KELOMPOK 61. Irma Nur Fitriyana (2011-12-047)2. Eliza ( 2011 -12-106)3. Ermawati Syahrudi (2011-12-058)4. Niken Larasati (2011-12-072)5. Ali Megawati ( 2011-12-101) 6. Abdul (2011-12-067)7. Sofyan (2011-12-028)8. Rizal Ahmad (2011-12-103)9. Herman (2011-12-090)

STANDARD SCORE( Z SCORE)

DEFINISI STANDARD SCORE

Perbedaan antara nilai setiap observasi dengan rata –ratanya yang dinyatakan dalam satuan deviasi standar.

* Deviasi Standar adalah akar pangkat dua dari total selisih dengan nilai rata- ratanya.

Rumus Standard Score

Standard Score Populasi

Z score Populasi = x - µ

σ

Ket : x = nilai observasi populasi

µ = nilai rata – rata populasi

σ = deviasi standar populasi Standard Score Sampel

Z score Sampel = x - x� s

Ket : x = nilai observasi sampel

x� = nilai rata – rata sampel

s = deviasi standar sampel

Contoh Soal Zscore Populasi

1. Suatu kumpulan data memiliki rata-rata 76. Data tersebut memiliki σ sebesar 3. Tentukan z-score untuk data bernilai 82 dan 73 !

Penyelesaian :

Untuk data bernilai 82

Zscore = x - µ

σ

= 82 – 76 = 6 = 2

3 3

Untuk data bernilai 73Z score = x -µ

σ = 73 – 76 = -3 = -1

3 3 Kesimpulan :Nilai standard score data 82 lebih baik dari nilai standard score pada data 73.

Contoh Soal Zscore Sampel

1. Angga mendapat nilai 86 pada test matematika, dengan rata – rata nilai 78 dan standar deviasi 10. Pada test bahasa inggris dengan rata – rata 84 dan standar deviasi 18, Angga mendapat nilai 92 maka Angga mencapai kedudukan yang lebih baik dalam pelajaran ?

Penyelesaian Matematika :

Z score = x - x� s

= 86 – 78 = 0,8 10

Bahasa Inggris :Z score = x - x�

s = 92 – 84 = 0,4

18Kesimpulan :

Nilai test matematika memiliki nilai standard score lebih tinggi dari pada nilai standard score test bahasa inggris.

SKEWNESSA. SkewnessSkewness atau ukuran kemencengan : digunakan untuk mengukur simetris atau kemencengan suatu kurva.Rumus untuk koefisien Skewness menurut pearson :

Sk = 3 Mean – Median Deviasi Standar

Rumus Koefisien Alpha 3 ( α₃) n 1 ∑ xi - x ³ α₃ = n i =1

s³

Untuk data tidak dikelompokkan

n 1 ∑ xi - x ³ . fi α₃ = n i =1 s³

Keterangan : X = rata – rata sampel Xi = nilai – nilai setiap observasi n = jumlah observasi sampel s = deviasi standar sampel f = frekuensi setiap sampel

Untuk data dikelompokkan

Ket : Distribusi data yang simetris ( besarnya koefisien skweness 0),yang artinya mean = median =modus.

Modus = mean = median

mean median modus

Ket :Distribusi data yang menceng kanan/ ekornya disebelah kiri ( besatnya koefisien skweness negatif ), yang artinya mean < median dan modus.

b.

c.

mean median modus

Ket : Distribusi data yang menceng kiri/ekornya di sebelah kanan ( besarnya koefisien skweness positif), yang artinya mean > median dan modus.

a.

Tingkat kemencengan atau simetris dari suatu distribusi didasarkan atas ketentuan berikut :

Contoh SoalData tidak dikelompokkan

1. Distribusi data dari hasil ujian 12 siswa untuk 2 kelas yang berbeda dinyatakan dengan nilai berikut :

Kelas A

Pertanyaan : Tentukan tingkat kemencengan dengan koefisien skweness dari distribusi nilai kelas tersebut.

45 50 50 50 55 6060 82 87 90 95

100

Penyelesaian :a. Perhitungan koefisien skweness untuk kelas A

Sk = 3 mean – median

Deviasi StandarStep 1 : hitunglah besar rata – rata

x = Σx = 45 + 50 + 82 + 60 + 90 + 50 + 60 + 50 + 55 + 95 + 87 + 100 n 12 = 824 = 68, 67

12 Step 2 : Hitunglah median - Urutkan data dari yang terkecil ke terbesar seperti data soal- Tentukan letak median dengan rumus n + 1 / 2 = 12 +1 / 2 = 6,5 sehingga

median terletak antara data ke 6 dan ke 7.Median = 60 +60 = 60

- 2

Step 3 : Hitunglah Deviasi Standar

S = Σ( Xi – X )² n -1 = (45 – 68,7)² + ( 50 – 68,7) ² + ( 82 – 68,7)² +… + ( 100-68,7 )²

12 – 1 = 20,4Step 4 : Hitunglah Koefisien Skewness

Sk = 3 mean - median = 3 68,67 – 60 = 1,275 standar deviasi 20,4

Karena besarnya koefisien skewness sebesar positif 1,275 hal ini menunjukan bahwa distribusi data menceng kiri.

Perhitungan koefisien Alpha 3 untuk kelas A :Step 1 tentukan besar rata –ratanya, x = 68, 67Step 2 tentukan besarnya deviasi standar S = 20,4Step 3 tentukan besarnya ( xi – x )³

step 4 tentukan besarnya α₃

n 1 ∑ xi - x ³ 1 α₃ = n i =1 = 12 30595,24444 = 0, 300 s³ 20,4³Karena besarnya α₃ = 0,300 > 0 maka distribusi data menceng kiri.

Xi (Xi - X )²

(Xi - X )³

45 560.2689 -13261.56486 50 348.5689 -6507.781363 50 348.5689 -6507.781363 50 348.5689 -6507.781363 55 186.8689 -2554.497863 60 75.1689 -651.714363 60 75.1689 -651.714363 82 177.6889 2368.593037 87 335.9889 6158.676537 90 454.9689 9704.486637 95 693.2689 18253.77014 100 981.5689 30752.55364

Σ 824 4586.6668 30595.24444

Contoh SoalData dikelompokkan

Jumlah Laba f Xi f.Xi(Xi - X )² (Xi - X )².f ( Xi –X ) ³ ( Xi –X ) ³.f

0 -19 5 9.5 47.5 1536.64 7683.2 -60236.288 -301181.44

20 - 39 10 29.5 295 368.64 3686.4 -7077.888 -70778.88

40 - 59 20 49.5 990 0.64 12.8 0.512 10.24

60 - 79 12 69.5 834 432.64 5191.68 8998.912 107986.944

80 - 99 3 89.5 268.5 1664.64 4993.92 67917.312 203751.936

∑ 50 2435 21568 -60211.2

1. Rata -rata

X = ∑ f.Xi = 2435

n 50

= 48,7

2. Deviasi standar

S = Σ(Xi- X)² . f

n – 1 = 21568 50 – 1= 20,98

3. ( Xi – X ) .f

= - 60211.2

4. α₃ n

1

n

1 ∑ (xi- x)³ . fi

α₃ = n i =1

s³

1 = 50 ( - 60211,2)

20,98³

= - 0,130

xi - x ³ . fi α₃ = n i =1 s³

Karna α₃ negatif maka distribusi data menceng

kanan

Kurtosis B. KurtosisKurtosis atau ukuran keruncinganDilihat dari keruncingannya kurva distribusi

normal dibagi menjadi 3 : leptokrutic ( kurva sangat runcing)Platycrutic ( kurva agak datar )Mezokurtic ( puncak tidak begitu runcing )

Gambar kurva kurtosis :

Untuk menentukan runcing atau tumpul sebuah distribusi dapat digunakan kriteria sebagai berikut : Apabila α₄ lebih besar dari 3 berati diagram distribusi itu runcing atau leptokurtis. Apabila α₄ kurang dari 3 berati diagram distribusi landai atau tumpul atau platikurtis. Apabila α₄ sama dengan 3 berati diagram distribusi normal atau mezokurtic.

RUMUSBerikut rumus untuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva :Alpha 4 (α₄ ) Data tidak dikelompokkan

Ket : M = median S = deviasi standar sampel n = jumlah observasi sampel Xi = nilai – nilai setiap observasi = rata – rata sampel

X

Data dikelompokkan

Ket :

iX

X

= nilai tengah setiap kelas

= rata – rata sampel

M = median S = deviasi standar sampel

n = jumlah observasi sampel

41

4

44

4

.)(1

S

XXn

S

Mfi

n

ii

fi = frekuensi tiap – tiap kelas

CONTOH SOAL Data tidak dikelompokkan

a. Data tidak dikelompokkankelas A

Tentukan tingkat keruncingan dengan menggunakan kriteria α₄ !

Penyelesaian : tentukan besarnya rata – rata

X = ∑ x = 824 = 68,67 n 12

45 50 50 50 55 60 60 82 87 90 95 100

tentukan besarnya deviasi standar S = ∑ Xi – X ² = 4586,67 = 20,4 n – 1 11 tentukan besarnya ( Xi – X )

4

Xi ( Xi - X )²

( Xi - X )

45 560.2689 313901.2403 50 348.5689 121500.278 50 348.5689 121500.278 50 348.5689 121500.278 55 186.8689 34919.98579 60 75.1689 5650.363527 60 75.1689 5650.363527 82 177.6889 31573.34518 87 335.9889 112888.5409 90 454.9689 206996.7 95 693.2689 480621.7677 100 981.5689 963477.5054Σ 824 4586.6668 2520180.647

4

4

tentukan besarnya α₄

41

4.)(1

S

fiXXn

n

ii

α₄ =

1 2520180,647 = 12 = 24, 73 20,4⁴

Karena besarnya α₄ = 24,73 > 3 maka distribusi data adalah leptokurtis ( runcing )

Contoh Soal Data dikelompokkan

Jumlah Laba f Xi f.Xi (Xi - X )²

(Xi - X )².f

( Xi –X )

( Xi –X ) . f

0 -19 5 9.5 47.5 1536.64 7683.2 2361262.49 11806312.4

20 - 39 10 29.5 295 368.64 3686.4 135895.45 1358954.5

40 - 59 20 49.5 990 0.64 12.8 0.4096 8.192

60 - 79 12 69.5 834 432.64 5191.68 187177.37 2246128.44

80 - 99 3 89.5 268.5 1664.64 4993.92 2771026.33 8313078.99

∑ 50 2435 21568

44

23724482.6

Penyelesaian step 1 tentukan besarnya rata –rata X = ∑ fi. Xi = 2435 = 48, 7 n 50 step 2 tentukan besarnya deviasi standar

S = Σ(Xi- X)² . fi = 21568 = 20,98 n – 1 50 – 1 step 3 tentukan besarnya ( Xi –X ) . fi =

23724482,6Step 4 tentukan besarnya α₄

4

α₄ =4

1

4.)(1

S

fiXXn

n

ii

= 1 23724482,6 = 2,449 50 20,984

SEKIAN DAN

TERIMA KASIH