SISTEM KENDALI OTOMATISFungsi Alih dan Diagram Blok

Model Matematis Sistem

• Persamaan matematis yang menunjukkan hubunganantara input dan output sistem.

• Dengan mengetahui model matematisnya, maka tingkahlaku sistem dapat dianalisa

G(s)INPUT OUTPUT

U(S) Y(S)

( )( ) = ( ) Transfer Function / Fungsi Alih

Transfer Function/Fungsi Alih

)(,

01

11

1

)(,

01

11

1 ......tuInput

mm

mm

tyOutput

nn

nn ububububyayayaya

nolawalkondisi

nolawalkondisi

tuL

tyLsG

_

_

)(

)()(

• Persamaan differensial suatu sistem yang menghubungkanoutput dengan input

• Transformasi Laplace terhadap output dan input persamaan diatas dengan kondisi awalsama dengan nol

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sU

sYsG

nn

nn

mm

mm

FungsiTransfer

4

Transformasi Laplace PersDifferensial

• Linieritas

sFsFtftfL

saFtafL

2121

dt

dffsFs

dt

tfdL

fssFdt

tdfL

00

0

22

2

dt

s

f

s

sFdttfL

0

ssFtfst limlim

0

ssFtfst 0limlim

sFetfL s

• Differensiasi

• Integrasi

• Nilai awal

• Nilai akhir

• Pergeseran waktu

5

Contoh:Solusi Persamaan Differensial

s

sYyssYysysYs1

5)(2)0(33)0´(02

tftydt

tdy

dt

tyd523

2

2

Diberikan persamaan differensial sbb:

Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2.Transformasi Laplace menghasilkan:

)23(

5)(

5)()23(

5)(2332

2

2

22

2

sss

sssY

sssYsss

ssYssYssYs

Fungsi unit step dari tabeltransformasi Laplace

Menggunakan teoremadifferensiasi transformasi

Laplace

Solusi dalam domain tdiperoleh dengan invers

transformasi Laplace

6

)2)(1(

5

)23(

5)(

2

2

2

sss

ss

sss

sssY

2

3

)1(

5)]()2[(

5)2(

5)]()1[(

2

5

)2)(1(

5)]([

2

2

2

1

2

0

ss

sssYsC

ss

sssYsB

ss

ssssYA

s

s

s

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator)dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:

)2)(1(

5

)2()1()(

2

sss

ss

s

C

s

B

s

AsY

Ekpansi dalam pecahan parsial,

Dimana A, B dan C adalah koefisien

7

)2(2

3

)1(

5

2

5)(

ssssY

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktuy(t) menjadi

tt eety 2

2

35

2

5)(

Dengan t≥0

8

Diagram Blok

Hubungan antara output dan input suatu sistem dapat digambarkandengan suatu blok (=diagram blok) yang mengandung fungsi transfer.

Diagram Blok merupakan “technical drawing” (atau standard drawing)suatu sistem kontrol

Dengan representasi diagram blok, keserupaan (similarity) berbagaitipe sistem kontrol dapat dipelajari.

G(s)U(s) Y(s)

)(

)()(

sU

sYsG

Fungsi Transfer,

Diagram Blok suatu sistem

9

Diagram Blok sistem tertutup:Ideal

G(s)E(s) Y(s)

-+

H(s)

R(s)

B(s)

Titik PenjumlahanTitik Percabangan

R(s)=Referensi sinyal inputE(s)=Sinyal error [E(s)=R(s)-B(s)]G(s), H(s)=Fungsi TransferB(s)= Sinyal feedbackY(s)=Sinyal output

10

)()(

)(sG

sE

sYFFTF

)()()(

)(sHsG

sE

sBOLTF

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sG

sR

sYCLTF

)()()(1

)()( sR

sHsG

sGsY

Feed-forward Transfer Function, FFTF

Open-Loop Transfer Function, OLTF

Closed-Loop Transfer Function, CLTF

Hubungan Input Output (LihatDiagram Blok):

Y(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)Y(s)

AtauY(s)=G(s)[R(s)-H(s)Y(s)]Y(s)+G(s)H(s)Y(s)=G(s)R(s)(1+G(s)H(s))Y(s)= G(s)R(s)

Atau,

Dr.-Ing. Mohamad Yamin 11

Diagram Blok sistem tertutupdengan gangguan

G1(s)E(s) Y(s)

-+

H(s)

R(s)

B(s)

Jika dalam suatu sistem terdapat dua input (reference input dan gangguan), makatiap input dapat diperlakukan independen, output yang berkorespondensi pada tiapinput dapat dijumlahkan untuk menentukan output sistem keseluruhan.

++

D(s)

G2(s)U1(s) U2(s)

12

)()()(1

)(

)(

)(

21

2

sHsGsG

sG

sD

sYD

)()()(1

)()(

)(

)(

21

21

sHsGsG

sGsG

sR

sYR

)]()()([)()()(1

)()()()( 1

21

2 sDsRsGsHsGsG

sGsYsYsY DR

Response Y(s) terhadap gangguan D(s),

Response Y(s) terhadap referensi input R(s), dengan measumsikan gangguansama degan nol

Total Response Y(s),

• Buatlah Transfer Function-nya• Gambarkan diagram blok

* Persamaan Sistem

idtC

eR

eei i

1; 0

0

* Transformasi Laplace dari persamaan

R

sEsEsI i )()()( 0 )(

1)(0 sI

CssE

Diagram Blok dari Persamaan

1

1

RCs)s(E)s(E

i

o

16

Diagram Blok: Seri

G1(s)R(s) Y(s)

G2(s) Gk(s)

G(s)

)()...()()()( 211

sGsGsGsGsG k

k

ii

Fungsi Transfer

17

Paralel

R(s) Y(s)G2(s)

G(s)

)(...)()()()( 211

sGsGsGsGsG k

k

ii

Fungsi Transfer hubungan paralel:

G1(s)

Gk(s)

+++

18

Feedback

R(s) Y(s)G1(s)

G(s)

)()(1

)()(

21

1

sGsG

sGsG

Fungsi Transfer

G2(s)

++-

19

Penyederhanaan Diagram Blok

RG +

+-B

++-

B

G

1/G

Y YR

++-

B

YRG G

G

++-

R

B

Y

20

RG

BY

G

G

Y YR

R

YRG G

1/G

R

R

Y

21

RG +

+-B

++-

H

H

Y YR

++-

YRG 1/H GH+

+-

R Y

G/H

H

22

Contoh1

)()()()(

)(sHsGsC

sE

sBOLTF

+-U

C

H

YR

B

EG

Diagram blok dari suatu sistem diberikan seperti gambar berikut, Tentukan:a). Open-Loop Transfer Function, OLTFb). Closed-Loop Transfer Function, CLTF

Jawaba). Open-Loop Transfer Function, OLTF

)()()(1

)()(

)(

)(

sHsGsC

sGsC

sR

sYCLTF

b). Closed-Loop Transfer Function, CLTF

23

Contoh2

+- C2

H3

YRG1

Sederhanakan diagram blok berikut:

C1

+-

H1

G2

H2

+

24

Contoh2

+- C2

H3

YRG1

Jawab

C1

+-

H1

G2

H2

+

25

Contoh2

+- C1+C2

H2H3

YR G11+G1H1

Jawab

G2

+-

H2H3

YR (C1+C2)G1G21+G1H1

26

Contoh2

Diagram Blok yang disederhanakan menjadi:

YR (C1+C2)G1G21+G1[H1+(C1+C2)G2H2H3]

Tugas

1. Tentukan transfer function dangambarkan diagram blok dari rangkaianRLC berikut:

eieo

Tugas

2. Sederhanakan diagram blok berikut

TERIMA KASIH