Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 26 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 4. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

Ingat lagi tentang konsep determinan matriks

Determinan Matriks

|𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

|

𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

| = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ − 𝑐𝑒𝑔 − 𝑎𝑓ℎ − 𝑏𝑑𝑖

Untuk lebih detil tentang determinan matriks, lihat juga SMART SOLUTION untuk SKL tentang Matriks!

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝒄𝟏

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝒄𝟐

Penyelesaian SPLDV

Nilai 𝑥 Nilai 𝑦 Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti!

𝑥 =|𝒄𝟏 𝑏1𝒄𝟐 𝑏2

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

| 𝑦 =

|𝑎1 𝒄𝟏𝑎2 𝒄𝟐

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

|

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 27

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

(SPLTV)

Bentuk Umum SPLTV

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝒅𝟏

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝒅𝟐

𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝒅𝟑

Penyelesaian SPLTV

Nilai 𝑥 Nilai 𝑦 Nilai 𝑧 Kolom 𝑥 diganti! Kolom 𝑦 diganti! Kolom 𝑧 diganti!

𝑥 =

|

𝒅𝟏 𝑏1 𝑐1𝒅𝟐 𝑏2 𝑐2𝒅𝟑 𝑏3 𝑐3

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

𝑦 =

|

𝑎1 𝒅𝟏 𝑐1𝑎2 𝒅𝟐 𝑐2𝑎3 𝒅𝟑 𝑐3

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

𝑧 =

|

𝑎1 𝑏1 𝒅𝟏𝑎2 𝑏2 𝒅𝟐𝑎3 𝑏3 𝒅𝟑

|

|𝑎1 𝑏1 𝑐1𝑎2 𝑏2 𝑐2𝑎3 𝑏3 𝑐3

|

Keterangan: Pada prakteknya dalam pengerjaan soal SPL, metode determinan matriks ini hanya bisa digunakan apabila matriks SPL-nya adalah berbentuk persegi. Tekniknya, gunakan metode determinan untuk menentukan salah satu variabel pada SPLDV, lalu variabel yang lain bisa diperoleh menggunakan metode substitusi. Kenapa kok harus menggunakan determinan matriks. Karena langkah ini lebih pasti dalam menyelesaikan soal tipe UN, tanpa harus berfikir keras mencari langkah tepat untuk metode eliminasi maupun substitusi. Namun, kalian tetap harus menguasai langkah eliminasi maupun substitusi supaya paham juga langkah dasarnya. Oke? Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spldv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf Penyelesaian SPLDV secara online bisa dilihat pada halaman berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/simulasi-spltv-sistem-persamaan-linear.html?spref=pdf

Halaman 28 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT: Untuk mencari penyelesaian SPLDV, variabel yang akan dicari harus diletakkan di pojok KIRI, lalu lihat koefisien variabel yang lain! Lalu kali silang, kali silang. Selesai deh. Contoh Soal:

Penyelesaian dari SPL {2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

adalah ….

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Karena yang paling pojok kiri variabel 𝑥, maka ini berarti kita akan mencari nilai dari variabel 𝑥. Lalu pilih salah satu koefisien dari variabel 𝑦. Bebas kok! Kita boleh memilih salah satu di antara −3atau 5. 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, misalkan kita bersepakat untuk menggunakan acuan bilangan −3, ya? 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Siap? Perhatikan SPLDV tersebut yang saya beri kotak berwarna merah. Hitung selisih dari kali silang tersebut. Ingat acuan awal kita adalah bilangan −3! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 11, dikurangi dengan 1 dikalikan silang dengan 5. (−3)(11) − (1)(5) = −33 − 5 = −𝟑𝟖 2𝑥 − 3𝑦 = 13𝑥 + 5𝑦 = 11

Oke, sekarang hitung selisih perkalian silang dari bagian yang berwarna biru tersebut. Masih ingat acuan awal kita tadi? Iya, bilangan −3 adalah acuan awal dalam menghitung selisih kali silang! Hasilnya adalah: −3 dikalikan silang dengan 3, dikurangi 2 dikalikan silang dengan 5. (−3)(3) − (2)(5) = −9 − 10 = −𝟏𝟗 Jadi, nilai variabel 𝑥 adalah pembagian dari hasil selisih kali silang pertama dan kedua.

𝑥 =−𝟑𝟖

−𝟏𝟗= 2

Selesai! Paham, kan? Kalau mencari nilai 𝑦, gimana dong? Gampang aja. Kalau ingin menerapkan langkah TRIK SUPERKILAT yang sama, maka syaratnya apa tadi? Ya! Betul! Variabel 𝑦 harus dipindah ke pojok kiri!!!!!! Sehingga SPLDV akan berubah menjadi: −3𝑦 + 2𝑥 = 1

5𝑦 + 3𝑥 = 11

Lalu lakukan dengan langkah yang sama seperti saat mencari variabel 𝑥 di atas. Oke?

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 29

Contoh 1: Pak Ali bekerja selama 6 hari dengan 4 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp74.000,00. Pak Bisri bekerja selama 5 hari dengan 2 hari di antaranya lembur mendapat upah Rp55.000,00. Pak Ali, Pak Bisri, dan Pak Catur bekerja dengan aturan upah yang sama. Jika Pak Catur bekerja 4 hari dengan terus menerus lembur, maka upah yang akan diperoleh adalah .... Penyelesaian: Misal:

𝑥 = hari biasa𝑦 = hari lembur

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:

6𝑥 + 4𝑦 = 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎5𝑥 + 2𝑦 = 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎

Ditanyakan:

4𝑥 + 4𝑦 = ? Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =|𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎 4𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎 2

|

|6 45 2

|=

148.000 − 220.000

12 − 20=

−72.000

−8= 9.000

𝑦 =|6 𝟕𝟒. 𝟎𝟎𝟎5 𝟓𝟓. 𝟎𝟎𝟎

|

|6 45 2

|=

330.000 − 370.000

12 − 20=

−40.000

−8= 5.000

Jadi,

4𝑥 + 4𝑦 = 4(9.000) + 4(5.000)= 36.000 + 20.000= 56.000

TRIK SUPERKILAT:

Dengan acuan koefisien variabel 𝑦 adalah 4, maka nilai variabel 𝑦 diperoleh dengan cara: “(4 dikali silang dengan 55.000) dikurangi (2 dikali silang dengan 74.000)” dibagi dengan “(4 dikali silang dengan 5) dikurangi (6 dikali silang dengan 2)”

Halaman 30 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh 2: Avi, Via dan Iva pergi bersama-sama ke toko buah. Avi membeli 1 kg apel, 2 kg salak, dan 2 kg kelengkeng dengan harga Rp47.000,00. Via membeli 2 kg apel, 1 kg salak, dan 3 kg kelengkeng dengan harga Rp68.500,00. Iva membeli 3 kg apel, 2 kg salak, dan 1 kg kelengkeng dengan harga Rp63.000,00. Jika Vero membeli 1 kg apel dan 1 kg kelengkeng di toko tersebut, maka berapakah yang harus dibayarkan oleh Vero? Penyelesaian: Misal:

𝑥 = buah apel𝑦 = buah salak𝑧 = buah kelengkeng

Maka sistem persamaan linear dari soal tersebut adalah:

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 47.0002𝑥 + 𝑦 + 3𝑥 = 68.5003𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =

|𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎 2 2𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 1 3𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 2 1

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

𝑦 =

|1 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎 22 𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎 33 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎 1

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

𝑧 =

|1 2 𝟒𝟕. 𝟎𝟎𝟎2 1 𝟔𝟖. 𝟓𝟎𝟎3 2 𝟔𝟑. 𝟎𝟎𝟎

|

|1 2 22 1 33 2 1

|

Contoh 3: Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00. Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000,00. Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00. Jumlah uang Artha, Deby, dan Yanti adalah …. Penyelesaian: Misal:

𝑥 = uang Artha𝑦 = uang Deby𝑧 = uang Yanti

Perhatikan dan baca soal dengan seksama. Buat model matematikanya, jangan lupa ubah menjadi bentuk matriks ya!

Jumlah uang Artha dan Deby adalah Rp142.000,00 ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 142.000⇔ 𝒙 + 𝒚 + 𝟎𝒛 = 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎

Selisih uang Yanti dan uang Artha Rp4.000 ⇔ 𝑧 − 𝑥 = 4.000

⇔ −𝒙 + 𝟎𝒚 + 𝒛 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎

Dua kali uang Yanti sama dengan uang Deby ditambah Rp100.000,00 ⇔ 2𝑧 = 𝑦 + 100.000

⇔ 𝟎𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

Sehingga model matematika SPLTV dari soal tersebut adalah:

𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 47.000−𝑥 + 0𝑦 + 𝑥 = 68.5000𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 63.000

Penyelesaian SPL menggunakan determinan matriks.

𝑥 =

|𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎 1 −0

𝟒. 𝟎𝟎𝟎 0 1𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −1 2

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

𝑦 =

|1 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎 −0

−1 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 10 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 2

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

𝑧 =

|1 1 𝟏𝟒𝟐. 𝟎𝟎𝟎2 0 𝟒. 𝟎𝟎𝟎3 −1 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

|

|1 1 −0

−1 0 10 −1 2

|

Jadi nilai 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 pasti ketemu deh!

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 31

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak

Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi

adalah ....

A. 86 tahun

B. 74 tahun

C. 68 tahun

D. 64 tahun

E. 58 tahun

2. Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah

umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah ....

A. 52 tahun

B. 45 tahun

C. 42 tahun

D. 39 tahun

E. 35 tahun

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Misal 𝑥 = Pak Andi 𝑦 = Bu Andi 𝑧 = Amira

𝑥 = 𝑧 + 28 ⇒ 𝑧 = 𝑥 − 28𝑦 = 𝑥 − 6

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119

⇒ 𝑥 + (𝑥 − 6) + (𝑥 − 28) = 119⇔ 3𝑥 − 34 = 119⇔ 3𝑥 = 153⇔ 𝑥 = 51

Jadi, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 119⇒ 51 + 𝑦 + 𝑧 = 119⇔ 𝑦 + 𝑧 = 119 − 51⇔ 𝑦 + 𝑧 = 68

Misal 𝑑 = Umur Deksa 𝑒 = Umur Elisa 𝑓 = Umur Firda

𝑑 = 𝑒 + 4𝑒 = 𝑓 + 3 ⇒ 𝑓 = 𝑒 − 3

𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58

⇒ (𝑒 + 4) + 𝑒 + (𝑒 − 3) = 58

⇔ 3𝑒 + 1 = 58⇔ 3𝑒 = 57⇔ 𝑒 = 19

Jadi, 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58⇒ 𝑑 + 19 + 𝑓 = 58⇔ 𝑑 + 𝑓 = 58 − 19

⇔ 𝑑 + 𝑓 = 39