soal dan bahas osp matematika sma tahun 2012.pdf

Download Soal dan Bahas OSP Matematika SMA Tahun 2012.pdf

Post on 18-Feb-2015

245 views

Category:

Documents

133 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

SELEKSI TINGKAT PROPINSICALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012MATEMATIKA SMA/MAPETUNJUK UNTUK PESERTA:1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagiankedua terdiri dari 5 soal uraian.2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.4. Untuk soal bagian pertama:(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda dimintamemberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilaihanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotakdi sebelah kanan setiap soal.5. Untuk soal bagian kedua:(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sam-pai kepada jawaban akhir tersebut.(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali padasketsa gambar.7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelahpengawas memberi tanda.9. Selamat bekerja.1Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................BAGIAN PERTAMA1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkarandalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan34x 51y = 2012z:Nilai dari x +y +z adalah...3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan be-raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaanf(x) =px| a dan g(x) =sx2 x_2_adengan a bilangan bulat positif. Diketahui x| menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurangdari atau sama dengan x. Jika domain g f adalah x[312 _ x < 4, maka banyaknya a yangmemenuhi sebanyak...5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menye-babkan n2+pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::6. Untuk sebarang bilangan real x didenisikan x sebagai bilangan bulat yang terdekat denganx; sebagai contoh 1; 9 = 2; 0; 501 = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu bilanganbulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhin3_ko= nadalah...7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk123456789123456789:::123456789adalah...28. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehinggaAMAB = 0; 017, dan titik N pada AD sehingga ANAD = 172009. Misal- kan ACMN = P, maka ACAP =...9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikiansehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3x2+x 2 = 0, maka p3+q3+r3= ....11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2+n5= 252, maka m+n =...12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30

, dan \ADC =45

. Panjang AC =...13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidakbisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkinadalah...14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidaklebih dari 3: Selanjutnya didenisikan himpunanS =

1n[n H

:Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan x| menya- takan bilanganbulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka x| = ...15. Diberikan dua lingkaran 1 dan 2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B denganAB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran

1 dan 2 masing-masing di P dan Q. Jika PQ = 3 dan jari-jari lingkaran 1 adalah 13, makajari-jari lingkaran 2 adalah : : :16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi1x + 1y 1xy2 = 34adalah ......317. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13, nilai minimum 19x6 + 14y6 adalah ......18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi4a+ 4a2+ 4 = b2adalah ......19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan Ddan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AECDdan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n _ 2012 dan merupakan bilangan kuadratsempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...4Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................BAGIAN KEDUASoal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistempersamaan a +b = xyx +y = ab5Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan8 pi1(n!)4untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!9 SELEKTIM OKSI OLIMLIMPIADPrestaDisus MPIADE DE MATEasi itu dirSOLUBAGIANsun oleh : TINGKAEMATIKAraih bukanUSI SOAN PERTA Eddy HeAT PROVA INDONn didapatAL AMA rmanto, SVINSI 20NESIA 20t !!! ST 012 013 Solusi SMA Neger BAGIAN PER 1. Tanpa mMisalkanKarena Jadi, O aMisalkan12r(o +br = 1 Karena OJadi, E aOE = ODOI2 = OEOI = 12S Jadi, 2. 34x 51Karena 3Karena 334x 51x = 1009x + y + z Jadi, 3. BanyaknPeluang Jadi, Ori 5 BengkulRTAMA mengurangi kn juga R adaABC siku-siadalah perten D adalah tib + c) = |ABO adalah peadalah titik ED = 12 AC2 + IE2 = [12S , panjang OI1y = 2012z d34 dan 2012 34 dan 51 ha(2) = 2012(19 yang memez = 1009 + 2 , nilai dari xnya kejadian ada angka y, peluang adOlimpiadelu keumuman mlah jari-jari iku di A makengahan BC.itik pada ABBC] = 6 rtengahan Bsinggung gaC r = 12 2+ (1)2 I = 125. engan x, y, habis dibagabis dibagi 117) enuhi bahwa + 17 = 1028x + y + z adan semua angkyang sama =da angka yane Matema misalkan AC lingkaran luka BC adalah. B sehingga OBC maka D aris OD terha z adalah bilgi 2 maka y h17 maka z haa x adalah balah 1028. ka dadu ber= 1 - 8x7x6x584ng sama = 1525atika Tk P = 3 ; AB = uar dan r adh diameter lD AB dan dalah perteadap lingkaralangan primahabis dibagi abis dibagi 1ilangan primrbeda = 8 x 75= 151256 5156 Provinsi 2 4 ; BC = 5dalah jari-jarlingkaran lua E pada OD sngahan AB san dalam. Ma. 2. Karena y17. Karena zma. 7 x 6 x 5. 2012 E. ri lingkaran ar ABC. sehingga IE sehingga AD Maka IE = 2. y prima makz prima makBagian Eddy Herma dalam ABC OD. = 2. ka y = 2. ka z = 17. Pertama anto, ST C. Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 4. (x) = |xj -o dan g(x) = _x2 -x2u dengan a adalah bilangan bulat positif. (go)(x) = _|xj -o -2|xj - 2oo Karena S12 x < 4 maka |xj = S. Untuk S12 x < 4 maka (x) = S -o sehingga (go)(x) = _S -o -6 -2oo Syarat yang harus dipenuhi adalah a s 3 (1) dan S -o -6 -2oo u a(3 a)2 > 6 2a (2) Jika a = 1 maka 1 (3 1)2 = 4 dan 6 2(1) = 4 Jika a = 2 maka 2 (3 2)2 = 2 dan 6 2(2) = 2 Jika a = 3 maka 3 (3 3)2 = 0 dan 6 2(3) = 0 Maka nilai a bulat positif yang memenuhi adalah a = 1 atau a = 2 atau a = 3. Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3. 5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn juga merupakan kuadrat sempurna. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m e N dan p adalah bilangan prima. (2n + p)2 p2 = m2 p2 = (2n + p + m)(2n + p m) Maka ada 2 kasus : - Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0 Didapat n = 0 yang tidak memenuhi syarat bahwa n e N. - Jika 2n + p + m = p2 dan 2n + p m = 1 Jumlahkan kedua persamaan didapat 4n + 2p = p2 + 1 4n = (p 1)2 n = (p-1)24 Karena p adalah bilangan prima ganjil maka akan didapat n e N. Jadi, S = ]nn = (p-1)24 dengan p bilangan prima > 2. 6. |k3| = n = 2u12m dengan m e N n -12 < k3< n +12 n3 -32n2 +34n -18 < k < n3 +32n2 +34n +18 Karena n habis dibagi 2012 maka 32n2 dan 34n keduanya bilangan asli. Jadi, n3 -32n2 +34n k n3 +32n2 +34n Solusi SMA NegerMaka ba Jadi, 7. Misalkanangka-anm = 1234Jelas baJuga jelKarena 1999 = 33 103 1 (Jadi, jik103 1 (Jadi, jikKarena 3Maka bil Jadi, 8. PerhatikTanpa mMaka koPersamaPersamaPerpotocb+uxP =1b+uxP =17u1000b-200xP = b+u177Maka ACAP Jadi, 9. Misalkanpasangadan C, akasus : Ori 5 Bengkulanyaknya nila, banyaknyan m = 12345ngka berula456789(1 + hwa 3|1234as bahwa 9 12345678912 37 (mod 37) Maka k = 37 ma(mod 27) Maka k = 27 ma3|123456789langan asli n, banyaknyakan gambar.mengurangi kordinat C(b aan garis AC aan garis MNngan garis A= 1000c1000b-2009u= 10001000b-2009u09u = 1001000b-u7 sehingga yCP = xC-xAxP-xA = , ACAP = 177. n A, B, C dannya dan xAantara C danOlimpiadelu ai k yang mea nilai k yang6789123456ng setiap 9 a109 + 1018 + 456789. membagi 1223456789 haaka 109n 1 ka 37|m = 1aka 109n 1 ka 27|1 + 19 dan 27|1 n < 100 yanga bilangan as keumuman m + a, c). Koo adalah y =