama besar yang mungkin dari satu populasi.

Distribusi sampling proporsi juga memiliki arti yang penting seperti halnya distribusi sampling rata-rata. Distribusi sampling proporsi dapat digunakan untuk mengetahui persentase atau perbandingan antara dua hal yang berkomplemen (peristiwa binomial), seperti persentase perokok dan bukan perokok, persentase pemilih dan bukan pemilih disuatu pemilu, dan perbandingan antara pemakai dan bukan pemakai hasil produksi tertentu.

Contoh :

Sebuah populasi yang beranggotakan 6 orang, 3 diantaranya perokok dan yang lainnya bukan perokok. Apabila diambil sampel yang beranggotakan 3 orang, proporsi atau banyaknya sampel untuk ke-3 anggota sampel perokok, 2 perokok dan 1 bukan perokok, 1 perokok dan 2 bukan perokok dan ke-3 nya bukan perokok dapat diketahui (pemilihan sampel tanpa pengembalian), misalnya, perokok. Banyaknya sampel yang dapat diambil adalah

∁36 =

6!(6−3 )! = 20 buah

Ke-20 buah sampel itu ialah :

1. ABC 6. ACL 11. BCK 16. BLM

2. ABK 7. ACM 12. BCL 17. CKL

3. ABL 8. AKL 13. BCM 18. CKM

4. ABM 9. AKM 14. BKL 19. CLM

5. ACK 10. ALM 15. BKM 20. KLM

Distribusi sampling proporsinya (X = perokok, n = 3) adalah

TABEL 3.4 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Sampel yang Mungkin(X) Proporsi Sampel ( X

N ) f Prob.

X = 3 (3(p), 0(bp))X = 2 (2(p), 1(bp))X = 1 (1(p), 2(bp))X = 0 (0(p), 3(bp))

10,670,33

0

1991

0,050,450,450,05

Jumlah 20 1,00Catatan :

- p = perokok dan bp = bukan perokok- 3(p), 0(bp) = ABC- 2(p), 1(bp) = ABK, ABL, ABM, ACK, ACL,ACM, BCK, BCL, BCM

1(p), 2(bp) = AKL, AKM, ALM, BKL, BKM, BLM, CKL, CKM, CLM0(p), 3(bp) = KLM

Pada distribusi sampling proporsi, berlaku hal-hal sebagai berikut.

1) Untuk pengambilan sampel dengan pengembalian atau jika ukuran populasi besar

dibandingkan dengan ukuran sampel, yaitu ( nN ) ≤ 5%, memiliki rata-rata dan simpangan

baku :

µP = P

σp = √ P(1−P)n

= √ PQn

Keterangan :

P = proporsi kejadian sukses

Q = proporsi kejadian gagal (1 – P)

2) Untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian atau jika ukuran populasi kecil

dibandingan dengan ukuran sampel, yaitu ( nN )≤ 5%, memiliki rata-rata dan simpangan

baku :

Contoh soal :

Sebuah toko memiliki 6 karyawan, misalkan A, B, C untuk yang senang membaca dan X, Y, Z untuk yang tidak senang membaca. Jika dari 6 karyawan tersebut diambil sampel yang beranggotakan 4 karyawan (pengambilan sampel tanpa pengembalian), tentukan :

a. Banyaknya sampel yang mungkin diambil,b. Distribusi sampling proporsinya,

c. Rata-rata dan simpangan baku sampling proporsinya!

Penyelesaian :

a. Banyaknya sampel yang mungkin adalah :

C46 =

6 !4 ! (6−4 ) !

= 15 buah sampel

Ke-5 buah sampel itu ialah :1) 1 senang membaca dan 3 tidak :

C13 X C3

3 = 3 X 1 = 3, yaitu : AXYZ, BXYZ, CXYZ

µP = P

σp = √ P(1−P)n

= √ (N−n)N−1

= √ PQn

√ (N−n)N−1

2) 2 senang membaca dan 2 tidak :

C23 x C2

3 = 3 x 3 = 9, yaitu : ABXY, ABXZ, ABYZ, ACXY, ACXZ, ACYZ,

BCXY,BCXZ, BCYZ

3) 3 senang membaca dan 1 tidak :

C33 x C1

3 = 1 x 3 = 3, yaitu : ABCX, ABCY, ABCZ

b. Jika X = senang membaca dan n = jumlah sampel maka distribusi sampling proporsinya adalah µ

TABEL 3.5 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Sampel yang Mungkin (X)

Proporsi Sampel

( Xn )

Banyaknya Sampel (f)

probabilitas

123

0,250,500,25

393

0,20,60,2

Jumlah 15 1,0

c. Proporsi populasi untuk peristiwa sukses (senang membaca) adalah :P = ½ = 0,5Jadi :µp = P = 0,5

σ p = √ P(1−P)n

√N−n¿

N−1¿

= √ (0,5)(1−0,5)4

√6−4¿

6−1¿

= 0,18

3) Daftar distribusi normal untuk distribusi sampling distribusi dapat ditentukan sebagai berikut.a) Jika n besar maka nilai Z adalah

Z = P−P

σpb) Jika n sangat kecil maka nilai Z adalah

Z = P ±

12n

−P

σρKeterangan :1/2n = factor koreksi kontinuitasContoh soal :Took mainan anak BONEKA bermaksud mengadakan pertunjukan sulapsecara tetap seminggu sekali atau sebulan sekali. Pimpinan took mempekirakan bahwa pengunjung akan mencapai 100% dari seluruh pengunjung took dalam interfal waktu yang sama. Jika dari hasil sampel, diketahui probabilitas proporsi yang mengikuti acara sulap itu hanya 15% atau lebih dibawa rata-rata populasi maka acara itu diadakan sebulan sekali. Untuk itu, setiap pengunjung diberi kuesioner dan dari jawabannya diambil 500 sebagai sampel. Hasil sampel menunjukkan 175 pengunjung mengikuti acara tersebut. Menurut pendapat anda msebaiknya acara sulap itu diadakan seminggu sekali atau sebulam sekali ?Penyelesaian :P = 40% = 0,4N = 500

P = 175500

= 0,35

. karena sampel kecil, maka digunakan factor koreksi.

Z = p ±

12n

−P

σρ

=

0,35−( 11.000 )−0,4

√ (0,4)(0,6)600

= -2,55

Didapatkan : P (-2,55 < Z < 0)P (-2,55 < Z < 0) = P(0 < Z < 2,55)

= 0,4946

Jadi, probabilitas proporsi sampel yang mengikuti acara tersebut adalah 0,4946 atau 49,46% yang berarti lebih dari 15% dibawah rata-rata sampel. Dengan demikian, acara pertunjukan sulab tersebut diadakan sebulan sekali.

2.Distribusi Sampling yang Lain

a. distribusi sampling beda dua rata-rata

distribusi sampling beda dua rata-rata adalah distribusi dari perbedaan dua besaran rata-rata yang muncul dari sampel-sampel dua populasi. Misalkan, dua populasi normal N1 dan N2 memiliki rata-rata masing µ1 dan µ2 dan simpangan baku masing-masing σ 2 dan σ 2. Dari kedua populasi N1

dan N2 tersebut, diambil sampel random, yaitu n1 dan n2 dengan rata-rata masing-masing X1 dan X2, lalu dari kedua rata-rata itu dihitung semua bedanya.dari semua beda rata-rata yang diperoleh akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda rata-rata. Pada distribusi sampling beda dua rata-rata, untuk N1 dan N2 cukup besar berlaku hal-hal sebagai berikut.

1) Rata-rata

µ X1 - X2 = µ1 - µ2

2) Simpangan baku :

σ X1 - X2 = √ σn+ σ

n

3) Untuk n1 dan n2 dengan n1, n2 > 30, distribusi sampling beda rata-rata akan mendekati distribusi normal, dengan variable random standar yang rumus Z-nya :

Z = ( X−X )−¿¿Contoh soal :Misalkan, rata-rata pendapatan manajer dan karyawan biasa perhari, masing-masing adalah Rp 50.000,- dengan simpangan baku Rp 15.000 dan Rp 12.000 dengan simpangan baku Rp 1.000. jika diambil sampel random manajer sebanyak 40 orang dan karyawan biasa sebanyak 150 orang, tentukan:a. Beda rata-rata pendapatan sampel,b. Simpangan baku rata-rata pendapatan sampel,c. Probabilitas beda rata-rata pendapatan manajer dan karyawan baiasa lebih dari Rp

35.000,00!

Penyelesaian :µ1 = 50.000 µ2 = 12.000σ 1= 15.000 σ 2 = 1.000n1 = 40 n2 = 150a. µx1-x2 = µ1 - µ2

= 50.000 – 12.000= 38.000

b. σ x1-x2 = √ σn+ σ

n

= √ 15.00040

+ 1000150

= 2.373,11

c. Z = ( X−X )−¿¿ = -1,26P(X1 – X2 > 35.000) = P(Z > 1,26)

` = 0,5 + 0,3962 = 0,8962

b. Distribusi sampling beda dua proporsi Distribusi sampling beda dua proporsi adalah distribusi dari perbedaan dua besaran proporsi yang muncul dari sampel dua populasi. Misalkan, terdapat dua populasi N1 dan

N2 (2 populasi binomial), kemudian diambil sampel random, yaitu n1 dan n2 dengan P1 dan P2 maka beda antara kedua sampel proporsi (p1 - p2) akan membentuk suatu distribusi, yaitu distribusi sampling beda proporsi.Pada distribusi sampling beda dua proporsi berlaku hal-hal berikut.1) Rata-rata

µp 1−p 2= p1 – p2

2) Simpangan baku :

σ p1 - p2 = √ P 1(1−P 1)n 1

+P 2(1−P 2)

n23) Jika n1 dan n2 (n1, n2 ≥ 30) cukup besar, distribusi sampling beda proporsi akan

mendekati distribusi normal, dengan variable ranZ-nya :

Z = (1−P 1 )−(P 1−P 2)

σ p1−p2Catatan :

P1 - P2 = X 1n 1

- X 2n 2

Contoh soal :Sebanyak 35% dari pelamar kerja diterima bekerja di Bank UNGGUL. Mereka tahun sebelumnya pernah melamar, tetapi tidak diterima. Sebanyak 30% dari pelamar kerja yang belum pernah melamar ditahun sebelumnya tahun ini diterima di Bank tersebut. Apabila diambil sampel random sebanyak 250 pelamar, baik yang belum pernah melamar maupun yang pernah melamar, beberapa probabilitas bahwa beda proporsi yang pernah melamar dan akhirnya diterima tahun ini dengan yang belum pernah melamar yang juga diterima tahun ini adalah kurang dari 2% ?

Penyelesaian :P1 = 35% = 0,35 P2 = 30% = 0,3n1 = 250 n2 = 250P1 - P2 = 2% = 0,02

Z = ( p1−p2 )−( p1−p2 )

σ p1−p2

=

0,02−(0,35−0,3)

√(0,35)(0,65)250

+(0,3)(0,7 )

250

= -0,71

Didapat : P(Z < -0,71) = 0,5 – 0,2612

= 0,2388 atau 23, 88%

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Perusahaan PT Indofood memiliki karyawan sebanyak 800 orang, hendak dipilih beberapa orang untuk disekolahkan. Pemilihan dilakukan secara random.a. Jika dipilih 10 orang, tentukan nomor-nomor yang akan diambil (gunakan table bilangan

random seribu angka pertama, kolom 1,2, dan 3 baris 11)!b. Jika dipilih 20 orang, tentukan nomor-nomor yang akan diambil (gunakan table bilangan

random seribu angka keempat, kolom 10,11 dan 12 baris 5)!

2. Dari 400 orang peserta penataran “teknik pemasaran” sebuah perusahaan yang berasal dari 4 divisi hendak diambil sampel berlapis sebesar 20%. Bagaimana penentuan jumlah atau besar sampel untuk setiap stratum apabila terjadi hal berikut ini ?

a. Seperempat ( 14 ) dari besar sampel dialokasikan pada masing-masing stratum.

b. Divisi 1 terdiri dari 100 orang, divisi 2 terdiri dari 75 orang, divisi 3 sebanyak 150 orang, dan divisi 4 sebanyak 175 orang, alokasi pada masing-masing stratum dilakukan secara proporsional.

3. Berapa banyak sampel yang berbeda ukuran n = 3 dapat dipilih dari populasi terbatas dengan ukuran berikut ?a. N = 15 c. N = 33 b. N = 20

4. Buatlah daftar semua sampel dengan n = 3 yang mungkin terpilih dari perusahaan, yaitu A, B, C, D, dan E, jika seseorang memilih secara random 3 dari perusahaan-perusahaan tersebut untuk membeli barang-barang!

5. Populasi yang terdiri dari 5 angka, yaitu 3, 5, 7, 8, dan 12, hendak diambil sampel yang beranggotakan 2 tanpa pengembalian yang mungkin dapat diambil dari populasi itu.

a. Tuliskan kesepuluh sampel tersebutb. Tentukan rata-rata sampel dari 2 unsur tersebut dan buatkan distribusi samplingnya!c. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari rata-ratanya!

6. Sebuah populasi terdiri dari 4 angka, yaitu 2, 5, 7, dan 11. Dari populasi, ditarik semua sampel yang beranggota 2 dengan pengembalian dan tanpa pengembalian yang mungkin diambil dari populasi itu.a. Tuliskan sampel-sampel tersebut!b. Tentukan rata-rata sampel dari 2 unsur tersebut dan buat distribusi samplingnyac. Tentukan rata-rata dan simpangan baku dari rata-rata samplingnyad. Buktikan bahwa rata-rata populasi sama dengan rata-rata sampelnya

7. Sebuah pabrik bola memproduksi bola dengan berat rata-rata 6,25 ons dengan simpangan baku 0,42 ons. Hitunglah probabilitas dari sampel random 150 bola yang memiliki berat berikut! a. Antara 5,95 dan 6,19 onsb. Lebih dari 6,30 ons

8. Sebuah populasi beranggotakan 6 P, Q, dan R untuk yang senang membaca novel dan K, L, dan M untuk yang senang membaca fiksi. Jika dari 6 anggota populasi itu diambil sampel yang beranggotakan 3 (pengambilan sampel tanpa pengembalian) tentukan :a. Banyaknya sampel yang mungkin diambilb. Distribusi sampling proporsinyac. Rata-rata dan simpangan baku proporsinya

9. Diketahui bahwa bapak X memperoleh 46% suara dalm pemilihan walikota. Tentukan probabilitas dari keadaan berikut inia. 200 penduduk yang dipilih secara random dari seluruh pemilih secara mayoritas akan

memberikan suaranya untuk bapak X tersebut.b. 1000 penduduk yang dipilih secara random dari seluruh pemilih secara mayoritas akan

memberikan suaranya untuk bapak X.10. Bola lampu produksi pabrik MUTIARA memiliki umur rata-rata 1600 jam dengan

simpangan baku 250 jam, sedangkan bola lampu pabrik INTAN memiliki umur rata-rata 1400 jam dengan simpangan baku 150 jam. Jika diambil sampel random sebanyak 150 bola lampu dari masing-masing merk untuk diuji, tentukan :a. Beda rata-rata umur bola lampu tersebut

b. Simpangan baku rata-rata umur bola lampu tersebutc. Probabilitas bahwa merk A memiliki umur rata-rata paling sedikit 175 jam lebih lama

dari pada merk B.d. Probabilitas beda rata-rata umur bola lampu A dan B lebih dari 160 jam

11. Tabung gambar televise merk A mempunyai rata-rata umur 3 tahun dan simpangan baku 0,9 tahun, sedangkan tabung gambar merk B mempunyai rata-rata umur 6 tahun dan simpangan baku 0,8 tahun. Berapa probabilitas bahwa sebuah random 36 tabung televise merk A mencapai umur rata-rata sekurnag-kurangnya 1 tahun lebih lama dari pada umur rata-rata 49 tabung televise merk B ?

12. Dengan menganggap bahwa probabilitas kelahiran bayi laki-laki dan perempuan sama, carilah probalbilitas bahwa 150 anak yang lahir, kurang dari 45%-nya adalah wanita!

13. 4% barang digudang A adalah cacat dan 9% digudang B adalah cacat. Jika diambil sampel random sebanyak 150 barang dari gudang A dan 200 barang dari gudang B, tentukan :a. Rata-rata beda dua proporsi sampel tersebutb. Simpangan baku beda dua proporsi sampel dua tersebutc. Probabilitas beda persentase barang yang cacat dalm gudang A 3% lebih besar dari pada

gudang B!

BAB 4

PENDUGAAN PARAMETER

A. PENGERTIAN PENDUGAAN DAN PENDUGA

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistic untuk menduga atau menaksir hubungan parameter yang tidak diketahui. Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel, dalm hal ini sampel random, yang diambil dari populasi yang bersangkutan. Jadi dengan pendugaan itu,keadaan parameter populasi dapt diketahui.

Penduga adalah suatu statistic (harga sampel) yang digunakan unutk menduga suatu parameter.

Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada disekitar sampel (statistic sampel)

Secra umum, parameter diberi lambang θdan penduga diberi lambang θ. Untuk lebih jelasnya, perhatikan table 4.1.

Selain penduga parameter, dikenal juga penduga statistic, yaitu nilai-nilai atau angka-angka yan diperoleh dari penduga parameter.

Contoh soal :

X merupakan penduga dari parameter µ (rata-rata). Nilai X , misalnya 5 merupakan penduga statistic dari parameter µ (rata-rata).

TABEL 4.1 PARAMETER DAN PENDUGANYA

Parameter (θ) Penduga (θ)μ (rata-rata populasi)P (proporsi/persentase)σ 2 (varians)σ (simpangan baku)r (koefisien korelasi)b (koefisien regresi)

Xatau μPS2 atau S2

S atau S p atau rB atau b

Karena penduga merupakan fungsi dari nilai-nilai sampel maka penduga termasuk variable random dan memiliki distribusi sampling (distribusi pemilihan sampel).

B. CIRI-CIRI PENDUGA YANG BAIK

Banyak ciri atau syarat untuk menentukan apakah sebuah penduga tergolong baik atau tidak. Suatu penduga dikatakan baik apabila memiliki ciri-ciri berikut.

1. Tidak Bias (Unbiased)

Suatu penduga (θ) dikatakan tidak bias bagi parameternya (θ) apabila nilai penduga sama dengan nilai yang diduganya (parameternya).

E(penduga) = parameternya

Jadi, penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai dari parameternya.

Contoh :

1) X merupakan penduga tidak bias dari μ, sebab E(X ) = μ2) p merupakan penduga tidak bias dari P, sebab E(p) = P

3) S2 = ∑ ( X−X )2

n−1 merupakan penduga tidak bias bagi σ 2, sebab E(S2) = σ 2

Suatu penduga disebut bias bagi parameternya jika nilai penduga tersebut tidak sama dengan nilai yang diduganya (parameternya).

E(penduga) ≠ parameternya

Contoh :

S2 = ∑ ( X−X )2

n 2 merupakan penduga tidak bias bagi σ 2, sebab E(S2) ≠ σ 2

Besarnya bias dari penduga dapat dicari dengan rumus :

Bias (penduga) = E(penduga) - penduga

Penduga bias dapat berupa :

a. Penduga bias positif, apabila : E (θ) > θ;b. Penduga bias negative, apabila E (θ) < θ;

Dalam bentuk kurva, penduga tidak bias dan penduga bias diperlihatkan seperti gambar 4.1

S1 S2

E(S1) = P E (S2) ≠ P

Gambar 4.1 Penduga tidak bias dan bias dari P

2. Efisien

Suatu penduga (θ) dikatakan efisien bagi parameternya (θ) apabila penduga disebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga, penduga yang efisien adalah penduga yang memiliki varians kecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiennya dengan menggunakan efisiensi relative (relative efficiency).

Efisiensi relative θ2 terhadap θ1 dirumuskan :

R (θ2, θ1) = E (θ 1−θ )2

E (θ 2−θ )2 atau

= Var θ 1Var θ 2

Jika R > 1, secara relative θ2 lebih efisien daripada θ1, sebaliknya jika R < 1, secara relative θ1

lebih efisien daripada θ2.

Contoh :

Penduga parameter yang terdiri atas rata-rata sampel dan median sampel, keduanya merupakan penduga yang tidak bias terhadap rata-rata populasi. Kedua penduga itu memiliki varians, yaitu varians rata-rata dan varians median. Jika keduanya dibandingkan secara efisien relative maka penduga rata-rata sampel lebih efisien daripada penduga median sampel. Varians rata-rata dan varians median dirumuskan :

σ X2 = θ2

n dan σ med

2 = πσ 2

2 n

R = σx

2

σmed2

= σ2

πσ2

2n

= 2π

= 0,64 (64%)

Efisien relative (R) 64%, berarti varians rata-rata hanya 64% dari varians median. Dengan demikian, untuk memperoleh varians yang sama dari rata-rata populasi, rata-rata hanya memerlukan sampel dengan n = 64, sedangkan median memerlukan sampel dengan n = 100.

Oleh karena itu, penduga dengan varians yang lebih kecil dikatakan lebih efisien sebab untuk memperoleh varians yang sama hanya memerlukan sampel dengan n yang lebih sedikit atau lebih kecil.

Dalam bentuk kurva, penduga efisien dan tidak efisien diperlihatkan sebagai berikut.

3. Konsisten

Suatu penduga dikatakan konsisten apabila memenuhi syarat berikut.

a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka penduga akan mendekati parameternya. Jika besarnya sampel menjadi tak berhingga maka penduga konsisten harus dapat memberi suatu pendugaan titik yang sempurna terhadap parameternya. Jadi, θ merupakan penduga konsisten, jika dan hanya jika :

E(θ – θ)2 → 0 jika n →

Contoh :Rata-rata sampel X merupakan penduga μx yang konsisten karena :1) Bias rata-ratanya = 0 untuk sembarang n.

2) Var (X ) = σ

√n → 0 jika sampelnya (n) →

b. Jika ukuran sampel bertambah tak berhingga maka distribusi sampling penduga akan mengecil menjadi suatu garis tegak lurus diatas parameter yang sebenarnya dengan probabilitas sama dengan 1 .

Dalam bentuk kurva, penduga konsisten dan tidak konsisten diperlihatkan sebagai berikut.

Catatan :

Suatu penduga konsisten belum tentu merupakan penduga yang baik, karena konsisten hanya merupakan salah satu syarat.

Contoh :

Median sampel dapat konsisten untuk menduga parameter, namun rata-rata sampel lebih baik sebagai penduga parameter, karena disamping konsisten juga efisien.

C. JENIS-JENIS PENDUGAAN1. Jenis-jenis Pendugaan Berdasarkan Cara Penyajiannya

Berdasarkan cara penyajiannya, pendugaan dapat dibedakan atas dua jenis, yaitu pendugaan tunggal dan pendugaan interval.

a. Pendugaan tunggal (point estimate)Pendugaan tunggal adalah pendugaan yang hanya mempunyai atau menyebutkan suatu nilai.Contoh :1) Pendugaan untuk µ adalah rata-rata dari sampel X yang dirumuskan :

X = X1+ X2+ X3+…+Xn

n2) Pendugaan untuk σ 2 adalah varians dari sampel s2 yang dirumuskan :

S2 = ¿¿

Atau :

S2 = ∑ X2

n−1 - ¿¿¿

Catatan :

a) Penduga untuk σ adalah √s

b) Penduga varians rata-rata sampel adalah σ x2 = s2

n

c) Penduga σ x adalah √σ x2

3) Penduga untuk p adalah p, yaitu proporsi dalam sampel, yang dirumuskan :

p = Xn

Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang hanya memiliki satu nilai tidak memberikan gambaran mengenai selisih atau jarak antara nilai penduga tersebut dengan nilai sebenarnya (nilai parameternya). Pendugaan tunggal memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter sebenarnya, meskipun dalam sampel yang berulang-ulang, kecuali diberikan besarnya kesalahan yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, sebagai ganti digunakan pendugaan interval atau interval keyakinan.

b. Pendugaan intervalPendugaan interval adalah pendugaan yang mempunyai dua nilai sebagai pembatasan atau daerah pembatasan. Jadi, pada pendugaan interval,dugaan dinyatakan dalam suatu daerah atau interval yang dibatasi oleh dua nilai. Pada pendugaan interval digunakan tingkat keyakinan (confidence) terhadap daerah yang dinilai sebenarnya atau parameternya akan berada. Dengan demikian, pendugaan interval yang disertai keyakinan merupakan interval keyakinan (confidence interval estimate) atau interval kepercayaan. Interval keyakinan secara umum dirumuskan :

St – Za/2 σ st < parameter <st + Za/2 σ st

Atau :

P ¿¿ < parameter < st+Za /2 σ st⏟

a ) = 1 – a

Keterangan :st – Za/2 σ st = batas bawah pendugaan intervalst+Za /2 σst = batas atas pendugaan interval

st = penduga (statistic sampel)Za/2 = koefisien yang sesuai dengan interval keyakinan yang digunakan dalam

pendugaan interval dan nilainya diberikan dalam table luas kurva normal

σ st = simpangan baku pendugaZa/2σ st = kesalahan duga

P(b < parameter < a) = 1 – a berarti bahwa probabilitas sebesar 1 – a interval (b – a) memuat nilai parameternya sebenarnya.

Contoh :

Pnedugaan interval rata-rata dengan tingkat keyakinan 95%, dituliskan :

X – 1,96 σ X < μ < X + 1,96 σ X

Atau :

P(X – 1,96 σ X < μ < X + 1,96 σ X) = 0,95

Catatan :

Tingkatkeyakinan atau koefisien keyakinan (level of confidence) diberi symbol C = 1 – a besarnya nilai 1 – a, Antara lain : 0,90 (a = 10 % = 0,1), 0,95 (a = 5% = 0,05), dan 99% (a = 1% = 0,01).

2. Jenis-jenis Pendugaan Berdasarkan Jenis Parameternya

Didasarkan pada jenis parameternya, pendugaan dapat dibedakan atas beberapa jenis, Antara lain pendugaan rata-rata, pendugaan proporsi, pendugaan varians, dan pendugaan simpangan baku.

a. Pendugaan rata-rataPendugaan rata-rata μ adalah pendugaan mengenai nilai tingkat keyakinan parameter μ yang sebenarnya berdasarkan informasi rata-rata sampel.Contoh :Pendugaan rata-rata atau interval rata-rata dengan tingkat keyakinan 90%. Dengan X = 30 dan σ X = 0,83 adalah

X – Za/2 σ X < μ < X + Za/2 σ X

30 – Z0,05 . 0,83 < μ < 30 + Z0,05 . 0,83

< μ < 31, 37

b. Pendugaan proporsiPendugaan proporsi adalah pendugaan dari proporsi populasi yang tidak diketahui.

Contoh :Pendugaan proporsi (interval proporsi) dengan tingkat keyakinan 90%,P = 0,07 dan Sp = 0,0114 adalah P – Za/2 . Sp < P < p + Za/2 .Sp

0,07 – Z0,05 . 0,0114 < P < 0,07 + Z0,05 .0,01140,07 – (1,645)(0,0114) < P < 0,07 + (1,645)(0,0114)

0,051 < P < 0,089

c. Pendugaan varians σ 2

Pendugaan varians σ 2 adalah pendugaan dari varians populasi yang tidak diketahui.Contoh :

Pendugaan varians (interval varians σ 2) dengan tingkat keyakinan 95%, dengan n = 14 dan S2 = 9 adalah

(n – 1)S2

Xb2

< σ 2 < (n – 1)S2

X a2

χb2 = χ0,025

2 = 24,73

χa2 = χ0,975

2 = 5,00

(13)(9)24,73

< σ 2 < (13)(9)

5,00

4,73 < σ 2 < 23,14

d. Pendugaan simpangan baku Pendugaan simpangan baku adalah pendugaan dari simpangan baku populasi (parameter) yang tidak diketahui.

Contoh :Pendugaan simpangan baku (interval simpangan baku σ ) dengan tingkat keyakinan 90%, dengan n = 16 dan S2 = 25 adalah

√ ( n−1 ) S2

xb2

< σ < √ ( n−1 ) S2

xa2

xb2 = x0,05

2 = 24,996

xa2 = x0,95

2 = 7,261

√ (15)(25)24,996

< σ < √ (15)(25)7,261

3,873 < σ < 7,186

Pendugaan yang dibicarakan selanjutnya hanyalah pendugaan interval (confedence interval estimate).

D. PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATAPendugaan interval untuk rata-rata ditentukan sebagai berikut.

1. Untuk Sampel Besar (n > 30)

a. Untuk populasi tidak terbatas atau populasi terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan σ diketahui.Untuk populasi yang tidak terbatas atau dari populasi terbatas yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian (with replacement) dan σ diketahui, pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan:

X – Za/2 . σ

√n < µ < X + Z a/2 .

σ

√n

Contoh soal:

Warung nasi SUM-SUM mengadakan penelitian perkiraan pengeluaran karyawan perusahaan yang digunakan untuk membeli makanan di warungnya selama setahun. Untuk keperluan penelitian tersebut diambil sampel yang terdiri atas 300 karyawan. Ternyata, rata-rata pengeluaran untuk membeli makanan Rp 406.000,00 setahundengan simpangan baku Rp 165.000,00. Dugalah rata-rata pengeluaran karyawan untuk membeli makanan dalam setahun dengan interval keyakinan 95%!

Penyelesaian:

n = 300

X = 406.000

σ = 165.000

1 – a = 95%

a = 5%

Za/2 = Z0,025 = 1,96

X - Za/2 . σ

√n < µ < X + Z a/2 .

σ

√n

406.000 – Z0,025 . 165.000

√300 < µ < 406.000 + Z0,025 .

165.000

√300406.000 – (1,96)(9.526,28) < µ ≤ 406.000 + (1,96)(9.526,28)

387.328,49 < µ < 424.671,51

Artinya: dugaan bahwa rata-rata pengeluaran karyawan yang berada diantara Rp 387.328,49 sampai Rp 424.671,51 akan benar 95% dari keseluruhan waktu, jika pendugaan itu dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.

b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian, dan σ diketahui

Untuk populasi terbatas yang pengambilan sampelnya dengan tanpa pengembalian

dan σ diketahui atau ( nN ) > 5% pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan:

X - Za/2 . σ

√n . √ N−n

N−1 < µ < Za/2 .

σ

√n √ N−n

N−1

Contoh soal:Perusahaan PT. MAJU TERUS memiliki karyawan 250 orang. Untuk keperluan tertentu ingin diketahui rata-rata lama jam kerjanya perminggu. Untuk itu, diambil sampel sebanyak 35 orang dan diperoleh data bahwa rata-rata jam kerja karyawan tersebut adalah 39,76 jam per minggu. Jika simpangan baku rata-rata jam kerjanya 0,93 jam, dugalah dengan tingkat keyakinan 90%, rata-rata jam kerja karyawan tersebut!

Penyelesaian:N = 250n = 35 X = 39,76σ = 0,93

1 - a = 90%a = 10% = 0,1Z a/2 = Z0,05 = 1,65

X - Za/2 . σ

√n . √ N−n

N−1 < µ < Za/2 .

σ

√n √ N−n

N−1

39,76 – (1,65) ( 0,93√35 )(√ 250−35

250−1 ) < µ < 39,76 + (1,65) ( 0,93√35 )(√ 250−35

250−1 )39,53 < µ < 39,99

Jadi, rata-rata jam kerja karyawan perusahaan PT MAJU TERUS dengan tingkat keyakinan 90% berada antara 39,53 jam sampai 39,99 jam per minggu.

2. Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)

Untuk sampel kecil yang pengambilan sampelnya dengan pengembalian dan σ tidak diketahui, pendugaan interval untuk rata-rata dirumuskan:

X - ta/2 . s

√n . < µ < X - ta/2 .

s

√n

s = √ ∑ X2

n−1−

(∑ X )2

n (n−1)

contoh soal :suatu sampel random yang terdiri atas 9 orang karyawan disebuah perusahaan memiliki waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan sebuah pekerjaan, yaitu 14;17;15;18;18;14;15;19;15 menit. Dugalah rata-rata waktu yang digunakan bagi karyawan tersebut dengan interval keyakinan 99%.

Penyelesaian :n = 9∑ X = 145∑ X 2 = 2.365

X = 145

9 = 16,11

1 – a = 99%a = 1% = 0,01a/2 = 0,005n – 1 = 9 – 1 = 8t0,005,8 = 3,355

s = √ 2.3658

−(145)2

72= 1,9

X - ta/2 . s

√n . < µ < X - ta/2 .

s

√n

16,11 – (3,355) ( 1,93 ) < µ < 16,11 + (3,355) ( 1,9

3 )13,985 < µ < 18,235

Jadi, rata-rata waktu yang digunakan oleh karyawan perusahaan dengan interval keyakinan 99% berkisar antara 13,985 menit sampai 18,235 menit.

Catatan :1) Pada rumus bagian 1, jika simpangan baku populasi σ tidak diketahui, digunakan

simpangan baku sampel s sebagai perkiraan dari σ .

2) pada rumus bagian 2, jika ( nN ) > 5%, maka digunakan factor koreksi :

√ N−nN−1

Sehingga pendugaan intervalnya menjadi :

X - ta/2 . s

√n . √ N−n

N−1 < µ < X + ta/2 .

s

√n √ N−n

N−1

E. PENDUGAAN INTERVAL UNTUK PROPORSIPendugaan interval untuk proporsi ditentukan sebagai berikut.

1. Untuk sampel Besar(n > 30)a. Untuk populasi tidak terbatas

Untuk populasi yang tidak terbatas, pendugaan interval untuk proporsi dirumuskan :

P – Za/2 √ P(1−P)n

< P < P + Za/2 √ P(1−P)n

P = Xn

Contoh soal :Sebuah peti kemas milik perusahaan PT GLOBAL diperiksa untuk menaksir persentase barang yang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti kemas itu dan diperoleh 9 buah yang rusak. Dugalah persentase barang yang rusak dalam peti tersebut, gunakan interval keyakinan 99%!

Penyelesaian :n = 60X = 9

P = 9

60 = 0,15

1 – a = 99%a = 1% = 0,01 Za/2 = Z0,005 = 2,58

P – Za/2 √ P(1−P)n

< P < P + Za/2 √ P(1−P)n

0,15 – 2,58 √ 0,15(1−0,15)60

< P < 0,15 + 2,58 √ 0,15(1−0,15)60

0,0311 < P < 0,26893,11% < P < 26,89%

Jadi, persentase kerusakan barang dalam peti kemas tersebut pada interval keyakinan 99% berada antara 3,11% sampai 28,89%.

b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian

Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian atau ( nN ) < 5%

pendugaan interval untuk proporsi dirumuskan :

P – Za/2 √ P(1−P)n

√ N−nN−1

< P < P + Za/2 √ P(1−P)n

√ N−nN−1

Contoh soal :

Sebuah perusahaan sepeda motor ingin memasarkan produknya kepada mahasiswa.

Mereka merencanakan kredit khusus untuk mahasiswa. Untuk itu, diadakan penelitian

berapa banyak mahasiswa yang senang sepeda motor tersebut. Dari populasi mahasiswa

sebanyak 300 orang, diambil sampel sebanyak 90 orang. Dari 90 mahasiswa yang

diinterview, 25 orang menyatakan senang. Dugalah dengan interval keyakinan 97%

proporsi mahasiswa yang senang sepeda motor itu!

Penyelesaian :

N = 300

n = 90

X = 25

P = 2590

= 0,28

1 – a = 97%

a = 3% = 0,015

Za/2 = Z0,015 = 2,17

P – Za/2 √ P(1−P)n

√ N−nN−1

< P < P + Za/2 √ P(1−P)n

√ N−nN−1

0,28 – 2,17 √ (0,202)90

√ 210290

< P < 0,28 + 2,17 √ (0,202)90

√ 210290

0,1938 < P < 0,366219,38% < P < 36,62%

Jadi, mahasiswa yang senang sepeda motor buatan perusahaan tersebut dengan interval keyakinan 97%, diduga berkisar antara 19,38% sampai 36,62%.

2. Untuk Sampel Kecil (n ≤ 30)Untuk sampel kecil pendugaan interval untuk proporsi dirumuskan :

P – ta/2 √ P(1−P)n

< P < P + ta/2 √ P(1−P)n

Rumus diatas kurang sesuai dengan distribusi t, namun hasilnya dianggap lebih baik dari pada distribusi Z. beberapa ahli cenderung mengganti varians proporsi dengan cara

menbuat maksimum P(1−P), yaitu jika P = 12 maka P(1−P) =

14

. dirumuskan :

P – ta/2 √ 14n

< P < P + ta/2 √ 14n

Contoh soal :

Penelitian terhadap sampel sebanyak 20 karyawan sebuah perusahaan, 6 diantaranya memiliki mobil. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi karyawan yang memiliki mobil!

Penyelesaian :

n = 20

X = 6

P = 6

20 = 0,3

1 – a = 95%

= 5% = 0,05

a/2 = 0,025

n – 1 = 20 – 1 =19

t0,025;19 = 2,093

P – ta/2 √ P(1−P)n

< P < P + ta/2 √ P(1−P)n

0,3 – 2,093 √ (0,3)(0,7)20

< P < 0,3 + 2,093 √ (0,3)(0,7)20

0,0855 < P < 0,5145

8,55% < P < 51,45%

Proporsi karyawan yang punya mobil berkisar antara 8,55% sampai 51,45%.

Selain menggunakan rumus-rumus diatas, pendugaan interval proporsi dapat juga

dilakukan dengan menggunakan Chart atau grafik daerah keyakinan bagi proporsi

(Clopper and Pearson Charts). Pada grafik tersebut, sumbu vertical merupakan skala P,

yaitu proporsi yang sebenarnya dan sumbu horizontal merupakan skala P atau Xn

. dari

grafik tingkat keyakinan tertentu, telah dibuat interval proporsi dan n tertentu (lihat

lampiran!).

Contoh :

Misalkan P atau Xn

= 0,4, n = 250, dan interval keyakinan adalah 95%. Dari skala Xn

=

0,4 dibuat garis tegak lurus yang memotong dua kurva, yaitu kurva angka 0,35 dan

bagian atas menunjukkan angka 0,49. Dengan demikian, batas bawah pendugaan adalah

0,35 dan batas atasnya adalah 0,49, atau :

0,35 < P < 0,49

35% < P < 49%

Contoh soal :

Sebuah penelitian dilakukan oleh sebuah perguruan tinggi swasta, yaitu mengenai berat

badan mahasiswa. Dari sampel 100 mahasiswa, ternyata 20 mahasiswa memiliki berat

badan 60 kg. dengan interval keyakinan 90%, dugalah proporsi berat badan mahasiswa

yang 60 kg! gunakan grafik daerah keyakinan bagi proporsi!

Penyelesaian :

n = 100

X = 20

Xn

= 0,2

1 – a = 90%

a = 0,90

dari grafik, diperoleh :

Batas bawah pendugaan = 0,16

Batas atas pendugaan = 0,33

Jadi, :

0,16 < P < 0,33

16% < P < 33%

Proporsi berat badan mahasiswa yang 60 kg berkisar antara 16% sampai 33%.

F. PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA RATA-RATAPendugaan interval beda dua rata-rata ditentukan sebagai berikut.

1. Untuk Sampel Besar dan σ 1 dan σ 2 DiketahuiUntuk sampel besar (n > 30) dan σ 1 dan σ 2 diketahui pendugaan interval beda rata-rata dirumuskan :

(X 1 - X 2) – Za/2 σ X 1 - σ X 2< (µ1 - µ2) < (X 1 - X 2) + Za/2 σ ( X1−X2 )

σ ( X 1−X2 ) = √ σ12

n1

+σ2

2

n2

Contoh soal :

Upah mingguan 60 orang karyawan perusahaan asing rata-rata Rp250.000,00, dengan

simpangan baku Rp27.000,00. Untuk perusahaan nasional, dari 60 orang karyawan

diketahui bahwa upah mingguan rata-rata adalah Rp125.000,00 dengan simpangan baku

Rp10.000,00. Dengan interval keyakinan 99%, buatlah pendugaan beda rata-rata upah

karyawan perusahaan asing dengan perusahaan nasional!

Penyelesaian :

n1 = 60

X 1 = 250.000

σ 1 = 27.000

n2 = 60

X 2 = 125.000

σ 2 = 10.000

1 – a = 99%

a = 1% = 0,005

Za/2 = Z0,005 = 2,58

σ ( X 1−X2 ) = √ σ12

n1

+σ2

2

n2

=√ (27.000)2

60+(10.000)2

60

= 3,717,1

X 1 - X 2 = 250.000 – 125.000

= 125.000

(X 1 - X 2) – Za/2 σ X 1 - σ X 2< (µ1 - µ2) < (X 1 - X 2) + Za/2 σ ( X1−X2 )

125.000 – (2,58)(3,717,1) < (µ1 - µ2) < 125.000 + (2,58)(3,717,1)

115,409,882 < (µ1 - µ2) < 134,590,118

Jadi, beda rata-rata upah karyawan perusahaan asing dengan perusahaan nasional berkisar

antara Rp115.409,882 sampai Rp134.590,118.

2. Untuk Sampel Kecil dan σ 12 dan σ 1

2 Tidak Diketahui

Untuk sampel kecil (n ≤ 30) dan σ 12 dan σ 1

2 tidak diketahui pendugaan interval beda rata-

rata dirumuskan :

(X 1 - X 2) – ta/2 sX 1 - sX 2< (µ1 - µ2) < (X 1 - X 2) + ta/2 s(X 1−X 2)

s(X 1−X 2) = √ ( n1−1 ) S12+(n2−1)S2

2

n1+n2−2 √( 1

n1)+( 1

n2)

S12

= ∑ X1

2

n−1 -

(∑ X1 )2

n(n−1) dan X 1 =

∑ X1

n1

S22

= ∑ X2

2

n−1 -

(∑ X2 )2

n(n−1) dan X 2 =

∑ X2

n2

Contoh soal :

Berikut ini table berisikan lamanya produksi semacam barang yang dilakukan dengan dua

cara.

TABEL 4.2 WAKTU YANG DIPERLUKAN UNTUK DUA CARA PROSES

PRODUKSI

No. Sampel Cara I (Jam) Cara II (Jam)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

3

7

9

3

4

2

4

8

5

2

4

5

7

2

5

4

6

1

Dugalah perbedaan rata-rata cara kerja produksi barang trersebut dengan interval

keyakinan 95%!

Penyelesaian :

n1 = 9

X 1 = 5

S12 = 6

n2 = 9

X 2 = 4

S22 = 4

1 – a = 95%

a = 5%

a/2 = 0,025

db = n1 + n2 – 2 = 16

t0,025;16 = 2,12

s( X 1−X2 ) = √ ( 9−1 ) 6+(9−1 ) 416

√ 19+ 1

9

= (2,24)(0,471)

= 1,056

(X 1 - X 2) – ta/2 sX 1 - sX 2< (µ1 - µ2) < (X 1 - X 2) + ta/2 s(X 1−X 2)

1 – (2,12)(1,056) < (µ1 - µ2) < 1 + (2,12)(1,056) – 1,24 < (µ1 - µ2) < 3,24

G. PENDUGAAN INTERVAL BEDA DUA PROPORSI

Untuk beda dua proporsi, pendugaan intervalnya dirumuskan:

(P1 - P2) – Za/2 sP1 - sP2

< (P1 - P2) < (P1 - P2) + Za/2 s(P1−P2 )

sP1 - sP2

= √ P1 (1−P1)n1

+P2 (1−P2 )

n2

Contoh soal :

PT GOMBRANG mengadakan pelatihan mengenai teknik pemasaran dengan dua metode

latihan. Metode latihan pertama diikuti 150 orang dan 90 orang dinyatakan berhasil.

Metode kedua diikuti 275 orang dan 125 orang dinyatakan berhasil. Dengan

menggunakan interval keyakinan 90%, tentukan beda proporsi sebenarnya bagi yang

berhasil!

Penyelesaian :

n1 = 150

X 1 = 90

P1 =90

150= 0,6

n2 = 275

X 2 = 125

P2 = 125275 = 0,45

1 – a = 90%

a = 10% = - 0,1

Za/2 = Z0,05 = 1,64

s(P1−P2 ) = √ P1 (1−P1)n1

+P2 (1−P2 )

n2

= √¿¿¿

= 0,05

P1 - P2 = 0,6 – 0,45 = 0,15

(P1 - P2) – Za/2 sP1 - sP2

< (P1 - P2) < (P1 - P2) + Za/2 s(P1−P2 )

0,15 – (1,64)(0,05) < (P1 - P2) < 0,15 + (1,64)(0,05)

0,068 < (P1 - P2) < 0,232

6,8% < (P1 - P2) < 23,2%

Jadi, proporsi sebenarnya yang berhasil mengikuti pelatihan tersebut berkisar antara 6,8%

sampai 23,2%.

Catatan:

Jika populasi tebatas dan ( nN ) > 5%, rumus diatas dipakaikan factor koreksi √ N−n

N−1 ,

sehingga pendugaan intervalnya menjadi :

(P1 - P2) – Za/2 sP1 - sP2(√ N−n

N−1 ) < (P1 - P2) < (P1 - P2) + Za/2 s(P1−P2 ) (√ N−nN−1 )

H. PENDUGAAN INTERVAL VARIANS DAN SIMPANGAN BAKU

untuk varians dan simpangan baku, pendugaan intervalnya dirumuskan sebagai berikut:

1. Untuk varians:

(n−1 ) S2

χ 12

a

2 < σ 2 < (n−1 ) S2

χ1−

12

a

2

2. Untuk simpangan baku:

√ ( n−1 ) S2

χ 12

a

2 < σ 2 < √ ( n−1 ) S2

χ1−1

2a

2

Contoh soal :

Seorang ahli pemasaran ingin mengetahui batas-batas varians (keragaman) harga barang

“X”, di daerah “M”. untuk itu, diambil sampel dengan n =15, yang menghasilkan S2 =

5,96. Dengan interval keyakinan 95%, dugalah batas-batas varians dan simpangan baku

harga barang “X” tersebut!

Penyelesaian:

n = 15

S2 = 5,96

n – 1 = 14

1 – a = 95%

a = 0,05

a/2 = 0,025

χ0,0252 = 26,119

χ0,9752 = 5,63

(n−1 ) S2

χ 12

a

2 < σ 2 < (n−1 ) S2

χ1−

12

a

2

(15−1 )(5,96)χ0,025

2 < σ 2 < (15−1 )(5,96)

χ0,9752

83,4426,119

< σ 2 < 83,445,63

3,19 < σ 2 < 14,82

1,786 < σ < 3,85

I. PENENTUAN UKURAN SAMPEL PENDUGAAN

Untuk menentukan besarnya sampel (n) dalam pendugaan, perlu diperhatikan beberapa

hal, yaitu sebagai berikut.

1. Berapa besar E(kesalahan duga) yang akan ditolerir. Kalau menghendaki E = 0 maka

n = N, sebab E merupakan ukuran tingkat ketelitian.

2. Tingkat variasi dari data populasi atau nilai karakteristik atau variable yang akan

diselidiki, yang dinyatakan dalam besar kecilnya simpangan baku (σ ).

3. Besarnya tingkat keyakinan yang akan digunakan untuk menjamin pernyataan dari

pendugaan yang dihasilkan.

Untuk pendugaan rata-rata, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus:

n = (Za /2 . σE )

2

Contoh soal :

Tentukan besarnya sampel (n) yang harus diambil untuk menyelidiki waktu rata-rata

yang digunakan oleh mahasiswa, untuk sebuah soal ujian statistic II, jika digunakan

interval keyakinan 95% dengan kesalahn duga tidak lebih dari 0,08 menit dan simpangan

bakunya 0,7 menit (rata-rata sampel tidak akan berbeda dari rata-rata populasi)!

Penyelesaian:

1 – a = 95%

a = 5% = 0,05

Za/2 = Z0,025 = 1,96

E = 0,08

σ = 0,7

n = (Za /2 . σE )

2

= ( 1,96 x0,70,08 )

2

= 294,1225

Jadi, besarnya sampel yang harus diambil adalah 294 orang.

Untuk pendugaan proporsi, banyaknya sampel dapat ditentukan dengan rumus :

n = 14

(Za /2

E )2

contoh soal :

Tentukan besarnyasampel yang harus diambil untuk mengetahui proporsi tinggi

mahasiswa di perguruan tinggi dengan interval keyakinan 99% dan kesalahan yang

mungkin terjadi tidak lebih dari 0,09!

Penyelesaian:

1 – a = 99%

a = 1% = 0,01

Za/2 = Z0,005 = 2,58

E = 0,09

n = 14

(Za /2

E )2

= 14

( 2,580,09 )

2

= 14 x 821,78

= 205,44

Jadi, besarnya sampel yang harus diambil adalah 205 0rang.

SOAL – SOAL LATIHAN

1. Sebuah populasi terhingga terdiri atas 2, 3, 4, dan 5. Tentukan parameter µ dan σ 2-nya!

2. Gunakan data soal nomor 1 untuk mengerjakan soal berikut!

a. Buat distribusi sampling bagi X , jika sampelnya berukuran 2 dan diambil secara random

tanpa pengembalian!

b. Dengan menghitung s2 untuk setiap sampel, tentukan distribusi bagi S2!

3. Sebuah sampel berupa lima ukuran diameter pipa tercatat 6,33; 6,37; 6,36; 6,32; dan 6,37 cm.

tentukan penduga-penduga tidak bias dan efisien dari:

a. Rata-rata sebenarnya;

b. Varians sebenarnya!

4. Suatu populasi terdiri atas 5 buah bola, 1 diantaranya berwarna merah dan lainnya berwarna

putih. Tentukan penduga – penduga tidak bias dan efisien dari:

a. Proporsi sebenarnya;

b. Varians proporsi sebenarnya;

Apabila ukuran sampelnya 4 dan pengambilan sampelnya dilakukan tanpa pengembalian!

5. Perusahaan MEKAR mengadakan penelitian mengenai IQ para karyawannya. Untuk

keperluan tersebut, diambil sampel 80 karyawan secara acak. Jika diketahui rata-rata IQ

sampel adalah 109 dengan simpangan baku populasinya 20, buatlah pendugaan interval dari

rata-rata IQ, dengan tingkat keyakinan 97%!

6. Suatu sampel random sebanyak 100 mahasiswa menghasilkan rata-rata tinggi badan 160 cm

dengan simpangan baku 8 cm. jika populasinya berjumlah 300 orang,

a. Buatlah pendugaan intervalnya dengan tingkat keyakinan 96%;

b. Tentukan tingkat keyakinan yang digunakan agar rata-rata tinggi badan populasi berada

dalam interval 158 – 162 cm!

7. Lima orang karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya

ialah 62, 67, 70, 65, dan 60 kg. buatlah pendugaan interval rata-ratanya dengan tingkat

keyakinan 99%!

8. Dari sampel random 400 orang yang makan siang direstoran NIKMAT selama beberapa hari

Sabtu, diperoleh data 125 orang yang menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan

interval bagi proporsi sebenarnya, orang yang menyukai makanan tradisional untuk makan

siangnya pada hari Sabtu direstoran tersebut, dengan menggunakan interval keyakinan 98!

9. Suatu system pemasaran yang baru dipertimbangkan untuk digunakan pada perusahaan

INOVATIF. System lama memiliki probabilitas keberhasilan 0,75. Diantara 60 pemasaran

dengan system baru, ternyata 48 yang berhasil.

a. Buat pendugaan interval dengan interval keyakinan 96% bagi p!

b. Apakah anda akan menyimpulkan bahwa system baru itu lebih baik?

10. Sebuah populasi karyawan berukuran 500 orang. Diambil sampel random sebanyak 160

orang yang senang merokok, ternyata 100 orang diantaranya lebih menyukai merk TOP.

a. Butlah pendugaan interval proporsi populasi yang menyukai merk TOP, gunakan interval

keyakinan 90%

b. Dengan itngkat keyakinan 95%, berapa kesalahan duga, bila diduga proporsi perokok

yang menyukai merk TOP sebesar 0,3?

11. Penelitian terhadap sampel 25 orang penderita kelainan darah tertentu sebuah rumah sakit, 3

diantaranya mengidap kanker darah. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi

orang yang mengidap kanker darah!

12. Dengan menggunakan data soal nomor 10 dan 11, buatlah pendugaan intervalnya dengan

menggunakan grafik daerah keyakinan bagi proporsi (Clopper and Pearson Charts)!

13. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50 potong tambang dari

setiap jenis diuji dalam kondisi yang sama. Jenis A memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg

dengan simpangan baku 5,6 kg,sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg

dengan simpangan baku 6,3 kg. buatlah pendugaan interval beda dua rata-rata dengan

interval keyakinan 94%!

14. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film.

Masa Putar (menit)

Perusahaan I 103 94 110 87 98

Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118

Buatlah pendugaan interval bagi beda rata-rata masa putar film-film yang diproduksi oleh

kedua perusahaan itu dengan menggunakan interval keyakinan 97%!

15. Suatu studi dilakukan untuk menduga proporsi penduduk suatu kota dan penduduk sekitarnya

yang menyutujui pembangunan PLTN didaerah tersebut. Diperoleh bahwa 52 diantara 100

penduduk kota menyetujui, sedangkan hanya 34 diantara 125 penduduk sekitar kota itu

menyetujuinya. Buatlah pendugaan interval bagi beda proporsi antara proporsi penduduk

kota dan sekitar kota yang menyutujui dibangunnya PLTN!

16. Suatu sampel random sebanyak 300 orang dewaa dan 400 orang remaja yang pernah

menyaksikan sebuah acara di TPI, diketahui bahwa 125 orang dewasa dan 250 remaja

menyatakan suka pada acara tersebut. Berapa beda proporsi dari seluruh orang dewasa dan

remaja yang menyukai acara tersebut bila digunakan tingkat keyakinan 85%?

17. Data berikut ini merupakan volume (dalam desiliter) 10 kaleng peach hasil produksi sebuah

perusahaan tertentu, yaitu 46,4; 46,1; 45,8; 47,0; 46,1; 45,9; 45,8; 46,9; 45,2; dan 46,0.

Buatlah pendugaan interval varians volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut

dengan menggunakan interval keyakinan 94%!

18. Dengan menggunakan data nomor 17, buatlah pendugaan interval simpangan bakunya

dengan interval keyakinan 98%!

19. Sebuah pabrik aki mobil menyatakan bahwa aki produksinya rata-rata mencapai umur 3

tahun dengan varians 1 tahun. Bila 5 aki mencapai umur 1,9; 2,4; 3,0; 3,5; dan 4,2 tahun

maka:

a. Dugalah batas-batas varians umur aki tersebut, gunakan interval keyakinan 93%!

b. Dugalah batas-batas simpangan baku umur aki tersebut, gunakan interval keyakinan

93%!

20. Dari produksi bola lampu sebuah perusahaan, diketahui simpangan baku umur bola lampu

adalah 40 jam. Berapa besarnya sampel yang diperlukan apabila kita ingin percaya 97%

dengan kesalahan duga 10 jam dari rata-rata umur bola lampu sebenarnya?

21. Ingin diselidiki, rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh sebuah mesin.

Tentukan besarnya sampel yang harus diambil jika digunakan interval keyakinan 99%

dengan kesalahan duga tidak lebih dari 0,3 desiliter dan simpangan baku 1,5 desiliter!

22. Apabila ingin diketahui proporsi penduduk yang mendukung suatu program, berapa besar

sampel yang harus diambil dengan interval keyakinan 89% dan kesalahan yang mungkin

terjadi tidak lebih dari 0,02 dari proporsi populasi yang sebenarnya?

23. Kita ingin percaya 92% bahwa proporsi sampel yang diperoleh akan terletak tidak lebih dari

0,05 proporsi populasi yang sebenarnya, dari populasi perokok yang menyukai merk “X”.

berapa besarnya sampel yang diperlukan ?