soal jawab osp 2002 2008

28
OSP OSP (Olimpiade Sains Provinsi) adalah seleksi tingkat provinsi dari Olimpiade Sains Nasional. Soal OSP 2008 Bagian pertama 1. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah … 2. Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak … 3. Jika dan , maka 4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah … 5. Dalam bidang , banyaknya garis yang memotong sumbu di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik adalah … 6. Diberikan segitiga , tegak lurus sedemikian rupa sehingga dan . Jika , maka luas segitiga adalah … 7. Jika dan bilangan bulat yang memenuhi , maka 8. Diberikan segitiga , dengan , dan . Jika , maka besarnya sudut adalah … 9. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah …

Upload: moch-fandi-ansori

Post on 04-Jul-2015

776 views

Category:

Documents


11 download

TRANSCRIPT

Page 1: Soal Jawab OSP 2002 2008

OSP

OSP (Olimpiade Sains Provinsi) adalah seleksi tingkat provinsi dari Olimpiade Sains Nasional.

Soal OSP 2008

Bagian pertama

1. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah …

2. Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak …

3. Jika dan , maka

4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah …

5. Dalam bidang , banyaknya garis yang memotong sumbu di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik adalah …

6. Diberikan segitiga , tegak lurus sedemikian rupa sehingga dan . Jika , maka luas segitiga adalah …

7. Jika dan bilangan bulat yang memenuhi , maka

8. Diberikan segitiga , dengan , dan . Jika

, maka besarnya sudut adalah …

9. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah …

10. Diberikan segitiga dengan , dan . Titik dan berturut-turut pada dan sedemikian rupa sehingga membagi segitiga

menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum adalah …

11. Misalkan , , dan bilangan rasional. Jika diketahui persamaan mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah dan

. Nilai dari adalah …

12. Diketahui segitiga dengan sisi-sisi , , dan . Nilai sama dengan 16 kali luas segitiga . Besarnya nilai adalah …

Page 2: Soal Jawab OSP 2002 2008

13. Diberikan . Misalkan dan adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi . Nilai minimum dari adalah …

14. Banyak bilangan bulat positif kurang dari 2008 yang mempunyai tepat bilangan kurang dari dan relatif prima terhadap adalah …

15. Suatu polinom memenuhi persamaan untuk setiap bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi ) adalah …

16. Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah …

17. Tiga bilangan dipilih secara acak dari {1,2,3,…,2008}. Peluang jumlah ketiganya genap adalah …

18. Misalkan menyatakan banyaknya anggota himpunan . Jika dan , maka nilai yang mungkin untuk adalah …

19. Diketahui adalah garis tinggi dari segitiga . , , . Luas segitiga adalah …

20. Nilai dari

Bagian kedua

1. Carilah semua pasangan bilangan asli yang memenuhi .

2. Diberikan polinom real dan . Misalkan persamaan mempunyai 2008 selesaian real dan . Tunjukkan bahwa persamaan mempunyai selesaian real.

3. Lingkaran dalam dari segitiga , menyinggung sisi-sisi , , dan berturut-turut di , , dan . Melalui , ditarik garis tegak lurus yang

memotong di . Buktikan bahwa .

4. Bilangan 1, 2, 3, …, 9 disusun melingkar secara acak. Buktikan bahwa ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15.

5. Tentukan banyaknya bilangan positif 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adalah bilangan/kata yang sama jika dibaca dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Sebagai contoh 35353 adalah bilangan palindrom, sedangkan 14242 bukan.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2008

Page 3: Soal Jawab OSP 2002 2008

1. 82. 1209603. 4. 45. 26. 157. 5888. 9. 12510. 11. 200612. 413. 14. 1015. 316. 38/7317. 1/218. 6,7,8,9,1019. 37,520.

1. Jika , . Jika , . Sekarang anggap . Maka , sehingga . Tinggal dicek nilai dari 2 sampai 5, didapat satu

solusi lagi .

2. Misalkan . Maka , akibatnya terdapat di

mana , yaitu . Misalkan adalah bilangan real sehingga , jelas bahwa persamaan ini memiliki akar real. Maka

.

3. Misalkan adalah pusat lingkaran dalam segitiga . Perhatikan bahwa dan adalah layang-layang. Misalkan dan . Perhatikan bahwa dan . Maka

, sehingga . Tetapi , jadi .

Dengan cara yang sama kita dapat . Jadi .

4. Misalkan bilangan-bilangan itu secara berurutan adalah . Jika tidak ada yang lebih dari 15, maka

. Jumlahnya . Maka kesamaan harus terjadi,

akibatnya dan , kontradiksi.

5. Dalam modulo 3, berikut ini kemungkinan-kemungkinan nilainya (dua angka terakhirnya hanya mengikuti yang di depan): 00000, 01110, 02220, 10101, 11211, 12021, 20202, 21012, 22122. Angka yang 0 modulo 3 adalah 0, 3, 6, 9, tetapi 0 tidak boleh di depan. Angka yang 1 modulo 3 adalah 1, 4, 7, sedangkan angka yang 2 modulo 3 adalah 2, 5, 8. Karena kita hanya perlu melihat tiga angka pertamanya, maka banyaknya bilangan yang memenuhi adalah

Page 4: Soal Jawab OSP 2002 2008

Soal OSP 2007

1. Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah …

2. Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp 500, Rp 200, dan Rp 100 dengan nilai total Rp 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah …

3. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas segitiga itu adalah … satu luas.

4. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah …

5. Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga yang sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah …

6. Dona menyusun lima persegi yang kongruen menjadi satu bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm2, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah … cm.

7. Empat tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, suatu tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah, dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen, salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah …

8. Dalam bentuk sederhana,

9. Titik terletak di Kuadran I pada garis . Titik terletak pada garis demikian, sehingga tegak lurus terhadap garis dan . Maka koordinat

adalah …

10. Himpunan semua bilangan asli sehingga adalah kelipatan adalah …

11. Suku konstanta pada ekspansi adalah …

12. Absis titik potong garis dengan sumbu- dan ordinat titik potong garis dengan sumbu- adalah bilangan-bilangan prima. Jika juga melalui titik , persamaan adalah …

Page 5: Soal Jawab OSP 2002 2008

13. Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah …

14. Pada himpunan , nilai maksimum adalah 4. Maka

15. Sebuah kubus berukuran disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah …

16. Sebuah papan persegi dibagi ke dalam petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah …

17. Bilangan-bilangan asli dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu

bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah . Bilangan yang memungkinkan ini terjadi adalah …

18. Diberikan segitiga siku-siku di , titik pada dan titik pada . Jika dan , maka

19. Di antara semua solusi bilanga asli persamaan , solusi dengan terbesar adalah

20. Misalkan adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan . Untuk memastikan bahwa ada anggota yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota paling sedikit harus …

Bagian kedua

1. Misalkan adalah suatu segiempat dengan .a) Buktikan bahwa titik harus berada di luar segitiga .b) Buktikan bahwa setiap pasangan sisi berhadapan pada selalu sejajar.

2. Misalkan dan dua bilangan asli, yang satu bukan kelipatan yang lainnya. Misalkan pula adalah bilangan 2-angka, sedangkan dapat diperoleh dengan membalik urutan angka pada . Tentukan terbesar yang mungkin.

3. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi .

4. Pada segitiga lancip , diberikan , , dan adalah garis-garis tinggi, dengan , , dan berturut-turut pada sisi , , dan . Buktikan bahwa

.

Page 6: Soal Jawab OSP 2002 2008

5. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, …, 15, 16 disusun pada persegi . Untuk , misalkan adalah jumlah bilangan-bilangan pada baris ke- dan

adalah jumlah bilangan-bilangan pada kolom ke- . Misalkan pula dan adalaha jumlah bilangan-bilangan pada kedua diagonal. Susunan tersebut disebut antimagic jika dapat disusun menjadi sepuluh bilangan berurutan. Tentukan bilangan terbesar di antara sepuluh bilangan berurut ini yang dapat diperoleh dari sebuah antimagic.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2007

1. 99852. 460

3. 4. 20065. 12,5%6. 707. 108. 9. 10. {1,4,13}11. 67212. 13. 1614. 1015. 1:416. 6417. 6918. 19. (75,3)20. 5

1. Perhatikan bahwa , dan dengan cara serupa . Jika di dalam segitiga , jelas bahwa , maka bagian a terbukti. Misalkan

. Maka kita punya , sehingga , jadi , maka , bagian b terbukti.

2. Karena bukan kelipatan , maka . Tetapi , maka . Kita cek satu per satu dari nilai terbesar .

, , , , kontradiksi., , , , kontradiksi., , , , kontradiksi., , , , kontradiksi., , , kita bisa ambil . Jadi nilai ini

adalah nilai terbesar yang mungkin.

Page 7: Soal Jawab OSP 2002 2008

3. Perhatikan bahwa , maka , atau

. Misalkan , maka ,

diperoleh atau . Tetapi tidak punya solusi real, sedangkan

memiliki solusi .

4. Misalkan titik tinggi. Perhatikan bahwa , maka konsiklis. Jadi .

Dengan cara serupa, . Maka atau

. Perhatikan bahwa dan

. Jadi , yaitu

. Dengan cara yang sama, kita dapat dan . Jadi . Setelah disederhanakan, ini menjadi , dan kita selesai.

5. Jumlah semua bilangan adalah 1+2+…+16=136, maka . Misalkan

dan dan . Jika adalah delapan

bilangan berurutan, maka , yaitu , bukan bilangan bulat, kontradiksi. Jadi atau nilainya di antara dan . Jika hanya satu yang di antaranya, anggap . Maka

, maka , sehingga . Jadi dan . Jadi nilai maksimum untuk kasus ini adalah 39, ini bisa didapat dengan kotak-kotak berikut:15 2 12 4 1 14 10 5 8 9 3 16 11 13 6 7 Jika , maka dan

, sehingga . Sekali lagi . Jadi jawabannya 39.

Soal OSP 2006

Bagian pertama (90 menit, 1 poin per soal)

1. Jumlah semua bilangan bulat di antara adalah …

2. Pada trapesium , . Trapesium ini memiliki lingkaran dalam. Jika , maka keliling trapesium adalah …

3. Himpunan semua yang memenuhi adalah …

Page 8: Soal Jawab OSP 2002 2008

4. Bilangan prima dua angka terbesar yang merupakan jumlah dua bilangan prima lainnya adalah …

5. Dari barisan geometri 1, 1/2, 1/4, 1/8, .., diambil sebagian suku-sukunya sehingga didapat barisan geometri tak hingga baru yang jumlahnya 1/7. Tiga suku pertamanya adalah …

6. Luas sisi-sisi sebuah balok adalah 486, 486, 243, 243, 162, 162, volumenya adalah ….

7. Nilai maksimum fungsi .

8. Diberikan fungsi . Jika grafik memotong sumbu- di tepat tiga titik, maka

9. Misalkan , . Bilangan genap terkecil sehingga habis dibagi adalah …

10. Jika , maka

11. Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,…,8} adalah …

12. Dari setiap angka , bilangan dibuat dengan menuliskan ketiga bilangan

, yaitu . Contohnya, jika . Kesepuluh bilangan itu memiliki faktor persekutuan terbesar ….

13. Jika , maka

14. Sebuah kelas akan memilih seorang murid di antara mereka untuk mewakili kelas tersebut. Setiap murid mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Peluang seorang murid laki-laki terpilih sama dengan 2/3 kali peluang terpilihan seorang murid perempuan. Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah …

15. Pada segitiga , garis bagi sudut memotong sisi di titik , jika dan , maka

16. Jika membagi , maka

17. Dari titik , dibuat dua sinar yang membentuk sudut lancip . Titik-titik berbeda terletak pada sinar sedangkan terletak di . Jika

, maka

18. Banyaknya bilangan 7-angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka 2504224 adalah …

Page 9: Soal Jawab OSP 2002 2008

19. Evan membuat barisan bilangan asli yang memenuhi untuk dan . Jika 2006 muncul

dalam barisan, nilai terkecil yang mungkin adalah …

20. Pada segitiga , garis-garis berat dari titik dan saling tegak lurus. Nilai minimum adalah …

Bagian kedua (120 menit, 7 poin per soal)

1. Misalkan siku-siku di . Titik pada sehingga garis tinggi. Jika berturut-turut titik tengah , buktikan .

2. Misalkan bilangan asli yang memenuhi . Diberikan himpunan bilangan asli . Berapa banyak anggota yang harus dipilih paling sedikit sehingga ada satu pasang anggota yang jumlahnya 2006?

3. Misalkan di mana bilangan asli. (a) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli , atau . (b) Buktikan bahwa jika dan hanya jika untuk suatu bilangan asli .

4. Win punya dua koin. Ia melakukan prosedur berikut berulang-ulang: lempar semua koin yang ia punya bersamaan; koin yang muncul dengan sisi angka diberikan kepada Albert. Tentukan peluang Win mengulangi prosedur ini lebih dari tiga kali.

5. Misalkan adalah bilangan-bilangan asli. Jika semua akar ketiga persamaan adalah bilangan asli,

tentukan .

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2006

1. 9122. 2303. {-1,1,2}4. 735. 1/8, 1/64, 1/5126. 43747. 38. 9. 8

10. 11. 1212. 313. 314. 40%15. 4/316. -12

17. 18. 360

Page 10: Soal Jawab OSP 2002 2008

19. 97320. 2/3

1. Misalkan , . Kita punya

dan . Tetapi

, sehingga tidak terdefinisi, akibatnya dan terbukti.

2. Jika hanya diambil 1003, kita bisa ambil 1,2,3,…,1003, tidak ada yang jumlahnya 2006. Tetapi jika diambil 1004, menurut prinsip rumah merpati pada pasangan berikut: (1,2005), (2,2004), (3,2003), …, (1002,1004), (1003), maka pasti ada dua bilangan yang jumlahnya 2006.

3. Kita punya

maka bagian a terbukti. Nilai tercapai jika habis dibagi 3, yaitu , bagian b juga selesai.

4. Jika pada lemparan pertama muncul satu angka dan satu gambar, lemparan kedua

dan ketiga harus muncul dengan gambar, maka peluangnya . Sekarang

anggaplah pada lemparan pertama muncul dua gambar. Peluang ini . Jika lemparan kedua memunculkan satu angka dan satu gambar, lemparan ketiga harus

memunculkan gambar, peluangnya . Maka peluang pada kasus ini . Jika pada lemparan kedua muncul dua gambar, lemparan ketiga tidak boleh muncul

dua angka, maka peluangnya . Jadi peluang kasus ini . Jadi

peluang totalnya .

5. Perhatikan bahwa diskriminan ketiga persamaan harus kuadrat sempurna. Jadi juga kuadrat sempurna. Tetapi , jadi

. Dengan cara yang sama, . Jadi . Jadi .

Karena bilangan asli . Kita juga dapat .

Soal OSP 2005

Bagian pertama (1 poin per soal)

1. Jika bilangan rasional dan bilangan irasional, maka adalah bilangan …

2. Jumlah sepuluh bilangan prima pertama adalah …

3. Banyaknya himpunan sehingga adalah …

Page 11: Soal Jawab OSP 2002 2008

4. Jika maka tiga angka pertama adalah …

5. Misalkan sebuah trapesium dengan . Titik dan berturut-turut adalah titik tengah dan . Titik pada dengan dan pada

dengan . Rasio luas terhadap adalah …

6. Bilangan tiga angka terkecil yang adalah bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik sempurna sekaligus adalah …

7. Jika bilangan asli sehingga adalah bilangan rasional, maka

8. Jika , ,

9. Ketika mendaki bukit, seseorang berjalan dengan kecepatan 1,5 km/jam. Ketika menuruni bukit, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit adalah …

10. Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi memiliki keliling yang sama. Jika luas segitiga , luas segienam adalah …

11. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang kedua angka adalah bilangan prima adalah …

12. Keliling sebuah segitiga sama sisi adalah . Misalkan adalah titik di dalam segitiga itu. Jika jumlah jarak dari ke ketiga sisinya adalah , maka dinyatakan dalam adalah …

13. Barisan bilangan asli dengan yang memenuhi , adalah …

14. Empat titik berbeda terletak di sebuah garis. Jarak antara dua titik sebarang dapat diurutkan menjadi 1,4,5,k,9,10. Maka k=…

15. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memiliki tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat ke anggota lain untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah …

16. Banyaknya pasangan bilangan bulat sehingga adalah …

17. Himpunan A dan B saling lepas dan . Hasil perkalian semua unsur sama dengan jumlah semua unsur . Unsur terkecil adalah …

18. Bentuk sederhana dari

19. Misalkan adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga sama sisi. Misalkan adalah titik tengah rusuk dan

Page 12: Soal Jawab OSP 2002 2008

adalah titik tengah rusuk . Jika panjang rusuk adalah 1 satuan panjang, maka panjang adalah …

20. Jika memenuhi , maka tidak akan lebih besar dari …

Bagian kedua (7 poin per soal)

1. Panjang sisi terbesar pada segiempat tali busur adalah , dan jari-jari lingkaran luarnya adalah 1. Tentukan nilai minimum dan tentukan segiempat bagaimana yang memberikan nilai minimum tersebut.

2. Di dalam sebuah kotak ada 4 bola yang bernomor 1,2,3,4. Anggi mengambil bola dengan acak, mencatat nomornya, kemudian dikembalikan. Ini dilakukan empat kali. Jika jumlah dari keempat bola adalah 12, berapa peluang bola yang terambil semuanya 3?

3. Jika adalah akar-akar dari , tentukan .

4. Panjang ketiga sisi dari sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat dengan . Tentukan sehingga nilai kelilingnya sama dengan nilai luasnya.

5. Misalkan dan dua himpunan, masing-masing beranggotakan bilangan-bilangan asli berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur dan rata-rata unsur-unsur adalah 5002. Jika , tentukan unsur terbesar yang mungkin dari

.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2005

1. Irasional2. 1293. 84. 3515. 1/26. 7297. (1,12)8. 9. 6,75 km

10. 11. 5/1212. 13. 21,2,114. 615. 400816. 1617. 218. 20202/30300

Page 13: Soal Jawab OSP 2002 2008

19. 20.

1. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan . Maka busur adalah yang terkecil, sudutnya maksimum adalah . Jadi . Ini terjadi ketika segiempat itu adalah persegi.

2. Kemungkinan diambilnya adalah (1,3,4,4),(2,2,4,4),(3,3,3,3). Hitung banyaknya

cara masing-masing, didapat probabilitas (3,3,3,3) adalah .

3. Dengan teorema Vieta, , , . Maka

4. Misalkan (ini adalah tripel

Pythagoras). Kelilingnya adalah dan luasnya . Buat persamaan dan selesaikan dalam bilangan bulat, didapat .

5. Misalkan . Maka adalah bilangan terbesar dari . Buat persamaan berdasarkan informasi bahwa jumlah rata-ratanya adalah 5002, didapat . Karena , maka nilai maksimum adalah 5993.

Soal OSP 2004

Bagian pertama (1 poin per soal)

1. Jika bilangan real tak nol dengan dan , tentukan nilai .

2. Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan sirup dan air 1:4 Berapa gelas minuman yang didapat dari satu botol sirup jika perbandingan larutan sirup dan air 1:5?

3. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia di luar pulau Jawa?

4. Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan. Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapa rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil seharusnya?

5. Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat (0,0). Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua di kuadran II, pusat lingkaran ketiga di kuadran III. Jika adalah titik di dalam ketiga lingkaran itu, di kuadran mana titik itu berada?

6. Diberikan gambar pertama, kedua dan ketiga seperti berikut. Tentukan banyaknya bulatan hitam pada gambar ke- .

Page 14: Soal Jawab OSP 2002 2008

7. Diberikan segitiga dengan perbandingan panjang sisi . Garis bagi sudut luar memotong perpanjangan di titik ( ). Tentukan

.

8. Berapa banyak tripel bilangan cacah dengan ?

9. Tentukan semua bilangan asli sehingga 6 habis membagi .

10. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi .

11. Dari 6 kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu. Berapa peluang terambil dua kartu yang jumlah nomornya 6?

12. Pada trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya tegak lurus. Jika satu diagonalnya memiliki panjang 5, berapa luasnya?

13. Tentukan nilai dari .

14. Santi dan Tini berlari sepanjang lintasan melingkar. Keduanya mulai dari titik pada saat yang sama, tetapi arahnya berlawanan. Santi berlari 1,5 kali lebih cepat dari Tini. Jika adalah diameter lingkaran lintasan itu dan mereka berpapasan pertama kali di , berapa besar ?

15. Pada sisi-sisi dari segitiga , diambil titik sehingga

, , . Jika , tentukan .

16. Jika sehingga , berapa ?

17. Berapa banyak titik minimal yang diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi

2 sehingga dapat dijamin bahwa ada dua titik yang jaraknya tidak lebih dari .

18. Fungsi memenuhi untuk semua bilangan bulat . Berapa nilai ?

19. Tiga bilangan asli ( yang terkecil, yang terbesar) memenuhi tetapi . Tentukan

agar jumlahnya minimal.

20. Definisikan . Kita sebut adalah “faktor” dari jika ada sehingga . Tentukan semua “faktor” positif dari 67.

Bagian kedua (7 poin per soal)

1. Tentukan semua tripel bilangan real sehingga

Page 15: Soal Jawab OSP 2002 2008

2. Pada segitiga diberikan titik pada sisi sehingga garis

berpotongan di titik . Buktikan .

3. Beni, Coki dan Doni tingggal serumah dan belajar di sekolah yang sama. Setiap pagi ketiganya berangkat pada saat yang sama. Untuk sampai ke sekolah Beni memerlukan waktu 2 menit, Coki memerlukan waktu 4 menit, sedangkan Doni memerlukan waktu 8 menit. Selain itu tersedia sebuah sepeda yang hanya dapat dinaiki satu orang. Dengan sepeda, setiap orang memerlukan waktu hanya 1 menit. Tunjukkan bahwa adalah mungkin bagi ketiganya untuk sampai ke sekolah dalam waktu tidak lebih dari 2 3/4 menit.

4. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat sehingga .

5. Jika adalah titik letis berbeda pada bidang, buktikan bahwa terdapat sepasang titik sehingga terdapat satu titik letis pada ruas garis .

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2004

1. 42. 723. 40%4. 4:15. Kuadran II6. 7. 3:18. 50509. Semua bilangan asli10. 11. 2/1512. 50/313. 1/200514. 15. 7/2416. 017. 1718. 200519. (6,10,15)20. 1,3,16,33,67

1. Jumlahkan ketiganya, didapat , .

2. Perhatikan bahwa . Buat dua persamaan lagi dengan cara serupa, jumlahkan.

3. Coki naik sepeda sampai setengah perjalanannya, kemudian melanjutkan dengan jalan kaki. Beni memundurkan sepeda sampai 1/4 perjalanan, kemudian ia melanjutkan perjalanan dengan berjalan kaki. Terakhir, Doni berjalan sampai berada

Page 16: Soal Jawab OSP 2002 2008

di tempat sepeda dan melanjutkan dengan naik sepeda. Mudah dicek bahwa mereka bertiga akan sampai di sekolah dalam waktu 2,75 menit.

4. Andaikan ada bilangan-bilangan bulat yang memenuhi itu. Perhatikan bahwa relatif prima. Maka untuk suatu bilangan asli .

maka . Tetapi , kontradiksi.

5. Ada 4 kombinasi paritas yang mungkin untuk . Maka ada dua titik yang paritasnya sama, akibatnya titik tengahnya adalah titik letis. Contoh, titik (3,5) dan (7,11) paritasnya sama (ganjil dan ganjil), maka titik tengahnya (5,8) juga titik letis.

Soal OSP 2003

Bagian pertama (1 poin per soal, 90 menit)

1. Jika bilangan bulat ganjil, berapa banyak bilangan bulat genap antara .

2. Rata-rata tiga ulangan Agung 81. Ulangan pertama 85. Ulangan ketiga 4 nilai lebih rendah dari ulangan kedua. Berapa nilai ulangan kedua Agung?

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari .

4. Nilai adalah 3,5,7,8, dalam suatu urutan. Berapa nilai maksimum yang mungkin?

5. Misalkan bilangan asli berbeda. FPB mereka adalah 12, KPK mereka 840. Berapa nilai maksimum ?

6. Berapa bilangan bulat positif terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan kali 2003) habis dibagi 9?

7. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real . Berapa nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut sehingga

?

8. Segitiga siku-siku sama kaki dengan luas . Titik pada sisi beruturut-turut sehingga membentuk persegi. Tentukan

luas .

9. Tentukan nilai sehingga peluang jumlah semua mata dadu adalah 6 menjadi maksimum.

10. Suatu garis vertikal membagi segitiga (0,0), (1,1), (9,1) menjadi dua daerah dengan luas yang sama, tentukan persamaan garis itu.

11. bilangan asli dengan . Berapa ?

Page 17: Soal Jawab OSP 2002 2008

12. Berapa nilai sehingga ?

13. Titik dalam sehingga . Tentukan sudut .

14. Ada 5 kaleng cat merah, 5 kaleng cat kuning, 5 kaleng cat biru. Kita pilih kaleng-kaleng untuk dicampur dan kaleng yang dipakai harus dihabiskan. Ada berapa macam warna yang dapat dihasilkan?

15. Pak Oto membeli dua mobil untuk dijual lagi. Ia mendapat untung 30% dari mobil pertama, tetapi rugi 20% pada mobil kedua, Harga kedua mobil sama. Berapa persen untung (atau rugi) Pak Oto secara total?

16. Empat pasang suami isteri menonton orkestra. Tempat mereka harus dipisah antara kelompok suami dan kelompok isteri. Untuk masing-masing kelompok, ada 4 tempat duduk bersebelahan. Ada berapa cara menempatkan mereka?

17. Sebuah bola dengan radius ditendang dari ke . Dari titik ada bidang miring yang membentuk sudut dengan . Bola ditendang dari ke dan berputar 10 kali sampai membentuk dinding. Berapa jarak ?

18. Berapa sisa bagi oleh 101?

19. Lingkaran memiliki diameter yang panjangnya bilangan asli 2 digit. Tali busur tegak lurus memotong di . Panjang adalah bilangan yang didapat

dengan menukar digit-digit . Jika jarak ke pusat adalah bilangan rasional, tentukan diameter lingkaran.

20. Berapa banyak cara memiliki tiga bilangan berbeda, tidak ada dua yang berurutan, dari himpunan {1,2,3,…,10}?

Bagian kedua (7 poin per soal, 120 menit)

1. Dalam suatu permainan, kancil selalu jujur dan serigala selalu bohong.A: B adalah kancil.C: D adalah serigala.E: A bukan serigala.B: C bukan kancil.D: E dan A adalah binatang berbeda.Tentukan banyaknya serigala.

2. Tentukan bilangan bulat sehingga rasional.

3. Titik adalah titik tengah rusuk pada kubus . Jika panjang rusuk kubus 1 satuan, tentukan luas .

4. Buktikan .

Page 18: Soal Jawab OSP 2002 2008

5. Tiga titik terletak pada daerah yang dibatasi sumbu dan grafik . Buktikan bahwa ada dua dari tiga titik itu yang jaraknya tidak lebih dari 4 satuan.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2003

1. 2. 813. {-4,3}4. 41/75. 12846. 97.

8. 9. 110. 11. 100300212. 1613. 14. 11815. -20/21% (rugi)16. 115217. 18. 10019. 6520. 54

1. A,B,D,E serigala, C kancil. Ada 4 serigala.

2. Misalkan , dengan bilangan bulat relatif prima. Sederhanakan, didapat . Maka . Cek ke persamaan awal semua kemungkinannya, didapat .

3. Perhatikan bahwa adalah belah ketupat. Didapat luasnya .

4. Dengan AM-GM, , sederhanakan, didapat ketaksamaan yang diinginkan.

5. Perhatikan bahwa daerah itu dibagi menjadi dua bagian yang sama oleh sumbu . Tanpa mengurangi keumuman, anggap ada dua titik pada bagian atas sumbu- (pasti ada menurut prinsip rumah burung). Mudah dilihat bahwa jarak terjauh dari dua titik pada bagian ini adalah 4 satuan.

Soal OSP 2002

1. Misalkan . Berapakah ?

Page 19: Soal Jawab OSP 2002 2008

2. Jika , tuliskan sebagai fungsi dari .

3. Misalkan . Tuliskan dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan.

4. Bilangan real 2,525252… adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk di mana bilangan bulat, . Jika dipilih dan yang relatif prima, berapakah ?

5. Misalkan dan berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari ?

6. Tinjau persamaan yang berbentuk . Berapa banyak persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika ?

7. Diketahui tiga bilangan . Pernyataan “jika ,maka ” tidak benar. Apakah pernyataan yang benar dalam hal ini?

8. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipa-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai penggnati satu pipa 10 cm?

9. Sebuah segitiga sama sisi, persegi, dan lingkaran memiliki keliling yang sama. Luas mana yang terbesar?

10. Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 7,10,12. Jika sisi-sisinya diperpanjang menjadi tiga kali lipat, berapa rasio luas segitiga yang terbentuk dengan segitiga awal?

11. pengurus organisasi terbagi menjadi 4 komisi. Setiap pengurus adalah anggota dari 2 komisi. Setiap 2 komisi memiliki tepat satu pengurus yang sama. Berapakah nilai ?

12. Didefinisikan untuk semua bilangan real . Jika < tuliskan sebagai sebuah selang (interval).

13. Sisi dari segitiga berimpit dengan diameter sebuah setengah lingkaran. Titik bergerak sedemikian rupa sehingga titik tengah selalu berada pada setengah lingkaran. Tentukan lengkungan tempat kedudukan .

14. Cari bilangan bulat terbesar yang membagi semua bilangan berikut .

15. Jika dengan bilangan bulat untuk semua dan . Tentukan semua pasangan .

16. Berapa sisanya jika dibagi 100?

Page 20: Soal Jawab OSP 2002 2008

17. Empat pasang suami istri duduk di sebuah kursi. Laki-laki dan perempuan boleh duduk bersebelahan jika dan hanya jika mereka suami istri. Berapa banyak penyusunan yang mungkin?

18. Berapa banyak bilangan 4 digit dengan ?

19. Diberikan segi-2002 beraturan. Tentukan banyaknya segitiga yang dibentuk dari titik-titik sudut segitiga tetapi sisi-sisinya bukan sisi dari segi-2002 tersebut.

20. Lomba lari maraton diikuti empat sekolah. Setiap sekolah mengirimkan lima pelari. Pelari yang masuk pada urutan ke-1,2,3,4,5,6 mendapat nilai 7,5,4,3,2,1 berturut-turut, yang lain mendapat 0. Nilai sekolah dihitung dari jumlah nilai kelima pelarinya. Sekolah A ternyata menang, dan tidak ada yang masuk finish bersamaan. Ada berapa banyak kemungkinan nilai sekolah tersebut?

1. Lima buah bilangan asli berbeda dipilih. Diberikan lima informasi:a) untuk setiap dua bilangan, salah satunya habis dibagi yang lainnya;b) adalah yang terbesar atau yang terkecil;c) tidak membagi dan sekaligus;d) ;e) atau membagi tetapi tidak sekaligus keduanya.Tentukan urutan yang mungkin.

2. Tentukan semua bilangan bulat positif sehingga juga bulat positif.

3. Diberikan sebuah bilangan 6-angka. Buktikan bahwa keenam angka bilangan tersebut dapat disusun ulang sedemikian rupa, sehinggga jumlah tiga angka pertama dan jumlah tiga angka terakhir berselisih tidak lebih dari 9.

4. Diberikan segitiga sama sisi dan titik sehingga jarak ke dan tidak lebih dari jarak ke . Buktikan bahwa jika dan hanya jika terletak pada lingkaran luar .

5. Bangun datar yang dibentuk empat persegi dan seperti huruf T disebut tetromino. a) Tunjukkan bahwa kita bisa menutup papan catur dengan 16 tetromino. b) Tunjukkan bahwa kita tidak bisa menutup papan dengan 25 tetromino. Tidak boleh ada tetromino yang tumpang tindih dan penutupan harus sempurna tanpa celah.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2002

Kunci Jawaban dan Petunjuk:

1. -1

2. Kali silang dan susun suku-sukunya, didapat .

Page 21: Soal Jawab OSP 2002 2008

3. Gunakan teorema binomial, didapat .

4. Misalkan . Cari nilai dan kurangi . Jawabannya adalah 349.

5. . Jawabannya adalah 37.

6. Diskriminannya yaitu tidak negatif. Ada 19 persamaan.

7. dan .

8. Hitung perbandingan luas volumenya. Perlu 12 pipa.

9. Lingkaran.

10. Jika sisi-sisi sebuah poligon diperpanjang menjadi kali lipat, luasnya menjadi kali lipat. Dalam kasus ini, jawabannya 9.

11. .

12. . Jawabannya .

13. Dengan kongruensi, buktikan . Lengkungannya setengah lingkaran berpusat di dan jari-jari , tidak termasuk ujung-ujungnya.

14. . Jadi jawabannya tidak lebih dari 30. Tinggal buktikan bahwa bilangan itu habis dibagi 30.

15. Cari batasan-batasannya dan buktikan . Kemudian cari dan seterusnya. Didapat pasangan terurutnya .

16. Dua angka terakhir dari adalah 43,49,07,01,43,49,07,01$ dan seterusnya, tergantung sisanya jika dibagi 4. Dua angka terakhir dari adalah 07.

17. Laki-laki tidak mungkin diapit dua perempuan, perempuan tidak mungkin diapit dua laki-laki. Hanya ada empat jenis penyusunan: IIIISSSS,SSSSIIII,SISISISI,ISISISIS di mana I adalah istri dan S adalah suami. Banyak penyusunan adalah 336

18. Tetapkan nilai , maka memiliki pilihan sampai 9, kemudian memiliki pilihan sampai 9, terakhir memiliki pilihan sampai 9. Jumlahnya adalah

.

19. Hitung banyak segitiga semua, banyak segitiga dengan satu sisi pada segi-2002, banyak segitiga dengan dua sisi pada segi-2002. Gunakan prinsip inklusi-eksklusi. Banyak segitiga yang memenuhi adalah 1331332002.

20. Sekolah pemenang memiliki nilai 7 sampai 21, ada 15 kemungkinan.

Page 22: Soal Jawab OSP 2002 2008

1. Bagi dua kasus, adalah bilangan terbesar atau terkecil. Pada kasus pertama, analisis syarat-syarat memberikan . Bagi kasus lagi, didapat

. Pada kasus kedua, kita tahu , analisis pembagian kasus lagi memberikan atau .

2. , juga bulat positif. Bagi kasus jika , dan jika

. Didapat .

3. Misalkan digit-digitnya . Perhatikan susunan .

4. Ini benar menurut Pompeiu’s Theorem. Misalkan dirotasi terhadap titik menjadi . Maka . Perhatikan bahwa dan . Maka adalah segitiga sama sisi sehingga . Akibatnya , dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika adalah garis lurus, yaitu , dengan kata lain pada lingkaran luar .

5. a) Kita bisa tutup seperti berikut:

b) Warnai kotak-kotak itu seperti papan catur hitam putih. Satu tetromino bisa menutupi satu kotak putih atau tiga kotak putih. Misalkan adalah banyaknya tetromino yang menutupi satu kotak putih. Karena ada 25 tetromino dan 50 kotak putih, maka dan kita dapat bahwa bukan bilangan bulat, kontradiksi.