SELEKSI TINGKAT PROPINSICALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012MATEMATIKA SMA/MAPETUNJUK UNTUK PESERTA:1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagiankedua terdiri dari 5 soal uraian.2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.4. Untuk soal bagian pertama:(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda dimintamemberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilaihanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotakdi sebelah kanan setiap soal.5. Untuk soal bagian kedua:(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sam-pai kepada jawaban akhir tersebut.(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali padasketsa gambar.7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelahpengawas memberi tanda.9. Selamat bekerja.1Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................BAGIAN PERTAMA1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkarandalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan34x 51y = 2012z:Nilai dari x +y +z adalah...3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan be-raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaanf(x) =px| a dan g(x) =sx2 x_2_adengan a bilangan bulat positif. Diketahui x| menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurangdari atau sama dengan x. Jika domain g f adalah x[312 _ x < 4, maka banyaknya a yangmemenuhi sebanyak...5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menye-babkan n2+pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::6. Untuk sebarang bilangan real x didenisikan x sebagai bilangan bulat yang terdekat denganx; sebagai contoh 1; 9 = 2; 0; 501 = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu bilanganbulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhin3_ko= nadalah...7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk123456789123456789:::123456789adalah...28. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehinggaAMAB = 0; 017, dan titik N pada AD sehingga ANAD = 172009. Misal- kan ACMN = P, maka ACAP =...9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikiansehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3x2+x 2 = 0, maka p3+q3+r3= ....11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2+n5= 252, maka m+n =...12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30

, dan \ADC =45

. Panjang AC =...13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidakbisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkinadalah...14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidaklebih dari 3: Selanjutnya didenisikan himpunanS =

1n[n H

:Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan x| menya- takan bilanganbulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka x| = ...15. Diberikan dua lingkaran 1 dan 2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B denganAB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran

1 dan 2 masing-masing di P dan Q. Jika PQ = 3 dan jari-jari lingkaran 1 adalah 13, makajari-jari lingkaran 2 adalah : : :16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi1x + 1y 1xy2 = 34adalah ......317. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13, nilai minimum 19x6 + 14y6 adalah ......18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi4a+ 4a2+ 4 = b2adalah ......19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan Ddan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AECDdan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n _ 2012 dan merupakan bilangan kuadratsempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...4Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................BAGIAN KEDUASoal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistempersamaan a +b = xyx +y = ab5Nama: .................................... Kelas: ........Sekolah: ......................................................Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan8 pi1(n!)4untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!9 SELEKTIM OKSI OLIMLIMPIADPrestaDi sus MPIADE DE MATEasi itu dirSOLUBAGIANsun ol eh : TINGKAEMATIKAraih bukanUSI SOAN PERTA Eddy HeAT PROVA INDONn didapatAL AMA r mant o, SVINSI 20NESIA 20t !!! ST 012 013 Sol usi SMA Neger BAGIAN PER 1. Tanpa mMi sal kanKar ena Jadi , O aMi sal kan12r(o +br = 1 Kar ena OJadi , E aOE = ODOI2 = OEOI = 12S Jadi , 2. 34x 51Kar ena 3Kar ena 334x 51x = 1009x + y + z Jadi , 3. BanyaknPel uang Jadi , Ori 5 BengkulRTAMA mengur angi kn j uga R adaABC si ku- siadal ah per t en D adal ah t ib + c) = |ABO adal ah peadal ah t i t i k ED = 12 AC2 + IE2 = [12S , panj ang OI1y = 2012z d34 dan 2012 34 dan 51 ha( 2) = 2012( 19 yang memez = 1009 + 2 , ni l ai dar i xnya kej adi an ada angka y, pel uang adOlimpiadelu keumuman ml ah j ar i - j ar i i ku di A makengahan BC.i t i k pada ABBC] = 6 r t engahan Bsi nggung gaC r = 12 2+ (1)2 I = 125. engan x, y, habi s di bagabi s di bagi 117) enuhi bahwa + 17 = 1028x + y + z adan semua angkyang sama =da angka yane Matema mi sal kan AC l i ngkar an l uka BC adal ah. B sehi ngga OBC maka D ar i s OD t er ha z adal ah bi lgi 2 maka y h17 maka z haa x adal ah b al ah 1028. ka dadu ber= 1 - 8x7x6x584ng sama = 1525atika Tk P = 3 ; AB = uar dan r adh di amet er lD AB dan dal ah per t eadap l i ngkar al angan pr i mahabi s di bagi abi s di bagi 1i l angan pr i mr beda = 8 x 75= 151256 5156 Provinsi 2 4 ; BC = 5dal ah j ar i - j arl i ngkar an l ua E pada OD sngahan AB san dal am. Ma. 2. Kar ena y17. Kar ena zma. 7 x 6 x 5. 2012 E. r i l i ngkar an ar ABC. sehi ngga IE sehi ngga AD Maka IE = 2. y pr i ma makz pr i ma makBagi an Eddy Herma dal am ABC OD. = 2. ka y = 2. ka z = 17. Per t ama anto, ST C. Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Per t ama SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 4. (x) = |xj -o dan g(x) = _x2 -x2u dengan a adal ah bi l angan bul at posi t i f . (go)(x) = _|xj -o -2|xj - 2oo Kar ena S12 x < 4 maka |xj = S. Unt uk S12 x < 4 maka (x) = S -o sehi ngga (go)(x) = _S -o -6 -2oo Syar at yang har us di penuhi adal ah a s 3 (1) dan S -o -6 -2oo u a(3 a)2 > 6 2a (2) Ji ka a = 1 maka 1 (3 1)2 = 4 dan 6 2(1) = 4 Ji ka a = 2 maka 2 (3 2)2 = 2 dan 6 2(2) = 2 Ji ka a = 3 maka 3 (3 3)2 = 0 dan 6 2(3) = 0 Maka ni l ai a bul at posi t i f yang memenuhi adal ah a = 1 at au a = 2 at au a = 3. Banyaknya ni l ai a yang memenuhi ada 3. 5. Kar ena n2 + pn bi l angan kuadr at sempur na maka 4n2 + 4pn j uga mer upakan kuadr at sempur na. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m e N dan p adal ah bi l angan pr i ma. (2n + p)2 p2 = m2 p2 = (2n + p + m)(2n + p m) Maka ada 2 kasus : - Ji ka 2n + p + m = p dan 2n + p m = p Maka di dapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0 Di dapat n = 0 yang t i dak memenuhi syar at bahwa n e N. - Ji ka 2n + p + m = p2 dan 2n + p m = 1 Juml ahkan kedua per samaan di dapat 4n + 2p = p2 + 1 4n = (p 1)2 n = (p-1)24 Kar ena p adal ah bi l angan pr i ma ganj i l maka akan di dapat n e N. Jadi , S = ]nn = (p-1)24 dengan p bilangan prima > 2. 6. |k3| = n = 2u12m dengan m e N n -12 < k3< n +12 n3 -32n2 +34n -18 < k < n3 +32n2 +34n +18 Kar ena n habi s di bagi 2012 maka 32n2 dan 34n keduanya bi l angan asl i . Jadi , n3 -32n2 +34n k n3 +32n2 +34n Sol usi SMA NegerMaka ba Jadi , 7. Mi sal kanangka-anm = 1234Jel as baJuga j elKar ena 1999 = 33 103 1 (Jadi , j i k103 1 (Jadi , j i kKar ena 3Maka bi l Jadi , 8. Per hat i kTanpa mMaka koPer samaPer samaPer pot ocb+uxP =1b+uxP =17u1000b-200xP = b+u177Maka ACAP Jadi , 9. Mi sal kanpasangadan C, akasus : Ori 5 Bengkulanyaknya ni l a, banyaknyan m = 12345ngka ber ul a456789( 1 + hwa 3|1234as bahwa 9 12345678912 37 (mod 37) Maka k = 37 ma(mod 27) Maka k = 27 ma3|123456789l angan asl i n, banyaknyakan gambar .mengur angi kor di nat C( b aan gar i s AC aan gar i s MNngan gar i s A= 1000c1000b-2009u= 10001000b-2009u09u = 1001000b-u7 sehi ngga yCP = xC-xAxP-xA = , ACAP = 177. n A, B, C dannya dan xAant ar a C danOlimpiadelu ai k yang mea ni l ai k yang6789123456ng set i ap 9 a109 + 1018 + 456789. membagi 1223456789 haaka 109n 1 ka 37|m = 1aka 109n 1 ka 27|1 + 19 dan 27|1 n < 100 yanga bi l angan as keumuman m + a, c) . Koo adal ah y =N adal ah y -AC dan MN ad[xP - 171000oxP - 171000b-2002009uxP - 1b+yP = cb+uxP =C-AP-A = 177 an D adal ahA, xB, xC dann D dan ant ae Matema emenuhi adag memenuhi789123456angka yai t u + 109(k-1)) 23456789. abi s di bagi 1( mod 37) un123456789( 1( mod 27) un09 + 1018 + + 109 + 1018 g mempunyasl i n < 100 yami sal kan kooor di nat H[ 110cb+ux u = 12009c-12009b- 110dal ah t i t i k Po 2009uo 1+uxP = xP[(= c177. Jadi , 7 h 4 or ang da xD adal ah bar a D dan A.atika Tk Pa [n3 +32n2 ada 3n2 +6789 mer upa 123456789. 1 maka 11 jnt uk n bi l ang + 109 + 101nt uk n bi l ang + 109(k-1) se + + 109( k- 1i kel i pat an mang memenuor di nat A( 0, 17000o, u dan000u[x - 171000P 3009u(b+u)(1000b-2 koor di nat Pal am ar ah sbanyaknya k. Jel as bahwProvinsi 2+34n - [n31. akan bi l anga j uga membagan bul at t a8 + + 109( kgan bul at t aehi ngga 27|1) maka 81|mm adal ah 1,uhi ada 9. 0), B(a, 0) n N[ 172009b, 1200o 2009u) P [b+u177 , c177 sear ah j ar umkur si yang bewa xA, xB, xC 2012 E3 -32n2 +34nan t er di r i daagi m. k negat i f . k-1)) k negat i f . m m 3, 9, 11, 27dan D( b, c) .17009c. . m j am yanger ada ant ar dan xD semBagi an Eddy Herman + 1 = Sn2ar i 9k angka7, 33, 37, 81. g t i dak dudur a A dan B, auanya genaPer t ama anto, ST 2 +1. a dengan 1, 99. uk dekat ant ar a B p. Ada 4 Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Per t ama SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST - Kasus 1, xA = 0, xB = 0, xC = 0 dan xD = 6. A, B, C dan D akan ber dekat an. Agar di ant ar a mer eka t i dak ada sepasang suami i st er i maka mer eka har us duduk ber sel ang sel i ng. Banyaknya car a memi l i h A ada 10. Banyaknya car a memi l i h B hanya 8 sebab B t i dak bol eh pasangan A. Car a memi l i h C dan D hanya ada sat u car a memi l i hnya sebab mer eka pasangannya A dan B. Banyaknya car a menyusun 3 pasang l ai nnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840. - Kasus 2, xA = 0, xB = 2, xC = 2 dan xD = 2. A dan B akan ber dekat an sehi ngga t i dak mungki n pasangan suami i st er i . Banyaknya car a memi l i h A dan B adal ah 10 x 8. C adal ah pasangan A at au B sehi ngga banyaknya car a memi l i h C dan D adal ah 2 x 1. Banyaknya car a menyusun 3 pasang l ai nnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680. - Kasus 3, xA = 0, xB = 0, xC = 2 dan xD = 4. A, B dan C akan ber dekat an sehi ngga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya car a memi l i h A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya car a memi l i h C dan D hanya ada 1. Banyaknya car a menyusun 3 pasang l ai nnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840. - Kasus 4, xA = 0, xB = 2, xC = 0 dan xD = 4. A dan B akan ber dekat an sehi ngga t i dak mungki n pasangan suami i st er i . Banyaknya car a memi l i h A dan B adal ah 10 x 8. C adal ah pasangan A at au B sehi ngga banyaknya car a memi l i h C dan D adal ah 2 x 1. Banyaknya car a menyusun 3 pasang l ai nnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680 - Kasus 5, xA = 0, xB = 0, xC = 4 dan xD = 2. A, B dan C akan ber dekat an sehi ngga B bukan pasangan A at au C. Banyaknya car a memi l i h A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya car a memi l i h C dan D hanya ada 1. Banyaknya car a menyusun 3 pasang l ai nnya adal ah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840 Banyaknya car a menyusun secar a kesel ur uhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880. Jadi , banyaknya car a menyusun secar a kesel ur uhan = 26880. 10. x3 x2 + x 2 = 0 akar - akar nya p, q dan r . p + q + r = 1 pq + pr + qr = 1 pqr = 2 Al t er nat i f 1 : (p + q + r )3 = p3 + q3 + 3 + 3p2q + 3p2r + 3pq2 + 3pr2 + 3q2r + 3qr2 + 6pqr (p + q + r )3 = p3 + q3 + r3 + 3( pq + pr + qr ) ( p + q + ) 3pqr 13 = p3 + q3 + r3 + 3(1)(1) 3( 2) p3 + q3 + r3 = 4 Al t er nat i f 2 : p2 + q2 + r2 = ( p + q + r )2 2(pq + pr + qr ) = 12 2 1 = 1 p, q dan r adal ah akar - akar per samaan x3 x2 + x 2 = 0 maka p3 p2 + p 2 = 0 q3 q2 + q 2 = 0 Sol usi SMA Negerr3 r2 + Di dapat p3 + q3 +p3 + q3 +p3 + q3 + Jadi , 11. m2 + n5 =n5 s 252- Ji ka - Ji ka - Ji ka Maka pa Jadi , 12. Mi sal kanAsIn30c =AD = 2x Pada AAC2 = ADAC2 = (2xMaka ni l Jadi , 13. Ada 2 ka- Ji ka Bany5 adBany- Ji ka BanyBanyBanyBanyBanyakn Jadi , Ori 5 Bengkul r 2 = 0 + r3 (p2 + q+ r3 + 1 + 1 =+ r3 = 4 , p3 + q3 + r3= 252 denga sehi ngga n n = 1 maka n = 2 maka n = 3 maka asangan ( m, , m + n = 6. n panj ang BDBsIn15c cos 15o. ACD ber l aku D2 + DC2 2 x cos 15o)2 +l ai AC ber ga, bel um dapasus : D sebagai pyaknya car a a 1. yaknya car a D bukan sebyaknya car a yaknya car a yaknya car a yaknya car a nya car a men, banyaknyaOlimpiadelu 2 + r2) + p + = 6 3 = 4. an m, n e N s 3 m2 = 251. T m2 = 220. T m2 = 9. Ni l a n) yang mem D = x. Kar en AD DC co+ ( 3 x)2 2nt ung dengapat di t ent ukapel ar i per t am memi l i h pe = 4x3x2x1 =bagai pel ar i memi l i h pel memi l i h pel memi l i h pel = 3x3x2x1x3nyusun pel aa car a menyue Matema q + r = 6 Ti dak ada m Ti dak ada m ai m e N yanmenuhi adala ZADC = 45s 45o 2( 2x cos 15o)an x. an panj ang Ama l ar i ke- 2 ada= 24 per t ama l ar i ke- 1 adal ar i ke- 5 adal ar i ke- 2 ada3 = 54 r i = 24 + 54 usun pel ar i =atika Tk Pe N yang me N yang mng memenuhl ah ( 3, 3). 5o maka ZAD)( 3 x) cos 4AC. a 4, pel ar i ka 3. a 3. a 3 dan pel a = 78. = 78. Provinsi 2emenuhi . emenuhi . hi hanya m =DB = 135o se45o ke- 3 ada 3, par i ke- 3 ada 2012 E= 3. ehi ngga ZBA pel ar i ke- 4 a 2 dan pel arBagi an Eddy HermaAD = 15o. ada 2 dan pei ke- 4 ada 1Per t ama anto, ST el ar i ke-. Sol usi SMA Neger14. H = { 20 36 = 729 210 = 102x = 2103p = 36 (32 (210 p = 36 ((24 1) +p = 1492q = 210 2 < pq < Jadi , 15. Mi sal kandengan AJel as bper sekutKar ena MMi sal kanAN2 = ARr2 = 52 + 4r = 29 Jadi 16. 1x + 1 -xJel as ba- Ji ka 1x -x1 34Ni l aiTet a- Ji ka - J34NOri 5 Bengkul 30, 20 31, 2 dan 37 = 2124 dan 211 = 6+2103S+210321036(210 + 29 + + 29 + + 2(211 1) + 3+ 30 29 (222263 + 49717 36 = 746. 496S , |xj = 2. n M dan N beAB di R. Jel aahwa gar i s t uan. Jadi , AMA = 13 dann j ar i -j ar i 2 R2 + RN2 ( r 2)2 j ar i - j ar i l i ng1x2 = 34 denghwa x, y = 0 x < 0 maka 1x2 u 34 i y yang memapi unt uk y = x > 0 Ji ka y < 0 34 = 1x + 1 -xNi l ai x yang Olimpiadelu 20 32, 20 387 2048. 34++2036= + 1) + 35 (6) + 31 (210 5 21 (210 2 1) 78 + 165240 6 er t uur t - t ur uas bahwa R mel al ui kAR MR dan AR = 5 mak = r . gkar an 2 = an x, y e Z . menuhi hany= 1 maka 1x +12 < 1x memenuhi he Matema 33, , 210 30pq dengan q (210 + 25 + + 210 + + 1) + 34 23 + 54862 + 1t adal ah pusadal ah per t ekedua pusatn AR RN. ka MR = 12. J294. ya y = 1 + 1 - 1x2 = 1hanya x = 1.atika Tk P0) = 210 36. + 21) + 34 27) + 30 (21 (28 1) + 7856 + 5760sat l i ngkar anengahan ABt l i ngkar an Jadi , RP = 1 1 = 34 Provinsi 2(210 + 25 + 10 + 29) 33 24 (27 0 + 1536 = 2n 1 dan 2.. Jadi , AR = akan mem dan QR = P2012 E + 23) + 33 1) + 32 2. 234. 697. . Mi sal kan j u RB = 5. mot ong t egQ RP = 3 Bagi an Eddy Herma (210 + 25 + 6 (25 1) +uga MN ber pgak l ur us t 1 = 2. Per t ama anto, ST + 24) + + 31 27 pot ongan t al i busur Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Per t ama SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST 1 - 12 = -14 4y 4 = y2 (y + 2)2 = 8 Ti dak ada y bul at yang memenuhi . - Ji ka y > 0 - Ji ka x s y 34 = 1x + 1 - 1x2 < 1x + 1 2x x s 2 Ji ka x = 1 maka t i dak ada y yang memenuhi . Ji ka x = 2 maka 1 - 122 = 14 4y 2 = y2 (y 2)2 = 2 Ti dak ada y bul at yang memenuhi . - Ji ka y s x 34 = 1x + 1 - 1x2 < 1x + 1 2 y s 2 Ji ka y = 1 maka t i dak ada x bul at yang memenuhi . Ji ka y = 2 maka 14 = 34x yang di penuhi ol eh x = 3. Pasangan ( x, y) = ( 3, 2) memenuhi per samaan. Banyaknya pasangan bi l angan bul at ( x, y) yang memenuhi ada 1. Jadi , banyaknya pasangan bi l angan bul at ( x, y) yang memenuhi ada 1. 17. xy = 13 Ber dasar kan ket aksamaan AM-GM maka 19x6 + 146 2 _[ 19x6 [ 146 = 13 [ 1x3= 13 S3 = 9 Jadi , ni l ai mi ni mal dar i 19x6 + 146 adal ah 9. 18. Lemma : Akan di bukt i kan dengan i nduksi mat emat i ka bahwa 4n > 4n2 unt uk n e N dan n > 2. Bukt i : Ji ka n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3)2 = 36 Andai kan benar unt uk n = k maka di angap benar 4k > 4k2 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + ( k 2) 8k + 16k + 4k2 Kar ena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + ( k 2) 8k + 16k + 4k2 > 4k2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 Maka t er bukt i bahwa j i ka 4k > 4k2 maka 4k+1 > 4(k + 1)2 unt uk k > 2. Jadi , t er bukt i bahwa 4n > 4n2 unt uk n e N dan n > 2 4a + 4a2 + 4 = b2. Kar ena r uas ki r i habi s di bagi 4 maka b genap. Mi sal kan b = 2m maka 4a-1 + a2 + 1 = m2 Ji ka a ganj i l maka r uas ki r i di bagi 4 akan ber si sa 2 at au 3 yang t i dak memenuhi syar at . Mi sal kan a = 2n maka 42n-1 + 4n2 + 1 = m2 Sol usi SMA NegerBer dasa(22n- 1)2 =(22n- 1)2 2 + 4n2 + 1 < 4+ 1 < ( 22n- 1 ++ 1)2 maka m2 t er1 + 4n2 + 1 =1 + 4n2 + 1 =ngan bul at pa pasangan bACD = o. Mi smaka ZAFC o dan ZACF =dan ZACB =nus pada Au) aka ( 60o + o) sino =12S c0o. C = 30o. 2, pangkat 4. Bi l angan ncar ai banyan A, B, C dang mer upakadan 452 = 202dan 133 = 219an 55 = 3125 n 37 = 2187 me Matema 2 maka 42n- 1 + 4n + 1 1)2 r l et ak di an 9 = 32. 81 = 92. posi t i f ( a, b)bi l angan bul asal kan j uga p = 120o. = o maka ZC 60o + o makABC maka cos o +12sino4, pangkat pangkat 9 jaknya bi l ann D ber t ur utn pangkat 225 maka ban97 maka ban maka banyamaka banyakatika Tk P = (22n- 1)2 + t ar a 2 bi l an) yang memeat posi t i f ( apanj ang AC CAF = 60o ka ZABC = 6o 6, pangkat j uga mer upagan pangkat - t ur ut adal a, pangkat 3,nyaknya angnyaknya angaknya anggoknya anggot aProvinsi 2 2 22n- 1 + 1 ngan kuadr aenuhi adal ah, b) yang me= x sehi ngga o sehi ngga 60o o. 8 dan panakan bi l angat 2 at au paah hi mpunan, pangkat 5 ggot a hi mpunggot a hi mpunot a hi mpunana hi mpunan 2012 E= ( 22n- 1 + 1)2at ber ur ut anh ( 2, 6) , ( 4, emenuhi adaa panj ang AB ZBAC = 60ongkat 10 segan pangkatangkat 3 atn semua ang dan pangkanan A = |A|nan B = |B|n C = |C| = D = |D| = 2Bagi an Eddy Herma2 n. Maka t i da 18) . a 2. B = 2x. . muanya me 3. Jadi , pet au pangkatggot a bi l angt 7. = 44. = 12. 4. 2. Per t ama anto, ST ak ada n er upakan er soal an t 5 at au an bul at Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Per t ama SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST AB adal ah hi mpunan semua anggot a bi l angan bul at posi t i f n s 2012 yang mer upakan pangkat 2 dan j uga pangkat 3 yang ber ar t i mer upakan hi mpunan pangkat 6. Kar ena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggot a hi mpunan AB = |AB|= 3. Dengan car a yang sama di dapat |AC| = 2 ; |AD| = 1 ; |BC| = 1 ; |BD| = 1 ; |CD| = 1. |ABC | = 1 ; |ABD | = 1 ; |ACD | = 1 ; |BCD | = 1. |ABCD | = 1 |ABCD | = |A| + |B| + |C| + |D| |AB| |AC| |AD| |BC| |BD| |CD| + |ABC | + |ABD | + |ACD | + |BCD | |ABCD |. |ABCD | = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56 Jadi , banyaknya bi l angan yang memenuhi ada 56. SELEKTIM OKSI OLIMLIMPIADPrestaDi susMPIADE DE MATEasi itu dirSOLUBAGIAsun ol eh : TINGKAEMATIKAraih bukanUSI SOAAN KED Eddy HeAT PROVA INDONn didapatAL DUA r mant o, SVINSI 20NESIA 20t !!! ST 012 013 Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Kedua SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST BAGIAN KEDUA 1. a, b, x, y bi l angan bul at t ak negat i f . a + b = xy x + y = ab Ji ka sal ah sat u di ant ar a a, b, x dan y sama dengan 0, t anpa mengur angi keumuman mi sal kan saj a a = 0 maka x + y = 0 sehi ngga x = y = 0 dan membuat b = 0. Jadi , j i ka sal ah sat u di ant ar a a, b, x at au y sama dengan 0 maka yang l ai n akan sama dengan 0. Andai kan bahwa t i dak ada sat upun di ant ar a a, b, x at au y sama dengan 0. Kar ena a dan b si met r i s maka dapat di andai kan a s b. Kar ena a bi l angan bul at l ebi h dar i 0 maka x + y = ab > b 2x + 2y > 2b Kar ena a s b maka xy = a + b s 2b 2x + 2y > 2b > a + b = xy Jadi , di dapat 2x + 2y > xy ( x 2)(y 2) s 4 Kar ena x dan y si met r i s maka t anpa mengur angi keumuman dapat di mi sal l kan x s y. Maka x s 4. - Ji ka x = 1 a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab (a 1) ( b 1) = 2 Di dapat a = 2 dan b = 3 sehi ngga y = 5 - Ji ka x = 2 a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab (2a 1) ( 2b 1) = 9 Di dapat a = 1 dan b = 5 sehi ngga y = 3 at au a = 2 dan b = 2 sehi ngga y = 2 - Ji ka x = 3 a + b = 3y dan 3 + y = ab 9 + a + b = 3ab (3a 1) ( 3b 1) = 28 Di dapat a = 1 dan b = 5 sehi ngga y = 2 - Ji ka x = 4 Maka y = 4 a + b = 16 dan 8 = ab Ti dak ada a dan b bul at yang memenuhi . Semua t upel ( a, b, x, y) yang memenuhi adal ah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2). 2. x = 1 + y -z2 y = 1 +z - x2 z = 1 + x -y2 Kar ena akar suat u bi l angan t i dak mungki n negat i f maka x, y, z > 1. Al t er nat i f 1 : Kar ena x, y, z > 1 maka x2 > x ; y2 > y dan z2 > z 4Sol usi SMA NegerKar ena xKar ena yDengan Jadi , t r i Al t er natKar ena xJel as baKal i kan xyz > (xyxyz s 1 Kar ena x Jadi , 3. Mi sal kan|ABC|S| 9 |S| = 28Maka l akCat at an dengan di penuhper t emul ebi h baJi ka t i daber t emu|ABC|S| 9 |S| = 31 Jadi , 4. Andai kat i t i k- t i t iMi sal kanJel as baMi sal kany2 = x2ri 5 Bengkulx r eal maka y > y2 dan y2car a yang sapel bi l angant i f 2 : x, y, z > 1 mhwa y > z2 ket i ga per sayz)2 xyz s 1 adan, t r i pel bi l ann kawan- kawCDEF| = 66 90 + 8 ki - l aki t er se : Penul i s bt epat t i ga di har usl ah buan dengan nyak dar i beak, maka soau dengan emCDEF| = 66 + 90 + 18. , l aki - l aki t en Ai dengan k t er sebut an Hi pada BChwa AiHi akan AiHi maksi m- o2 Olimpialu y > z2 > z > 2 > y maka hama di dapatn r eal ( x, y, zmaka xyz > 1; z > x2 danamaan di at an xyz > 1 mangan r eal ( xwan l aki - l aki= 11 6C1 6 80 45 + 18but per gi keber keyaki nadi ant ar anyabanyaknya p l i ma di aner t emu dengal har us di armpat di ant ar= 11 6C1 + 680 + 45 + 18er sebut mak i = 1, 2, 3, akan membeC sehi ngga Aian maksi mumum = y. Sade Matem x2 > x > y2 har usl ah y = t x = z = 1. ) yang mem n z > y2. as di dapat aka har uysl a, y, z) yang m t er sebut ad6 6C2 + 4 68 10 = 19 e r est or an sen bahwa ma ber ar t i j ugper t emuan t ar anya. Tegan set i ap l ir t i kan ber t er anya. 6 6C2 + 4 68 + 10 = 309 an di r est or a adal ah kuent uk suat u iHi t egak l urm j i ka Hi meaat AiHi = y mmatika Tk y2 yang di peenuhi x = y h xyz = 1 yamemenuhi x dal ah A, B, C6C3 3 6C4 ebanyak 28 kaksud soal ga ber t emu dengan semer nyat a ber tma di ant aremu dengan 6C3 + 3 6C4 an sebanyakumpul an t i t il i ngkar an. r us BC. er upakan pemaka AB = ACk Provinsienuhi ol eh y = z = 1. ang di penuhi = y = z = 1.C, D, E dan + 3 6C5 1kal i . adal ah sepe dengan 2 dmuanya pal it emu dengar anya, yai t u 3 set i ap l i ma + 3 6C5 + 10k 28 kali. i k- t i t i k sehi n er t engahan BC. Mi sal kan i 2012 Ey = 1. i hanya j i ka . F, 0 6C6 er t i t er sebudi ant ar anyang banyak an semuany3 kal i . di ant ar any0 6C6 ngga ZBAiC BC. saj a saat i nBagi aEddy Herma x = y = z = 1ut di at as. Ba. Per syar athar us sama ya sebanyakya t i dak ber a= o maka kuni AB = AC = an Kedua anto, ST 1. Ber t emu t an yang dengan k 10 kal i ar t i j uga umpul an x. Sol usi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagi an Kedua SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST cos A = AB2+AC2-BC22ABAC = 2x2-u22x2 sin A = 2 sin12Acos12A = oyx2 AB + AC - BC cos A - 2y sinA = 4x3 -2ox2 +o3 - 4oy22x2 = 4x3 - 2ox2 + o3 - 4ox2 + o32x2 AB + AC - BC cos A - 2y sinA = 4x(x -o)2 + 2o(x - o)22x2 = 2(x -o)2(2x + o)2x2 Kar ena bi l angan kuadr at t i dak mungki n negat i f maka AB + AC - BC cos A - 2y sinA u sehi ngga BC cos A + 2y sinA 2x = AB + AC Maka di dapat BC cos ZBAC + 2AEsinZBAC BC cos ZBAC +2y sin ZBAC 2x = AB + AC Jadi, terbukti bahwa AB +AC BCus ZBAC + 2AHstnZBAC 5. Lemma 1 : Akan di bukt i kan dengan i nduksi mat emat i ka bahwa 32n+1 > (n + 1)4 unt uk n e N dan n > 1. Bukt i : - Ji ka n = 2 maka 443 = 32( 2)+1 > ( 2 + 1)4= 81 - Andai kan bent uk unt uk n = k. Maka 32k+1 > ( k + 1)4 di anggap benar unt uk k e N dan k > 1. - 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = 9k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 9 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 = ( k + 2)4 Jadi , t er bukt i bahwa 32n+1 > (n + 1)4 unt uk n e N dan n > 1 Lemma 2 : Akan di bukt i kan dengan i nduksi mat emat i ka bahwa (n!)4 < Sn2-1 unt uk n e N dan n > 1. Bukt i : - Ji ka n = 2 maka 16 = (2!)4 < S22-1 = 27 - Andai kan benar unt uk n = k. Maka (k!)4 < Sk2-1 di anggap benar unt uk k e N dan k > 1. - Sesuai l emma 1 maka ((k +1)!)4= (k +1)4(k!)4 < S2k+1 Sk2-1 = S(k+1)2-1 Jadi , t er bukt i bahwa (n!)4 < Sn2-1 unt uk n e N dan n > 1 - Ji ka i = 1 Pi = 2 dan unt uk n = 2 maka P(n2) = P-1 (n!)4 Jadi , unt uk i = 1 sehi ngga Pi = 2 t i dak t er masuk bi l angan pr i ma seder hana. - Ji ka i > 1 Pi > 3 - Ji ka n = 1 P(n2) = P > P-1 = P-1 (n!)4 Jadi , unt uk n = 1 maka P(n2) > P-1 (n!)4 - Ji ka n > 1 Sesuai l emma 2 dan mengi ngat bahwa Pi > Pi -1 di dapat (n!)4 < Sn2-1 P(n2-1) < PiPi-1P(n2-1) P-1(n!)4 < P(n2) Ter bukt i bahwa P(n2) > P-1 (n!)4 unt uk i > 1 dan n e N. Jadi , semua bi l angan pr i ma seder hana adal ah Pi dengan i e N dan i 1.