Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 161

4. 2. Menyelesaikan persamaan trigonometri.

Nilai Perbandingan Trigonometri

Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 0 1 0

30° 1

2

1

2√3

1

3√3

45° 1

2√2

1

2√2 1

60° 1

2√3

1

2 √3

90° 1 0 −

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) 𝑥 (180° − 𝑥) Pilih Acuan cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) Genap Ganjil 𝑥 (−𝑥) 180° ± α 90° ± 𝛼 360° − α 270° ± 𝛼 tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) SEMUA SINdikat 𝑥 TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana 𝑛 bilangan bulat Tetap sin ↔ cos tan ↔ cot

Grafik Cek Kuadran sin 𝛼 Tanda ± Selesai cos 𝛼

tan 𝛼 Relasi Sudut Negatif

sin(−𝛼) = − sin 𝛼cos(−𝛼) = cos 𝛼tan(−𝛼) = − tan 𝛼

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran I Kuadran II

Kuadran IV Kuadran III

Semua + sin +

tan + cos +

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

dimana 𝑛 bilangan bulat

360°

360°

360°

Halaman 162 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Persamaan Trigonometri:

Peta konsep di samping bisa diterjemahkan sebagai berikut:

o Jika ada persamaan sin 𝑥 = sin 𝛼, maka penyelesaiannya adalah:

𝑥1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360°

𝑥2 = (180° − 𝛼) + 𝑛 ∙ 360°

o Jika ada persamaan cos x = cos α, maka penyelesaiannya adalah:

x1 = 𝛼 + 𝑛 ∙ 360°

x2 = (−α) + 𝑛 ∙ 360°

o Jika ada persamaan tan x = tan α, maka penyelesaiannya adalah:

x = 𝛼 + 𝑛 ∙ 180°

Nah, proses menentukan persamaan trigonometri sederhana adalah melalui manipulasi aljabar menggunakan identitas trigonometri pada persamaan awal pada soal. Jadi logika praktisnya bisa tergambar dalam diagram di bawah: Misal ditanyakan tentukan himpunan penyelesaian dari: Persamaan Awal pada Soal Manipulasi Aljabar Identitas Trigonometri

Diperoleh Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 cos 𝑥 = cos 𝛼 tan 𝑥 = tan 𝛼 Cari Himpunan Penyelesaian

Persamaan Trigonometri Sederhana sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

dimana 𝑛 bilangan bulat

cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1

⇒ (2 cos2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1

⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =1

2

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka 2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180°

Jadi, untuk cos 2𝑥 =1

2= cos 60°, maka

2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −30° + 𝑛 ∙ 180°

Dst… dst…. Sehingga akan diperoleh himpunan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 163

LOGIKA PRAKTIS Menyusun Rumus Persamaan Trigonometri dengan Panduan Grafik Trigonometri:

Inti permasalahan tentang persamaan trigonometri adalah menemukan sudut-sudut yang menghasilkan suatu nilai perbandingan trigonometri. Sudut-sudut tersebut berulang untuk periode tertentu. Misalnya, berapa saja sih sudut yang dapat menghasilkan nilai sinus sama dengan 1? Pernyataan di atas bisa dituliskan dalam bentuk: sin 𝑥 = 1 = sin 90° ⇒ 𝑥 = 90° Nah, karena sudah hafal tabel nilai trigonometri dan paham tentang konsep dasar perbandingan trigonometri, maka bisa ditentukan nilai sinus sama dengan 1 dipenuhi oleh sin 90°. Padahal, fungsi sinus memiliki grafik yang berulang-ulang sesuai periodenya masing-masing. Sehingga, untuk nilai sinus sama dengan 1 tidak hanya dipenuhi oleh sudut 90°. Namun, masih banyak lagi sudut yang menghasilkan nilai sinus sama dengan 1.

Bagaimana cara mudah menyusun rumus perbandingan trigonometrinya? Perhatikan gambar di atas. Grafik sinus berulang-ulang naik turun, seperti huruf “S” tidur terbalik. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik sinus di kuadran I adalah positif. Nilai sinus akan kembali positif di kuadran II. Jadi,

sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

Grafik kosinus berulang-ulang turun naik seperti huruf “C” tidur. Berulang-ulangnya setiap 360°. “ “ Sekarang perhatikan grafiknya, nilai awal grafik kosinus di kuadran I adalah positif. Nilai kosinus akan kembali positif di kuadran IV. (karena grafiknya simetris terhadap sumbu Y, maka kuadran sebelah kiri kuadran I juga positif, kan ya?). Jadi,

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

Grafik tangen berulang-ulang naik terputus-putus. Berulang setiap 180°. Sekarang perhatikan grafiknya, nilai positif hanya di kuadran I dan berulang-ulang setiap 180°. Jadi,

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

Grafik Daerah kuadran bernilai positif

360°

360°

360°

periode

periode

periode

Halaman 164 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri. Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah …. a. {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°} b. {30°, 60°, 135°, 180°, 210°, 225°, 300°, 330°} c. {0°, 30°, 135°, 150°, 210°, 225°, 300°, 330°} d. {30°, 45°, 120°, 135°, 210°, 225°, 300°} e. {30°, 45°, 135°, 150°, 240°, 225°, 315°}

Penyelesaian:

cos 4𝑥 − cos 2𝑥 = −1⇒ (2 cos2 2𝑥 − 1) − cos 2𝑥 = −1

⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 1 = −1⇔ 2 cos2 2𝑥 − cos 2𝑥 = 0⇔ cos 2𝑥 (2 cos 2𝑥 − 1) = 0

⇔ cos 2𝑥 = 0 atau cos 2𝑥 =1

2

Jadi, untuk cos 2𝑥 = 0 = cos 90°, maka

2𝑥1 = 90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 45° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° 2𝑥2 = −90° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥2 = −45° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 225° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 315°

Jadi, untuk cos 2𝑥 =1

2= cos 60°, maka

2𝑥1 = 60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = 30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 0 ⇒ 𝑥 = 30° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 210° 2𝑥2 = −60° + 𝑛 ∙ 360° ⇒ 𝑥1 = −30° + 𝑛 ∙ 180° untuk 𝑛 = 1 ⇒ 𝑥 = 150° untuk 𝑛 = 2 ⇒ 𝑥 = 330°

Sehingga himpunan penyelesaian adalah {30°, 45°, 135°, 150°, 210°, 225°, 315°, 330°}.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 165

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Himpunan penyelesaian persamaan 1cos22cos xx ; π20 x adalah ....

A. {0, π,2

1π,

2

32π }

B. {0, π,2

1π,

3

22π }

C. {0, π,2

1π, π,

2

3}

D. {0, π,2

1π

3

2}

E. {0, π,2

1π }

2. Himpunan penyelesaian persamaan 12sin34cos xx ; 1800 x adalah ....

A. }150 ,201{

B. }165 ,501{

C. }150 ,03{

D. }165 ,03{

E. }105 ,15{

3. Himpunan penyelesaian persamaan 1sin22cos xx ; π20 x adalah ....

A. }2π,2

3ππ,0,{

B. }2π,3

4ππ,0,{

C. }2ππ,π,3

20,{

D. }2ππ,,0{

E. }2

3ππ,0,{

cos 𝑥 = 0 = cos𝜋

2

Penyelesaiannya:

𝑥 = ±𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

cos 2𝑥 − 2 cos 𝑥 = −1⇒ (2 cos2 𝑥 − 1) − 2 cos 𝑥 + 1 = 0

⇔ 2 cos2 𝑥 − 2 cos 𝑥 = 0⇔ 2 cos 𝑥 (cos 𝑥 − 1) = 0⇔ 2 cos 𝑥 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0⇔ cos 𝑥 = 0    cos 𝑥 = 1

1) 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=𝜋

2

2) 𝑥 = −𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=3

2𝜋

cos 𝑥 = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋 3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋

= 0, 2𝜋

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 < 𝑥 < 2𝜋

maka yang memenuhi hanya {𝜋

2,

3

2𝜋}

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0,𝜋

2,

3

2𝜋, 2𝜋}

sin 2𝑥 = −1

2= − sin 30° = sin(−30°)

sin 2𝑥 = −1

2= − sin 150° = sin(−150°)

Penyelesaiannya:

cos 4𝑥 + 3 sin 𝑥 = −1⇒ (1 − 2 sin2 2𝑥) + 3 sin 2𝑥 + 1 = 0

⇔ −2 sin2 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 2 = 0⇔ (−sin 2𝑥 + 2)(2 sin 2𝑥 + 1) = 0⇔ − sin 2𝑥 + 2 = 0 atau 2 sin 2𝑥 + 1 = 0

⇔ sin 2𝑥 = 2 (mustahil)   sin 2𝑥 = −1

2

2) 𝑥 = −150° + 𝑘 ∙ 360°= −75° + 𝑘 ∙ 180°= 105°

1) 𝑥 = −30° + 𝑘 ∙ 360°= −15° + 𝑘 ∙ 180°= 165°

Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.

sin 𝑥 = 0 = sin 0 = sin 𝜋

sin 𝑥 = −1 = sin3𝜋

2

Penyelesaiannya:

cos 2𝑥 − 2 sin 𝑥 = 1⇒ (1 − 2 sin2 𝑥) − 2 sin 2𝑥 − 1 = 0

⇔ −2 sin2 𝑥 − 2 sin 𝑥 = 0⇔ −2 sin 𝑥 (sin 𝑥 + 1) = 0⇔ −2 sin 𝑥 = 0 atau sin 𝑥 + 1 = 0⇔ sin 𝑥 = 0        sin 𝑥 = −1

1) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 0

TRIK SUPERKILAT:

Satu-satunya jawaban yang tidak memuat 2𝜋 adalah E. Perhatikan batas yang diminta soal. 2𝜋 tidak diikutkan.

3) 𝑥 =3𝜋

2+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=3𝜋

2

2) 𝑥 = 𝜋 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 𝜋

Halaman 166 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

4. Himpunan penyelesaian persamaan 02cos32cos xx untuk π20 x adalah ....

A.

2ππ,2

3,

2

π,0

B.

2ππ,3

5,

3

π,0

C.

2ππ,2

3,

3

π,0

D.

π3

2π,,

2

π,0

E.

2ππ,,2

π,0

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

cos 𝑥 =1

2= cos

𝜋

3

Penyelesaiannya:

𝑥 = ±𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

cos 2𝑥 − 3 cos 𝑥 + 2 = 0⇒ (2 cos2 𝑥 − 1) − 3 cos 𝑥 + 2 = 0

⇔ 2 cos2 𝑥 − 3 cos 𝑥 + 1 = 0⇔ (2 cos 𝑥 − 1)(cos 𝑥 − 1) = 0⇔ 2 cos 𝑥 − 1 = 0 atau cos 𝑥 − 1 = 0

⇔ cos 𝑥 =1

2   cos 𝑥 = 1

1) 𝑥 =𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=𝜋

3

2) 𝑥 = −𝜋

3+ 𝑘 ∙ 2𝜋

=5

3𝜋

cos 𝑥 = 1 = cos 0 Penyelesaiannya: 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋

3) 𝑥 = 0 + 𝑘 ∙ 2𝜋= 0, 2𝜋

Jadi jawabannya sebenarnya tidak ada karena untuk interval 0 ≤ 𝑥 < 2𝜋

maka yang memenuhi hanya {0,𝜋

3,

5

3𝜋}

Jika intervalnya diubah 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, maka penyelesaiannya {0,𝜋

3,

5

3𝜋, 2𝜋}