Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 65

2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.

Vektor

Notasi Vektor Operasi Aljabar Vektor

�⃗� = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3�⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

)

𝑘�⃗� = 𝑘𝑎1𝑖 + 𝑘𝑎2𝑗 + 𝑘𝑎3�⃗⃗� = (

𝑘𝑎1

𝑘𝑎2

𝑘𝑎3

)

𝑎1 komponen pada sumbu X 𝑎2 komponen pada sumbu Y 𝑎3 komponen pada sumbu Z

Panjang Vektor “Akar dari jumlah kuadrat”

|�⃗�| = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32

Vektor Posisi “Titik Koordinat = Komponen Vektor”

𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� = (

𝑥𝑎

𝑦𝑎

𝑧𝑎

)

Vektor Pada Dua Titik “Belakang Kurangi Depan”

𝐴𝐵 = �⃗⃗� − �⃗� = (

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

𝑧𝑏 − 𝑧𝑎

)

𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎)

�⃗�

O

𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎)

𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏)

�⃗⃗�

−�⃗�

O

Penjumlahan Vektor

“Jumlahkan Komponen yang Sama”

�⃗� + �⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

) + (

𝑏1

𝑏2

𝑏3

) = (

𝑎1 + 𝑏1

𝑎2 + 𝑏2

𝑎3 + 𝑏3

)

Pengurangan Vektor

“Kurangkan Komponen yang Sama”

�⃗� − �⃗⃗� = (

𝑎1

𝑎2

𝑎3

) − (

𝑏1

𝑏2

𝑏3

) = (

𝑎1 − 𝑏1

𝑎2 − 𝑏2

𝑎3 − 𝑏3

)

Perkalian Skalar

“Dua Vektor Harus Searah” “Kalikan Komponen yang Sama”

�⃗� ∙ �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| cos 𝜃

�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

Perkalian Vektor

“Dua Vektor Harus Tegak Lurus” “Putar Komponen yang Beda”

�⃗� × �⃗⃗� = |�⃗�||�⃗⃗�| sin 𝜃

�⃗� × �⃗⃗� = |𝑖 𝑗 �⃗⃗�

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

|

Pembagian Ruas Garis

“Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya”

𝑝 =𝑚�⃗⃗� + 𝑛�⃗�

𝑚 + 𝑛

�⃗�

�⃗⃗�

𝑝

𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 , 𝑧𝑎)

𝐵(𝑥𝑏, 𝑦𝑏 , 𝑧𝑏)

𝑃(𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝)

𝑂

𝑚

𝑛

Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Sifat Operasi Vektor:

�⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗�

(�⃗� + �⃗⃗�) + 𝑐 = �⃗� + (�⃗⃗� + 𝑐)

�⃗� + 0 = 0 + �⃗� = �⃗� �⃗� + (−�⃗�) = 0

Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ �⃗�

�⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐

�⃗� ∙ �⃗� = |�⃗�|2

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:

𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0

𝑖 × 𝑗 = �⃗⃗�

𝑗 × �⃗⃗� = 𝑖

�⃗⃗� × 𝑖 = 𝑗

𝑗 × 𝑖 = −�⃗⃗�

�⃗⃗� × 𝑗 = −𝑖

𝑖 × �⃗⃗� = −𝑗

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 67

TRIK SUPERKILAT:

Jabarkan

Lihat Syarat

Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.

Misal diketahui �⃗�, �⃗⃗�, dan 𝑐 . Jika �⃗� ⊥ �⃗⃗�, maka tentukan hasil dari (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐)!

Maka jabarkan (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐) = �⃗� ∙ (�⃗� − 𝑐) + �⃗⃗� ∙ (�⃗� − 𝑐)

= (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − (�⃗� ∙ 𝑐) + (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − (�⃗⃗� ∙ 𝑐)

= |�⃗⃗⃗�|𝟐

− (�⃗� ∙ 𝑐) + 𝟎 − (�⃗⃗� ∙ 𝑐)

Tips dan triknya adalah, Lihat syarat,

Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).

Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.

Perhatikan tulisan berwarna merah (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!

Perhatikan warna biru (�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!

Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (�⃗� ∙ 𝑐) atau (�⃗⃗� ∙ 𝑐)?

Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI!

Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.

Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.

PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:

𝒊

𝒋 �⃗⃗⃗� +

𝒊 × 𝒋 = �⃗⃗⃗� Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.

𝑖 dikalikan silang dengan 𝑗 maka hasilnya POSITIF �⃗⃗�.

𝑗 dikalikan silang dengan �⃗⃗� maka hasilnya POSITIF 𝑖.

�⃗⃗� dikalikan silang dengan 𝑖 maka hasilnya POSITIF 𝑗. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.

Contohnya yaitu apabila 𝑗 dikalikan silang dengan 𝑖 maka hasilnya NEGATIF �⃗⃗�.

𝒋 × 𝒊 = −�⃗⃗⃗�

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 69

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (𝑘22

), �⃗⃗� = (2

−53

) dan 𝑐 = (21

−1). Jika vektor �⃗� tegak lurus dengan vektor �⃗⃗�, maka

tentukan nilai dari 2�⃗� ∙ (�⃗⃗� − 3𝑐) = ….

a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24

Penyelesaian:

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (𝑘22

) ∙ (2

−53

) = 0

⇔ 2𝑘 − 10 + 6 = 0⇔ 2𝑘 − 4 = 0⇔ 2𝑘 = 4⇔ 𝑘 = 2

Dengan demikian diperoleh:

�⃗� = (222

)

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

�⃗� ∙ 𝑐 = (222

) ∙ (21

−1) = (2 ∙ 2) + (2 ∙ 1) + (2 ∙ (−1)) = 4 + 2 − 2 = 4

2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 2�⃗� ∙ �⃗⃗� − 2�⃗� ∙ 3𝑐

= 2(�⃗� ∙ �⃗⃗�) − 6(�⃗� ∙ 𝑐)

= 2(0) − 6(4)= 0 + 24= 24

Jadi nilai 2𝑎 ∙ (𝑏 − 3𝑐) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Lihat bahwa �⃗⃗⃗� tegak lurus �⃗⃗⃗�, maka �⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = 𝟎 Jabarkan perkalian titik pada soal:

2�⃗� ∙ (�⃗⃗� − 3𝑐) = 𝟐(�⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗�) − 6(�⃗� ∙ 𝑐)

= 𝟎 − 6(4)= −24

Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (1𝑚−2

), �⃗⃗� = (2

−31

) dan 𝑐 = (−224

). Jika vektor �⃗� berlawanan dengan vektor 𝑐, maka

tentukan nilai dari 4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = ….

a. −24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72

Penyelesaian: �⃗� berlawanan arah dengan 𝑐 ⇒ �⃗� = −𝑘𝑐

⇔ (1𝑚−2

) = −𝑘 (−224

)

Dari persamaan tersebut diperoleh:

1 = −𝑘(−2) ⇒ 𝑘 =1

2

Maka,

𝑚 = −𝑘(2) ⇒ 𝑚 = (−1

2) (2) = −1

Dengan demikian diperoleh:

�⃗� = (1

−1−2

)

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (1

−1−2

) ∙ (2

−31

) = (1 ∙ 2) + ((−1) ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 + 3 − 2 = 3

�⃗� ∙ 𝑐 = (1

−1−2

) ∙ (−224

) = (1 ∙ (−2)) + ((−1) ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 − 2 − 8 = −12

4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = 4�⃗� ∙ 2𝑐 − 4�⃗� ∙ �⃗⃗�

= 8(�⃗� ∙ 𝑐) − 4(�⃗� ∙ �⃗⃗�)

= 8(3) − 4(−12)

= 24 − (−48)= 72

Jadi nilai 4�⃗� ∙ (2𝑐 − �⃗⃗�) = 72

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor �⃗� dan vektor 𝑐 berikut:

�⃗� = (1𝑚−2

) dan 𝑐 = (−224

)

Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau −2 itu 1, maka 2 itu −1. Jelas bahwa 𝑚 = −1.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 71

Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal:

Diketahui vektor �⃗� = (1𝑝

−2), �⃗⃗� = (

2−31

) dan 𝑐 = (−224

). Jika panjang vektor �⃗� sama dengan panjang vektor

�⃗⃗�, dan 𝑝 < 0, maka tentukan nilai dari (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = ….

a. −5 b. −3 c. 3 d. 9 e. 15

Penyelesaian:

|�⃗�|=|�⃗⃗�| ⇒ √(1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = √(2)2 + (−3)2 + (1)2

⇔ (1)2 + (𝑝)2 + (−2)2 = (2)2 + (−3)2 + (1)2

⇔ 1 + 𝑝2 + 4 = 4 + 9 + 1

⇔ 𝑝2 + 5 = 14

⇔ 𝑝2 + 5 − 14 = 0

⇔ 𝑝2 − 9 = 0pembuat nol

⇔ (𝑝 + 3)(𝑝 − 3) = 0⇔ 𝑝 + 3 = 0 atau 𝑝 − 3 = 0⇔ 𝑝 = −3    atau 𝑝 = 3

Karena syarat 𝑝 > 0, maka 𝑝 = 3.

Dengan demikian diperoleh �⃗� = (13

−2)

Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:

�⃗� ∙ �⃗⃗� = (13

−2) ∙ (

2−31

) = (1 ∙ 2) + (3 ∙ (−3)) + ((−2) ∙ 1) = 2 − 9 − 2 = −9

�⃗� ∙ 𝑐 = (13

−2) ∙ (

−224

) = (1 ∙ (−2)) + (3 ∙ 2) + ((−2) ∙ 4) = −2 + 6 − 8 = −4

�⃗⃗� ∙ 𝑐 = (2

−31

) ∙ (−224

) = (2 ∙ (−2)) + ((−3) ∙ 2) + (1 ∙ 4) = −4 − 6 + 4 = −6

|�⃗⃗�|2

= (2)2 + (−3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14

(�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗� ∙ 𝑐 + �⃗⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗⃗� ∙ 𝑐

= �⃗� ∙ �⃗⃗� − �⃗� ∙ 𝑐 + |�⃗⃗�|2

− �⃗⃗� ∙ 𝑐

= (−9) − (−4) + 14 − (−6)= −9 + 4 + 14 + 6= 15

Jadi nilai (�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = 15

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor �⃗� dan �⃗⃗�

�⃗� = (1𝑚−2

) dan �⃗⃗� = (2

−31

)

Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (−2)2 = (2)2 = 4.

Sekarang bandingkan bilangan pada vektor �⃗� dan �⃗⃗�. Pada vektor �⃗⃗� memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor �⃗� sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti 𝑝 = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal 𝑝 > 0).

Halaman 72 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Diketahui vektor

1

2

p

a

;

6

3

4

b

; dan .

3

1

2

c

Jika a tegak lurus ,b maka hasil dari

cba 3.2 adalah ....

A. 171

B. 63

C. −63

D. −111

E. −171

2. Diketahui vektor kjxia 3 , kjib 2 , dan kjic 23 Jika a tegak lurus ,b

maka hasil dari cba .2 adalah ....

A. −20

B. −12

C. −10

D. −8

E. −1

3. Diketahui vektor .22dan ,23,2 kjickjibkxjia Jika a tegak lurus ,c

maka caba . adalah ....

A. −4

B. −2

C. 0

D. 2

E. 4

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Karena �⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (𝑝2

−1) ∙ (

4−36

) = 0

⇔ 4𝑝 − 6 − 6 = 0⇔ 𝑝 = 3

(�⃗� − 2�⃗⃗�) ∙ (3𝑐) = (3 − 8

2 − (−6)−1 − 12

) ∙ (6

−39

)

= (−58

−13) ∙ (

6−39

)

= −30 − 24 − 117= −171

Karena �⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇒ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0

⇔ (1

−𝑥3

) ∙ (21

−1) = 0

⇔ 2 − 𝑥 − 3 = 0⇔ 𝑥 = −1

(2�⃗�) ∙ (�⃗⃗� − 𝑐) = (226

) ∙ (2 − 11 − 3

−1 − 2)

= (226

) ∙ (1

−2−3

)

= 2 − 4 − 18= −20

Karena �⃗� ⊥ 𝑐 ⇒ �⃗� ∙ 𝑐 = 0

⇔ (12

−𝑥) ∙ (

212

) = 0

⇔ 2 + 2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥 = 2

(�⃗� + �⃗⃗�) ∙ (�⃗� − 𝑐) = (1 + 32 − 2

−2 + 1) ∙ (

1 − 22 − 1

−2 − 2)

= (40

−1) ∙ (

−11

−4)

= −4 + 0 + 4= 0