ss book 2012 beta

Download SS Book 2012 Beta

Post on 13-Oct-2015

164 views

Category:

Documents

38 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sinyal dan sistem

TRANSCRIPT

  • Ikhtisar Sinyal dan Sistem LinierWaktu Kontinu dan Waktu Diskrit

    Oleh:Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi

    Kelompok Riset dan Teknologi Pemrosesan Sinyal DigitalKelompok Keilmuan Teknologi InformasiSekolah Teknik Elektro dan Informatika

    Institut Teknologi Bandung

    Edisi Pertama

    Penerbit:Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK)

    Institut Teknologi Bandung

  • Ikhtisar Sinyal dan Sistem Linier Waktu Kontinu dan Waktu DiskritEdisi I

    2012 Oleh Armein Z. R. Langi dan Erwin Cahyadi

    Diterbitkan Oleh:Pusat Penelitian Teknologi Informasi dan Komunikasi (PPTIK)Institut Teknologi BandungJalan Ganeca 10 Bandung, Jawa Barat, Indonesia

    ISBN 978-979-15509-8-7

    2

  • Contents

    1 Sinyal dan Sistem 111.1 Tinjauan Sinyal Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.1.1 Konteks dan Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2 Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.3 Jenis Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.4 Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.2 Transformasi Waktu Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 Sinyal Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Sinyal Genap dan Ganjil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.2.3.1 Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3.2 Eksponensial Kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.2.4 Sinyal Primitif dan Superposisinya . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4.1 Sinyal Primitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4.2 Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif . . . . . . . . . . . 201.2.4.3 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks . . . . . . . . 201.2.4.4 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Har-

    monis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Sistem CT dan DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.3.1 Berbagai Jenis Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Sistem Dengan dan Tanpa Memori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3 Kausalitas dan Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4 Linieritas dan Time Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.4 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Soal-Soal Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Laboratorium Komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2 Sistem Linear Time-Invariant 262.1 Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.1.1 Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer . . . . . . . . . . . 262.1.2 Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls . . . . . . . . 302.1.4 Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls . . . . 31

    2.2 Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Respons Sistem LTI CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 Respons Sistem LTI DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3 Respons Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.4 Kasus Mencari Input dari Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.3 Sifat-Sifat Sistem LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Kausalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.3 Kasus Kausalitas, Stabilitas dan Periodisitas . . . . . . . . . . . . 36

    3

  • Contents

    2.3.4 Memori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.4.1 Persamaan Diferensial Koefisen Konstan . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 Simulasi LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 Solusi Persamaan LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.4 Simulasi Solusi LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.5 Penerapan Pada Sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.1 Formulasi Sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.2 Aplikasi Pada Sistem LCCDE CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.3 Aplikasi Pada Sistem LCCDE DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.4 Simulasi Solusi LCCDE DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6 Tutorial Solusi LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.1 Kasus Orde 1 CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.2 Kasus Orde 1 DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.3 Kasus Menghitung Respons Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.4 Kasus Solusi Partikular Tidak Independen . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik 523.1 Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyal kompleks eksponensial . . 52

    3.1.1 Konsep eigenfunction dan eigenvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI

    CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTI

    DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.4 Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial . . . . . . . . . . . 54

    3.2 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.1 Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung har-

    monik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2.2 Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik CT . . 573.2.3 Kasus: Menghitung deret Fourier dari sinyal kotak . . . . . . . . . 593.2.4 Konvergensi Deret Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.3 Sifat-Sifat Deret Fourier CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1 Linearitas, Time Shifting, Time Reversal . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.2 Time Scaling, Multiplication, Konjugasi dan Simetri Konjugat . . . 643.3.3 Relasi Parseval untuk Sinyal Periodik Waktu kontinu . . . . . . . . 653.3.4 Contoh Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.4 Deret Fourier untuk sinyal DT dan sifat-sifatnya . . . . . . . . . . . . . . 653.4.1 Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubung har-

    monik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.2 Menentukan representasi deret Fourier pada sinyal periodik DT . . 663.4.3 Sifat Deret Fourier DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.4 Contoh Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.5 Sistem LTI dan Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.1 Sistem LTI dan Respon Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5.2 Contoh Soal Sistem LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5.3 Filter Frekuensi Shaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.4 Filter Selektif Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.6 Contoh Filter CT dan DT LCCDE untuk sinyal periodik . . . . . . . . . . 723.6.1 Filter RC Lowpass CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4

  • Contents

    3.6.2 Filter RC Highpass CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6.3 Filter DT rekursif orde 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6.4 Filter DT non-rekursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4 Transformasi Fourier Waktu Kontinu 774.1 Transformasi Fourier Untuk Sinyal CT Aperiodik . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.1.1 Definisi dan Tinjauan Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.1.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.1.2 Konvergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.1.2 Beberapa Contoh Kasus Aperiodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.3 Ekstensi Deret Fourier Untuk Sinyal Aperiodik . . . . . . . . . . . 814.1.4 Transformasi Fourier Sinyal Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.2 Sifat Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Daftar Sifat-Sifat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Kasus-Kasus Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    4.2.2.1 Linearitas dan Time Shifting . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2.2 Diferensiasi dan Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.2.3 Time Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.2.4 Dualitas Domain Waktu dan Domain Fourier . . . . . . . 884.2.2.5 Relasi Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.2.3 Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.4 Multiplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1 Respons Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2 Contoh Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.3 Contoh Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.4 Contoh Menghitung Output Dengan TF . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.4 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 Soal Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5 DT Fourier Transform 995.1 Transformasi Fourier untuk Sinyal DT Aperiodik . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.1.1 Tinjauan dan Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.1.1 Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.1.2 Konvergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.1.2 Beberapa Contoh Kasus Aperiodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.3 Eksistensi Deret Fourier untuk Sinyal Aperiodik . . . . . . . . . . . 1045.1.4 Transformasi Fourier Sinyal Periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.2 Sifat Transformasi Fourier dan Pasangan Transformasi . . . . . . . . . . . 1065.2.1 Daftar Sifat-Sifat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2.2 Kasus Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2.3 Sifat Konvolusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.4 Sifat Multiplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.3 Sistem LCCDE di Domain Transformasi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.1 Respons Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.2 Contoh Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.3 Contoh Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.4 Contoh Menghitung Output Dengan TF . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.4 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5

  • Contents

    6 Filter dan Karakterisasi Waktu-Frekuensi 1146.1 Representasi Respons Magnituda dan Phasa, dan Pengaruhnya Pada In-

    tegritas Sinyal di Domain Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.1.1 Makna Respons Magnituda dan Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.1.2 Fasa Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.1.3 Group Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.1.4 Filter Ideal dan Filter Praktis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.1.4.1 Kasus Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.1.4.2 Kasus Tidak Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.1.4.3 Log Magnitude dan Bode Plots . . . . . . . . . . . . . . . 121

    6.2 Sifat Waktu-Frekuensi Filter LCCDE CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.1 Magnituda CT Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.2 Fasa CT Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.2.3 Magnituda Orde Dua CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2.4 Fasa CT Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    6.3 LCCDE CT Orde Tinggi dan DT orde rendah . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3.1 CT Orde Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3.2 Contoh Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.3 DT Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3.4 DT Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    6.4 Soal Tambahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    7 Sampling 1387.1 Representasi Sinyal CT dengan DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    7.1.1 Sampling Impulse Train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.1.2 Sampling dengan Zero-Order Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.1.3 Rekonstruksi sinyal dari sampel-sampelnya menggunakan interpolasi1417.1.4 Contoh Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    7.2 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.1 Teorema Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.2 Undersampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.3 Contoh Soal 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2.4 Contoh Soal 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    7.3 Pemrosesan Sinyal CT dengan Sistem DT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.3.1 Konversi C/D, Konversi D/C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.3.2 Hubungan Sistem Waktu Diskrit Dengan Sistem Waktu Kontinu . 1467.3.3 Diferensiator Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3.4 Delay Setengah Sampel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    7.4 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    8 Transformasi Laplace 1508.1 Definisi Transformasi Laplace dan Konvergensinya . . . . . . . . . . . . . 150

    8.1.1 Definisi dan Hubungan Dengan FT . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.1.2 Region of Covergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.1.3 Kasus Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.1.4 Sifat RoC Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    8.2 Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2.1 Sifat-sifat Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2.2 Aplikasi Dasar 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6

  • Contents

    8.2.3 Pasangan Transformasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2.4 Aplikasi Dasar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    8.3 Inversi dan Partial Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3.1 Inversi untuk Kasus Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.3.2 Partial Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.3.3 Pole-Zero dan Evaluasi Geometri Transformasi Fourier . . . . . . . 1608.3.4 Kasus Orde Satu, Dua, dan Allpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    8.4 Analisa Sistem LTI dan LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.4.1 Fungsi Sistem dan Kausalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.4.2 Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.4.3 Fungsi Sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.4.4 Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    8.5 Filter Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5.1 Sifat Respons Frekuensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5.2 Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5.3 Fungsi Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.5.4 Persamaan LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    8.6 Diagram Blok dan Transformasi Satu Sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.6.1 Sistem Paralel, Seri, dan Umpan Balik . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.6.2 Diagram Blok dari LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.6.3 Transformasi Laplace Satu Sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.6.4 Penerapan ULT Pada sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    8.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    9 Transformasi z 1809.1 Definisi dan Konvergensi Transformasi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

    9.1.1 Definisi dan Hubungan dengan Fourier Transform . . . . . . . . . . 1809.1.2 Region of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.1.3 Sifat-Sifat ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1829.1.4 Transformasi z Rasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    9.2 Inversi dan Partial Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2.1 Inversi Transformasi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2.2 Pole-Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.2.3 Ekspansi Partial Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1849.2.4 Evaluasi Geometri Kasus Orde Satu, Orde Dua . . . . . . . . . . . 187

    9.2.4.1 Kasus Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.2.4.2 Kasus Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    9.3 Sifat-Sifat dan Pasangan Transformasi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3.1 Sifat-Sifat Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3.2 Aplikasi Sifat Dasar 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.3.3 Aplikasi Sifat Dasar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.3.4 Pasangan Transformasi z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    9.4 Analisa Sistem LTI dan Sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.4.1 Fungsi sistem dan Kausalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.4.2 Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.4.3 Fungsi Sistem LCCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1949.4.4 Relasi Sifat Sistem dan Fungsi Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    9.5 Fungsi Sistem Aljabar dan Block Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.5.1 Fungsi Sistem untuk Interkoneksi dari Sistem LTI . . . . . . . . . . 1969.5.2 Sistem Paralel dan Sistem Cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    7

  • Contents

    9.5.3 Diagram Blok LCCDE Direct Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1989.5.4 Realisasi Direct Form, Sistem Paralel, dan Sistem Cascade . . . . . 198

    9.6 Transformasi z Satu Sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009.6.1 Definisi transformasi z satu sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2009.6.2 Contoh transformasi z satu sisi dan inversinya . . . . . . . . . . . . 2009.6.3 Sifat Transformasi z Satu Sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.6.4 Aplikasi transformasi z satu sisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    9.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

    8

  • Kata Pengantar

    Buku ini adalah ikhtisar dan saduran bebas dari buku Signals & Systems (Second Edi-tion) karangan Alan V. Oppenheim dan Alan S. Willsky (dengan S. Hamid Nawab).Buku teks tersebut digunakan dalam kuliah II 2094 Sinyal dan Sistem, pada programstudi Sistem dan Teknologi Informasi (STI), di Sekolah Teknik Elektro dan InformatikaInstitut Teknologi Bandung (STEI-ITB). Meskipun buku tersebut sudah cukup lengkapdengan penyajian yang cukup sederhana, akan tetapi masih diperlukan catatan kuli-ah dengan materi yang lebih selektif, mengingat matakuliah tersebut diberikan padamahasiswa tingkat kedua.Secara khusus, beberapa hasil riset penulis seperti SignalSheet digunakan juga untuk

    memperkaya buku ini. SignalSheet adalah platform spreadsheet untuk pengelolaan sinyaldigital. SignalSheet digunakan pada Bab 1 dan Bab 2, dan tidak terdapat pada bukuteks tersebut di atas.Oleh sebab itu, buku ini ditulis dengan maksud untuk menjadi pengganti catatan

    kuliah dari peserta. Dengan adanya buku ini, maka peserta kuliah tidak perlu banyakmencatat lagi, dan bisa berkonsentrasi pada penjelasan dalam kelas. Buku ini jugaberguna bagi pengajar kuliah ini, karena materi yang hendak disampaikan dalam kelassudah dirangkum dalam buku ini. Buku ini disusun sesuai dengan tujuan pembelajaranKuliah II 2094.Penulis sengaja menyusun buku ini dengan struktur yang sesuai dengan struktur per-

    kuliahan II 2094. Kuliah tersebut didesain untuk satu semester (15 minggu, termasukdua UTS) dengan beban 3 SKS. Maka materi buku ini didesain sesuai rencana pembe-lajaran, yang bisa di lihat pada lampiran.Buku ini tidak dimaksudkan untuk menggantikan buku teks tersebut di atas. Buku ini

    dibuat sebagai pelengkap buku teks tersebut, dengan tujuan utama untuk memudahkanperkuliahan. Oleh sebab itu penulis tetap menggunakan struktur, notasi, contoh soal,serta ilustrasi yang ada dalam buku teks tersebut dengan modifikasi minimal. Ini di-maksudkan untuk menghindari kebingungan yang tidak perlu. Namun demikian, bukuini tetap memiliki kekhasan sebagai sebuah ikhtisar dengan struktur materi yang dise-suaikan dengan rencana perkuliahan. Penulis juga memanfaatkan materi tambahan dariMIT Opencourseware dan Signals and Systems (Hwei P Hsu).Penulis berterimakasih kepada kolega pengajar Sinyal dan Sistem yang telah mendo-

    rong penulisan buku ini. Penulisan buku ini dilakukan bersama dengan Erwin Cahyadi,yang merupakan asisten tetap pada mata kuliah II 2094. Bab 3, 5, 7, dan 9 ditulis olehErwin Cahyadi.Harapan penulis buku ini dapat bermanfaat bagi peserta serta pengajar kuliah Sinyal

    dan Sistem Linier.

    Bandung 16 April 2012Armein Z R Langi dan Erwin Cahyadi

    9

  • Contents

    Dedikasi:

    For students: Stay hungry, stay foolish.... . . (Steve Jobs)

    10

  • 1 Sinyal dan Sistem

    1.1 Tinjauan Sinyal Sistem

    1.1.1 Konteks dan Latar Belakang

    Sinyal dan sistem perlu dipahami dalam tiga konteks realitas: (i) realitas yang di alamipancaindera, (ii) realitas yang dituangkan dalam bahasa, dan (iii) realitas yang dibangundi dunia maya (realitas digital) seperti diperlihatkan pada Gambar 1.1.Ada dua elemen dalam memahami realitas: (i) stimulus dan (ii) entitas penghasil

    stimulus. Stimulus ini dimodelkan sebagai sinyal, dan entitas dimodelkan sebagai sistem.Dalam realitas yang dialami pancaindera (realitas alamiah), stimulus harus memilikitingkat energi minimal tertentu untuk bisa dideteksi indera. Stimulus dengan tingkatenergi rendah dapat dilalukan pada entitas (sistem/instrumen) yang memperkuat energistimulus sehingga dapat terdeteksi indera.Untuk memfasilitas pemahaman manusia tentang realitas, trerdapat realitas yang di-

    deskripsikan ke dalam bahasa. Di dalam realitas yang berada dalam pikiran manusia ini,stimulus menjadi peristiwa (event). Selanjutnya entitas menjadi sistem dengan perubah-an keadaan yang menghasilkan peristiwa tersebut. Realitas bahasa yang lebih khususmenggunakan logika, matematika dan pemodelan. Pemodelan dapat diterima apabilaprediksi perilakunya dapat dikonfirmasi pada realitas alamiah.Berbekal realitas alamiah dan realitas bahasa (khususnya model matematis), kita da-

    pat membangun realitas maya berbasis komputasi. Realitas ini merupakan hibrid darirealitas alamiah dan bahasa. Komputer (hardware) adalah instrumen yang berada padarealitas alamiah, tapi perilakunya ditentukan program (software) yang adalah sistem direalitas bahasa.Tujuan akhir dari kuliah sinyal sistem adalah membekali peserta dengan pengetahuan

    dan kemampuan untuk dapat membangun realitas baru (alamiah, bahasa, dan maya)untuk meningkatkan kualitas hidup manusia.

    1.1.2 Ringkasan Konsep Sinyal dan Sistem

    Tabel 1.1 meringkas konsep sinyal dan sistem. Konsep sinyal dari sistem dibangun dariberbagai persepektif, seperti perspektif fisik (alamiah), bahasa, visual 2D, matematika(real, kompleks), dan instrumen komputer.Sinyal adalah model dari besaran fisik yang berubah terhadap waktu. Besaran ini bisa

    dideteksi dengan alat ukur apabila ia memiliki cukup energi E. Agar dinamika sumbersinyal bisa diamati, maka sinyal perlu merambat, menembus medium (yakni sistem),untuk tiba di tempat pengamat. Namun medium seringkali bersifat resistif , mengambilenergi panas dari sinyal, sehingga tidak banyak lagi energi yang tersisa untuk diamati ditempat penerima.Sifat peredaman medium ternyata bergantung dari sebuah besaran yang disebut fre-

    kuensi . Setiap sinyal memiliki karakteristik frekuensi. Bisa dikatakan energi dari sinyaldibawa secara efektif oleh komponen berfrekuensi tertentu. Setiap medium juga me-miliki karakteristik frekuensi, yang disebut respons frekuensi (frequency response) dari

    11

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Gambar 1.1: Konteks sinyal dan sistem dalam tiga realitas

    12

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Tabel 1.1: Ringkasan Sinyal dan sistemRealitas Dunia Energi Kontinu Dunia Bahasa Diskrit Dunia Maya Digital

    Elemen Stimulus Entitas Event Entitas Data ProsesKomputa-

    si

    Fisik Energi(berubah)

    PengubahEnergi

    Peristiwa Keadaan /State /PenyebabPeristiwa

    Data Bit+

    Jaringan

    Prosesor+

    Algorima+ Memori

    Bahasa Sinyal Sistem Sinyal Sistem Sinyal Sistem

    Visual 2D

    Matematika(Real)

    Fungsikontinus (t)

    PersamaanI/O + Di-fferentialEquations

    Deret s [n] PersamaanI/O +

    DifferenceEquations

    Bilangan{1, 3, 2,7,...}

    Algoritma

    Matematika(Real-

    Kompleks)

    FourierCT

    FourierCT

    FourierDT

    FourierDT

    DFT/FFT DFT/FFTFilter /Goertzel

    Matematika(Kompleks)

    Laplace Laplace Z Z

    Instrumen(Elektro/nik,Komputer)

    Microphone,Camera

    FilterAnalog;Conver-ters;

    Modem

    FilterDigital;Samplers;Modem

    Network,Terminal

    Computers,DSP,

    Gadgets

    13

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Gambar 1.2: Kategori jenis sinyal.

    medium ini. Kecocokan antara karakteristik frekuensi sinyal dan respon frekuensi medi-um menentukan apakah sinyal berhasil merambat untuk tiba di pengamat dengan energiyang cukup untuk diukur atau tidak. Sifat medium yang menapis atau melalukan sinyalberdasarkan karakteristik frekuensi disebut filter .Dengan hadirnya komputer, yang merupakan teknologi digital, maka sinyal dapat di-

    representasikan sebagai data komputer. Sinyal yang berupa data komputer ini disebutsinyal digital . Sebuah alat yang disebut analog to digital converter (ADC) dapat meng-ubah sinyal analog menjadi sinyal digital. Karakteristik utama sinyal digital adalahvaribel independen dari sinyal digital tidak lagi waktu kontinu, melainkan waktu diskrit(discrete time).Sinyal digital juga merambat secara digital melalui sistem komputer dan jaringan data.

    Sistem digital ini menjadi medium bagi sinyal digital, dan juga memiliki karakteristikfrekuensi. Sehingga medium digital ini adalah juga filter, tepatnya filter digital .

    1.1.3 Jenis Sinyal

    Sinyal dapat dikategorikan ke dalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar1.2.

    1.1.4 Sinyal Waktu Kontinu dan Waktu Diskrit

    Secara umum sinyal analog dimodelkan sebagai besaran x(t), yaitu besaran yang beru-bah terhadap waktu kontinu t. Sedangkan sinyal digital dimodelkan sebagai x[n], yaitubesaran yang berubah terahap indeks (waktu) diskrit n.Arus listrik misalnya sebagai besar muatan listrik yang bergerak dalam satuan wak-

    tu (i(t) = ddtQ(t) Ampere) membawa energi, sehingga bisa diukur. Bila arus sebesarini menembus sebuah entitas hambatan (resistor) sebesar R ohm, maka dalam durasiwaktu[t1, t2] resistor ini mendisipasi energi sebesar

    E =

    t2t1

    i2(t)Rdt (1.1)

    Resistor ini dimodelkan sebagai sistem yang mengubah kandungan energi dari sinyal i(t).Besaran listrik lain yang umum dikenal adalah tegangan listrik (v(t) = i(t)R). Kita

    dapat mendefinisikan daya listrik sebagai P (t) = v(t)i(t). Bagi kasus beban resistif,energi yang dibawa arus listrik adalah

    14

  • 1 Sinyal dan Sistem

    E =

    t2t1

    1

    Rv2(t)dt =

    t2t1

    v(t)i(t)dt =

    t2t1

    P (t)dt (1.2)

    Dalam konteks ini, baik arus listrik (i(t)) maupun tegangan listrik (v(t)) dipandangsebagai sinyal yang membawa informasi mengenai sumber dari energi yang dibawanya.Dinamika berubahnya sinyal terhadap waktu mencerminkan dinamika sumber dari sinyalitu.Perhatikan bahwa bila resistor bernilai 1 Ohm, maka energi yang didisipasi adalah

    E =

    t2t1

    v2(t)dt (1.3)

    dengan daya

    P =1

    t2 t1

    t2t1

    v2(t)dt (1.4)

    Sinyal listrik seperti v(t) dan i(t) adalah besaran dengan variabel independen waktuyang kontinu (continuous time). Sinyal ini dapat digambarkan seperti gelombang, dimana semakin kuat sinyal ini semakin besar gelombangnya. Besar energi yang dibawasinyal dicerminkan oleh besar gelombang. Sinyal gelombang yang berubah terhadapwaktu yang kontinu ini disebut sinyal analog.Sinyal analog disebut membawa energi sebesar

    E =

    t2t1

    x2(t)dt (1.5)

    dengan daya

    P =1

    t2 t1

    t2t1

    x2(t)dt (1.6)

    Dengan meminjam analogi yang sama, energi yang dibawa sebuah sinyal digital se-lama durasi indeks waktu [n1, n2] didefinisikan sebagai

    E =

    n2n=n1

    x2[n] (1.7)

    dengan daya

    P =1

    n2 n1 + 1n2

    n=n1

    x2[n] (1.8)

    Dalam praktek dikenal besaran root mean square (rms) untuk sinyal x(t) dalam durasiwaktu[t1, t2] dengan definisi

    xrms

    1

    t2 t1

    t2t1

    |x(t)|2 dt (1.9)

    dan untuk besaran digital dalam durasi indeks [1, N ]

    xrms =

    1N

    Nn=1

    |x[n]|2 (1.10)

    15

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Kasus: Cari xrms dari x(t) = a cos(t)

    Jawab: Karena x(t)2 = a2 cos2 (t) = a2(12 +12 cos (2t)), maka xrms = a/

    2.

    Perhatikan bahwa untuk sinyal baik analog maupun digital berlaku

    P = x2rms (1.11)

    Untuk bisa memahami bagaimana filter bekerja yakni meredam atau memperkuatenergi sinyal dalam medium kita perlu mendefinisikan dahulu karakteristik frekuensidari sinyal, baik sinyal analog maupun sinyal digital. Konsep frekuensi dapat didekatimelalui fenomena periodisitas.

    1.2 Transformasi Waktu Sinyal

    1.2.1 Sinyal Periodik

    Karena medium cenderung menyerap energi sinyal, maka sinyal yang berhasil diamatibiasanya sinyal memiliki kemampuan men-sustain energi dalam durasi yang cukup lama.Karena kapasitas sumber energi itu sendiri cukup terbatas, maka strategi yang dipilihadalah mengulang-ulang pengiriman energi secara berkala. Sinyal bentuk ini bersifatperiodik .Sinyal analog disebut periodik bila ada sebuah konstanta T (yang disebut periode

    dasar atau fundamental) sehingga untuk < t

  • 1 Sinyal dan Sistem

    x [n] = x [n] (1.17)Sinyal CT dan DT yang bersimetri genap masing-masing memenuhi persamaan (untuk

    semua t dan n)

    x (t) = x (t) (1.18)

    x [n] = x [n] (1.19)Sebuah sinyal x (t) dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjil xo (t) dan genap xe (t)

    menurut

    xo (t) =1

    2[x (t) x (t)] (1.20)

    xe (t) =1

    2[x (t) + x (t)] (1.21)

    Perhatikan bahwa xo (t) ganjil karena memenuhi Persamaan (1.16). Selanjutnya xe (t)genap karena memenuhi Persamaan (1.18). Kemudian dengan mudah diperlihatkan

    x (t) = xo (t) + xe (t) (1.22)

    Dengan cara yang sama sinyal x [n] selalu dapat diuraikan menjadi dua sinyal ganjilxo [n] dan genap xe [n].

    1.2.3 Sinyal Sinusoidal dan Sinyal Eksponensial

    1.2.3.1 Sinusoidal

    Sinyal periodik yang banyak dikenal orang adalah sinyal sinusoidal , seperti untuk kasussinyal analog

    x(t) = A cos (t+ ) = A cos (2pift+ ) (1.23)

    dimana A, = 2pif dan adalah bilangan nyata (real). Sinyal ini periodik dengan per-iode T = 1/f . Periode ini menjadi panjang gelombang . Besaran dan f masing-masingdikenal sebagai frekuensi sinyal sinusoidal dalam radian dan dalam Hertz. Besaran sering disebut fase dari sinyal sinusoid. Besaran A disebut amplituda.

    Latihan: Buktikan bila T = 1/f , x(t) pada Pers. (1.23) periodik.

    Bukti: x(t+ T ) = A cos (2pif(t+ T ) + ) = A cos (2pift+ 2pifT + )

    Bila T = 1/f , maka

    x(t+ T ) = A cos (2pift+ 2pi + ) = A cos (2pift+ ) = x(t)

    Sinyal digital juga mengenal bentuk sinuosidal

    x[n] = A cos (n+ ) = A cos (2pifn+ ) (1.24)

    namun sinyal ini tidak selalu periodik. Sinyal ini hanya periodik dengan periode N bilaf = kN adalah pecahan yang sudah disederhanakan.

    17

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Latihan Buktikan bila f = kN adalah pecahan yang sudah disederhanakan, maka x[n]pada Pers. (1.24) periodik dengan periode N .

    Bukti: x[n+N ] = A cos(2pi kN (n+N) +

    )= A cos

    (2pi kN n+ 2pik +

    )Karena f = kN , maka

    x[n+N ] = A cos(2pi kN n+

    )= A cos (2pift+ ) = x[n]

    Frekuensi dari sinyal sinusoidal digital memiliki sifat periodik. Sinyal dengan frekuensi1 dan 2 = 1 + 2pik (k = 2,1, 0, 1, 2, ) adalah identik. Jadi sinyal sinusoidaldengan frekuensi yang unik adalah sinyal sinuosidal yang memiliki frekuensi pi < < pi.Sinyal sinusoidal pada frekuensi 2 di luar interval ini merupakan alias (identik) dengan1 di mana pi < 1 < pi dan 2 = 1 + 2pik.Latihan: Buktikan x1[n] = A cos (n+ ) identik dengan

    x2[n] = A cos (( + 2pik)n+ )

    Bukti:

    x2[n] = A cos (( + 2pik)n+ ) = A cos (n+ 2pikn+ )

    sehingga x2[n] = A cos (n+ ) = x1[n]

    Sebagai sinyal periodik, energi sinyal sinusoidal tak terhingga. Daya sinyal sinusoidaladalah

    P =1

    T

    T0A2 cos2(t+ )dt (1.25)

    P = A2/2 (1.26)

    Hasil yang sama diperoleh juga untuk sinusoidal digital periodik. Dapat disimpulkan,besar daya dari sinyal sinusoidal diperlihatkan oleh besar amplituda. Semakin besaramplituda sinusoidal maka semakin besar xrms secara proporsional, dan semakin besardaya secara kuadratik.Melalui sinyal sinusoidal kita mengenal frekuensi ( atau f). Frekuensi dari sinyal si-

    nusoidal berhubungan erat dengan periodisitas. Bagi sinyal sinusoidal analog, frekuensiadalah jumlah osilasi gelombang per satuan waktu. Frekuensi berbanding terbalik de-ngan periode. Bagi sinyal sinusoidal digital, adanya frekuensi tidak otomatis berarti per-iodik. Kemudian sinyal sinusoidal yang unik hanya terbatas pada frekuensi pi < < pi.Dan setiap sinyal sinusoidal membawa daya (atau energi rata-rata) yang besarnya ber-banding lurus dengan kuadrat amplituda. Setiap sinyal sinusoidal membawa nilai RMSberbanding lurus dengan amplituda.

    1.2.3.2 Eksponensial Kompleks

    Sinyal periodik yang sangat penting adalah sinyal eksponensial kompleks (complex expo-nential). Kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi kompleks eksponensial menggunakanfungsi sinusoidal menurut identitas Euler:

    ejx = cosx+ j sinx

    Sebuah sinyal kompleks eksponensial analog dan digita masing-masing memiliki bentuk

    x(t) = cejt; x[n] = cejn (1.27)

    18

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Sinyal eksponensial kompleks ini memiliki frekuensi dan amplituda kompleks c.Karena identitas Euler mengatakan bahwa ejx = cosx + j sinx, maka dengan mudahdiperlihatkan bahwa semua sifat-sifat sinyal sinusoidal di atas periodisitas, frekuensi,dan daya dapat berlaku pada sinyal eksponensial kompleks. Periode dari sinyal inisama dengan periode dari sinusoidal. Daya dari sinyal ini adalah

    P = |c|2 (1.28)Lebih lanjut, sinyal eksponensial kompleks dapat dianggap penyusun dari sinyal sinu-

    soidal, karena sinyal sinusoidal dapat diuraikan ke dalam sinyal eksponensial kompleksmelalui identitas

    sinx =1

    2jejx 1

    2jejx (1.29)

    cosx =1

    2ejx +

    1

    2ejx (1.30)

    Perhatikan bahwa sinyal x(t) = A cos (t+ ) dapat ditulis menjadi

    x(t) =A

    2ej(t+) +

    A

    2ej(t+) (1.31)

    = (A

    2ej)ejt + (

    A

    2ej)ejt (1.32)

    = s1(t) + s2(t) (1.33)

    di mana s1(t) = (A2 ej)ejt dan s2(t) adalah konjugasi kompleks dari s1(t). Dengan

    kata lain dua eksponensial kompleks s1(t) dan s2(t) adalah komponen penyusun sinyalsinusoidal. Karena setiap eksponensial kompleks memiliki frekuensi sendiri, maka s1(t)dan s2(t) juga dibedakan melalui frekuensi nya.Perhatikan bahwa daya dari s1(t) dan s2(t) masing-masing adalah A

    2

    4 , sehingga totaldaya adalah A

    2

    2 seperti yang diperoleh sebelumnya. Dengan kata lain komponen kom-pleks eksponensial adalah komponen pembawa energi dari sinyal sinusoidal. Merambat-nya sinyal sinusoidal ditentukan oleh merambatnya komponen eksponensial kompleks.Kemampuan sinyal sinusoidal menembus medium ditentukan oleh kemampuan indivi-dual eksponensial kompleks menembus medium ini. Energi sinyal sinusoidal dibagikankepada komponen frekuensi berbeda untk dikirim oleh masing-masing komponennya.Dengan demikian, perilaku filter terhadap sinusoid dapat dipelajari melalui perilakufilter terhadap eksponensial kompleks.Konsep bahwa energi sinyal yang merambat melalui medium dibawa oleh komponen

    kompleks eksponensial dengan frekuensi tertentu melalui amplitudanya adalah konseppaling dasar dari dari pemrosesan sinyal.

    1.2.4 Sinyal Primitif dan Superposisinya

    Sinyal juga dapat dibangun melalui superposisi dari sinyal primitif.

    1.2.4.1 Sinyal Primitif

    Dua sinyal primitif di domain waktu adalah sinyal impuls satuan (unit impulse) danstep satuan (unit step). Untuk CT, kedua sinyal itu adalah (t) dan u (t). Sedangkan

    19

  • 1 Sinyal dan Sistem

    untuk DT, kedua sinyal itu adalah [n] dan u [n]. Sinyal-sinyal primitif ini di definisikansebagai

    (t) =

    {1, t = 0

    0, else; u (t) =

    {1, t 00, else

    [n] =

    {1, n = 0

    0, else; u [n] =

    {1, n 00, else

    (1.34)

    1.2.4.2 Sinyal Superposisi dari Sinyal Primitif

    Sebuah sinyal x dapat dibangun dengan proses superposisi dari sinyal-sinyal lain si ,dalam bentuk kombinasi linier dengan bobot skalar i

    x =i

    isi (1.35)

    Misalnya, setiap x [n] dapat dianggap kombinasi linier dari

    x [n] =

    i [n i] (1.36)

    1.2.4.3 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks

    Kita dapat memperluas cakupan peran sinyal eksponensial kompleks sebagai pembawaenergi pada frekuensi tertentu dari sinyal sinusoidal ke kelas yang lebih luas yaitu sinyalsuperposisi

    x(t) =N1k=0

    sk(t) =N1k=0

    ckejkt (1.37)

    x[n] =

    N1k=0

    sk[n] =

    N1k=0

    ckejkn (1.38)

    Ini berarti sinyal x(t) (atau x[n]) jenis ini merupakan penjumlahan (superposisi) dariN buah komponen eksponensial kompleks sk(t) = ckejkt (dan sk[n] = ckejkn). Setiapkomponen memiliki frekuensi k yang berbeda. Daya dari masing-masing komponen iniadalah

    Pk = |ck|2 (1.39)dan daya dari sinyal x(t) (atau x[n]) adalah

    P =N1k=0

    Pk = |c0|2 + |c1|2 + + |cN1|2 (1.40)

    1.2.4.4 Sinyal Superposisi Eksponensial Kompleks Terhubung Harmonis

    Sebuah kasus khusus dari sinyal superposisi eksponensial kompleks adalah sinyal di manask(t) = cke

    jkt (atau sk[n] = ckejkn) terhubung erat satu sama lain. Frekuensi yangsatu merupakan kelipatan (harmonis) dari sebuah frekuensi dasar, yakni

    k = k0 (1.41)

    20

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Sinyal jenis ini berbentuk

    x(t) =

    N1k=0

    sk(t) =

    N1k=0

    ckejk0t (1.42)

    x[n] =N1k=0

    sk[n] =N1k=0

    ckejk0n (1.43)

    Daya dari masing-masing komponen ini masih tetap sama seperti sebelumnya. Demi-kian juga daya totalnya. Di sini sk(t) (atau sk[n]) adalah pembawa energi x(t) (ataux[n]) dengan daya sebesar Pk = |ck|2 pada frekuensi k = k0Perhatikan bahwa sebuah sinyal dasar s0(t) = c0ej0t (atau s0[n] = c0ej0n) cukup

    untuk digunakan membangun komponen sinyal sk(t) (atau sk[n]) yang lain. Jadi seka-rang komponen eksponensial terhubung secara harmonis. Komponen yang satu adalahharmonis dari komponen dasar s0(t) (atau s0[n]).Dengan demikian maka sinyal jenis ini adalah sinyal periodik dengan periode T =

    2pi/0 atau N = 2pik/0 (di mana f0 = 02pi =kN adalah bilangan pecahan/rasional yang

    sudah disederhanakan).

    Latihan: Buktikan bahwa x(t) =N1

    k=0 ckejk0t periodik dengan periode T = 2pi/0.

    Jawab: Perhatikan bahwa sk (t+ T ) = ckejk0(t+2pi/0).

    = ckejk0tejk2pi = cke

    jk0t = sk (t).

    Maka x(t+ T ) =N1

    k=0 sk(t+ T ) =N1

    k=0 sk(t) = x(t)

    Latihan: Buktikan bahwa x[n] =N1

    k=0 ckejk0n periodik dengan periode N = 2pik/0.

    Perhatikan bahwa sk[n+N ] = ckejk0(n+2pik/0) = ckejk0nejk22pi.

    Sehingga sk[n+N ] = ckejk0n = sk[n]

    Maka x[n+N ] =N1

    k=0 sk[n+N ] =N1

    k=0 sk[n] = x[n]

    1.3 Sistem CT dan DT

    1.3.1 Berbagai Jenis Sistem

    Sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output. Sistem dapat dikategorikan kedalam berbagai jenis, seperti diperlihatkan pada Gambar 1.3. Sistem CT mengubahsinyal CT. Sistem DT mengubah sinyal DT.

    1.3.2 Sistem Dengan dan Tanpa Memori

    Sebuah sistem F disebut tanpa memori apabila output pada suatu saat hanya bergantungpada input saat itu. Untuk CT sistem tanpa memori memenuhi

    y (t0) =

    {F {x (t)} , t = t00, else

    (1.44)

    sedangkan untuk DT sistem kausal

    y [n0] =

    {F {x [n]} , n = n00, else

    (1.45)

    Di luar itu, sistem disebut memiliki memori.

    21

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Gambar 1.3: Jenis Sistem

    1.3.3 Kausalitas dan Stabilitas

    Sebuah sistem F disebut kausal bila ouput pada suatu waktu tertentu hanya ditentukanoleh input pada waktu tersebut atau sebelumnya. Untuk CT sistem kausal memenuhi

    y (t0) =

    {F {x (t)} , t t00, t > t0

    (1.46)

    sedangkan untuk DT sistem kausal

    y [n0] =

    {F {x [n]} , n n00, n > n0

    (1.47)

    Sistem yang tidak kausal disebut non causal atau anticausal.Sebuah sistem F disebut stabil bila untuk setiap input x berlaku output bernilai

    terbatas yaitu

    |F {x}|

  • 1 Sinyal dan Sistem

    1.4 Penutup

    Sinyal membawa energi. Energi membawa perubahan. Perubahan terjadi pada sistem,melalui sinyal input. Perubahan ini adalah perubahan keadaan (state) dari sistem. Per-ubahan state ini diperlihatkan oleh sinyal output.

    1.5 Soal-Soal Latihan

    1. Tentukan komponen sinyal genap dan komponen sinyal ganjil dari sinyal-sinyalberikut:

    a) Sinyal x [n] = {1, 2, 4,3, 2, 3, 4, 3, 2, 1}b) Sinyal eksponensial kompleks x (t) = ej2t

    2. Tunjukkan bahwa sinyal x (t) = 2 cos (10t+ 1)sin (4t 1) adalah sinyal periodik.tentukan periode fundamental dari sinyal tersebut.

    3. Diketahui x1 (t) dan x2 (t) adalah sinyal periodik dengan periode fundamentalmasing-masing T1 dan T2. Pada kondisi apakah jumlah sinyal x (t) = x1 (t)+x2 (t)periodik, dan berapakah periode fundamental dari sinyal x (t) jika sinyal ini peri-odik?

    4. Tentukan energi dan daya dari masing-masing sinyal berikut

    a) Sinyal x [n] =(

    12

    )nu [n]

    b) Sinyal x [n] = cos(pi4n)

    5. Cari xrms dari x(t) = a cos(t)

    Jawab: Karena x(t)2 = a2 cos2 (t) = a2(12 +12 cos (2t)), maka xrms = a/

    2.

    6. Diketahui sistem-sistem: (i) y(t) = x(t) cos(3t) di mana 6= 0, dan (ii) y(t) = t x () d

    a) Apakah sistem linier?

    b) Apakah sistem time invariant?

    c) Apakah sistem causal?

    d) Apakah sistem stabil?

    7. Diketahui sistem-sistem:

    (i) y[n] =(13)n (x [n] + 2),

    (ii) y[n] =n

    k=1

    (x2 [k] x [k + 1]), dan

    (iii) y[n] =n

    k=(

    12

    )nkx [k].

    a) Apakah sistem linier?

    b) Apakah sistem time invariant?

    c) Apakah sistem causal?

    d) Apakah sistem stabil?

    23

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Tabel 1.2: Tabel sinyal x[n]A B

    1 n x[n]2 -5 03 -4 04 -3 05 -2 16 -1 27 0 38 1 39 2 110 3 111 4 012 5 013

    1.6 Laboratorium Komputer

    Sinyal dan sistem dapat disimulasikan di komputer.

    1. Sebuah sinyal digital x[n] = { , 0, 1, 2,3, 3, 1, 1, 0, } dengan sample pada n = 0diberi notasi tebal (bold). Tabel dan kurva sinyal menggunakan sebuah spreadsheet,untuk n = 5 : 5, diperlihatkan pada Tabel 1.2 dan Gambar 1.4.

    2. Energi dari sinyal x[n] = { , 0, 1, 2,3, 3, 1, 1, 0, }, dengan n1 = 5 dan n2 = 5adalah

    E = 12 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12 = 25

    dan daya

    P =1

    11

    (12 + 22 + 32 + 32 + 12 + 12

    )= 2.27

    Hasil yang sama diperoleh menggunakan spreadsheet pada Tabel 1.3. Perhatikanbahwa pada spreadsheet, rumus untuk menghitung Energi pada sel B14 dan Dayapada sel B15 memanfaatkan fungsi array1 yang tersedia pada spreadsheet.

    1Pada spreadsheet seperti Microsoft Excel, fungsi array diperoleh dengan memasukkan formula padasel yang dipilih kemudian diikuti dengan menekan simultan tombol [ctrl enter].

    24

  • 1 Sinyal dan Sistem

    Gambar 1.4: Gambar sinyal.

    Tabel 1.3: Menghitung energi dan daya dari sinyal.A B

    1 n x[n]2 -5 03 -4 04 -3 05 -2 16 -1 27 0 38 1 39 2 110 3 111 4 012 5 01314 Energi = 25.0015 Durasi = 1116 Daya = 2.27

    B14 =SUM(B2:B12*B2:B12) (ctrl-enter)B15 =COUNT(B2:B12) (enter)

    B16 =SUM(B2:B12*B2:B12)/COUNT(B2:B12) (ctrl-enter)

    25

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Model sistem menjadi sederhana bila sistem diasumsikan linier dan time invariant (LTI).Pertama, sistem dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Kedua, respons darisistem dapat dihitung melalui proses konvolusi.Salah satu sistem LTI terpenting adalah sistem linear differential constant coefficien-

    ts (LCCDE). Pada sistem LCCDE persamaan input-output dapat dimodelkan denganpersamaan diferensial. Dengan demikian respons dari sistem LCCDE adalah solusi daripersamaan diferensial.Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan

    untuk menghitung output dari sistem LTI dan LCCDE.

    2.1 Sistem LTI, Respons Impulse dan Konvolusi

    2.1.1 Sifat Dasar Sistem LTI dan Simulasi Komputer

    Sistem F secara umum menghasilkan sinyal output sinyal y dengan memproses (menem-buskan) sinyal input x (lihat Gambar 2.1), yang ditulis secara umum

    y = F {x} (2.1)Secara khusus sistem ini menghasilkan sinyal h bila dimasuki input impuls . Sinyal hdisebut respons impuls. Selanjutnya sistem ini akan menghasilkan respons step s biladimasuki input step u.Pada umumnya sistem dinyatakan melalui persamaan I/O (input-output). Sebagai

    contoh, sebuah sistem DT memiliki persamaan I/O

    y[n] = a2y[n 2] a1y[n 1]+ b0x[n] + b1x[n 1] + b2x[n 2]

    (Sistem ini dikenal sebagai sistem LCCDE orde dua). Persamaan I/O ini menjelaskanbagaimana sistem mengubah sinyal input menjadi sinyal output, sampel per sampel.

    Kasus: Sifat perubahan yang terjadi akibat sistem LCCDE, terutama dalam mengubahenergi sinyal, bergantung dari frekuensi sinyal. Sebagai contoh, misalnya sistemorde dua tersebut di atas memiliki koefisien seperti pada Tabel 2.1. Kemudiansistem ini dimasuki sinyal sinusoid x1[n] = cos (1.5n) (lihat Gambar 2.2). Denganbantuan spreadsheet Tabel 2.2 kita dapat menghitung sampel output y[n]. DariGambar 2.2 terlihat bahwa gelombang output sudah mengecil. Berarti sistemini telah meredam sinyal x1[n], sebesar lebih dari 22dB berdasarkan perhitungan

    x h y

    Gambar 2.1: Sistem

    26

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Tabel 2.1: Contoh koefisien orde dua DTKoefisien Nilai

    a2 0.743860718a1 -1.24523096a0 1b2 1.356789856b1 -0.275511966b0 1.356789856

    Tabel 2.2: Output dari sistem orde dua terhadap sinyal sinusoid sebanyak 60 sampel.A B C D E

    1 Koefisien Nilai Nilai2 a2 0.7438 0.74383 a1 -1.2452 -1.24524 a0 1 15 b2 1.3567 1.35676 b1 -0.2755 -0.27557 b0 1.3567 1.356789 Frek: 1.5 2.510 n x1[n] y1[n] x2[n] y2[n]11 -2 -0.990 0.28412 -1 0.071 -0.80113 0 1.000 -0.006 1.000 1.96214 1 0.071 -0.091 -0.801 -0.00615 2 -0.990 -0.115 0.284 0.495...

    ......

    ......

    ...70 57 -0.779 -0.045 -0.428 -0.34771 58 0.570 0.054 0.884 0.79272 59 0.860 0.053 -0.988 -0.9217374 Energy 30.39 0.18 30.59 29.7875 Relatif (dB) -22.31 -0.12

    Kode spreadsheet:B11:=COS(B$9*A11) [enter]D11:=COS(D$9*A11) [enter]C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]E13: =SUM(D11:D13*E$5:E$7)-SUM(E11:E12*E$2:E$3) [ctrl+shift]-[enter]B74:=SUM(B13:B72*B13:B72) [ctrl+shift]-[enter]C74:=SUM(C13:C72*C13:C72) [ctrl+shift]-[enter]D74:=SUM(D13:D72*D13:D72) [ctrl+shift]-[enter]E74:=SUM(E13:E72*E13:E72) [ctrl+shift]-[enter]C75:=10*LOG10(C74/B74) [enter]

    E75:=10*LOG10(E74/D74) [enter]

    27

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Gambar 2.2: Sinyal output untuk input x[n] = cos 1.5n.

    spreadsheet. Sinyal sinusoid lain yang frekuensi lebih tinggi, x1[n] = cos (2.5n)juga teredam, tetapi hanya sebesar 0.12 dB (Gambar 2.3).

    Sistem LTI adalah sistem yang sekaligus linier dan time invariant. Sistem F di sebutlinier bila untuk setiap input x1 dan x2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku

    F {1x1 + 2x2} = 1F {x1}+ 2F {x2} (2.2)Selanjutnya sistem F ini juga disebut time invariant bila input yang tertunda akanmenghasilkan output yang tertunda. Untuk kasus CT, berarti

    y (t) = F {x (t)} y (t t0) = F {x (t t0)} (2.3)sedangkan untuk kasus DT, berlaku

    y [n] = F {x [n]} y [n n0] = F {x [n n0]} (2.4)Catat juga bahwa untuk sistem time invariant, berlaku

    F { (t t0)} = h (t t0) ; F { [n n0]} = h [n n0]

    Soal: Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasanganinput-output sebagai berikut.

    x[n] y[n]

    {1, 0, 2} {0, 1, 2}{0, 0, 3} {1, 0, 0, 2}{0, 0, 0, 1} {1, 2, 1}

    1. Tentukan apakah sistem linier atau tidak?

    28

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Gambar 2.3: Sinyal output untuk input x[n] = cos 2.5n.

    2. Cari respons impulse h[n]

    Soal: Dari pengamatan sebuah sistem linier, diperoleh hubungan input-output berikutini

    x [n] y [n]

    {1,2, 1} {1,2,1, 1}{1,1,1} {1,1, 0, 2}{0,1, 1} {1, 2, 1}

    1. Tentukan apakah sistem ini time-invariant atau tidak?

    2. Carilah respons impuls dari sistem ini.

    Kasus: Sebuah sistem LTI CT memiliki respons step s(t) = etu(t). Tentukan outputbila sistem dimasuki sinyal x(t) seperti pada gambar di bawah.

    t

    x (t)

    1

    0 1 2 3

    Perhatikan bahwa x(t) = u(t 1) u(t 3). Dari sifat LTI, disimpulkan bahway(t) = s(t 1) s(t 3). Hasil ini dapat dilihat pada gambar berikut.

    29

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    t0 3

    s(t) s(t 1)

    s(t 3)

    t0 3

    y(t)

    2.1.2 Konvolusi

    Konvolusi antara dua sinyal s dan v menghasilkan sinyal w yang dinyatakan dengannotasi sebagai

    w = s v (2.5)yang didefinisikan untuk kasus CT sebagai

    w (t) = s (t) v (t) =

    s () v (t ) d (2.6)

    dan untuk kasus DT sebagai

    w [n] = s [n] v [n] =

    l=s [l] v [n l] (2.7)

    Melalui kedua definisi ini dapat dibuktikan sifat komutatif bahwa

    s v = v s (2.8)Dalam praktek kita memilih cara di ruas kiri bila s berdurasi lebih pendek daripada v,karena ini menyerhanakan perhitungan.

    2.1.3 Representasi Sinyal Menggunakan Konvolusi Impuls

    Sebuah sinyal dapat direpresentasikan sebagai konvolusi sinyal itu terhadap sinyal im-puls. Dalam kasus CT, sinyal x(t) dapat diekspresikan sebagai

    x(t) =

    x () (t ) d = x (t) (t) (2.9)

    Dengan cara yang serupa untuk kasus DT, sebuah sinyal x[n] dapat direpresentasikansebagai

    x [n] =

    l=

    x [l] [n l] = x [n] [n] (2.10)

    30

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Representasi ini adalah kasus khusus dari sifat umum bahwa sebuah sinyal CT dapatdirepresentasikan dalam bentuk integral terhadap sebuah kernel s(t, ) menurut

    x(t) =

    X () s(t, )d (2.11)

    dan sinyal DT dapat direpresentasikan oleh sebuah kombinasi linier dari sinyal basiss (n, l) menurut

    x [n] =

    l=

    X [l] s (n, l) (2.12)

    2.1.4 Representasi Sistem LTI Dengan Konvolusi Respons Impuls

    Setiap sistem, termasuk sistem LTI, memiliki respons impuls h. Khusus untuk sistemLTI, respons impuls sangat berperan untuk merepresentasikan sistem, artinya reponssistem dapat digunakan untuk menghitung ouput dari input x. Tepatnya,

    y = x h (2.13)Untuk memperlihatkan hal ini dalam kasus DT, perhatikan bahwa

    y[n] = F {x[n]} = F{ l=

    x [l] [n l]}

    y[n] =

    l=

    x [l]F { [n l]}

    maka diperoleh

    y [n] =

    l=x [l]h [n l] (2.14)

    dan untuk kasus CT,

    y(t) = F {x (t)} = F{

    x () (t ) d}

    y(t) =

    x ()F { (t )} d

    maka diperoleh

    y (t) =

    x ()h (t ) d (2.15)

    Kasus: Sebuah sistem CT memiliki h(t) = etu (t), di mana > 0, dimasuki inputx(t) = u(t). Cari output y(t).

    Cara-1: y = x h = u h,Diperoleh

    y (t) =

    u ()h (t ) d

    31

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    =

    u () e(t)u (t ) d

    =

    [ t0e(t)d

    ]u (t) = u(t)et

    t0ed

    Dan

    y(t) =1

    [1 et]u(t)

    Cara-2: y = h x = h u,Diperoleh

    y (t) =

    h ()x (t ) d

    =

    eu ()u (t ) d

    =

    [ t0ed

    ]u (t)

    dan

    y(t) =1

    [1 et]u(t)

    2.2 Respons Sistem Dengan Konvolusi Respons Impuls

    2.2.1 Respons Sistem LTI CT

    Soal: Hitunglah/sketsalah y (t) = x (t) h (t), dengan x (t) dan h (t) menurut gambarberikut

    t

    x (t)

    1

    0 1 2 3 t

    h (t)

    1

    0 1 2

    2.2.2 Respons Sistem LTI DT

    Kasus: Tentukan output bila respons impuls dan input seperti pada gambar berikut.

    h [n]

    1

    n0 1 2 3

    4 5

    32

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    x [n]

    1

    1

    n0 1 2 3

    45

    Jawab: Dari gambar dapat disimpulkan bahwa sinyal input hanya terdiri daridua pulsa, x[n] = [n 2] [n 4], sedangkan sinyal respons impuls terdiridari enam pulsa. Oleh sebab itu, lebih mudah kita menggunakan konvolusi jenisy[n] = x [n] h [n], yang berarti:

    y[n] = h [n 2] h [n 4]Menggunakan tabel sederhana, kita dapat menghitung y[n] sebagai berikut

    n h[n] h[n 2] -h[n 4] y[n]-1 0 0 0 00 1 0 0 01 1 0 0 02 1 1 0 13 1 1 0 14 -1 1 -1 05 -1 1 -1 06 0 -1 -1 -27 0 -1 -1 -28 0 0 1 19 0 0 1 110 0 0 0 011 0 0 0 0

    Output ini dapat juga dilihat scara visual sebagai penjumlahan dua gelombangrespons impuls yang tergeser masing-masing 2 dan 4 sampel.

    h [n 2]

    1

    1

    n0 1 2 3 4 5

    6 78 9 10 11

    h [n 4]

    1

    1

    n0 1 2 3 4 5 6 7

    8 910 11

    33

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    y [n] = h [n 2] h [n 4]

    1

    1

    2

    n0 1 2 3 4 5

    6 78 9 10 11

    Kasus: Sebuah sistem DT memiliki h[n] = nu[n], dimasuki unit step. Cari outputnya.

    Karena sinyal dan sistem kausal, maka y[n] = x[n] h[n]

    y[n] = u[n]nk=0

    nk

    tapi

    nk=0

    nk =0

    m=n

    m =n

    m=0

    m =1 n+1

    1

    sehingga

    y[n] =1 n+1

    1 u[n]

    2.2.3 Respons Step

    Respons dari sinyal step adalah s(t)

    s (t) = F {u (t)} = h (t) u (t) =

    h ()u (t ) d

    s (t) =

    t

    h () d

    Catatan, dapat diperlihatkan bahwa h(t) = ddts (t), karena (t) =ddtu (t).

    2.2.4 Kasus Mencari Input dari Output

    Soal: Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu dengan respons impuls h (t).

    x (t) h (t) y (t)

    t

    h (t)

    1

    -1 1

    34

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    1. Bila input adalah x (t) =

    k=2 (t k) , sebagaimana diperlihatkan berikutini, Carilah dan sketsalah output y (t).

    t-1 0

    x (t)

    1 2 3 4 5

    1 1 1 1

    2. Kemudian coba cari/sketsa input x (t) apabila output y(t) diketahui periodikpada gambar sebagai berikut.

    t-4-3

    -2 0

    y (t)

    23 4

    6

    8

    -2

    2

    2.3 Sifat-Sifat Sistem LTI

    2.3.1 Kausalitas

    Pada sistem LTI kausal, h(t) = 0 pada t < 0, sehingga bentuk konvolusinya menjadi:

    y(t) =

    0

    h ()x (t ) datau

    y(t) =

    t

    x ()h (t ) d

    Kita dapat mendefinisikan sinyal kausal sebagai sinyal dengan sifat x(t) = 0 untukt < 0, dan anti kausal bersifat x(t) = 0 untuk t > 0. Maka bia kedua sinyal dan sistemkausal, persamaan konvolusi menjadi:

    y(t) =

    t0h ()x (t ) d

    atau

    y(t) =

    t0x ()h (t ) d

    Hasil yang serupa diperoleh juga untuk kasus DT.

    2.3.2 Stabilitas

    Sistem LTI yang stabil secara bounded-input bounded-output (BIBO) memiliki responsimpuls dengan sifat

    |h ()| d

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Hal ini diperlihatkan melalui

    |y (t)| = x ()h (t ) d

    =

    |x ()h (t ) d |

    |x ()| |h (t )| d

    =

    |x ()| d

    |h ()| d

    Bila input bounded , yakni |x ()| d

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Asumsi n = m+N , maka diperoleh

    y [m+N ] =

    l=h [l]x [m+N l]

    =

    l=

    h [l]x [(m l +N ]

    Karena x[n] periodik, x[(m l) +N ] = x[m l], sehingga

    y [m+N ] =

    l=

    h [l]x [m l] = y[m]

    yang berarti y[n] periodik dengan periode N .

    2.3.4 Memori

    Pada sistem tanpa memori, y(t) hanya bergantung x(t) pada saat t. Untuk sistem LTItanpa memori, y(t) = Kx(t), dan h(t) = K(t). Jadi bila h(t0) 6= 0 untuk t0 6= 0, makasistem memiliki memori. Sistem bermemori yang paling dikenal adalah LCCDE.

    2.4 LCCDE

    Selama ini kita sudah mengkarakterisasi sistem berdasarkan hubungan I/O (terutamapersamaan I/O) dan respons impuls. Sekarang kita ingin memodelkan sistem LTI dalambentuk khusus, yaitu persamaan I/O nya memenuhi sebuah persamaan diferensial (untukCT) dan diferens (untuk DT).

    2.4.1 Persamaan Diferensial Koefisen Konstan

    Sebuah persamaan diferensial dengan koefisien konstan orde N (untuk CT) memilikibentuk umum

    Nk=0

    akdk

    dtky (t) =

    Mk=0

    bkdk

    dtkx (t) (2.17)

    dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk

    a2d2y (t)

    dt2+ a1

    dy (t)

    dt+ a0y (t) = b2

    d2x (t)

    dt2+ b1

    dx (t)

    dt+ b0x (t) (2.18)

    Dengan cara serupa untuk DT, persamaan diferens dengan koefisien konstan berordeN memiliki bentuk

    Nk=0

    aky [n k] =Mk=0

    bkx [n k] (2.19)

    dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk

    a2y [n 2] + a1y [n 1] + a0y [n]= b2x [n 2] + b1x [n 1] + b0x [n] (2.20)

    37

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Gambar 2.4: Sistem LCCDE direct from Iv[n]

    bx[n] b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    y[n]b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b0

    b1

    b2

    bM1

    bM

    a1

    a2

    aN1

    aN

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    Tabel 2.3: Jumlah komputasi untuk LCCDE dalam implementasi direct form.Komputasi Tipe I Tipe II

    Perkalian skalar N +M + 1 N +M + 1Perjumlahan N +M N +MElemen Delay N +M N

    Jumlah 3N + 3M + 1 3N + 2M + 1

    Baik persamaan (2.17) maupun (2.19) bersifat linier dengan koefisien konstan, sehing-ga keduanya disebut LCCDE (linear constant coefficient differential/difference equation).Sistem LCCDE DT dapat diimplementasi dalam sebuah bentuk seperti pada Gambar

    2.4. Bentuk ini disebut bentuk direct form tipe 1 karena koefisien serta arsitektur ben-tuk ini langsung diperoleh dari persamaan. Jumlah komputasi yang diperlukan adalahkombinasi dari jumlah perkalian skalar, penjumlahan, dan elemen delay. Sebagaima-na diperlihatkan pada Tabel 2.3, jumlah komputasi untuk direct form tipe I adalah3M + 3N + 1.

    Perhatikan bahwa sistem ini dapat dianggap kaskade antara dua sistem (lihat Gambar2.4).

    v[n] =Mk=0

    bkx[n k]

    38

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Gambar 2.5: Pembentukan LCCDE direct form IIw[n]

    bx[n] b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    y[n]b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b0

    b1

    b2

    bM1

    bM

    a1

    a2

    aN1

    aN

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    z1

    y[n] = Nk=1

    aky[n k] + v[n]

    Karena kedua sistem ini linier, maka kaskade ini bersifat komutatif, sehingga dapatdiubah menjadi kaskade antara dua sistem (Gambar 2.5).

    w[n] = Nk=1

    akw[n k] + x[n]

    y[n] =

    Mk=0

    bkw[n k]

    dengan hasil yang identik.Karena kedua sistem ini menggunakan w[nk] yang sama, maka kedua kaskade dapat

    digabung dengan men-share elemen delay (Gambar 2.6). Bentuk ini disebut direct formtipe II. Karena delay elemen digabung, maka terjadi penghematan sumberdaya kompu-tasi. Asumsi N M , maka jumlah sumber daya komputasi yang diperlukan tinggal3N + 2M + 1 (Tabel 2.3).Sistem LCCDE orde dua memiliki bentuk (lihat Gambar 2.7):

    y[n] = a2y[n 2] a1y[n 1] + b0x[n] + b1x[n 1] + b2x[n 2] (2.21)

    39

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Gambar 2.6: LCCDE direct form IIbx[n] b

    b

    b

    b

    b

    y[n]

    b0

    b1

    b2

    bN1

    bN

    a1

    a2

    aN1

    aN

    z1

    z1

    z1

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    b

    Gambar 2.7: LCCDE orde 2

    x[n] y[n]b

    b

    b

    b0

    b1

    b2

    a1

    a2

    z1

    z1

    40

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Tabel 2.4: Tabel simulasi LCCDE dengan spreadsheet.A B C

    1 Koefisien Nilai2 a2 0.16666666673 a1 -0.83333333334 a0 15 b2 06 b1 07 b0 189 n x[n] y[n]10 -2 0 011 -1 0 012 0 1 113 1 0 0.833333333314 2 0 0.527777777815 3 0 0.300925925916 4 0 0.16280864217 5 0 0.085519547318 6 0 0.044131515819 7 0 0.022523005320 8 0 0.011413918421 9 0 0.005757764522 10 0 0.0028958173

    Kode spreadsheet:C12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]

    dst

    2.4.2 Simulasi LCCDE

    Persamaan LCCDE memiliki memori y[nk] dan x[nk] untuk k > 0 yang menentukankeadaan (state) persamaan pada saat n = 0. Dalam keadaan rileks, y[n k] dan x[nk] ini bernilai 0. State ini berubah oleh x[n]. Dengan bentuk LCCDE, kita dapatmenggunakan komputer untuk mensimulasi perubahan state akibat perubahan x[n].

    Kasus: Gunakan tabel spreadsheet untuk mensimulasikan LCCDE orde dua rileks de-ngan persamaan

    1

    6y [n 2] 5

    6y [n 1] + y [n] = x [n]

    yang dipicu oleh x[n] = [n].

    Pada Tabel 2.4 mula-mula kita meletakkan koefisien dari persamaan ini ke dalamkolom B untuk label dan C untuk nilai mulai dari baris 2 s/d 7. Kemudian padabaris 9 kita memberikan label indeks waktu n, eksitasi x[n], serta state y[n]. Padabaris 10 dan 11, kita mengisi kondisi awal rileks untuk x[n] dan y[n]. Kita lalumengisi baris berikutnya dengan sample dari [n].

    Untuk menghitung y[0], y[1] dan seterusnya kita menggunakan perhitungan

    41

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Tabel 2.5: Solusi partikular, di mana A, K, dan Ki adalah konstanta, dan n 0.Input x[n] Solusi Partikular yp[n]

    [n] 0A K

    AMn KMn

    AnMM

    l=0KMlnl

    AnnM An(M

    l=0KMlnl)

    A cos(0n) K1 cos0n+K2 sin0nA sin(0n)

    y[0] = 1a0x[0] a1a0 y [1] a2a0 y [2]y[1] = 1a0x[1] a1a0 y [0] a2a0 y [1]

    ...

    yang dapat dilakukan oleh spreadsheet menggunakan fungsi array yang di copy-paste pada setiap sel di kolom C mulai baris 12:

    C12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]

    dstMaka keadaan (state) pada setiap waktu dapat dilihat pada Tabel 2.4.

    2.4.3 Solusi Persamaan LCCDE

    Solusi persamaan LCCDE y(t) (atau y[n]) akibat input x(t) (atau y[n]) serta akibat kon-disi awal, terdiri dari dua bagian: solusi homogen yh(t) (atau yh[n]) dan solusi partikularyp(t) (atau yp[n]), sehingga

    y(t) = yh(t) + yp(t)y[n] = yh[n] + yp[n]

    (2.22)

    Solusi homogen adalah kontribusi internal sistem akibat kondisi awal sedangkan solusipartikular adalah kontribusi input. Solusi y[n] ini hanya dihitung untuk n 0, sedangkany[n] pada n < 0 ditentukan langsung oleh kondisi awal.Solusi partikular yp(t) (atau yp[n]) adalah fungsi dari x(t) (atau x[n]) yang memenuhi

    persamaan LCCDE dan independen dari solusi homogen. Tabel 2.5 memperlihatkanbeberapa bentuk sinyal input, dan usulan solusi partikular yang sesuai untuk kasusDT. Konstanta K, dan Ki adalah koefisien yang membuat yp[n] memenuhi persamaanLCCDE untuk semua n.Solusi homogen itu sendiri adalah solusi persamaan homogen untuk CT

    Nk=0

    akdk

    dtkyh (t) = 0 (2.23)

    atau untuk DT

    Nk=0

    akyh [n k] = 0 (2.24)

    42

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Fungsi yang dikenal mempertahankan bentuk akibat diferensiasi adalah bentuk ekspo-nensial, sehingga bentuk eksponensial ini secara alamiah dapat membentuk persamaanhomogen.Asumsi solusi homogen yh[n] memiliki bentuk kompleks eksponensial, maka kita coba

    bentuk yang paling sederhana:

    yh[n] = n

    Karena solusi homogen memenuhi persamaan homogen, maka kita peroleh

    Nk=0

    akyh [n k] = 0

    perhatikan

    Nk=0

    akyh [n k] =Nk=0

    aknk = nN

    Nk=0

    aNkk

    maka solusi persamaan homogen yang tidak trivial memenuhi

    Nk=0

    aNkk = 0

    Ruas kiri adalah polinomial (disebut polinomial karakteristik) berorde N yang me-miliki N buah akar i yang menjadi solusi persamaan homogen ini. Maka solusi homogenyang akan kita gunakan adalah kombinasi linier dari akar-akar ini, yakni

    yh[n] =

    Ni=0

    cini (2.25)

    yang sudah dipastikan melalui proses penurunan tersebut akan memenuhi persamaanhomogen. Konstanta ci ditentukan oleh kondisi awal dari LCCDE. Bila ada N buahci yang perlu diketahui maka diperlukan N buah kondisi awal untuk membentuk Npersamaan dengan N yang tidak diketahui.

    2.4.4 Simulasi Solusi LCCDE

    Kasus: Cari solusi partikular dari persamaan diferens LCCDE orde dua

    1

    6y [n 2] 5

    6y [n 1] + y [n] = x [n]

    bila diketahui input x1 [n] = 2nu [n].

    Jawab: Dari Tabel 2.5 diperoleh kandidat dsolusi partikular yp[n] = K2nu [n].Untuk menentukan konstanta K yang memenuhi persamaan LCCDE, maka kitamelakukan substitusi

    1

    6yp [n 2] 5

    6yp [n 1] + yp [n] = x1 [n]

    menjadi

    43

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    1

    6K2n2u [n 2] 5

    6K2n1u [n 1] +K2nu [n] = 2nu [n]

    Karena persamaan ini linier, n yang manapun kita pilih untuk evaluasi akan meng-hasilkan K yang berlaku untuk semua n, asalkan semua term dalam persamaanikut terevaluasi. Maka kita mengevaluasi persamaan dengan pilihan n = 2 karenan ini tersederhana yang mengikutkan semua term dalam persamaan. Untuk n = 2,kita dapatkan

    1

    6K 5

    6K2 +K22 = 22

    dan kemudian K = 85 , sehingga kita peroleh

    yp[n] =8

    52nu [n]

    Kasus: Tentukan solusi homogen dari LCCDE orde dua dalam kondisi relaks (kondisiawal y[n] = 0, pada n < 0), bila persamaan LCCDE berbentuk

    1

    6y [n 2] 5

    6y [n 1] + y [n] = x [n] (2.26)

    Jawab: dari persamaan homogen

    1

    6y [n 2] 5

    6y [n 1] + y [n] = 0

    kita peroleh polinomial karakteristik

    p () =1

    6 5

    6+ 2 =

    ( 1

    2

    )( 1

    3

    )sehingga diperoleh akar 1 = 12 dan 2 =

    13 , dan solusi homogen n 0 adalah

    yh [n] = c1

    (1

    2

    )n+ c2

    (1

    3

    )n(2.27)

    Kasus: Solusi total adalah gabungan solusi homogen dengan solusi partikular. Dalamkasus di atas, solusi total adalah

    y[n] = c1

    (1

    2

    )n+ c2

    (1

    3

    )n+

    8

    52nu [n]

    Pada umumnya solusi homogen mengandung koefisien ci, yang harus ditentukanpada saat menetapkan solusi total. Koefisien ini ditentukan oleh kondisi awal.

    44

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    2.5 Penerapan Pada Sistem LCCDE

    2.5.1 Formulasi Sistem LCCDE

    Secara umum sebuah sistem LCCDE dengan orde N berbentuk

    y[n] = Nk=1

    aky[n k] +Mk=0

    bkx[n k] (2.28)

    Perhatikan bahwa sistem ini pada dasarnya mengambil bentuk Persamaan (2.19) dengana0=1.Sistem DT ini dapat diimplementasi menggunakan komputer atau spreadsheet, seperti

    pada contoh sebelumnya.

    Kasus: Simulasikan sistem LCCDE rileks

    y[n] = 3y[n 1] + 4y[n 2]+x[n] + 2x[n 1]

    untuk mencari y[n] pada n 0 bila dimasuki input x[n] = 4nu[n].Jawab: dengan cara serupa pada Tabel 2.4, kita peroleh hasil pada Tabel 2.6.Perubahan yang dilakukan adalah mengubah nilai koefisien pada sel C2 s/d C7,serta mensimulasikan input pada kolom B12, B13 dst dengan x[n] = 4nu[n].

    2.5.2 Aplikasi Pada Sistem LCCDE CT

    Soal: Diketahui sistem waktu kontinu dengan persamaan diferensial

    y (t) + 2y (t) = x (t) + x (t)

    Carilah respon impuls h(t) dari sistem ini.

    2.5.3 Aplikasi Pada Sistem LCCDE DT

    Soal: Diketahui sistem waktu diskrit dengan persamaan diferens

    y [n] + 2y [n 1] = x [n] + x [n 1]

    Carilah respons impuls h[n] dari sistem ini.

    Kasus: Cari respons impuls dari sistem LCCDE yang rileks

    y [n] = 16y [n 2] + 5

    6y [n 1] + x [n]

    Sistem ini memiliki bentuk LCCDE sebagaimana persamaan (2.26). Maka kitadapat langsung menggunakan solusi homogen pada persamaan (2.27). Karena kitamenghitung respons impuls, maka x[n] = 0 untuk n > 0, sehingga solusi partikular.Jadi impul respons adalah solusi total yang sama dengan solusi homogen.

    h [n] = c1

    (1

    2

    )n+ c2

    (1

    3

    )n

    45

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Tabel 2.6: Simulasi sistem LCCDE.A B C D

    1 Koefisien Nilai2 a2 -43 a1 -34 a0 15 b2 06 b1 27 b0 189 n x[n] y[n] y[n]10 -2 0 011 -1 0 012 0 1 1 113 1 4 9 914 2 16 55 5515 3 64 297 29716 4 256 1495 149517 5 1024 7209 720918 6 4096 33751 3375119 7 16384 154665 15466520 8 65536 697303 69730321 9 262144 3103785 310378522 10 1048576 13673431 13673431

    Kode spreadsheet:B12: =4^A12 [enter]B13: =4^A13 [enter]

    dstC12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3) [ctrl+shift]-[enter]

    dstD12: =(-1/25*(-1)^A12)+(26/25*(4)^A12)+(6/5*A12*(4)^A12) [enter]D13: =(-1/25*(-1)^A13)+(26/25*(4)^A13)+(6/5*A13*(4)^A13) [enter]

    dst

    46

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Kita membutuhkan dua persamaan untuk mencari kedua koefisien c1 dan c2, yangbisa kita bentuk menggunakan solusi ini pada n = 0 dan n = 1:

    h[0] = c1(

    12

    )0+ c2

    (13

    )0h[1] = c1

    (12

    )1+ c2

    (13

    )1Untuk keperluan ini kita memanfaatkan Tabel 2.4 pada n = 0 dan n = 1, sehinggadiperoleh (secara pecahan) y[0] = 1 dan y[1] = 56 . Sekarang kita punya sistem duapersamaan dengan dua tidak diketahui

    1 = c1 + c256 =

    12c1 +

    13c2

    yang menghasilkan c1 = 3 dan c2 = 2. Maka solusi total adalah

    h [n] = 3

    (1

    2

    )n 2

    (1

    3

    )n2.5.4 Simulasi Solusi LCCDE DT

    Hasil tersebut di atas dapat diverifikasi menggunakan mengembangan Tabel 2.4 menjadiTabel 2.7. Misalnya, pada n = 10, kita peroleh h [10] = 3

    (12

    )10 2 (13)10 yang dapatdihitung menggunakan rumus spreadsheet:

    D22: =(3*(1/2)^A22)-(2*(1/3)^A22) [enter]

    dst

    Tabel 2.7 mengkonfirmasi hasil yang identik antara pendekatan simulasi menggunak-an persamaan I/O LCCDE dan simulasi menggunakan solusi LCCDE. Meskipun carayang kedua lebih panjang, tapi sekali solusi ditemukan, persamaan solusi bisa langsungdigunakan untuk n berapapun. Cara yang pertama memerlukan hasil dari n sebelumkarena bersifat rekursif.

    2.6 Tutorial Solusi LCCDE

    2.6.1 Kasus Orde 1 CT

    Soal: Diketahui sebuah sistem waktu kontinu dengan input x (t) dan output y (t) denganhubungan

    d

    dty (t) + ay (t) = x (t)

    di mana a konstanta.

    1. Carilah y(t) dengan kondisi awal y (0) = y0 dan x (t) = Kebtu (t)

    2. Nyatakan y (t) dalam penjumlahan respon zero-input dan respon zero-state.

    47

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    Tabel 2.7: Simulasi solusi LCCDEA B C D

    89 n x[n] y[n] y[n]10 -2 0 0 011 -1 0 0 012 0 1 1 113 1 0 0.8333333333 0.833333333314 2 0 0.5277777778 0.527777777815 3 0 0.3009259259 0.300925925916 4 0 0.162808642 0.16280864217 5 0 0.0855195473 0.085519547318 6 0 0.0441315158 0.044131515819 7 0 0.0225230053 0.022523005320 8 0 0.0114139184 0.011413918421 9 0 0.0057577645 0.005757764522 10 0 0.0028958173 0.0028958173

    Kode spreadsheet:D12: =(3*(1/2)^A12)-(2*(1/3)^A12) [enter]D13: =(3*(1/2)^A13)-(2*(1/3)^A13) [enter]

    dst

    2.6.2 Kasus Orde 1 DT

    Soal: Sebuah sistem waktu diskrit dengan input x[n] dan output y[n] dengan hubungan

    y [n] ay [n 1] = x [n]

    dengan a adalah konstan. Bila sistem relaks, carilah y[n] untuk input

    x [n] = Kbnu [n]

    2.6.3 Kasus Menghitung Respons Impuls

    Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks

    y[n] = 3y[n 1] + 4y[n 2]+x[n] + 2x[n 1]

    untuk mencari respons impuls h[n].

    Jawab:

    Untuk mencari solusi y[n] = yh[n] + yp[n] kita perlu mengubah bentuk persamaanke dalam bentuk LCCDE, kemudian menghitung solusi partikular yp[n] dan solusihomogen yh[n]. Persamaan LCCDE menjadi

    y[n] 3y[n 1] 4y[n 2]= x[n] + 2x[n 1]

    Persamaan sistem untuk respons impuls adalah

    48

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    h[n] = 3h[n 1] + 4h[n 2]+[n] + 2[n 1]

    Untuk menghitung respons impuls, kita tidak perlu menghitung solusi partiku-lar. Dengan demikian solusi yang diperlukan berasal dari soulsi homogen. UntukLCCDE di atas, kita peroleh persamaan homogen

    y[n] 3y[n 1] 4y[n 2] = 0

    dan karakteristik polinomial

    p () = 2 3 4 = (+ 1) ( 4)

    dengan demikian maka solusi homogen adalah

    h[n] = c1 (1)n + c2 (4)n

    Dari persamaan ini dapat dibuat dua persamaan untk mencari c1 dan c2 denganmemilin n = 0 dan n = 1:

    h[0] = c1 + c2h[1] = c1 + 4c2

    Kemudian dari persamaan sistem respons impuls di atas diproleh dua sample per-tama dari impulse respons

    h[0] = 3h[1] + 4h[2]+[0] + 2[1]

    = 0 + 0 + 1 + 0= 1

    h[1] = 3h[0] + 4h[1]+[1] + 2[0]

    = 3 + 0 + 0 + 2= 5

    sehingga

    1 = c1 + c25 = c1 + 4c2

    dan diperoleh c1 = 15 dan c2 = 65 . Jadi respons impuls nya adalah

    h[n] =

    (1

    5(1)n + 6

    5(4)n

    )u [n]

    49

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    2.6.4 Kasus Solusi Partikular Tidak Independen

    Kasus: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks

    y[n] = 3y[n 1] + 4y[n 2]+x[n] + 2x[n 1]

    untuk mencari y[n] pada n 0 bila dimasuki input x[n] = 4nu[n].Jawab:

    Sebagaimana sebelumnya, untuk mencari solusi y[n] = yh[n] + yp[n] kita perlumengubah bentuk persamaan menjadi

    y[n] 3y[n 1] 4y[n 2]= x[n] + 2x[n 1]

    Kandidat solusi partikular untuk input x[n] = 4nu[n] ini adalah yp [n] = K (4)n u [n],di mana K seharusnya dapat diperoleh melalui substitusi pada persamaan LCCDEuntuk n = 2. Akan tetapi khusus untuk kasus ini ternyata solusi ini tidak inde-penden karena juga sudah terdapat pada solusi homogen, sehingga perlu dicarikandidat lain. Kandidat solusi partikular berikutnya yang masih mengandung in-put tapi bukan bagian dari solusi homogen adalah yp [n] = Kn (4)n u [n] sehinggadiperoleh persamaan substitusi

    Kn (4)n u [n] 3K(n 1) (4)n1 u [n 1]4(n 2)K (4)n2 u [n 2]

    = (4)n u[n] + 2 (4)n1 u[n 1]dari sini, setelah dievaluasi pada n = 2 diperoleh

    K2 (4)2 u [n] 3K (4)1 4(0)K (4)0= (4)2 + 2 (4)1

    dan K = 65 . Jadi solusi partikular adalah

    yp [n] =6

    5n (4)n u [n]

    Karena kita sudah menghitung solusi homogen pada bagian sebelumnya, solusitotal untuk n 0 adalah

    y [n] = c1 (1)n + c2 (4)n + 65n (4)n

    dengan koefisien c1 dan c2 dicari melalui

    y [0] = c1 (1)0 + c2 (4)0 + 650 (4)0 = c1 + c2y [1] = c1 (1)1 + c2 (4)1 + 651 (4)1 = c1 + 4c2 + 245

    Kita kemudian memanfaatkan Tabel 2.6, kita peroleh y[0] = 1 dan y[1] = 9,sehingga

    50

  • 2 Sistem Linear Time-Invariant

    1 = c1 + c29 = c1 + 4c2 + 245

    menghasilkan c1 = 125 dan c2 = 2625 . Maka solusi total adalah untuk n 0

    y [n] = 125

    (1)n + 2625

    (4)n +6

    5n (4)n

    Hasil ini dapat diverifikasi pada kolom D spreadsheet di Tabel 2.6.

    2.7 Penutup

    Sistem LTI dapat dikarakterisasi menggunakan respons impuls. Respons dari sistemdapat dihitung melalui proses konvolusi input dengan respons input.Sesuai namanya, sistem LCCDE persamaan input-output dimodelkan dengan persa-

    maan diferensial. Respons dari sistem LCCDE adalah solusi dari persamaan diferensial.

    51

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    Pada bab ini akan dibahas alternatif representasi sinyal periodik menggunakan sinyalkompleks eksponensial. Hasil representasi ini dikenal sebagai deret Fourier waktu kontinudan deret Fourier waktu diskrit. Representasi ini dapat digunakan untuk membentukberbagai bentuk sinyal yang berguna.Karena sifat superposisi, respon dari sistem LTI terhadap input yang terdiri dari

    kombinasi linear dari sinyal dasar adalah kombinasi linear yang sama dari respon indi-vidual terhadap setiap sinyal dasar tersebut. Respon sistem LTI terhadap sebuah sinyalkompleks eksponensial juga memiliki bentuk yang sederhana, yang memberikan kita rep-resentasi sistem LTI yang mudah dan dengan cara yang lain untuk melakukan analisasistem dan menambah wawasan terhadap sifat deret Fourier.Tujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan pengetahuan dan kemampuan

    untuk menghitung deret Fourier dari sinyal periodik.

    3.1 Eigenfunctions: Respon sistem LTI pada sinyalkompleks eksponensial

    3.1.1 Konsep eigenfunction dan eigenvalue

    Mempelajari sistem LTI dengan mepresentasikan sinyal sebagai kombinasi linear darisinyal dasar memberikan banyak kemudahan. Sinyal dasar yang digunakan memiliki duasifat berikut:

    1. Kumpulan sinyal dasar dapat digunakan untuk membentuk kelas sinyal yang ber-agam dan berguna.

    2. Respon dari sebuah sistem LTI dari setiap sinyal harus memiliki struktur yangcukup sederhana untuk memberikan kepada kita, kemudahan representasi untukrespon sistem terhadap sinyal apapun yang dibentuk dari kombinasi linear darisinyal dasar.

    Hasil analisis Fourier dengan dua sifat tersebut diberikan dengan kumpulan sinyal kom-pleks eksponensial waktu kontinu dan waktu diskrit. Sinyal dalam bentuk estuntuk sinyalwaktu kontinu. Sinyal dalam bentuk znuntuk sinyal waktu diskrit. Dalam hal ini s danz adalah bilangan kompleks.Pentingnya sinyal kompleks eksponensial dalam pembahasan sistem LTI berasal dari

    fakta bahwa respon dari sebuah sistem LTI terhadap sinyal input kompleks eksponensialadalah sinyal kompleks eksponensial yang sama dengan hanya perubahan pada amplitu-da; yaitu,

    waktu kontinu: est H(s)est, (3.1)

    waktu diskrit: zn H(z)zn, (3.2)

    52

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    di mana faktor amplituda kompleks H(s) dan H(z) secara umum adalah fungsi dari vari-abel kompleks s atau z. Sebuah sinyal yang menyebabkan output dari sistem konstanta(biasanya bilangan kompleks) dari input disebut sebagai fungsi eigen (eigenfunction)dari sistem, dan faktor amplituda disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari sistem.

    3.1.2 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTICT

    Untuk menunjukkan bahwa sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sis-tem LTI waktu kontinu, lihatlah sistem LTI waktu kontinu dengan respon impuls h(t).Untuk input x(t), kita dapat menentukan output dengan menggunakan integral konvo-lusi, sehingga dengan x(t) = est

    y(t) =

    +

    h()x(t )d = +

    h()es(t)d (3.3)

    Dengan mengekspresikan es(t)sebagai estes , dan dapat kita lihat estdapat dikelu-arkan dari integral, maka persamaan (3.3) akan menjadi

    y(t) = est +

    h()esd (3.4)

    Asumsikan bahwa integral pada sisi kanan dari persamaan (3.4) konvergen, maka responterhadap estmemiliki bentuk

    y(t) = H(s)est (3.5)

    dengan H(s)adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memilikihubungan dengan respon impuls sistem, yaitu

    H(s) =

    +

    h()esd (3.6)

    Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction darisistem LTI waktu kontinu. Konstanta H(s) untuk sebuah nilai spesifik s adalah eigen-value yang berasosiasi dengan eigenfunction est.

    3.1.3 Sinyal kompleks eksponensial adalah eigenfunction dari sistem LTIDT

    Dengan cara yang sama kita dapat melihat bahwa barisan kompleks eksponensial adalaheigenfunction dari sistem LTI waktu kontinu. Lihatlah sistem LTI waktu diskrit denganrespon impuls h[n]. Untuk input x[n] = zn,

    y[n] =+

    k=h[k]x[n k] =

    +k=

    h[k]znk (3.7)

    Dengan mengekspresikan znksebagai znzk, dan dapat kita lihat zndapat dikeluarkandari integral, maka persamaan (3.7) akan menjadi

    y[n] = zn+

    k=h[k]zk (3.8)

    53

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    Asumsikan bahwa penjumlahan pada sisi kanan dari persamaan (3.8) konvergen, makarespon terhadap znmemiliki bentuk

    y[n] = H(z)zn (3.9)

    dengan H(s) adalah konstanta kompleks yang nilainya bergantung pada s dan memilikihubungan dengan respon impuls sistem, yaitu

    H(z) =+

    k=h[k]zk (3.10)

    Dari sini kita dapat melihat bahwa kompleks eksponensial adalah eigenfunction darisistem LTI waktu diskrit. KonstantaH(z) untuk sebuah nilai spesifik z adalah eigenvalueyang berasosiasi dengan eigenfunction zn.

    3.1.4 Kombinasi linear sinyal kompleks eksponensial

    Untuk analisis sistem LTI, kegunaan dari dekomposisi sinyal umum ke dalam eigenfun-ction dapat dari sebuah contoh. Misalkan x(t) berkorespondensi kepada kombinasi lineardari tiga buah sinyal kompleks eksponensial, yaitu,

    x(t) = a1es1t + a2e

    s2t + a3es3t (3.11)

    Dari sifat eigenfunction, respon masing-masing komponen adalah

    aes1t a1H(s1)es1t,a2e

    s2t a2H(s2)es2t,a3e

    s3t a3H(s3)es3t,

    dan dari sifat superposisi, respon terhadap input x(t) adalah penjumlahan dari responmasing-masing komponen, sehingga

    y(t) = a1H(s1)es1t + a2H(s2)e

    s2t + a3H(s3)es3t (3.12)

    Secara umum, pada waktu kontinu, persamaan (3.5), dengan sifat superposisi, meng-implikasikan bahwa representasi sinyal sebagai kombinasi linear dari sinyal komplekseksponensial memberikan kemudahan untuk memperoleh ekspresi dari respon dari se-buah sistem LTI. Secara spesifik, bila input terhadap seubah sistem LTI waktu kontinudirepresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial, yaitu, jika

    x(t) =k

    akeskt, (3.13)

    maka akan diperoleh output

    y(t) =k

    akH(sk)eskt. (3.14)

    Dengan analogi yang sama, jika input terhadap sistem LTI waktu diskrit direpresen-tasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal eksponensial yaitu, jika

    x[n] =k

    akznk , (3.15)

    54

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    maka akan diperoleh output

    y[n] =k

    akH(zk)znk . (3.16)

    Dengan perkataan lain, untuk waktu kontinu dan waktu diskrit, jika input terhadapsebuah sistem LTI direpresentasikan dengan kombinasi linear dari sinyal kompleks eks-ponensial, maka output juga dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyalkompleks eksponensial yang sama. Setiap koefisien pada representasi dari output dipe-roleh dengan perkalian koefisien ak dari input dan eigenvalue dari sistem H(sk) atauH(zk) yang berasosiasi dengan eigenfunction eskt atau znk .

    3.2 Representasi Deret Fourier pada sinyal CT

    3.2.1 Kombinasi linear dari sinyal kompleks eksponensial terhubungharmonik

    Sebuah sinyal dikatakan periodik jika, untuk terdapat nilai positif T ,

    x(t) = x(t+ T ) untuk semua t (3.17)

    Periode fundamental dari x(t) adalah nilai positif minimum tidak nol dari T sehinggapersamaan (3.17) dipenuhi, dan nilai 0 = 2pi/T didefinisikan sebagai frekuensi funda-mental dari sinyal x(t).Kita telah mempelajari dua sinyal dasar periodik, sinyal sinusoidal

    x(t) = cos0t (3.18)

    dan sinyal periodik kompleks eksponensial

    x(t) = ej0t. (3.19)

    Kedua sinyal ini periodik dengan frekuensi fundamental 0 dan periode fundamentalT = 2pi/0. Terdapat kumpulan sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonikdengan sinyal pada persamaan (3.19) yaitu

    k(t) = ejk0t = ejk(2pi/T )t, k = 0,1,2, . . . . (3.20)

    Tiap sinyal ini memiliki sebuah frekuensi fundamental yang merupakan kelipatan dari0, dan oleh sebab itu, masing-masing periodik dengan periode T (walaupun untuk|k| > 2, periode fundamental dari k(t) adalah pecahan dari T ). Maka, seubah kombinasilinear dari sinyal kompleks eksponensial yang terhubung harmonik dengan bentuk

    x(t) =

    +k=

    akejk0t =

    +k=

    akejk(2pi/T )t (3.21)

    juga periodik dengan periode T . Pada persamaan (3.21) term untuk k = 0 adalahsebuah konstanta. Term untuk k = +1 dan k = 1, keduanya memiliki frekuensifundamental 0 dan secara kolektif didefinisikan sebagai komponen fundamental ataukomponen harmonik pertama. Dua term untuk k = +2 dan k = 2, adalah periodikdengan setengah periode fundamental (atau ekuivalen, mempunyai frekuensi dua kalilebih besar) dari komponen fundamental dan didefinisikan sebagai komponen harmonik

    55

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    kedua. Secara umum, komponen untuk k = +N dan k = N didefinisikan sebagaikomponen harmonik ke-N.Representasi dari sinyal periodik dengan bentuk pada persamaan (3.21) didefinisikan

    sebagai representasi deret Fourier.Misalkan sebuah sinyal periodik x(t), dengan frekuensi fundamental 2pi, diekspresikan

    dengan bentuk

    x(t) =

    +3k=3

    akejk2pit, (3.22)

    dengan

    a0 = 1

    a1 = a1 = 14a2 = a2 = 12a3 = a3 = 13

    dengan menulis ulang persamaan (3.22) dan mengumpulkan setiap dari komponen har-monik yang memiliki frekuensi fundamental yang sama, kita akan memperoleh

    x(t) = 1 + 14(ej2pit + ej2pit) + 12(e

    j4pit + ej4pit) (3.23)+13(e

    j6pit + ej6pit).

    Dengan menggunakan relasi Euler, kita dapat menuliskan x(t) dalam bentuk

    x(t) = 1 +1

    2cos 2pit+ cos 4pit+

    2

    3cos 6pit. (3.24)

    Persamaan (3.24) adalah contoh dari bentuk alternatif dari deret Fourier untuk sinyalperiodik real. Secara spesifik, misalkan x(t) adalah bernilai real dan dapat direpresen-tasikan dalam bentuk persamaan (3.21). Karena x(t) = x(t), maka kita memperoleh

    x(t) =+

    k=akejk0t.

    Dengan mengganti k dengan k pada penjumlahan, kita mendapatkan

    x(t) =

    +k=

    akejk0t,

    maka bila dibandingkan dengan persamaan (3.21), maka haruslah ak = ak, atau ekiva-len juga dengan

    ak = ak. (3.25)

    Kita lihat bahwa pada contoh sebelumnya adalah kasus di mana ak adalah bernilai realdan ak = ak.Untuk menurunkan bentuk alternatif dari deret Fourier, kita harus menyusun pen-

    jumlahan dalam persamaan (3.21) menjadi

    56

  • 3 Fourier Series Untuk Sinyal Periodik

    x(t) = a0 +

    k=1

    [ake

    jk0t + akejk0t]

    dengan mengganti ak dengan ak dari persamaan (3.25) maka kita memperoleh

    x(t) = a0 +k=1

    [ake

    jk0t + akejk0t

    ].

    Karena dua term di dalam penjumlahan adalah pasangan kompleks konjugat, makakita peroleh

    x(t) = a0 +k=1

    2Re{ake

    jk0t}. (3.26)

    Jika ak dinyatakan dalam bentuk polar sebagai

    ak = Akejk ,

    maka persamaan (3.26) menjadi

    x(t) = a0 + 2

    k=1

    Re{Ake

    j(k0t+k)}.

    Dapat juga ditulis menjadi

    x(t) = a0 + 2k=1

    Ak cos(k0t+ k). (3.27)

    Persamaan (3.27) adalah satu bentuk dasar yang ditemui untuk deret Fourier untuk si-nyal real periodik waktu kontinu. Bentuk lain diperoleh dengan menulis akdalam bentukrectangular sebagai

    ak = Bk + jCk,

    dengan nilai Bkdan Ck keduanya bernilai real. Dengan ekspresi ini maka persamaan(3.26) a