Kalkulus Sejarah kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus.

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Real

Untuk mempelajari kalkulus perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat-sifatnya.

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ...

Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya buku yang kita miliki, kendaraan yang melalui suatu jalan, orang-orang yang berada dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi N = {1, 2, 3, 4, }

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu , 3, 2, 1,0, 1, 2, 3,

Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. Jadi Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Dalam hal ini bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup. Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional, seperti , , dan

N : bilangan asliZ : bilangan bulatQ : bilangan rasionalR : bilangan realN : 1,2,3,.Z : ,-2,-1,0,1,2,..Q :Contoh Bil Irasional

Sekumpulan bilangan rasional menjadi bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R.

Garis bilangan01Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebutdengan garis bilangan (real)-3Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang Selang

Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan bilangan beserta sifat - sifatnya.Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, }Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, } Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { ,-3,-2,-1,0,1,2,3, }Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasionalHimpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

Sifatsifat bilangan real Sifat-sifat urutan :Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = yKetransitifan Jika x < y dan y < z maka x < zPerkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.

Bentuk umum pertidaksamaan :

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) 0, E(x) 0

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku.

Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

dengan cara :

- Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan

- Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya

2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan,

kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1281948884.unknown

_1281949391.unknown

Contoh : Tentukan Himpunan PenyelesaianHp =

Hp Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian

Pertidaksamaan nilai mutlakNilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.Definisi nilai mutlak :

Sifat-sifat nilai mutlak:atau 6. Ketaksamaan segitiga 12345

Contoh Menentukan Himpunan PenyelesaianContoh :Kita bisa menggunakan sifat ke-2.Hp =

Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.14++--++Hp = Contoh :

Kita bisa menggunakan sifat 4TP :, -1Hp = Jika digambar pada garis bilangan :-1++--++Contoh :

*