soal dan penyelesaian ring

8/16/2019 Soal Dan Penyelesaian Ring

1/11

SOAL DAN PENYELESAIAN RING

1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Jawaban:

P = {3x|x ∈ Z }

Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b ∈ P.Perhatikan :

a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)

= (x+y) + (x+y) + (x+y)

= 3(x+y)

Karena x+y ∈ Z, maka a+b ∈ P

2. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a+b = b+a

Perhatikan:

a+b = 3x + 3y = 3(x+y)= 3(y+ x)

= 3y + 3x= b + a

3. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)

Perhatikan:

a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)

= 3x + 3(y+z)=3(x+ (y+z))

= 3((x+y) + z)

= 3(x+y) + 3z

= (3x + 3y) + 3z

= (a+b) + c

4.

Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.Ambil sebarang a = 3x P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.

Perhatikan:

a + 0 = 3x + 3.0

= 3(x+0)

= 3x

= a

Ini berarti 0 unsur nol dalam P.

5. Ambil sebarang a = 3x ∈ P. Pilih b = 3(-x) ∈ P. Akan ditunjukkan – (3x) = 3(-x)Perhatikan:

3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))= 3.0

= 0

Jadi – (3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b ∈ P.

Perhatikan:

a .b = 3x . 3y

= 3. 3xy

= 3(3xy)

Karena 3xy ∈ Z, maka a.b ∈ P.

2. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c

Perhatikan:

a.(b.c) = 3x(3y . 3z)= 3x(3(3yz))


2/11

= 3.3.3(x(yz))

= 3.3.3((xy)z)

= 3.3(xy) . 3z

= (3x . 3y). 3z

= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1. Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈ P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a

Perhatikan:

a(b+c) = 3x(3y + 3z)

= 3x(3(y + z))= 3.3(x(y + z))

= 3.3(xy + xz)

= 3.3xy + 3.3xz

= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x

= ((y+z)3). 3x

= ((y+z)x)3.3= (yx + zx)3.3

= 3.3yx + 3.3zx

= 3y.3x + 3z.3x

= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1. Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈ P. Akan ditunjukkan a.b = b.a

Perhatikan:a .b = 3x. 3y

= 3.3xy

= 3.3yx

= 3y. 3x

= b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif .

2. Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

Bukti :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang

menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka petadari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.

Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudahdibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:

x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z

sehingga:

xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.

Akibatnya:

xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.

Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .

Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)


3/11

Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

3. Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring

bagian dari R.

Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong. Terhadap operasi pergandaan bersifat( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2

dan terhadap operasi pengurangan bersifat

( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2

Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetapdalam Q (√2 ). Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.

Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleksC = { a + b i │a, b dalam R }

Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti jugaC mengandung R.

4. Tunjukan bahwa Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .) adalah merupakan Homomorfisma.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley Grup (Z2,+) dan (H = {-1, 1}, .)

Dari tabel di atas menunjukkan kedua grup (Z2,+) dan (H, .) tidak sama, tetapi dari kedua tabel tersebut

menunjukkan suatu kemiripan satu dengan yang lainnya. Jumlah dari sebarang dua unsur di (Z2,+)

berkorespodensi pada hasil kali kedua unsur yang bersesuaian di (H, .), sehingga terdapat korespodensi 1 – 1dari kedua tabel tersebut.

Hal ini menunjukkan bahwa kedua Grup memiliki struktur yang sama. Jadi kedua Grup tersebut dikatakanIsomorfik. Sekarang akan ditunjukan bahwa pemetaan p : (Z2,+) → (H,.), untuk setiap a, b ∈ Z2. Dari tabeldiketahui pemetaan p(0) = 1 dan p(1) = -1,

sehingga :

p(a + b) = p(a) . p(b)

p(0 + 1) = p(0) . p(1)

p(1) = 1 . -1

-1 = -1

https://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture2.jpg


4/11

Jadi terbukti bahwa p : (Z2,+) → (H, .) suatu Homomorfisma yang pemetaannya bijektif, sehingga merupakanIsomorfisma.

5. Tunjukan bahwa Z4adalah merupakan suatu Ring.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (Z4, +) dan (Z4, .)-0

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4,+)

– Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 + 0 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 = 0

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

– Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari Z6, misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 ∈ Z4

(a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2

a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = 2

maka Z4 assosiatif

– Adanya unsur satuan atau identitas

https://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture3.jpg


5/11

Ambil sebarang nilai dari Z4

misalkan 0 ∈ Z4

0 + e = e + 0 = 0

misalkan 1 ∈ Z4

1 + e = e + 1 = 1

misalkan 2 ∈ Z4

2 + e = e + 2 = 2

misalkan 3 ∈ Z4

3 + e = e + 3 = 3

maka Z4 ada unsur satuan atau identitas

– Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0 ∈ Z4, pilih 0 ∈ Z4,sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0) -1 = 0

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 1 ∈ Z4, pilih 3 ∈ Z4,

sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1) -1 = 3

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 ∈ Z4, pilih 2 ∈ Z4,sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2) -1 = 2

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 3 ∈ Z4, pilih 1 ∈ Z4,

sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3) -1 = 1

maka Z4 ada unsur balikan atau invers

– Komutatif

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan a = 2, b = 3 ∈ Z4

(a + b) = (2 + 3) = 1

(b + a) = (3 + 2) = 1

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = 1

maka Z4 komutatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z4, +).

2. Semigrup terhadap perkalian (Z4,.)

– Tertutup

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 0, 1, 2, 3 ∈ Z4

1 . 0 = 0


6/11

1 . 1 = 1

1 . 2 = 2

1 . 3 = 3

karena hasilnya 0, 1, 2, 3 ∈ Z4, maka tertutup terhadap Z4

– Assosiatif


(a . b) . c = (2 . 1) . 3 = 2 . 3 = 2

a . (b . c) = 2 . (1 . 3) = 2 . 3 = 2

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = 2

maka Z4 assosiatif

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z4, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan


a.(b + c) = 2.(1 + 3)

= 2.(0)

= 0

(a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3)

= 2 + 6

= 0

Maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0

(a + b).c = (2 + 1).3

= (3).3

= 1

(a.c) + (b.c) = (2.3) + (1.3)

= 2 + 3

= 1


7/11

Maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1

Jadi, Z4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena Z4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z4 adalah suatu Ring (Z4,+,.).

6. Dari soal no.5 tunjukan bahwa Ring (Z4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Dari soal no.6, telah ditunjukan bahwa Z4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z4,+,.). Sekarang akan ditunjukan

sifat komutatif dari Ring tersebut.

a . b = b . a, a,b ∈ Z4

Ambil sebarang nilai dari Z4, misalkan 2 dan 3∈

Z4 (pada tabel no.6)

2 . 3 = 2

3 . 2 = 2

Sehingga

2 . 3 = 3 . 2 = 2

Karena Ring (Z4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif

atau Ring Abelian.

7. Misalkan P = {genap, ganjil} dan P ⊆ Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan “genap” dan “ganjil”adalah suatu Ring Komutatif.

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley (P, +) dan (P, .)

Dari tabel di atas akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi :

1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+)

– Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap, ganjil ∈ P

genap + genap = genap

https://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/tabel.jpg


8/11

genap + ganjil = ganjil

ganjil + ganjil = genap

Karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P

– Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap ∈ P

(a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil

a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil

Sehingga :

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil

Maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap

maka P ada unsur satuan atau identitas

– Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih genap ∈ P,

sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap)-1 = genap

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil)-1 = ganjil

maka P ada unsur balikan atau invers

– Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P

(a + b) = (genap + ganjil) = ganjil

Sehingga :

(a + b) = (b + a) = ganjil

maka P komutatif


9/11

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +).

2. Monoid terhadap perkalian (P, .)

– Tertutup

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap dan ganjil ∈ P

genap . ganjil = genap

genap . genap = genap

ganjil . ganjil = ganjil

karena hasilnya genap dan ganjil ∈ P, maka tertutup terhadap P

– Assosiatif


(a . b) . c = (genap . ganjil) . genap = genap . genap = genap

a . (b . c) = genap . (ganjil . genap) = genap . genap = genap

Sehingga :

(a . b) . c = a . (b . c) = genap

maka P assosiatif


Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap ∈ P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga genap . e = e . genap = genap, maka e = ganjil

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil ∈ P, pilih ganjil ∈ P,

sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil

maka P ada unsur satuan atau identitas

– Komutatif

Ambil sebarang nilai dari P, misalkan a = genap, b = ganjil ∈ P

(a . b) = (genap . ganjil) = genap

(b . a) = (ganjil . genap) = genap

Sehingga :

(a . b) = (b . a) = genap

maka P komutatif


10/11

Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P, .).

3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan


a.(b + c) = genap . (ganjil + genap)

= genap.(ganjil)

= genap

(a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap)

= genap + genap

= genap

maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap

(a + b).c = (genap + ganjil). Genap

= (ganjil). Genap

= genap

(a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap)

= genap + genap

= genap

maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap

Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif

(P,+, .).

8. Dari soal no 7, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Tunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut

adalah Integral Domain.

Penyelesaian :

Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif.

Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain:a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0

Misalkan :

X = {…,-3, -1, 1, 3, …} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {…, -4, -2, 0, 2, 4,…} adalah himpunan bilangan genap.

Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur

nol.


11/11

Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b

= 0, ∀ a,b ∈ P.

9. Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a ≠ 0, serta b,c ∈ R.Tunjukan bahwa b = c.

Penyelesaian :

ab = ac, maka:

ab – ac = 0a(b – c) = 0

Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a ≠ 0, maka : b – c = 0

Jadi b = c

11. Tunjukan bahwa Z4 bukan merupakan Integral Domain.

Penyelesaian :

Daftar Cayley (Z4, .)

Dari tabel diatas, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperoleh [2].[2] = 0,

sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] ≠ [3].

Jadi dapat disimpulkan bahwa Z4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu[2].
https://ciiekaajn.files.wordpress.com/2012/05/picture4.png

soal dan penyelesaian ring

Documents