Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 130 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 17. Menyelesaikan masalah deret geometri.

Deret Geometri

Barisan Bilangan Deret Bilangan 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, … , 𝑈𝑛 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + … + 𝑈𝑛

Barisan Geometri Deret Geometri

𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛−1)

𝑟−1, |𝑟| > 1

𝑆𝑛 =𝑎(1−𝑟𝑛)

1−𝑟, |𝑟| < 1

Deret Geometri Tak Hingga

𝑆∞ =𝑎

𝑟−1

Hubungan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Keterangan:

𝑈𝑛 = suku ke-𝑛𝑆𝑛 = jumlah 𝑛 suku pertama𝑆∞ = jumlah deret geometri tak hingga𝑎 = suku pertama𝑟 = rasio𝑛 = banyaknya suku

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 131

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rasio Barisan Geometri Jika diketahui dua suku pada barisan geometri, maka rasio dari barisan geometri tersebut bisa ditentukan dengan:

𝑟 = √𝑈𝑝

𝑈𝑞

𝑝−𝑞

Bukti:

𝑈𝑝 = 𝑎𝑟𝑛−𝑝 …………..(1)

𝑈𝑞 = 𝑎𝑟𝑛−𝑞 …………..(2)

Dengan membagi pada persamaan (1) dan (2) akan diperoleh: 𝑈𝑝

𝑈𝑞=

𝑎𝑟𝑛−𝑝

𝑎𝑟𝑛−𝑞⇒

𝑈𝑝

𝑈𝑞= 𝑟(𝑛−𝑝)−(𝑛−𝑞)

⇔𝑈𝑝

𝑈𝑞= 𝑟−(𝑝−𝑞)

⇔𝑈𝑞

𝑈𝑝= 𝑟𝑝−𝑞

⇔ 𝑟 = √𝑈𝑝

𝑈𝑞

𝑝−𝑞

Jika jarak antar dua suku barisan geometri itu sama, maka rasio antar dua suku barisan tersebut juga sama. Jika jarak indeks antar dua suku barisan sama,

𝑼𝟐 𝑼𝟓 𝑼𝟖

Maka rasio antar dua suku suku barisan juga sama. Bukti: Dari rumus suku ke-n 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟𝑛−1 diperoleh: 𝑈2 = 𝑎𝑟 𝑈5 = 𝑎𝑟4 𝑈8 = 𝑎𝑟7

Rasio 𝑈5 dan 𝑈2 adalah 𝑈5

𝑈2=

𝑎𝑟4

𝑎𝑟= 𝑟3

Rasio 𝑈8 dan 𝑈5 adalah 𝑈8

𝑈5=

𝑎𝑟7

𝑎𝑟4 = 𝑟3

Terbukti bahwa jika selisih indeks antar dua suku sama, maka rasio antar dua suku tersebut juga sama.

Halaman 132 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan rasio jika diketahui dua suku dari barisan geometri:

Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, rasio barisan geometri tersebut adalah …. Langkah logika praktis:

𝑟 = √𝑈7

𝑈3

7−3

= √256

16

4

= √164

= 2

Rasio adalah hasil pembagian suku besar dengan suku kecil, lalu hasilnya diakar pangkat selisih indeks suku besar dikurangi indeks suku kecil. Atau Pembagian suku diakar pangkat selisih indeks suku. SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri:

Jika diketahui 𝑈3 = 16 dan 𝑈7 = 256, tentukan suku ke-9 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Suku ke 9 adalah suku ke-7 dikalikan rasio pangkat 2.

𝑟 = √𝑈7

𝑈3

7−3

= √256

16

4

= √164

= 2

Jadi, 𝑈9 = 𝑈7 × 𝑟2

= 256 × 22

= 256 × 4= 1024

SELESAI.

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya sama:

Jika diketahui 𝑈2 = 6 dan 𝑈4 = 24, tentukan suku ke-6 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-4 dan suku ke-6. Bukankah indeks suku barisan tersebut selisihnya sama? 6 − 4 = 4 − 2, yaitu sama-sama berselisih 2. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut sama maka rasio suku tersebut juga sama! Suku ke 4 adalah suku ke-2 ditambah rasio suku ke-4 dan suku ke-2.

Jadi, 𝑈6 = 𝑈4 ×𝑈4

𝑈2

= 24 ×24

6

= 96

Atau 6 ke 24 itu dikali 4, maka 24 dikali 4 lagi sama dengan 96. SELESAI.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 133

Menentukan suku ke-𝐧 jika diketahui dua suku dari barisan geometri dan selisih indeksnya berkelipatan.

Jika diketahui 𝑈2 = 4 dan 𝑈5 = 12, tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut! Langkah logika praktis: Perhatikan, suku-suku pada soal, suku ke-2, suku ke-5 dan suku ke-11. Bukankah indeks suku barisan tersebut berkelipatan? Selisih dari 11 − 5 adalah 6, sementara itu selisih 5 − 2 adalah 3. Ingat kalau selisih indeks suku barisan tersebut 2 kali lebih besar maka rasio suku tersebut adalah pangkat 2 lebih besar! Suku ke 14 adalah suku ke-5 dikali pangkat tiga dari rasio suku ke-5 dan suku ke-2.

Jadi, 𝑈14 = 𝑈5 × (𝑈5

𝑈2)

2

= 45 × 3 (12

4)

2

= 45 × 3(3)2

= 45 × 27= 1215

SELESAI.

Halaman 134 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT deret geometri tak hingga

Apabila yang ditanyakan adalah lintasan bola yang jatuh dengan rasio pemantulan 𝑝

𝑞 maka lintasan yang

ditempuh bola sampai berhenti adalah sebagai berikut:

𝑆∞ = 𝑎 (𝑞 + 𝑝

𝑞 − 𝑝)

Bukti: Perhatikan gambar lintasan bola berikut:

dst …

Mari kita ringkas rumus deret geometri tak hingga berikut: Untuk lintasan bola ke bawah dimulai dengan 𝑎, sedang untuk lintasan ke atas dimulai oleh 𝑎𝑟, sehingga diperoleh rumus panjang seluruh lintasan bola:

𝑆∞ =𝑎

1 − 𝑟+

𝑎𝑟

1 − 𝑟=

𝑎(1 + 𝑟)

1 − 𝑟

Misal 𝑟 =𝑝

𝑞, maka diperoleh:

𝑆∞ =𝑎 (1 +

𝑝𝑞

)

1 −𝑝𝑞

=𝑎 (

𝑞 + 𝑝𝑞

)

𝑞 − 𝑝𝑞

= 𝑎 (𝑞 + 𝑝

𝑞) (

𝑞

𝑞 − 𝑝) = 𝑎 (

𝑞 + 𝑝

𝑞 − 𝑝)

Jadi, 𝑆∞ = 𝑎(𝑞 + 𝑝)

(𝑞 − 𝑝)

Logika Praktis pada Tipe Soal yang Sering Muncul

Aplikasi jumlah deret geometri tak hingga.

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2

3 dari ketinggian

sebelumnya. Maka panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah …. Langkah logika praktis:

Misal 𝑟 =𝑞

𝑝=

2

3, maka 𝑝 = 2 dan 𝑞 = 3;

Ketinggian awal bola, 𝑎 = 10 m.

Jadi, 𝑆∞ = 𝑎(𝑞 + 𝑝)

(𝑞 − 𝑝)

= 10(3 + 2)

(3 − 2)= 10 ∙ 5= 50 m

SELESAI.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 135

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 3

1 dan rasio

3

1 , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut

adalah ....

A. 27

B. 9

C. 27

1

D. 81

1

E. 243

1

2. Barisan geometri dengan 384U7 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah ....

A. 1.920

B. 3.072

C. 4.052

D. 4.608

E. 6.144

3. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama

deret tersebut adalah ....

A. 500

B. 504

C. 508

D. 512

E. 516

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

𝑈5 =1

3= 𝑎𝑟4

𝑟 =1

3𝑈9 = ?

𝑈9 = 𝑎𝑟8 = (𝑎𝑟4)𝑟4 = (1

3) (

1

3)

4

=1

35=

1

243

𝑈3 = 16 = 𝑎𝑟2

𝑈7 = 256 = 𝑎𝑟6

𝑆7 = ?

𝑈7

𝑈3

=256

16⇒

𝑎𝑟6

𝑎𝑟2= 16 ⇒ 𝑟4 = 16 ⇒ 𝑟 = 2

𝑈3 = 16 ⇒ 𝑎𝑟2 = 16 ⇒ 4𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 4

𝑆7 =𝑎(𝑟7 − 1)

𝑟 − 1

=4(128 − 1)

2 − 1= 4(127)= 508

𝑈7 = 𝑎𝑟6 = 384𝑟 = 2𝑈10 = ?

𝑈10 = 𝑎𝑟9 = (𝑎𝑟6)𝑟3 = 384(2)3 = 384 ∙ 8 = 3.072