Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 108 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

2. 14. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma.

Pertidaksamaan Eksponen atau Logaritma

Eksponen Logaritma

𝑎𝑓(𝑥) 𝑎 log 𝑓(𝑥)

Syarat Eksponen Syarat Logaritma 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh 𝑓(𝑥) > 0 Perhatikan bilangan pokoknya

𝑎𝑓(𝑥) atau 𝑎 log 𝑓(𝑥) pasti sudah memenuhi syarat

Lebih Dari Satu Diantara Nol dan Satu

𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 “Tanda pertidaksamaan tetap” “Tanda pertidaksamaan dibalik”

𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≥ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)

𝑎𝑓(𝑥) ≤ 𝑎𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)𝑎 log 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 log 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

Syarat Eksponen Syarat Logaritma 𝑓(𝑥) bebas berapapun boleh 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 109

TRIK SUPERKILAT Baca soal Cek topik soal tentang apa? Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Logaritma Selesaikan pertidaksamaan Selesaikan pertidaksamaan Syarat numerus harus positif Iriskan dalam garis bilangan Selesai Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada indikator soal tentang pertidaksamaan eksponen atau logaritma, mau tidak mau kita harus paham tentang bagaimana sifat perpangkatan atau logaritma itu sendiri. Lalu yang tak kalah pentingnya adalah untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, maka perlu diperhatikan juga syarat logaritma itu terdefinisi, selain bilangan pokok harus positif dan tidak boleh satu, juga harus dipenuhi syarat numerus harus positif.

Halaman 110 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒂𝒈(𝒙). Contoh Soal:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (1

8)𝑥+3

≥ (1

2)𝑥2−1

adalah ….

a. −5 ≤ 𝑥 ≤ 2 b. −2 ≤ 𝑥 ≤ 5 c. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5 d. 𝑥 ≤ −5 atau 𝑥 ≥ 2 e. 𝑥 ≥ 5

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

(1

8)𝑥+3

≥ (1

2)𝑥2−1

⇒ (2−3)𝑥+3 ≥ (2−1)𝑥2−1

⇔ 2−3(𝑥+3) ≥ 2−1(𝑥2−1)

⇔ 2−3𝑥−9 ≥ 2−𝑥2+1

⇔ −3𝑥 − 9 ≥ −𝑥2 + 1⇔ 𝑥2 − 3𝑥 − 10 ≥ 0⇔ (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) ≥ 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 2 = 0 atau 𝑥 − 5 = 0⇔ 𝑥 = −2   atau   𝑥 = 5

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 ≥ 5}.

kita punya dua pilihan, yaitu mengubah 1

8 dan

1

2

menjadi 1

2 pangkat berapa atau 2 pangkat berapa

konsekuensinya?

kalau memilih 1

2maka tanda pertidaksamaan harus dibalik,

sedangkan bila memilih 2 maka tanda pertidaksamaan tetap

}

saya lebih memilih 2, supaya tandanya tidak berubah

+ +

−

−2 5

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 111

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen bentuk

𝑨{𝒂𝒇(𝒙)}𝟐+𝑩{𝒂𝒇(𝒙)} + 𝑪 ≥ 𝟎

Contoh Soal 1: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 adalah …. a. 0 < 𝑥 < 2 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 d. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 e. 𝑥 > 2

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

32𝑥+1 − 4 . 3𝑥+2 + 34 > 0 (Ingat 32𝑥+1 = 32𝑥 ∙ 31 dan 3𝑥+2 = 3𝑥 ∙ 32)

⇒ 3 . 32𝑥 − 4 . 9 . (3𝑥) + 27 > 0

⇔ 3 . (3𝑥)2 − 36. (3𝑥) + 27 > 0Misal 𝑎 = 3𝑥

⇒ 3𝑎2 − 36𝑎 + 81 > 0⇔ 3(𝑎 − 3)(𝑎 − 9) > 0Pembuat nol ∶

⇒ 𝑎 − 3 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0⇔ 𝑎 = 3     atau  𝑎 = 9

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi daerah penyelesaian:

𝑎 < 3 atau 𝑎 > 93𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2}.

+ +

−

3 9

Halaman 112 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3𝑥 + 35−𝑥 > 36 adalah …. a. 2 < 𝑥 < 3 b. 3 < 𝑥 < 9 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 9 e. 𝑥 > 3

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

3𝑥 + 35−𝑥 > 36 (Jadikan ruas kiri sama dengan nol)

⇒ 3𝑥 + 35−𝑥 − 36 > 0 (Ingat 35−𝑥 = 35 ∙ 3−𝑥 dan 35 = 243)

⇔ 3𝑥 + 243. 3−𝑥 − 36 > 0 (Kalikan semua ruas dengan 3𝑥 , supaya tidak ada bentuk 3−𝑥)

⇔ 3𝑥 . 3𝑥 + 243. 3−𝑥. 3𝑥 − 36. 3𝑥 > 0⇔ 32𝑥 + 243 − 36. 3𝑥 > 0⇔ 32𝑥 − 36. 3𝑥 + 243 > 0⇔ (3𝑥)2 − 36. 3𝑥 + 243 > 0Misal 𝑎 = 3𝑥

⇒ 𝑎2 − 36𝑎 + 243 > 0⇔ (𝑎 − 9)(𝑎 − 27) > 0

Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 9 = 0 atau 𝑎 − 27 = 0⇔ 𝑎 = 9 atau  𝑎 = 27

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi daerah penyelesaian:

𝑎 < 9 atau 𝑎 > 273𝑥 < 3 atau 3𝑥 > 9𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3}.

+ +

−

9 27

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 113

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) ≥ 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒈(𝒙). Contoh Soal 1:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 log(𝑥2 − 𝑥) <1

2 adalah ….

a. 0 < 𝑥 < 1 b. 1 < 𝑥 < 2 c. 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 d. −1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2 e. 𝑥 > 1

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

4 log(𝑥2 − 𝑥) <1

2 (Ingat ubah

1

2menjadi bentuk logaritma 4 log berapa ya?)

⇒ 4 log(𝑥2 − 𝑥) < 4 log 2

⇔ 𝑥2 − 𝑥 < 2⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) < 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1   atau   𝑥 = 2

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Daerah yang memenuhi adalah −1 < 𝑥 < 2 .............................................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

(𝑥2 − 𝑥) > 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 1) > 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 1 = 0⇔ 𝑥 = 0     atau   𝑥 = 1

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1 ..................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|−1 < 𝑥 < 0 atau 1 < 𝑥 < 2}.

−

+ +

−1 2

+ +

−

0 1

−1 2

0 1

−1 0 1 2

Halaman 114 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 2: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3) adalah …. a. 0 < 𝑥 < 3 b. 2 < 𝑥 < 3 c. 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 3 d. 0 < 𝑥 < 2 atau 2 < 𝑥 < 3 e. 𝑥 > 5

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan logaritma diperoleh:

2 log(3 − 𝑥) + 2 log(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3)

⇒ 2 log(3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < 2 log(2𝑥 + 3)

⇔ (3 − 𝑥)(𝑥 + 5) < (2𝑥 + 3)

⇔ −𝑥2 − 2𝑥 + 15 < 2𝑥 + 3⇔ 𝑥2 + 4𝑥 − 12 > 0⇔ (𝑥 + 6)(𝑥 − 2) > 0Pembuat nol

⇒ 𝑥 + 6 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −6   atau   𝑥 = 2

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Daerah yang memenuhi adalah 𝑥 < −6 atau 𝑥 > 2 .............................................(1) Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

3 − 𝑥 > 0 ⇒ −𝑥 > −3⇔ 𝑥 < 3 ..............................................................................................................................(2) 𝑥 + 5 > 0

⇒ 𝑥 > −5 ..............................................................................................................................(3) 2𝑥 + 3 > 0

⇒ 2𝑥 > −3

⇔ 𝑥 > −3

2 ..........................................................................................................................(4)

Dari (1), (2), (3) dan (4), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥| 2 < 𝑥 < 3}.

+ +

−

−6 2

−6 2

3

2 3

−3

2

−5

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 115

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma bentuk 𝑨{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)}𝟐 +𝑩{𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙)} + 𝑪 ≥ 𝟎 Contoh Soal: Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 log2(𝑥 − 3) − 2 log(𝑥 − 3)3 + 2 > 0 adalah …. a. 1 < 𝑥 < 2 b. 𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2 c. 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 d. 1 < 𝑥 < 5 atau 𝑥 > 5 e. 𝑥 > 3

Penyelesaian: Dengan menggunakan konsep pertidaksamaan eksponen diperoleh:

2 log2(𝑥 − 1) − 2 log(𝑥 − 1)3 + 2 > 0 (Ingat 2 log(𝑥 − 1)3 = 3. 2 log(𝑥 − 1))

⇒ 2 log2(𝑥 − 1) − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0

⇔ (2 log(𝑥 − 1))2 − 3. 2 log(𝑥 − 1) + 2 > 0

Misal 𝑎 = 2 log(𝑥 − 1)

⇒ 𝑎2 − 3𝑎 + 2 > 0⇔ (𝑎 − 1)(𝑎 − 2) > 0

Pembuat nol ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 2 = 0⇔ 𝑎 = 1  𝑎 = 2

Periksa daerah penyelesaian pada garis bilangan,

Jadi daerah penyelesaian:

𝑎 < 1 atau 𝑎 > 22 log(𝑥 − 1) < 1 atau 2 log(𝑥 − 1) > 2

𝑥 − 1 < 21 atau 𝑥 − 1 > 22

𝑥 − 1 < 2 atau 𝑥 − 1 > 4𝑥 < 2 + 1 atau 𝑥 > 4 + 1

𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5 ................................................................ (1)

Jangan lupa!! Agar pertidaksamaan logaritma tersebut memiliki arti, maka harus memenuhi syarat yaitu numerus logaritma harus positif.

𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 > 1 ................................................................................................................................(2)

Dari (1) dan (2), irisan daerah penyelesaian yang memenuhi adalah sebagai berikut: Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥|1 < 𝑥 < 3 atau 𝑥 > 5}.

+ +

−

1 2

1

3 5

1 3 5

Halaman 116 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 099.1092 xx , Rx adalah ....

A. 1x atau 9x

B. 0x atau 1x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 1x atau 1x

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 01255.65 12 xx , Rx adalah ....

A. 21 x

B. 255 x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 5x atau 25x

3. Penyelesaian pertidaksamaan 082.52 112 xx adalah ....

A. 0x atau 2x

B. 1x atau 4x

C. 2x atau 4x

D. 20 x

E. 41 x

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan R,03.2893 12 xxx adalah ....

A. 1x atau 2x

B. 1x atau 2x

C. 1x atau 2x

D. 1x atau 2x

E. 1x atau 2x

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

92𝑥 − 10 . 9𝑥 + 9 > 0⇒ (9𝑥)2 − 10. (9𝑥) + 9 > 0

Misal 𝑎 = 9𝑥 ⇒ 𝑎2 − 10𝑎 + 9 > 0⇔ (𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶

⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0⇔ 𝑎 = 1  𝑎 = 9

+ +

−

1 9

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 1 atau 𝑎 > 109𝑥 < 1 atau 9𝑥 > 9𝑥 < 0 atau 𝑥 > 1

52𝑥 − 6 . 5𝑥+1 + 125 > 0⇒ (5𝑥)2 − 30. (5𝑥) + 125 > 0

Misal 𝑎 = 5𝑥 ⇒ 𝑎2 − 30𝑎 + 125 > 0⇔ (𝑎 − 5)(𝑎 − 25) > 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 5 = 0 atau 𝑎 − 25 = 0⇔ 𝑎 = 5    𝑎 = 25

+ +

−

5 25

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 < 5 atau 𝑎 > 255𝑥 < 5 atau 5𝑥 > 25𝑥 < 1 atau 𝑥 > 2

22𝑥+1 − 5 . 2𝑥+1 + 8 ≥ 0⇒ 2(2𝑥)2 − 10. (2𝑥) + 8 ≥ 0

Misal 𝑎 = 2𝑥 ⇒ 2𝑎2 − 10𝑎 + 8 ≥ 0⇔ 2(𝑎 − 1)(𝑎 − 4) ≥ 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 4 = 0⇔ 𝑎 = 1    𝑎 = 4

+ +

−

1 4

Jadi daerah penyelesaian: 𝑎 ≤ 1 atau 𝑎 ≥ 42𝑥 ≤ 1 atau 2𝑥 ≥ 4𝑥 ≤ 0 atau 𝑥 ≥ 2

32𝑥+1 + 9 − 28 . 3𝑥 > 0⇒ 3 ∙ 32𝑥 − 28 . 3𝑥 + 9 > 0

Misal 𝑎 = 3𝑥 ⇒ 3𝑎2 − 28𝑎 + 9 > 0⇔ (3𝑎 − 1)(𝑎 − 9) > 0

𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ ⇒ 3𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0

⇔ 𝑎 =1

3        𝑎 = 9

+ +

−

1/3 9

Jadi daerah penyelesaian:

𝑎 <1

3 atau 𝑎 > 9

3𝑥 <1

3 atau 3𝑥 > 9

𝑥 < −1 atau 𝑥 > 2