SISTEM KONVEKSI ALAMIAH

A. Pendahuluan

Konveksi alamiah (natural convection), atau konveksi bebas (free convection), terjadi karena fluida yang karena proses pemanasan, berubah densitasnya (kerapatannya), dan bergerak niak. Radiator panas yang digunakan untuk memanaskan ruang merupakan suatu contoh peranti praktis yang memindahkan kalor dengan konveksi bebas. Gerakan fluida dalam konveksi bebas, baik fluida, itu gas maupun zat cair, terjadi karena gaya apung (buoyancy force) yang dialaminya apabila densitas fluida di dekat permukaan perpindahan- kalor berkurang sebagai akibat proses pemanasan. Gaya apung itu tidak akan terjadi apabila fluida itu tidak mengalami sesuatu gaya dari luar seperti gravitasi (gaya berat), walaupun gravitasi bukanlah satu-satunya medan gaya luar yang dapat menghasilkan arus konveksi bebas; fluida yang terkurung dalam mesin rotasi mengalami medan gaya sentrifugal, dan karena itu mengalami arus konveksi-bebas bila salah satu atau beberapa permukaannya yang dalam kontak dengan fluida itu dipanaskan. Gaya apung yang menyebabkan arus konveksi-bebas disebut gaya badan(body forces).

B. Perpindahan kalor konveksi bebas pada plat rata vertikal

Perhatikanlah plat-plat vertikal pada gambar 1. Apabila plat itu dipanaskan, terbentuklah suatu lapisan batas konveksi bebas seperti terlihat pada gambar. Profil kecepatan pada lapisan batas ini tidak seperti profil kecepatan pada lapisan batas konveksi paksa. Pada dinding, kcepatan adalah nol, karena terdapat kondisi tanpa gelincir (no-slip); kecepatan itu bertambah terus sampai mencapai suatu nilai maksimum, dan kemudian menurun lagi hingga nol pada tepi lapisan batas, karena kondisi arus bebas (free stream) tidak ada pada sistem konveksi bebas. Perkembangan awal lapisan batas adalah laminar; tetapi pada suatu jarak tertentu dari tepi depan, bergantung pada sifat-sifat fluida dan beda suhu antara dinding dan lingkungan, terbentuklah pusaran-pusaran dan transisi kelapisan batas turbulen pun mulailah terjadi. Pada jarak lebih jauh pada plat itu lapisan batas mungkin sudah menjadi turbulen sepenuhnya.

Gambar 1. Lapisan batas di atas plat rata vertikal

Untuk menganalisis masalah perpindahan kalor, kita harus terlebih dahulu mendapatkan persamaan diferensial gerakan lapisan batas itu. Untuk itu kita pilih koordinat x sepanjang plat itu dan koordinat y tegak lurus pada plat. Satu-satunya gaya baru yang diperhitungkan dalam deviasi ini hanyalah berat (bobot) fluida itu seperti yang terdahulu kita samakan jumlah gaya luar (external forces) pada arah x dengan perubahan fluks momentum melalui volume kendali dx dy. Hasilnya adalah

ρ(u ∂ u∂ x

+v∂ u∂ y )=−∂ p

∂ x−ρg+μ

∂2u∂ y2 (1)

Di mana suku −ρg menunjukkan gaya bobot yang dialami unsur itu. Gradien atau landaian tekanan (pressure gradient) pada arah x terjadi karena perubahan ketinggian di atas plat itu. Jadi,

∂ p∂ x

=−ρ∞ g (2)

Dengan kata lain, perubahan tekanan sepanjang tinggi dx sama dengan bobot per satuan luas unsur fluida. Mensubstitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (1) akan menghasilkan

ρ(u ∂ u∂ x

+v∂ u∂ y )=g (ρ∞−ρ)+μ

∂2u∂ y2 (3)

Beda densitas

ρ∞−ρ dapat dinyatakan dengan koefisien muai (ekspansi) volume (volume coefficient of

expansion) β, yang didefinisikan oleh

β= 1V ( ∂V

∂ T )p

= 1V ∞

V−V ∞

T−T ∞

=ρ∞−ρ

ρ(T−T ∞)

Sehingga

ρ(u ∂ u∂ x

+v∂ u∂ y )=gρβ (T−T ∞)+μ

∂2u∂ y2 (4)

Persamaan di atas adalah persamaan gerak untuk lapisan-batas koveksi-bebas. Perhatikan bahwa penyelesaian untuk profil kecepatan memerlukan pengetahuan tentang distribusi suhu. Persamaan energi untuk sistem konveksi-bebas sama dengan yang untuk sitem konveksi-paksa pada kecepatan rendah:

ρ c p(u ∂T∂ x

+v∂T∂ y )=k

∂2T∂ y2 (5)

Koefisien muai volume β dapat ditentukan dari daftar-daftar sifat fluida. Untuk gas ideal koefisien itu dapat dihitung dari

β= 1T

Di mana T ialah suhu absolut gas.

Walaupun gerakan fluida adalah disebabkan oleh perbedaan densitas, perbedaan ini biasanya kecil, dan kita bisa mendapatkan penyelesaian yang cukup memuaskan dengan mengandaikan aliran takmampu-mampat (incompressible flow), artinya, ρ = konstan. Untuk mendapatkan penyelesaian atas persamaan gerak, kita gunakan metode analisis integral.

Untuk sistem konveksi-bebas, persamaan momentum integral menjadi

ddx

∫0

δ

ρu2 dy=−T w+∫0

δ

gρβ (T−T ∞ ) dy

¿−μ∂ u∂ y ]

y=0

+∫0

δ

gρβ ( T−T∞ ) dy (6)

Dan kita lihat bahwa bentuk fungsional, baik untuk distribusi suhu maupun distribusi kecepatan, perlu diketahui bahwa kita hendak mendapatkan penyelesaian. Kondisi berikut ini berlaku untuk distribusi suhu:

T=T w pada y=0

T=T ∞ pada y=δ

∂ T∂ y

=0 pada y=δ

Sehingga, untuk distribusi suhu kita dapatkan

T−T ∞

Tw−T∞

=(1− yδ )

2

(7)

Tiga kondisi untuk profil kecepatan ialah:

u=0 pada y=0

u=0 pada y=δ

∂u∂ y

=0 pada y=δ

Sebuah kondisi lagi didapatkan dari persamaan (4) dengan mengingat bahwa

∂2u∂ y2=−gβ

T w−T ∞

v pada y=0

Sebagaimana dalam analisis integral untuk soal-soal konveksi-paksa, kita andaikan di sini bahwa profil kecepatan mempunyai bentuk geometri yang sama pada setiap posisi x di sepanjang plat itu. Untuk soal konveksi-bebas, kita andaikan bahwa kecepatan dapat dinyatakan sebagai fungsi polinomial y dikalikan dengan fungsi sembarang x. Jadi,

uux

=a+by+c y2+d y3

Di mana ux adalah kecepatan ‘khayalan’ (fictitious) sebagai fungsi dari x. Kubus polinominal di atas dipilih karena mempunyai empat kondisi yang harus dipenuhi, dan fungsi inilah yang paling sederhana untuk itu. Dengan menerapkan keempat kondisi profil kecepatan yang kita daftarkan di atas, kita dapatkan

uux

=β δ2 g(T¿¿ w−T ∞)4 ux v

yδ (1− y

δ )2

¿

Suku yang melibatkan beda suhu, δ 2, dan ux dapat digabungkan menjadi suatu fungsi ux, sehingga persamaan akhir untuk profil kecepatan dapat diandaikan

uux

= yδ (1− y

δ )2

(8)

Grafik persamaan (8) ditunjukkan pada Gambar 2. Dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan (8) ke dalam persamaan (6), dan melakukan integrasi dan diferensiasi, kita dapatkan

1105

ddx

(ux2 δ )=1

3gβ (T w−T ∞ ) δ−v

ux

δ (9)

Gambar 2. Profil kecepatan konveksi bebas yang dihasilkan dari persamaan (8)

Bentuk integral persamaan energi untuk sitem konveksi-bebas ialah

ddx [∫

0

δ

u (T−T ∞ ) dy ]=−αdTdy ]

y=0

(10)

Dan bila kita sisipkan distribusi suhu dan distribusi kecepatan yang diandalkan tadi ke dalam persamaan ini, dan operasinya dilaksanakan, kita dapatkan

130

(T w−T ∞ ) ddx

(ux δ )=2 αT w−T ∞

δ(11)

Dari penalaran yang menghasilkan persamaan 8 jelas bahwa

ux δ 2 (12)

Jika hubungan ini kita sisipkan ke dalam persamaan (9), kita dapatkan

δ x14 (13)

Oleh karena itu kita andaikan variasi fungsi eksponen berikut ini untuk ux dan δ :

ux=C1 x12 (14)

δ=C2 x14 (15)

Dengan memasukkan hubungan di atas ke dalam persamaan (9) dan (11) memberikan

5420

C12C2 x

14 =gβ (T w−T ∞ )

C2

3x

14 −

C1

C2

vx14 (16)

Dan

140

C1C2 x−14 =2α

C2

x−14 (17)

Untuk mendapatkan konstanta C1dan C2, kedua persamaan di atas dapat diselesaikan

C1=5,17 v ( 2021

+ vα )

−1/2[ gβ (T w−T ∞ )v2 ]

1 /2

(18)

C2=3,93( 2021

+ vα )

1 /4[ gβ (T w−T ∞ )v2 ]

−1/4

( vα )

−1 /2

(19)

Persamaan yang dihasilkannya untuk tebal lapisan-batas ialah

δx=3,93 Pr−1 /2(0,952+Pr )1/4 Gr x

−1/4 (20)

Di mana angka prandtl Pr=v/α digunakan bersama suatu grup tak-berdimensi baru yang disebut angka Grashof Grx :

Gr x=gβ (T w−T ∞ ) x3

v2(21)

Koefisien perpindahan kalor dievaluasi dari

qw=−kAdTdy ]

w

=hA (T w−T ∞ )

Dengan menggunakan distribusi suhu dari persamaan (7), kita dapatkan

h=2kδ

atauhx

k=N U x=2

xδ

sehingga persamaan tak berdimensi untuk koefisien perpindahan kalor menjadi

N U x=0,508 Pr1 /2(0,952+Pr )−1 /4 Gr x1/4 (22)

Persamaan (22) menunjukkan perubahan koefisien perpindahan kalor lokal sepanjang plat vertikal itu. Koefisien perpindahan kalor rata-rata didapatkan dengan melakukan integrasi:

h=1L∫0

L

hx dx (23)

Untuk perubahan menurut persamaan (22), koefisien rata-rata adalah

h=13

hx=L (24)

Angka Grashof dapat ditafsirkan secara fisis sebagai suatu gugus tak berdimensi yang menggambarkan oerbandingan antara gaya apung dengan gaya viskos dalam sistem aliran konveksi bebas. Peranannya sama dengan peranan angka Reynolds dalam sistem konvekeksi paksa dan merupakan variabel utama yang digunakan sebagai kriteria transisi dan aliran lapisan batas laminer menjadi turbulen. Untuk udara dalam konveksi bebas diantara pelat rata vertikal, angka Grashof kritis menurut pengamatan Eckert dan Soehngen 1 adalah kira-kira 4 x 108. Nilai 108 dan 109 biasa diamati untuk berbagai fluida dan lingkungan “tingkat turbulen” (turbulence level”).

Suatu tinjauan yang amat lengkap tentang stabilitas dan transisi lapisan batas konveksi paksa diberikan oleh Gebhart et al 13-15.

Analisis di atas tentang perpindahan kalor konveksi bebas di atas plat rata vertikal merupakan kasus yang tersederhana yang dapat diolah secara matematis, dan telah kita gunakan pula untuk memperkenalkan suatu variabel tak berdimensi baru yaitu angka Grashof yang sangat penting dalam semua soal konveksi bebas. Tetapi, sebagaimana dalam beberapa soal konveki paksa, untuk mendapatkan hubungan tentang perpindahan kalor dalam situasi lain, kita harus mengandalkan pada pengukuran eksperimental. Situasi itu biasanya ialah situasi dimana terdapat kesulitan dalam meramalkan suhu dan profilkecepatan secara analitis,

konveksi bebas turbulen, sebagaimana juga konveksi paksa turbulen, merupakan contoh masalah yang memerlukan data percobaan; tetapi persoalannya lebih berat dengan sistem konveksi bebas daripada dengan sistem konveksi paksa, karena disini kecepatan biasanya sangat rendah sehingga sulit diukur. Walaupun terdapat berbagai kesulitan dalam melakukan percobaan, pengukuran kecepatan telah dilakukan orang dengan teknik gelembung hidrogen 26, anemometri kawat panas 28, dan anemometer serat kuarsa. Pengukuran medan suhu dilakukan dengan menggunakan interferometer zehnder-Mach. Anemometer laser 29 sangat berguna untuk mengukur konveksi bebas karena cara ini tidak mengganggu medan aliran.

Interferometer menunjukkan garis-garis densitas tetap dalam medan aliran fluida. Untuk gas dalam konveksi bebas pada tekanan rendah garis-garis densitas tetap sama dengan garis-garis suhu tetap. Jika medan suhu sudah ditentukan, maka perpindahan kalor dari suatu permukaan dalam konveksi bebas, dapat dihitung dengan menggunakan gradien atau landaian suhu (temperature Gradient) pada permukaan dan konduktivitas gas. Beberapa penelitian interferometrik telah dilakukan orang, dan beberapa foto khas medan aliaran ditunjukkan pada gambar 3-6. Gambar 3 menunjukkan garis-garis suhu tetap di sekeliling plat rata vertikal yang dipanaskan. Perhatikan bahwa garis-garis itu paling rapat disekitar permukaan plat, yang menunjukkan gradien suhu yang lebih tinggi di daerah itu. Gambar 4 menunjukkan garis-garis suhu tetap di sekitar silinder horizontal dlam konveksi bebas, dan gambar 5 menunjukkan interaksi lapisan batas diantara sekelompok 4 silinder horizontal. Fenomena yang serupa terlihat pada alirankonveksi paksa melintas rangkunan tabung. Penelitian interferometrik sudah dilakukan untuk menentukan titik tempat terbentuknya pusaran dalam lapisan batas konveksi bebas, dan penelitian ini pernah digunakan untuk menentukan permulaan transisi ke arah turbulen dalam sistem konveksi bebas.

Gambar 3. Foto interferometer menunjukkan garis-garis suhu tetap di sekeliling plat rata vertikal panas dalam konveksi bebas.

Gambar 4. Foto interferometer menunjukkangaris-garis suhu tetap disekitar silinder horizontal panas dalam konveksi bebas.

Gambar 5.

Sudah disebutkan tadi bahwa kecepatan dalam konveksi itu sangat kecil, sehingga dalam kebanyakan sistem sulit mengukurnya tanpa mempengaruhi medan alir pada waktu memasang alat ukur. Indikasi kasar secara visual diberikan pada gambar 5 dimana digambarkan gelombang lapisan batas konveksi bebas disebabkan oleh denyutan kalor dekat tepi depan plat. Dicatat bahwa titik puncak setiap isoterm mengalami ketetapan (phase lag) dan bahwa garis yang ditarik melalui titik-titik plat itu mempunyai bentuk kira-kira seperti profil konveksi bebas.

Beberapa rujukan membahas berbagai aspek teoritis dan empiris masalah konveksi bebas. Salah satu pembahasan yang paling luas diberikan oleh Gebhart.

C. Rumus empiris untuk konveksi bebas

Selama bertahun-tahun telah diketahui bahwa koefisien perpindahan kalor konveksi bebas rata-rata untuk berbagai situasi, dapat dinyatakan dalambentuk fungsi berikut:

NU f =C(Gr f Pr f)m

Di manasubskrif f menunjukkan bahwa sifat-sifat unutk gugus berdimensi dievaluasi pada suhu film

T f =T ∞+T w

2

Gambar 6. Foto interferometer menunjukkan isoterm pada plat rata vertikal panas yang mengalami gangguan berkala terhadap lapisan batas. Perhatikan pergesesan fase pada titik-titik maksimum isoterm itu.

Produk perkalian antara angka grashof dan angka brandtl disebut angka raylaigh

Ra=GrPr (26)

Dimensi karakteristik yang digunakan dalam angka nusselt dan angka Grashof bergantung pada geometri soal itu. Untuk plat vertikal, hal itu ditentukan oleh tinggi plat L; untuk silindeer horizontal untuk diameter d; dan demikian seterusnya. Data eksperimen untuk soal-soal konveksi bebas terdapat dalam berbagai rujukan, dengan beberapa hasil yang bertentangan. Bagian yang berikut ini dimaksudkan untuk memebrikan hasil-hasil tersebut dalam bentuk rangkuman, yang dapat langsung digunakan untuk tujuan perhitungan. Bentuk fungsi persamaan (25) dipakai dalam banyak diantara penyajian ini dengan nilai-nilai konstanta C dan m tertentu untuk setiap kasus.

D. Konveksi Bebas dari Bidang dan Silinder Vertikal

Permukaan isotermal

Untuk permukaan vertikal, angka nusselt dan angka Grashof dibentuk dengan L, yaitu tinggi permukaan, sebgaai dimensi karakteristik. Jika tebal lapisan batas tidak besar dibandingkan dengan diameter silinder, perpindahan kalor dapat dihitung dengan rumus yang sama dengan yang untuk plat vertikal. Kriteria umum ialah bahwa silinder vertikal dapat ditangani sebagai plat rata vertikal apabila

DL

≥35

GrL1/4 (27)

Di mana D ialah diameter silinder. Untuk permukaan isotermal, nilai untuk konstanta-konstanta itu diberikan pada Daftar 1 di mana diberikan pula catatan tentang rujukan yang dapat diperiksa lebih lanjut. Para pembaca diminta memberikan perhatiannya pada dua perangkat konstanta untuk kasus turbulen (GrfPrf >109). Walaupun kelihatannya ada perbedaan yang tegas antara kedua konstanta itu, perbandingan yang dilakukan oleh Warner dan Arpaci antar kedua perangkat itu dengan data eksperimen menunjukkan bahwa kedua perangkat konstanta cocok dengan data yang ada. Terdapat indiksasi dari usaha analistis baylay dan dari perhitungan fluks kalor bahwa rumus

Nuf =0,10(Gr f Pr f )1 /3

Mungkin lebih memuaskan.

Rumus-rumus yang lebih rumit diberikan oleh Churchril dan Chu dan berlaku untuk rentang angka Rayleigh yang lebih luas.

Nu=0,68+ 0,670 Ra1/4

[1+(0,492/ Pr)9 /16 ]4 /9 untuk RaL<109 (28)

Nu1/2=0,825+ 0,387 Ra1 /6

[1+(0,492/ Pr)9 /16 ]8 /27 untuk 10−1<RaL<1012 (29)

Persamaan (28) juga memuaskan untuk fluks kalor tetap. Sifat-sifat untuk rumus-rumus di atas dievaluasi pada suhu film.

Fluks kalor tetap

Percobaan-percobaan yang ekstensif mengenai konvekis bebas dari permukaan vertikal atau miring ke air pada kondisi fluks-fluks kalor tetap dilaporkan dalam rujukan 25, 26, dan 39.

Daftar 1. Konstanta persamaan (25) untuk Permukaan Isotermal

Pada percobaan-percobaan tersebut, hasilnya dinyatakan dengan angka Grashof yang dimodifikasi, Gr*:

Gr x¿=Gr x Nu x=

gβ qw x4

k v2(30)

Di man qw ialah fluks kalor dinding. Koefisien perpindahan kalor lokal untuk aliran laminar dikorelasikan oleh rumus

Nuxf =hx

k f

=0,60(Gr x¿ Pr f )

1/5 105<Gr x¿<1011 ;qw= konstan (31)

Perlu dicatat bahwa kriteria untuk aliran laminar dengan menggunakan faktor Grx* tidak sama dengan yang menggunakan Grx. Transisi lapisan batas akan terihat bermula antara Grx*Pr=3 x 1012 dan 4 x 1013 dan berakhir antara 2 x 1013 dan 1014. Aliran turbulen yang telah berkembang penuh terdapat pada Grx*Pr=1014, dan percobaan itu dilanjutkan sampai Grx*Pr=1016. Untuk daerah turbulen, koefisien perpindahan kalor lokal dikorelasikan oleh

Nuxf =0,17 (Gr x¿ Pr)1 /4 2 ×1013<Gr x

¿<1016;qw= konstan (32)

Semua sifat-sifat dalam persamaan (31) dan (32) dievaluasi pada suhu film lokal. Walauppun percobaan ini dilakukan dengan air, kolerasi yang dihasilkan ternyata berlaku juga untuk

Gambar 7. Korelasi perpindahan kalor konveksi bebas untuk perpindahan kalor dari plat vertikal panas.

udara. Koefisien perpindahan kalor rata-rata untuk kasus fluks kalor tetap tidak dapat dievaluasi dari persamaan (24), tetapi harus dengan menerapkan persamaan (23). Jadi, untuk daerah laminar, dengan menggunakan persamaan (31) untuk mengevaluasi hx,

h=1L∫0

L

hx dx

h=54

hx=L qw=konstan

Di sini perlu kita catat hubungan antara korelasi dalam bentuk persamaan (25) dengan yang menggunakan Grx*= GrxNux. Persamaan (25) dituliskan sebagai bentuk perpindahan kalor lokal, memberikan

Nux=C (Gr x Pr)m (33)

Dengan menyisipkan Grx= Grx*/Nux didapatkan

Nu1+m=C(Gr x¿ Pr )m

Gambar 8.

Atau

Nux=C1 /(1+m)(Gr x¿ Pr )m/(1+m ) (34)

Jadi, bila nilai “karakteristik” m untuk aliran laminar dan turbulen dibandingkan dengan eksponen Grx*, kita dapatkan

Laminar, m=14

: m

1+m=1

5

Turbulen , m=13

: m

1+m= 1

4

Di samping perumusan Gr* itu mudah digunakan untuk kasus-kasus fluks kalor tetap, terlihat pula bahwa eksponen karakteristik cocok sekali dengan kerangka yang digunakan untuk korelasi permukaan isotermal.

Perubahan hx dengan x pada kedua ragam karakteristik menarik pula untuk dicatat. Untuk aliran laminar m=1/4, dan dari persamaan (25)

Dalam daerah turbulen m=1/3, dan kita dapatkan

hx1x(x3)1/3=konstan terhadap x

Jadi, dalam hal konveksi bebas turbulen, koefisien perpindahan kalor lokal hampir tidak berubah dengan x.

Churchill dan Chu menunjukkan bahwa persamaan (28) dapat diubah agar berlaku untuk kasus fluks kalor tetap jika angka Nusselt rata-rata didasarkan atas fluks kalor dinding dan beda suhu pada pusat plat (x=L/2). Hasilnya

NuL1/4 ( NuL−0,68 )=

0,67 (GrL¿ Pr )1/4

[1+(0,492 /Pr )9/16 ]4 /9 (35)

Di mana NuL=qw L /(k ∆ T ) dan ∆ T=T w pada L/2−T ∞ .

Contoh 1

Di suatu tempat dekat tanur dalam pabrik, fluks energi radiasi netto sebesar 800 W/m2 menimpa permukaan logam vertikal yang tingginya 3,5 m dan lebarnya 2m. Logam itu diisolasi pada bagian belakangnya dan dicat hitam sehingga semua radiasi yang masuk dilepaskan melalui konveksi bebas ke udara lingkungan yang suhunya 30° C. Berapa suhu rata-rata plat?

Penyelesaian

Soal ini kita tangani sebagai soal dengan fluks kalor tetap pada permukaan. Oleh karena kita tidak tahu suhu permukaan, maka kita harus membuat suatu perkiraan untuk menentukan Tf dan sifat-sifat udara. Nilai kira-kira h untuk soal konveksi bebas ialah 10 W/m2.°C, sehingga, kira-kira

∆ T=qw

h≈

80010

=80 °C

Kemudian

∆ T ≈802

+30=70° C=343 K

Pada 70° C, sifat-sifat udara ialah

v=2,043 ×10−5m2/s β= 1T f

=2,79 ×10−3 K−1

k=0,0295 W /m .℃ Pr=0,7

Dari persamaan (30), dengan x=3,5 m.

Gr x¿=

gβ qu x4

k v2 =(9,8)(2,92 ×10−3)(800)(3,5)4

(0,0295)(2,005 × 10−5)2 =2,90× 1014

Oleh karena itu, kita boleh menggunakan persamaan (32) untuk menghitung hx:

hx=kx(0,17)(Gr x

¿ Pr )1/4

¿ 0,02953,5

(0,17)(2,79 ×1014 ×0,7)1 /4

¿5,36 W /m2 .℃ [0,944 Btu /h . ft2 .℉ ]

Dalam perpindahan kalor turbulen di mana berlaku persamaan (32), kita lihat bahwa

Nux=hx

k(Gr x

¿)1 /4 ( x4 )1/4

Atau hx tidak berubah menurut x, dan nilai ini dapat kita anggap sebagai rata-rata. Nilai h=5,41 W/m2.°C itu kurang dari harga kira-kira yang kita gunakan untuk menaksir Tf. Kita hitung kembali ΔT, dan kita dapatkan

∆ T=qw

h− 800

5,36=149℃

Suhu film yang baru menjadi

T f =30+1492

=104,5℃

pada 104,5℃ ,sifat-sifat udara adalah

v=2,354 ×10−5 m2/ s β= 1T f

=2,65 ×10−3/K

k=0,320 W /m .℃ Pr = 0,695

Lalu

Gr x¿=

(9,8)(2,65×10−3)(800)(3,5)4

(0,0320)(2,354 × 10−5)2 =1,758× 1014

Dan hx dihitung dari

hx=kx(0,17)(Gr x

¿ Pr )1/4

¿(0,0320)(0,17)

3,5[(1,758 ×1014)(0,695)]1 /4

¿5,17 W /m2 .℃ [ 0,91 Btu/h . ft 2 .℉ ]

Beda suhu yang baru kita hitung dari

∆ T=(T w−T ∞)rat=qw

h= 800

5,17=155℃

Suhu dinding rata-rata, oleh karena itu,

T w .rat=155+30=185℃

Iterasi sekali lagi untuk nilai Tf tidak ada gunanya karena tidak sebanding dengan tambahan ketelitian yang dihasilkannya.

Contoh 2

Sebuah plat besar vertikal dijaga pada suhu 60°C dan mengalami udara atmosfer pada 10°C. Hitunglah perpindahan kalor jika plat itu lebarnya 10m.

Penyelesaian

Mula-mula kita tentukan suhu film:

T f =60+10

2=35℃=308 K

Sifat-sifat penting ialah

β= 1308

=3,25 ×10−3 k=0,02685

v=16,5 ×10−6 Pr = 0,7

Dan

GrPr=(9,8)(3,25 × 10−3)(60−10)(4)3

(16,5 ×10−6)2 =1,758× 1014

¿3,743×1011

Kita boleh menggunakan persamaan (29) dan mendapatkan

Nu1/2=0,825+(0,387 ) (3,743 ×1011)1 /6

[1+ (0,492/0,7 )9 /16 ]8/27

= 28,34

Nu=803

Koefisien perpindahan kalor, jadi,

h=(803)(0,02685)

4,0=5,39W /m2 .℃

Perpindahan kalor ialah

q=h A(Tw−T∞)

¿ (5,39 ) (4 ) (10 ) (60−10 )=10.781 W

Sebagai alternatif, dapat pula kita gunakan rumus yang lebih sederhana

Nu=0,10 (GrPr)1/3

¿0,10(3,743× 1011)1/3=720,7

Yang memberikan nilai 10 persen lebih rendah dari persamaan (29)

E. Konveksi Bebas dari Selinder Horizontal

Nilai-nilai konstanta C dan m untuk silinder diberikan pada Daftar 1. Ramalan dari Morgan merupakan yang paling andal untuk GrPr di sekitar 10-5. Persamaan yang lebih rumit, yang dapat digunakan untuk rentang GrPr yang luas, diberikan oleh Churchill dan Chu:

NuL1/2=0,60+0,387 { GrPr

[1+(0,559/Pr )9 /16 ]16/9 }1 /6

untuk 10-5 < GrPr

< 1012 (36)

Persamaan yang lebih sederhana di bawah ini berlaku hanya pada aliran laminar dari 10 -6 < GrdPr < 109:

Nud=0,36+0,518(Grd Pr)1 /4

[1+(0,559/Pr )9 /16 ]4 /9 (37)

Sifat-sifat dalam persamaan (36) dan (37), ditentukan pada suhu film.

Perpindahan kalor dari silinder horizontal ke logam cair dapat dihitung menurut Rujukan 46:

Nud=0,53(Grd Pr2)1 /4 (38)

Contoh 3

Sebuah horizontal dengan diameter 2,0 cm yang permukaannya dijaga pada suhu 38° C dibenamkan dalam air yang suhunya 27° C. Hitunglah rugi kalor konveksi bebas per satuan panjang pemanas.

Penyelesaian

Suhu film adalah

T f =38+27

2=32,5℃

Dari lampiran A, sifat-sifat air adalah

k=0,630 W /m .℃

Dan gugus berikut ini sangat berguna untuk mendapatkan hasil kali Gr Pr bila dikalikan dengan d3 ΔT:

gβ ρ2 c p

μk=2,48 × 1010 [1/m3 .℃ ]

GrPr=(2,48 ×1010) (38−27 (0,02 )3 )=2,18×106

Dengan menggunakan Daftar 1, kita dapatkan C=0,53 dan m=1/4, sehingga

Nu=(0,53 ) (2,18 × 106 )1 /4=38,425

h=(38,425)(0,63)

(0,02)=1210W /m2 .℃

jadi, perpindahan kalor adalah

qL=hπd (T w−T ∞)

¿ (1210 ) π (0,02 ) (38−27 )=836,3W /m

Contoh 4

Sebuah kawat halus dengan diameter 0,02 mm dijaga pada suhu tetap 54°C dengan bantuan arus listrik. Kawat itu terbuka ke udara pada 1 atm dan 0°C. Hitunglah daya listrik yang diperlukan untuk mempertahankan suhu kawat jika panjangnya adalah 50 cm.

Penyelesaian

Suhu filmnya adalah

T f =54+0

2=27℃=300 K , sehingga sifat-sifatnya adalah

β= 1300

=0,00333 k=0,02624 W /m.℃

v=15,69 ×10−6 m2/s Pr = 0,708

Produk Gr Pr dihitung sebagai berikut

GrPr=(9,8 ) (0,00333 ) (54−0 ) (0,02 ×10−3 )3

(15,69× 10−6 )2 (0,708)=4,05 ×10−5

Dari Daftar 1 kita dapatkan C= 0,675 dan m = 0,058 sehingga

Nu=(0,675 ) ( 4,05 ×10−5 )0,058=0,375

Dan

h=Nu( kd )=(0,375)(0,02624)

0,02 ×10−3=492,6 W /m2 .℃

Perpindahan kalor atau daya yang diperlukan adalah

q=h A (T w−T ∞ )=(492,6 ) π (0,02×10−3 ) (0,5 ) (54−0 )=0,836W

Contoh 5

Sebuah pipa horizontal dengan diameter 1 ft (0,3048m), dijaga pada suhu tetap 250°C di dalam ruang yang mempunyai suhu udara 15°C. Hitunglah rugi kalor konveksi bebas per meter panjang.

Penyelesaian

Mula-mula kita tentukan produk angka Grashof-Prandtl dan kita pilih konstanta yang cocok dari Daftar 1 untuk digunakan dengan persamaan (25). Sifat-sifat udara dievaluasi pada suhu film:

T f =T w+T ∞

2=250+15

2=132,5℃=405,5 K

k=0,03406 W /m .℃ β= 1T f

= 1405,5

=2,47 × 10−3/ K

v=26,54 ×10−5 m2/ s Pr = 0,687

Grd Pr=gβ (T w−T ∞)d3

v2 Pr

¿(9,8)(2,47 × 10−3)(250−15)(0,3048)3(0,687)

(26,54 × 10−6)2

¿1,571 ×108

Dari Daftar 1, C=0,53 dan m=1/4, sehingga

Nud=0,53(Grd Pr)1 /4=(0,53 ) (1,571 ×108 )1 /4=59,4

h=k Nud

d=

(0,03406)(59,4)0,3048

=6,63 W /m2℃ [1,175 Btu /h . ft2℉ ]

perpindahan kalor per satuan panjang dihitung dari

qL=hπd (T w−T ∞ )=(6,63 ) π (0,3048 ) (250−15 )=1,49 kW /m [1560 Btu/h . ft ]

Sebagai alternatif dapat pula kita gunakan persamaan yang lebih rumit, yaitu persamaan (36), untuk menyelesaikan soal itu. Angka Nusselt dihitung sebagai berikut

Nu1/2=0,60+0,387 { 1,571 ×108

[1+(0,559/0,687)9/16 ]16/9 }1 /6

Nu=64,7

Atau kira-kira 8 persen lebih tinggi.

F. Konveksi Bebas dari Plat Horizontal

Permukaan Isotermal

Koefisien perpindahan kalor rata-rata dari plat rata horizontal dihitung dengan persamaan (25) dengan memakai konstanta yang diberikan pada Daftar 1. Dimensi karakteristik yang digunakan dalam persamaan ini secara tradisional ialah panjang sisi bagi bujur sangkar, rata-rata kedua dimensi untuk siku empat, dan 0,9d untuk piring bundar. Kesesuaian dengan data percobaan bisa dicapai bila dimensi karakteristik dihitung dari

L= AP

(39)

Di mana A adalah luas, dan P merupakan perimeter basah (wetter perimeter) permukaan itu. Dimensi karakteristik ini juga berlaku untuk bidang berbentuk taksimetri.

Fluks kalor tetap

Eksperimen dari rujukan 44 menghasilkan korelasi-korelasi berikut ini untuk fluks kalor tetap pada plat horizontal. Untuk muka yang dipanaskan menghadap ke atas, maka

NuL=0,13 (GrL Pr )1 /3 untuk GrL Pr<2 ×108 (40)

Dan

NuL=0,16 (Gr L Pr )1/3untuk 2 ×108GrL Pr<1011 (41)

Untuk muka yang dipanaskan menghadap ke bawah adalah

NuL=0,58 (Gr L Pr )1 /3 untuk 106<Gr L Pr<1011 (42)

Dalam persamaan di atas semua sifat, kecuali β, dievaluasi pada suhu Te yang didefinisikan dengan

T e=T w−0,25(T w−T ∞)

Dan Tw adalah suhu dinding rata-rata yang, seperti terdahulu, dihubungkan dengan fluks kalor oleh

h=qw

T w−T ∞

Angka Nusselt, seperti terdahulu, dibentuk oleh

NuL=h Lk

=qw L

(T¿¿ w−T ∞)k ¿

Pada bagian 7 dibahas perluasan persamaan ini untuk permukaan miring.

Benda bentuk takteratur

Tidak ada sesuatu korelasi umum yang berlaku untuk benda padat yang bentuknya tak teratur. Hasil yang didapatkan oleh Rujukan 77 menunjukkan bahwa Persamaan (25) dapat digunakan dengan C= 0,775 dan m= 0,208 untuk silinder vertikal yang tingginya sama dengan diameternya. Angka Nusselt dan angka Grashof dievaluasi dengan menggunakan diameter sebagai panjang karakteristik. Lienhard menyarankan suatu resep yang menggunakan jarak yang ditempuh partikel fluida di dalam lapisan batas itu sebagai panjang karakteristik, dan menggunakan nilai C= 0,52 dan m=1/4 dalam persamaan (25) dalam daerah laminar. Cara ini dapat digunakan sebagai taksiran dalam menghitung koefisien perpindahan kalor bila tidak ada informasi yang khas untuk bentuk geometri tertentu. Benda dengan rasio aspek satu dikaji secara luas dalam Rujukan 81.

Contoh 6

Sebuah kubus yang rusuknya 20 cm berada pada suhu tetap 60°C dan terkena udara atmosfer yang suhunya 20°C. Hitunglah perpindahan kalor

Penyelesaian

Benda ini merupakan benda padat takteratur, sehingga untuk itu kita gunakan butir terakhir dalam Daftar 1 karena untuk geometri ini kita tidak mempunyai sesuatu korelasi yang khas. Sifat-sifat telah dievaluasi dalam Contoh 2:

β=3,25×10−3 k=0,02685

v=17,47 ×10−6 Pr = 0,7

Panjang karakteristik adalah jarak yang ditempuh partikel dalam lapisan batas, yaitu L/2 pada dasar, ditambah L di sepanjang sisi, ditambah L/2 di atas, atau 2L=40cm. Produk GrPr adalah:

GrPr=(9,8 ) (3,25×10−3 ) (60−10 ) (0,4 )3

(17,47 ×10−6 )2(0,7)=3,34×108

Dari butir terakhir pada Daftar 1 kita dapatkan C=0,52 dan n=1/4 sehingga angka Nusselt menjadi

Nu=(0,52 ) (3,34 × 108 )1 /4=135,2

dan

h=NukL=

(135,2)(0,02685)(0,4)

=9,07 W /m2.℃

Kubus itu mempunyai enam sisi, sehingga luasnya 6(0,2)2=0,24 m2, dan perpindahan kalor adalah

q=h A(Tw−T∞) ¿ (9,07 ) (0,24 ) (10 ) (60−10 )=108,8W

G. Konveksi Bebas dari Permukaan miring

Percobaan-percobaan yang ekstensif dilakukan oleh Fujii dan Imura untuk plat yang dipanaskan di dalam air pada berbagai sudut kemiringan. Sudut yang dibuat plat itu dengan bidang vertikal ditandai dengan θ, dengan tanda positif untuk menunjukkan bahwa permukaan pemanas menghadap ke bawah, seperti pada Gambar 9. Untuk plat miring menghadap ke bawah dengan fluks kalor hampir tetap, didapatkan korelasi berikut untuk angka Nusselt rata-rata

Nue=0,56(Gre Pre cosθ)1 /4 θ<88° ;105<Gr e Pre cosθ<1011 (43)

Dalam persamaan (43), semua sifat, kecuali β dievaluasi pada suhu rujukan Te yang didefinisikan oleh

T e=T w−0,25(T w−T ∞) (44)

Gambar 9. Sistem koordinat untuk plat miring.

Di mana Tw ialah suhu dinding rata-rata (mean wall temperature) dan T ∞ suhu aliran bebas;

β ditentukan pada suhu T ∞+0,50(T ¿¿w−T ∞).¿ Untuk plat hampir horizontal yang

menghadap ke bawah, artinya, 88°<θ<90°, didapatkan lagi suatu rumus tambahan

Nue=0,58 (Gr e Pre)1/5106<Gr e Pre<1011 (45)

Untuk plat miring dengan permukaan panas menghadap ke atas, korelasi empiriknya menjadi lebih rumit. Untuk sudut antara -15 dan -75°, korelasi yang memadai ialah

Nue=0,14 [ ( Gre Pre )1 /3−( Grc Pr e)1 /3 ]+0,56 (Gre Pr e cosθ )1/4 (46)

Untuk jangkauan 105<Gr e Pre cosθ<1011. Besaran Grc ialah hubungan Grashof kritis yang

menunjukkan bila angka Nusselt mulai memisah dari hubungan laminar persamaan (43), dan diberikan pada daftar di bawah ini:

θ, derajat Grc-15 5 x 109

-30 2 x 109

-60 108

-75 106

Untuk Gre<Grc suku pertama persamaan (46) tidak dipakai. Informasi lebih lanjut diberikan oleh Vielt dan Pera dan Gebhart. Ada petunjuk yang menyatakan bahwa persamaan-persamaan di atas berlaku pula untuk permukaan bersuhu tetap.

Pengukuran eksperimen dengan udara pada permukaan yang mempunyai fluks kalor tetap menunjukkan bahwa persamaan (31) dapat digunakan untuk daerah laminar apabila Grx* kita ganti dengan Grx* cosθ, baik untuk permukaan panas yang menghadap ke arah atas, maupun yang menghadap ke bawah. Di daerah turbulen, dengan udara, didapat korelasi empiris berikut:

Nux=0,17 (Gr x¿ Pr )1/4

1010<Gr x¿Pr<1015 (47)

Di mana Grx¿ sama dengan yang untuk plat vertikal, bila permukaan panas itu menghadap ke

atas. Bila permukaan panas menghadap ke bawah, Grx¿ diganti dengan Gr x

¿cos2θ. Persamaan

(47) disederhanakan menjadi kira-kira seperti yang disarankan dalam Daftar 1 untuk plat vertikal isotermal.

Untuk silinder miring, data pada Rujkan 73 menunjukkan bahwa perpindahan kalor laminar pada kondisi fluks kalor tetap dapat dihitung dengan persamaan berikut:

NuL=[0,60−0,488(sinθ)1,03 ](GrL Pr)14+ 1

12(sinθ )1,75

untuk Gr L Pr<2× 108 (48)

Di mana θ ialah sudut yang dibuat silinder itu dengan garis vertikal; artinya, 0° menunjukkan silinder vertikal. Sifat-sifat dievaluasi pada suhu film, kecuali β yang ditentukan pada kondisi sekitar

Dalam peramalan konveksi bebas dari permukaan miring masih terdapat berbagai ketidakpastian; tebaran data eksperimen sebesar ±20 persen tidaklah asing untuk rumus-rumus empiris yang dikemukakan di atas.

H. Fluida Non-Newton

Non newton fluida adalah suatu fluida yang dapat memiliki sifat zat padat atau sifat zat cair, bergantung pada tekanan yang diberikan pada zat tersebut. Pada fluida non newton perubahan regangan yang terjadi tidak sebanding terhadap tegangan yang diterima fluida. Viskositas fluida jenis ini cenderung tidak konstan. Apabila hubungan viskositas dan tegangan geser pada fluida tidak memenuhi hubungan Newton sederhana seperti pada persamaan (5-1), maka persamaan-persamaan untuk perpindahan kalor konveksi bebas tersebut di atas tidak berlaku. Pelumas dan polimer-polimer yang sangat viskos merupakan beberapa contoh fluida yang mempunyai tingkah laku non-newton. Berbagai penelitian eksperimen dan analitis sudah banyak dilakukan untuk fluida-fluida demikian, akan tetapi hasilnya sangat rumit.

Beberapa penggolongan dari Fluida non-newton dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. Plastik Bingham

Plastik Bingham adalah zat yang bukan merupakan fluida dan bukan merupakan zat padat. Bahan ini dapat menahan tegangan geser tertentu tanpa gerakan (oleh karena itu bahan ini bukan fluida), namun bila tegangan luluhnya terlewati, bahan tersebut akan mengalir seperti fluida (oleh karena itu bahan ini bukan zat padat). Shear stress minimum, dikenal sebagai “yield stress” harus berlebih sebelum aliran mulai. Tipe aliran ini sering ditemukan pada bahan pangan, seperti catsup tomat, mayonnaise, krim oles, margarine.

2. Pseudoplastic

Pseudoplastic adalah zat yang termasuk dalam fluida non-newtonian dimana kekentalannya akan selalu berkurang namun tegangan luluhnya akan selalu bertambah. Contoh dari fluida ini adalah campuran kertas pada proses pembutan kertas. Tipe aliran ini, meningkatnya shear force memberikan peningkatan sebanding pada shear rate yg kebih, tetapi kurva mulai pada awalnya. Salad dressing adalah contoh pangan. Banyak fluida pseudoplastik menunjukkan perilaku shear stress-shear rate hampir linear pada shear rate rendah. Itu disebut “Newtonian regime”

3. Thixotropic

Fluida dimana viskositasnya semakin berkurang namun, laju gesernya tetap. Apabila ada gaya yang bekerja pada fluida ini maka viskositasnya akan semakin berkurang, contoh dari fluida ini adalah cat, campuran tanah liat, dan beberapa jenis jel.

4. Rheopectic

Rheopectic merupakan fluida yang viskositasnya seolah-olah semakin besar.sebagai contoh adalah minyak dimana visositasnya akan semakin bertambah ketika minyak mengalami guncangan. Dalam hal ini, fluida rheopectic jika ada gaya yang bekerja padanya maka viskositasnya akan bertambah.

5. Dilatant

Dilatant merupakan jenis fluida yang viskositas dan tegangan luluhnya akan semakin bertambah besar. Contoh dari fluida jenis ini adalah pasta. Plot shear stress-shear rate tipe aliran ini mulai pada awal, tetapi disifatkan oleh peningkatan shear stress setimbang memberikan peningkatan shear rate lebih rendah. Contoh, padatan tinggi, suspensi pati kasar dan beberap sirup coklat. Tipe aliran ini hanya ditemukan pada cairan yg mengandung partikel rigid tidak larut berjumlah tinggi dalam suspensi. Aliran dilatant agak jarang dalam industri pangan dan sangat langka pada produk pangan akhir

I. Persamaan Sederhana untuk Udara

Persamaan-persamaan sederhana untuk koefisien perpindahan kalor dari berbagai permukaan ke udara pada tekanan atmosfer dan suhu sedang (moderat) diberikan pada Daftar 2. Hubungan-hubungan itu dapat dilanjutkan untuk tekanan yang lebih tinggi atau lebih rendah dengan mengalikan dengan faktor-faktor berikut:

( p101,32 )

1 /2

untuk kasus laminar ( p101,32 )

2 /3

untuk kasus turbulen

Daftar 2. Persamaan-persamaan sederhana untuk konveksi bebas dari berbagai permukaan ke udara pada tekanan atmosfer, disesuaikan dari Daftar 1

Permukaan Laminar,104<GrfPrf<109

Turbulen,GrfPrf>109

Bidang atau silinder vertikalh=1,42(∆ T

L )1/4 h=1,31 ( ∆ T )1 /3

Silinder horizontalh=1,32(∆ T

d )1/4 h=1,24 (∆ T )1/3

Plat horizontal:Plat panas menghadap ke atas atau plat dingin menghadap ke bawah

Plat panas menghadap ke bawah atau plat dingin meghadap ke atas

h=1,32(∆ TL )

1/4 h=1,52 ( ∆ T )1 /3

h=0,59(∆ TL )

1 /4

Di mana h= koefisien perpindahan kalor, W/m2.°C ΔT= T w−T ∞ ,℃ L= dimensi vertikal atau horizontal,m d= diameter, m

Di mana p ialah tekanan dalam kilopaskal. Tetapi, kita harus hati-hati dalam menerangkan hubungan sederhana ini, karena rumus-rumus ini hanyalah berupa pendekatan (aproksimasi) saja terhadap persamaa-persamaan yang lebih teliti yang dikemukakan terdahulu.

Contoh 7

Hitunglah perpindahan kalor untuk kondisi contoh 5 dengan menggunakan rumus sederhana dari Daftar 2

Penyelesaian

Koefisien perpindahan kalor diberikan oleh

h=1,32(∆ Td )

1/4

=1,32( 250−150,3048 )

1 /4

h=6,96 W /m2 .℃

perpindahan kalor, jadi

qL= (6,96 ) π (0,3048 ) (250−15 )=1,57 kW /m

Perhatikan bahwa rumus sederhana ini memberikan 4 persen lebih tinggi dari persamaan (25)

J. Konveksi Bebas dari Bola

Yuge menyarankan rumus empiris untuk perpindahan kalor konveksi bebas dari bola ke udara, sebagai berikut:

Nuf =h dk f

=2+0,392Gr f1/4 untuk 1<Gr f <105

(49)

Persamaan di atas dapat diubah dengan memasukkan angka Prandtl, sehingga didapatkan

Nuf =2+0,43(Gr f Pr f )1 /4 (50)

Sifat-sifat dievaluasi pada suhu film; persamaan ini diharapkan terutama berlaku untuk perhitungan konveksi bebas pada gas. Akan tetapi, dapat pula digunakan untuk zat cair apabila tidak ada informasi khusus untuk itu. Patut dicatat bahwa untuk hasil perkalian angka Grashof dan Prandtl yang rendah, angka Nusselt mendekati 2,0. Nilai inilah yang didapatkan pada konduksi murni melalui fluida stagnan tak berhingga yang mengelilingi bola itu.

Untuk rentang angka Rayleigh yang lebih tinggi, hasil eksperimen dari Amato dan Tien dengan air menyarankan korelasi berikut ini:

Nuf =2+0,50(Gr f Pr f )1 /4 (51)

Untuk 3 x 105 < GrPr < 8 x 108.

K. Konveksi Bebas dalam ruang Tertutup

Fenomena aliran konveksi bebas di dalam ruang tertutup merupakan contoh yang menarik tentang sistem fluida yang sangat kompleks yang dapat menghasilkan penyelesaian analitis, empiris, dan numerik. Perhatikanlah sistem terlihat pada Gambar 10, di mana terdapat fluida di antaraa dua plat vertikal yang terpisah dengan jarak δ satu sama lain. Jika fluida itu diberi beda suhu ΔTw = T1 – T2, maka terjadilah perpindahan kalor dengan daerah aliran kira-kira seperti pada Gambar 11, menurut MacGregor dan Emery. Dalam gambar tersebut, angka grashof dihitung sebagai

Gr δ=gβ(T1−T 2)δ

3

v2(52)

Pada angka Grashof yang sangat rendah, terdapat sangat sedikit arus konveksi bebas, dan perpindahan kalor berlangsung terutama melalui konduksi melintas lapisan itu. Pada angka grashof yang lebih tinggi, terdapat berbagai ragam aliran, seperti terlihat pada gambar, dan perpindahan kalor pun meningkat dengan teratur, seperti dinyatakan melalui angka Nusselt

Nuδ=hδk

Walaupun masih banyak masalah yang belum terjawab, percobaan-percobaan dari rujukan 18 dapat digunakan untuk meramalkan perpindahan kalor ke berbagai zat cair pada kondisi fluks kalor tetap. Korelasi empiris yang didapat ialah:

Nuδ=0,42 (Grδ Pr )1/4Pr0,012( L

δ )−0,30

qw=konstan (53)

104<Gr δ Pr<107

1<Pr<20.000

10< Lδ<40

Nuδ=0,046 (Grδ Pr )1 /3 qw=konstan(54)

106<Grδ Pr<109

1<Pr<20

1< Lδ<40

Fluks kalor dihitung sebagai

qA

=qw=h (T 1−T 2)=Nuδkδ(T1−T2) (55)

Hasil ini kadang-kadang dinyatakan dengan istilah konduktivitas termal kentara (appearent thermal conductivity) Ke, atau konduktivitas termal efektif, yang didefinisikan oleh

qA

=ke

T 1−T 2

δ(56)

Dengan membandingkan persamaan (55)dan (56) kita lihat bahwa

Nuδ ≡ke

k(57)

Dalam industri bangunan, perpindahan kalor melintas celah udara sering dinyatakan dengan nilai R, sehingga

qA

=∆ TR

Sesuai dengan pembahasan di atas, maka nilai R adalah

R= δk e

(58)

Perpindahan kalor pada ruang tertutup horizontal menyangkut dua situasi yang berbeda. Jika plat atas berada pada suhu yang lebih tinggi dari plat bawah, fluida yang densitasnya lebih rendah berada di atas fluida yang densitasnya lebih tinggi, dan tidak terjadi arus konveksi. Dalam hal ini, perpindahan kalor melintas ruang itu berlangsung melalui konduksi semata-mata, dan Nu...=1,0 di mana ... ialah jarak pisah antara kedua plat. Situasi yang kedua, yang justru lebih menarik, terjadi apabila plat bawah lebih tinggi suhunya dari plat atas. Untuk nilai Gr... kurang dari 1700, masih terlihat konduksi murni, dan Nu.. = 1,0. Setelah konveksi mulai terjadi, maka terbentuklah pola sel-sel heksagonal seperti pada gambar 12. Pola ini disebut sel Benard. Turbulen mulai terjadi pada Gr... = 50.000 dan menghapuskan pola sel itu.

dingin

hangat

Gambar 12. Pola sel Benard pada lapisan fluida tertutup yang dipanaskan dari bawah/.

Konveksi bebas dalam ruang tertutup miring dibahas oleh Dropkin dan Somerscales. Evans dan Stefany menunjukkan bahwa pemanasan atau pendinginan konveksi alamiah transien dalam ruang tertutup berbentuk silinder vertikal atau horizontal dapat dihitung dengan

Nuf =0,55(Gr f Pr f )1 /4 (59)

Untuk rentang 0,75<L/d<2,0. Untuk angka Grashof digunakan panjang silinder L.

Analisis dan eksperimen pada Rujukan 43 menunjukkan bahwa konduktivitas termal efektif untuk fluida di antara dua bola konsentrik dapat dinyatakan dengan rumus

ke

k=0,228 (Grδ Pr )0,226 (60)

Di mana jarak celah di sini ialah δ=r 0−ri. Konduktivitas termal efektif sebagaimana di berikan oleh Persamaan (60) hanya bisa digunakan dengan rumus konvensional untuk konduksi keadaan tunak (steady state conduction) dalam cangkang (shell) berbentuk bola:

q=4 πk r i r0 ∆ T

r0−r i

(61)

Persamaan (60) berlaku untuk 0,25 ≤ δ /ri≤ 1,5 dan

1,2 x 102 < GrPr < 1,1 x 109 0,7 < Pr < 4150

Sifat-sifat dievaluasi pada suhu rata-rata volume Tm yang didefinisikan sebagai

T m=(rm

3−ri3 )T i+(r0

3−rm3 )T 0

r03−ri

3(62)

Di mana rm = (ri+r0)/2. Persamaan (60) dapat pula digunakan untuk bola-bola eksentrik dengan transformasi koordinat seperti diuraikan dalam Rujukan 43.

Hasil-hasil percobaan untuk konveksi bebas dalam ruang tertutup tidak selalu cocok satu sama lain, tetapi semuanya itu dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut:

ke

k=C (Grδ Pr )n(L

δ )m

(63)

Nilai-nilai konstanta C, n, dan m untuk berbagai situasi fisis didaftarkan dalam Daftar 3. Nilai-nilai tersebut dapat digunakan untuk tujuan perencanaan apabila ada data untuk geometri atau fluida yang dimaksud. Perlu kita catatkan bahwa beberapa di antara korelasi data yang dinyatakan oleh Daftar 3 telah mengalami penyesuaian yang dilakukan oleh Holman (74) untuk memberikan eksponen karakteristik masing-masing 1/4 dan 1/3 untuk konveksi bebas ragam laminar dan turbulen. Namun, kesalahan yang diakibatkan oleh pemyesuaian ini tidaklah jauh lebih besar dari ketidaksesuaian antara berbagai penelitian eksperimental itu.

Untuk ruang anulus, perpindahan kalor didasarkan atas L:

q=2 πkL ∆ Tln ¿¿ (64)

Di mana L ialah panjang anulus, dan jarak celah ialah δ=r 0−ri.

Korelasi yang ekstensif mengenai konveksi bebas antara benda-benda berbentuk silinder, kubus, dan bola, dengan berbagai bentukgeometri ruang kurung diberikan oleh Warrington dan Powe . korelasi ini mencakup berbagai jenis fluida.

Apabila tidak ada informasi khusus, maka dalam perencanaan, perpindahan kalor untk ruang tertutup miring dapat dihitung dengan mensubstitusikan g’ sebagai pengganti g dalam angka Grashof, di mana

g'=gcosθ (65)

Dan θ ialah sudut antara permukaan pemanas dengan horizontal. Transformasi ini berlaku untuk sudut kemiringan sampai 60° dan hanya berlaku untuk kasus – kasus dimana permukaan yang lebih panas menghadap kebawah .

Contoh 8

Udara pada tekanan atmosfer terkurung diantara dua plat vertikal 0,5 X 0,5 m yang terpisah dengan jarak 15 mm. Suhu plat itu masing – masing ialah 100 dan 40° C. Hitunglah perpindahan kalor konveksi-bebas melintas celah udara itu.

Penyelesain

Sifat – sifat udara kita evaluasi pada suhu rata – rata antara kedua plat :

Tf = 100+40

2 = 70° C = 343 K

ρ = p

RT=

1,0132 x 105

(287 )(343) = 1,029 kg/m3

β= 1T f

= 1343

=2,915× 10−3 K−1

μ=2,043× 10−5 kg /m.s k=0,0295 W /m.℃ Pr=0,7

Hasil perkalian angka Grashof-Pradtl dihitung sebagai

Gr δ Pr=(9,8) (1,029 )2(2,915× 10−3)(100−40)(15 ×10−3)3

(2,043 ×10−5)20,7

¿1,027 ×104

Sekarang kita dapat menggunakan persamaan (63) untuk menghitung konduktivitas termal efektif, dengan L= 0,5 m, δ=0,015 m, dan konstanta yang diperlukan diambil dari Daftar 3.

ke

k=(0,197 ) (1,027 ×104 )1 /4 ( 0,5

0,015 )−1 /9

=1,343

Sekarang perpindahan kalor dapat kita hitung dengan persamaan (53). Luas bidang ialah

(0,5 )2=0,25 m2, sehingga

q=(1,343)(0,295)(0,25)(100−40)

0,015=39,62 W [135,2 Btu/h ]

Contoh 9

Dua buah plat horizontal yang sisinya 20 cm terpisah pada jarak 1 mm oleh udara 1 Atm. Suhu plat itu adalah 100C untuk plat bawah, dan 40C untuk plat atas. Hitunglah perpindahan kalor melintas celah udara itu.

Penyelesaian

Sifat-sifat sama dengan pada contoh 8

ρ = 1,029 kg/m3

β= 2,915 ×10−3 K−1

μ=2,043× 10−5 kg /m.s

Pr=0,7

k=0,0295 W /m .℃

Produk GrPr dievaluasi atas dasar jarak pemisah, sehingga kita dapatkan

Grδ Pr=(9,8) (1,029 )2(2,915× 10−3)(100−40)(0,01)3

2,043 ×10−50,7

¿3043

Dari daftar 3 kita dapatkan C= 0,059, n=0,4, dan m = 0, sehingga

ke

k=(0,059 ) (3043 )0,4( 0,2

0,01 )0

=1,46

dan

q=ke A (T 1−T2)

δ=

(1,460)(0,0295)(0,2)2(100−40)0,01

=10,34 W

Contoh 10 perpindahan kalor melintas lapisan air

Dua buah plat horizontal 50 cm bujur sangkar terpisah pada jarak 1 cm. Plat yang di bawah mempunyai suhu tetap 100F dan plat yag di atas suhu tetap 80F. Celah diantara kedua plat itu berisi air pada tekanan atmosfer. Hitunglah kalor yang dilepaskan oleh plat bawah.

Penyelesaian

Sifat-sifat dievaluasi pada suhu rata-rata 90F, dan kita peroleh, untuk air,

k=0,623 W /m .℃gβ ρ2 c p

μk=2,48 ×1010

Produk angka Grashof Prandtl sekarang dievaluasi dengan menggunakan jarak pisah 1 cm sebagai dimensi karakteristik.

GrPr=(2,48 ×10❑ ) (0,01 )❑ (100−80 )( 59 )=2,76 ×105

Sekarang, dengan menggunakan persamaan (63) dan memeriksa Daftar 3 kita dapatkan

C=0,13 n=0,3 m=0

Sehingga, persamaan (63) menjadi

ke

k=(0,13 ) (2,76 ×105 )0,3

=5,57

Konduktivitas termal efektif menjadi

k e=(0,623)(5,57)=3,47W /m.℃

Dan perpindahan kalor adalah

q=ke A ∆ T

δ=

(3,47) (0,5 )2(100−80)(5/9)0,01

=964 W

L. Gabungan Konveksi Bebas dan Konveksi Paksa

Beberapa situasi praktis menyangkut perpindahan kalor konveksi yang bukan bersifat “paksa” dan bukan pula “bebas”. Situasi ini timbul apabila fluida dialirkan di atas permukaan yang panas dengan kecepatan yang agak rendah. Maka bersamaan dengan kecepatan aliran paksa, terdapat pula kecepatan konveksi yang timbul karena gaya apung yang diakibatkan oleh berkurangnya densitas fluida di sekitar permukaan yang panas.

Suatu rangkuman tentang pengaruh gabungan konveksi bebas dan konveksi paksa dalam tabung diberikan oleh Metais dan Eckert, dan Gambar 13 menunjukkan berbagai daerah untuk konveksi gabungan di dalam tabung vertikal. Ada dua macam gabungan yang

diperlihatkan pada gambar itu. Aliran-menunjang (aiding flow) ialah apabila arus konveksi paksa dan konveksi bebas mempunyai arah yang sama, sedangkan aliran berlawanan (opposing flow) apabila kedua arus berlawanan arah. Singkatan UWT menujukkan suhu dinding seragam (uniform wall temperature), sedang UHF berarti fluks kalor seragam (uniform heat flux). Tidaklah sulit untuk memperkirakan hasil-hasil kualitatif dari gambar ini. Angka Reynolds yang besar berarti kecepatan aliran paksa besar, sehingga pengaruh arus konveksi bebas berkurang. Makin besar produk perkalian angka Grashof-Prandtl, makin besar pula kemungkinan berpengaruhnya konveksi bebas.

Gambar 14 menunjukkan daerah-daerah konveksi gabungan dalam tabung horizontal. Dalam angka ini Graetz didefinisikan sebagai

Gz=RePrdL

(66)

Daerah berlakunya gambar 13 dan 14 adalah

10−2<Pr ( dL )<1

Korelasi yang ditunjukkan pada kedua gambar itu adalahuntuk suhu dinding tetap. Sifat-sifat dievaluasi pada suhu film.

Brown dan Gavin (17) membuat korelasi yang baik untuk daerah konveksi campuran, aliran laminar pada gambar 14 :

Nu=1,75( μb

μw)

0,14

[ Gz+0,012 (Gz Gr1/3 )4 /3 ]1 /3(67)

Dimana μb dievaluasi pada suhu-limbak (bulk temperature). Rumus ini lebih baik dari yang digambarkan pada Gambar 7-14. Informasi lebih lanjut terdapat pada Rujukan 68. Masalah konveksi gabungan bebas dan paksa dari silinder horizontal dibahas secara terperinci oleh Fand dan Keswani.

Gambar 13. Daerah-daerah konveksi bebas, paksa, dan campuran untuk aliran melalui tabung vertikal.

Gambar 14. Daerah-daerah konveksi bebas, paksa, dan campuran untuk aliran melalui tabung horizontal menurut metais dan Eckert.

Dugaan umum yang berlaku dalam analisis konveksi gabungan ialah bahwa modus perpindahan kalor yang paling berpengaruh ditentukan oleh kecepatan fluida yang berkaitan dengan modus itu. Situasi konveksi paksa yang menyangkut kecepatan fluida 30 m/s, umpannya tentu akan mengalahkan sebagian besar dari pengaruh konveksi bebas yang ditemukan dalam medan gravitasi biasa, karena kecepatan arus konveksi bebas disini sangat kecil dibandingkan dengan 30 m/s. Di lain pihak, situasi aliran paksa dengan kecepatan sangat rendah (∼ 0,3 m/s)mungkin cukup terpengaruh oleh arus konveksi bebas. Analisis orde besaran lapisan-batas konveksi-bebas dapat memberikan kriteria umum untuk menentukan apakah pengaruh konveksi-bebas besar peranannya. Kriteria ialah apabila

Gr /ℜ2>10 (68)

Konveksi bebas sangat penting. Hasil ini sesuai dengan gambar 13 dan 14

Contoh 11

Udara pada 1 atm dan 27oC dialirkan melalui tabung horizontal yang diameternya 25 mm pada kecepatan 30 cm/s. Dinding tabung dipelihara pada suhu tetap 140oC. Hitunglah koefisien perpindahan-kalor untuk situasi ini, jika panjang tabung 0,4 m.

Penyelesaian

Untuk perhitungan ini,sifat-sifat kita tentukan pada suhu film:

Tf = 140+27

2 = 83,5° C = 356,5 K

ρ f = p

RT=

1,0132x 105

(287 )(356,5) = 0,99 kg/m3

β= 1T f

=2,805 ×10−3 K−1 μw=2,337 × 10−5 kg /m.s

μf =2,102 ×10−5kg /m . sk f=0,0305W /m.℃ Pr=0,695

Anggaplah suhu-limbak 27oC untuk menentukan μb; jadi

μb=1,8462× 10−5 kg /m .s

Parameter-parameter penting dihitung sebagai berikut:

ℜf=ρudμ

=(0,99)(0,3)(0,025)

2,102 ×10−5 =3,53

Gr=ρ2 gβ (T w−T b)d3

μ2 =(0,99 )2 ( 9,8 ) ( 2,805× 10−3 ) (140−27 ) (0,025 )3

(2,102 ×10−5)2 =1,007 ×105

GrPrdL=(1,077 ×105 ) (0,695 ) 0,025

0,4=4677

Menurut gambar 14, terdapat ragam aliran-konveksi-campuran. Jadi, kita harus menggunakan persamaan (67). Angka Graetz kita hitung

Gz=RePrdL=

(353)(0,695)(0,025)0,4

=15,33

Dan perhitungan numerik untuk persamaan (67) menjadi:

Nu=1,75( 1,84622,337 )

0,14{15,33+(0,012)[(15,33)( 1,077 ×105 )1 /3 ]4/3}1/3

=7,70

Koefisien perpindahan kalor rat-rata dihitung:

h= kd

Nu=(0,0305)(7,70)

(0,025)=9,40 W /m2 .℃ [1,67 Btu/h . ft2 .℉ ]

Menarik pula jiak hasil kita bandingkan dengan hasil yang didapatkan dari perhitungan untuk konveksi-paksalaminar semata-mata. Persamaan Sieder-Tate (persamaan (6-10)) berlaku disini, sehingga :

Nu=1,86 ( RePr )1/3( μ f

μw)

0,14

( dL )

1 /3

¿1,86 Gz1 /3( μ f

μw)

0,14

¿(1,86)(15,33)1 /3( 2,1022,337 )

0,14

¿4,55

Dan

h=(4,55)(0,0305)

(0,025)=5,55 W /m2 .℃ [0,977 Btu/h . ft 2 .℉ ]

Jadi, terdapat kesalahn -41 persen jika perhitungan dibuat atas dasar konveksi paksa laminar semata-mata.

Daftar Pustaka

Holman

https://www.scribd.com/doc/136159832/KONVEKSI-BEBAS#download

https://www.scribd.com/doc/39474244/Konveksi-Alami#download

http://jurnal.pnl.ac.id/wp-content/plugins/Flutter/files_flutter/1354073429KajianPolaAliranPenyerapPanasdenganTeknikSudutHambatab105.pdf

diakses pada tanggal 13 Oktober 2015