sigit nugroho - statistik uji pengaruh perlakuan pada rancangan percobaan nonparametrik

Statistik Uji Pengaruh Perlakuan pada Rancangan Percobaan Nonparametrik

ORASI ILMIAH Pengukuhan Jabatan Guru Besar dalam bidang Statistika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Bengkulu

Prof. Ir. Sigit Nugroho, M.Sc., Ph.D. 19601130 198602 1 001

Disampaikan pada Rapat Terbuka Senat UNIVERSITAS BENGKULU

pada tanggal 29 Juni 2010

Bismillahir rahmaanir rahiim Assalamu alaikum wr. wb.

Yth. Rektor Universitas Bengkulu Yth. Dewan Penyantun Universitas Bengkulu Yth. Para Guru Besar dan seluruh anggota Senat Universitas Bengkulu Yth. Walikota Bengkulu Yth. Bupati Kepahiang Yth. Saudara Pimpinan Fakultas, Lembaga, Kepala Biro,

Program Pasca Sarjana, Ketua Jurusan, Ketua Program Studi dan Pimpinan unit-unit yang ada di lingkungan Universitas Bengkulu

Yth. Pimpinan Perguruan Tinggi Negeri dan Swasta Yth. Kepala Dinas, Instansi dalam lingkungan Propinsi

Bengkulu Yth. Para Dosen, Karyawan, Mahasiswa, serta seluruh

undangan yang berbahagia

Dengan tidak henti-hentinya, marilah kita panjatkan puji syukur kehadlirat Allah, S.W.T. atas segala berkah dan rahmatNya, yang telah memberikan kita kesehatan, kekuatan dan kesempatan untuk dapat menghadiri acara pengukuhan Guru Besar di Universitas Bengkulu. Sholawat serta salam tak lupa selalu kita sampaikan kepada junjungan kita, nabi besar Muhammad, S.A.W. yang telah membawa kita dari alam jahiliyah ke alam terang benderang yang penuh dengan kemajuan ilmu, teknologi dan seni seperti sekarang ini.

Sehubungan dengan Surat Rektor Universitas Bengkulu Nomor 4140/H30/KP/2010 tertanggal 2 Juni 2010 perihal Pengukuhan Guru Besar, saya diminta mempersiapkan pidato pengukuhan Guru Besar. Sudah tentu, pada kesempatan yang sangat berbahagia ini, saya mengucapkan penghargaan dan

Makalah Presentasi Pengukuhan Guru Besar

Prof. Ir. Sigit Nugroho, M.Sc., Ph.D. ii

rasa terima kasih yang tulus kepada Rektor Universitas Bengkulu beserta jajarannya dan atas kehadiran bapak, ibu, dan saudara pada acara pengukuhan Guru Besar ini. Pada kesempatan yang sangat mulia ini, perkenankanlah saya menyampaikan orasi ilmiah dengan judul Statistik Uji Pengaruh Perlakuan pada Rancangan Percobaan Nonparametrik.

Prof. Ir. Sigit Nugroho, M.Sc., Ph.D.

Statistik Uji Pengaruh Perlakuan pada Rancangan Percobaan Nonparametrik

Hadirin yang saya hormati,

Statistika dipakai oleh hampir setiap disiplin ilmu. Dalam dunia olahraga misalnya, kita sering melihat statistik tiap atlit atau regu yang bertanding melalui layar kaca, yang tentunya informasi yang ditayangkan disesuaikan dengan jenis olahraganya. Dalam bidang pemerintahan, mulai dari Desa/Kelurahan sering kita jumpai statistik kependudukan dan hal-hal lain yang menggambarkan profil suatu daerah. Pada beberapa harian nasional terkemuka, kita dapatkan statistik yang berhubungan dengan dunia bisnis seperti harga saham, valuta asing dan logam mulia. Dan masih banyak lagi bidang ilmu atau bagian dari kehidupan nyata ini menggunakan data, baik untuk kepentingan deskripsi diri ataupun untuk inferensi mengenai keadaan populasi yang menjadi pusat perhatian. Mengingat pentingnya kegunaan data statistik baik untuk pencitraan institusi maupun pengambilan keputusan melalui pengambilan sampel yang baik dan benar dari populasi yang ada, maka tahapan-tahapan yang harus dilakukan serta asumsi-asumsi yang diperlukan harus dipenuhi, agar hasilnya tidak misleading.

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang data, mulai dari bagaimana data akan diperoleh, direkam, divalidasi, ditransformasi, disajikan dan/atau dianalisis hingga bagaimana cara menginterpretasikan hasil tersebut. Mengingat adanya tahapan tersebut, ilmu statistika ini juga memiliki cabang-cabang ilmu seperti : Teknik Pengambilan Sampel, Teori Peluang, Model Linier, Rancangan Percobaan, Analisis Regresi dan Korelasi; Analisis Data Kategorik; Reliabilitas dan Validitas.. Dari banyaknya variabel yang digunakan, kita gunakan


Prof. Ir. Sigit Nugroho, M.Sc., Ph.D. 2

terminologi Statistika Univariat dan Multivariat. Sedangkan dari penggunaan asumsi distribusi atau karena penggunaan skala pengukuran yang kadang lebih rendah dari rasio, kita kenal statistika parametrik, nonparametrik dan semi parametrik. Apabila distribusi parameter juga diketahui, kita kenal Statistika Bayesian dan Non-bayesian. Dari aplikasinya, kita kenal Biometrika untuk ilmu-ilmu Biologi, Sosiometrika untuk ilmu-ilmu Sosial, Teknometrika untuk ilmu-ilmu Rekayasa, Ekonometrika untuk ilmu-ilmu Ekonomi dan Jurimetrika untuk ilmu Hukum.

Penyajian data secara sederhana dapat dilakukan dengan membuat tabel frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan, menggunakan berbagai gambar ataupun grafik yang menarik dan memudahkan orang lain memahami data kita, ataupun membuat Statistik Ringkas yang mencirikan data yang ada, melalui penyajian Ukuran Pemusatan (Measure of Central Tendency) yang mencakup Rata-rata, Modus, dan Median serta Ukuran Penyebaran (Measure of Dispersion) yang mencakup Range, Kuartil, Ragam dan Simpangan Baku. Bagian inilah yang digolongkan kedalam Statistika Deskriptif. Sedangkan bilamana sampel (-sampel) yang diambil dari populasi (-populasi) digunakan untuk keperluan pendugaan parameter populasinya dan/atau sekaligus pengujian ketepatan nilai parameternya, kita kenal Statistika Inferensia.


Salah satu bidang Statistika yang banyak digunakan dalam bidang penelitian eksperimental adalah Rancangan Percobaan. Inferensia dilakukan untuk lebih dari atau sama dengan dua populasi, baik yang berkenaan dengan rata-rata ataupun ragam pengaruh perlakuan. Inferensi yang dimaksud adalah pengestimasian ataupun pengujian hipotesis tentang


Prof. Ir. Sigit Nugroho, M.Sc., Ph.D 3

parameter yang dipelajari, pada umumnya berkenaan dengan rata-rata atau ragam populasi..

Suatu eksperimen atau percobaan merupakan suatu penelaahan ilmiah terencana yang dirancang untuk meneliti satu atau lebih populasi. Sesuatu yang diberikan dengan sengaja oleh peneliti pada satuan percobaan untuk diamati responnya disebut dengan perlakuan, dimana setiap perlakuan ini dapat mencirikan suatu populasi secara khas. Aspek yang dipelajari dalam suatu percobaan tunggal disebut faktor. Sedangkan kategori yang berbeda dalam suatu faktor disebut taraf suatu faktor.

Perlakuan diberikan pada satuan percobaan yang sudah ditentukan. Suatu satuan percobaan adalah bagian atau unit terkecil yang diberikan perlakuan tunggal, asalkan dua unit yang sama dapat diberikan perlakuan yang berbeda. Dalam banyak percobaan mungkin tidak praktis untuk mengukur atau mengamati keseluruhan satuan percobaan. Sifat alami dari perlakuan dan satuan percobaan juga dapat mengakibatkan pengamatan tidak praktis. Tiap anak gugus dari satuan yang diukur dan diamati disebut satuan respon atau satuan penarikan contoh. Beberapa satuan respon dapat dipilih secara acak dari tiap satuan percobaan untuk pengamatan. Bila keseluruhan satuan percobaan diamati, satuan respon tentu merupakan satuan percobaan tersebut.


Suatu hipotesis statistika merupakan pernyataan tentang fungsi peluang dari satu atau lebih peubah acak atau suatu pernyataan tentang populasi dimana satu atau lebih sampel diambil. Hipotesis dikatakan sederhana apabila pernyataan menunjuk ciri populasi secara lengkap. Bila tidak, hipotesis



dikatakan majemuk. Hipotesis nol (Null hypothesis) merupakan hipotesis yang dipelajari, sedangkan hipotesis tandingan (Alternative hypothesis) merupakan konklusi yang dicapai jika hipotesis nol ditolak. Suatu uji hipotesis merupakan aturan yang memungkinkan seseorang membuat kesimpulan apakah hipotesis nol harus diterima atau ditolak berdasarkan nilai pengamatan statistik uji, yang merupakan fungsi dari gugus peubah acak pengamatan.

Kenyataan di lapangan, tidak sedikit dijumpai adanya abusing pengujian asumsi, ataupun tidak terpenuhinya asumsi guna pengujian hipotesis yang dilakukan oleh para pengguna statistika yang tidak atau belum memahami filosofi Statistika Inferensia. Dalam tulisan ini akan disajikan perkembangan rancangan percobaan nonparametrik, sebagai alternatif pengujian hipotesis bilamana asumsinya tidak kunjung terpenuhi, khususnya pembahasan pengaruh perlakuan, baik bersifat tetap ataupun acak selama lebih dari tujuh puluh tahun terakhir.

Salah satu tujuan utama penelitian percobaan adalah untuk meyakinkan bahwa populasi-populasi perlakuan memiliki parameter yang sama atau berbeda, terutama mengenai rataannya. Untuk mendeteksi perbedaan-perbedaan nyata antar rataan perlakuan, kita harus gunakan rancangan percobaan yang paling sensitif; yaitu rancangan yang memiliki kesalahan percobaan yang paling kecil.

Bilamana percobaan menjadi semakin rumit, semakin banyak komponen yang harus dimasukkan ke dalam model. Beberapa komponen mungkin diperlukan untuk menghitung atau mengukur keragaman pengkelasan (grouping) dari satuan percobaan, keragaman perlakuan, dan keragaman penarikan contoh. Ketiganya menunjuk kepada aspek rancangan penelitian ilmiah, yaitu: (1). Rancangan



Lapangan. (2). Rancangan Perlakuan. (3). Rancangan Respon (Sampling).

Kebanyakan rancangan percobaan dapat dikatakan sebagai modifikasi atau pengembangan dari rancangan-rancangan dasar. Rancangan dapat dikembangkan karena adanya kebutuhan untuk menangani situasi penelitian yang lebih kompleks. Tiga rancangan percobaan dasar yang paling sering dipakai adalah: (1) Rancangan Acak Lengkap (Completely Randomized Design). (2) Rancangan Acak Kelompok Lengkap (Randomized Complete Block Design). (3) Rancangan Persegi Latin (Latin Square Design).

Seringkali suatu percobaan yang dilakukan dengan segugus perlakuan, inferensia nya terbatas pada perlakuan tersebut. Yang dimaksudkan disini adalah bahwa pendugaan dan pengujian parameter populasi hanya berlaku untuk populasi perlakuan yang digunakan. Situasi ini menunjuk gugus inferensia tetap atau fixed, pengaruh perlakuan bersifat tetap (fixed) dan model liniernya disebut model berpengaruh tetap atau model tetap. Model ini yang paling banyak dilakukan, karena kebanyakan percobaan dirancang untuk meneliti suatu gugus perlakuan tertentu.

Dalam situasi lain, kita mungkin menginginkan untuk membuat inferensia tentang gugus perlakuan lebih besar dari apa yang digunakan dalam percobaan. Perlakuan yang digunakan dalam percobaan merupakan suatu contoh acak dari semua perlakuan yang ada. Model linier percobaan tipe ini disebut model berpengaruh acak (random) atau model acak. Bila kita ingin melakukan inferensia tentang interval temperatur, tetapi kita hanya menggunakan sepuluh titik temperatur (suhu) dalam suatu percobaan, maka temperatur merupakan faktor acak. Faktor hari atau lingkungan sering digolongkan kedalam faktor acak, kecuali kita pilih taraf



spesifik dimana percobaan harus dilakukan. Bila model linier terdiri dari beberapa komponen, model disebut sebagai: (1) Model Tetap, bila semua komponen berpengaruh tetap. (2) Model Acak, bila semua komponen berpengaruh acak. (3) Model Campuran, bila beberapa komponen berpengaruh tetap dan beberapa komponen lain berpengaruh acak.


Setelah hipotesis nol dan hipotesis alternatif diformulasikan, terdapat beberapa tahapan untuk menguji hipotesis nol. Untuk memilihnya, perlu dipertimbangkan beberapa hal yang berkenaan dengan sifat pengujian. Pertanyaan yang paling penting adalah Apakah asumsi pengujian ini merupakan asumsi yang sahih dalam penelitian kita ?. Jika ternyata jawabnya Tidak, maka pengujian ini tentunya tidak dipakai. Namun demikian, sebelum membuang uji tersebut, tentunya kita perlu mengetahui asumsi dasar pengujian tersebut. Dalam kebanyakan uji parametrik, asumsi normalitas sangatlah penting. Jika seandainya hasil pengujian hanya menghasilkan hampir normal, maka pengujian tersebut masih juga dianggap mendekati sahih. Sehingga, pengujian tidak perlu dibuang, jika seandainya menghasilkan mendekati sahih.

Penggunaan suatu uji apabila asumsi pengujian tidak sahih akan membahayakan, karena : (1) data dapat menghasilkan suatu penolakan hipotesis nol bukan karena data mengindikasikan bahwa hipotesis nol salah, tetapi karena data mengindikasikan satu asumsi pengujian yang tidak sahih. Pengujian hipotesis secara umum merupakan pendeteksi yang sensitif bukan hanya hipotesis nol yang salah, tetapi juga asumsi yang salah dalam modelnya. (2) seringkali data mengindikasikan bahwa hipotesis nol salah,



dan asumsi yang salah dalam model juga mempengaruhi data, tetapi dua pengaruh ini saling menetralkan di dalam pengujian, sehingga pengujian tidak menghasilkan sesuatu dan hipotesis nol diterima. Berdasarkan penjelasan diatas, maka pengujian yang baik hendaknya memenuhi hal-hal berikut: (1) Pengujian harus tidak bias. (2) Pengujian harus konsisten. (3) Pengujian harus lebih efisien dalam pengertian tertentu dari pada pengujian serupa lainnya.

Secara umum, suatu metode statistika dikatakan nonparametrik jika memenuhi salah satu kriteria berikut: (1) Metode ini dapat digunakan pada data dengan skala pengukuran nominal. (2) Metode ini dapat digunakan pada data dengan skala pengukuran ordinal. (3) Metode ini dapat digunakan pada data dengan skala pengukuran interval atau rasio, dimana fungsi sebaran peubah acak yang menghasilkan data tak diketahui atau diketahui kecuali untuk sebanyak takhingga parameter yang tak diketahui.

Terminologi lain dari statistika nonparametrik (nonparametric statistics) adalah statistika bebas-sebaran (distribution-free statistics) meskipun penamaan ini berawal dari sudut pandang yang sedikit berbeda. Kebanyakan statistik uji nonparametrik menggunakan konsep count dan rank dalam perhitungannya. Untuk pengujian dengan sampel berukuran kecil, tiap pengujian memiliki tabel pembanding masing-masing. Tabel eksak dari tiap tabel pembanding ini belum tentu mudah untuk dibuat. Untuk pengujian dengan ukuran contoh yang besar, beberapa statistik uji nonparametrik memiliki sebaran asimtotik yang biasanya normal baku atau kai-kuadrat.




Adanya pelanggaran terhadap asumsi dasar pada rancangan percobaan dan kajian statistika parametrika lainnya, khususnya normalitas dan kehomogenan ragam, serta bila usaha untuk transformasi data masih juga gagal, membuat beberapa ahli statistik berpikir untuk mendapatkan solusinya.

Beberapa alternatif pengujian secara nonparametrik pada rancangan percobaan telah dikembangkan. Friedman (1937) memperkenalkan alternatif pengujian pengaruh perlakuan pada Rancangan Acak Kelompok Lengkap Dasar. Statistik uji Friedman dapat disajikan seperti berikut:

2

1

12 ( 1)( 1) 2

k

R jj

b kF Rbk k

=

+ = +

(1)

dimana Rij = peringkat sel-(i,j) relatif terhadap seluruh pengamatan pada kelompok ke-i. b adalah banyaknya kelompok dan c adalah banyaknya perlakuan. Tolak hipotesis nol jika FR besar nilainya. Sedangkan Durbin (1951) menemukan statistik uji pengaruh perlakuan pada Rancangan Acak Kelompok Tak Lengkap Seimbang. Statistik uji Durbin adalah

2

1

12( 1) ( 1)( 1)( 1) 2

t

jj

t r kD Rrt k k

=

+ =

+ (2)

dimana Rij = peringkat sel-(i,j) relatif terhadap seluruh pengamatan pada kelompok ke-i. b adalah banyaknya kelompok, c adalah banyaknya perlakuan, r adalah frekuensi dimana pasangan perlakuan muncul bersamaan, dan k adalah ukuran kelompok (k < c). Tolak hipotesis nol jika D besar nilainya. Uji nonparametrik sebagai alternatif pengujian pengaruh perlakuan pada Rancangan Acak Lengkap dikembangkan oleh Kruskal dan Wallis (1952). Statistik uji Kruskal-Wallis adalah



2

1

( 1)12 2

( 1)

iik

i i

nR NH

N N n=

+

=

+

(3)

dimana ( )ijR X merupakan peringkat dari ijX . dan juga

1

k

ii

N n=

= , 1

( ) 1, 2,...,in

i ijj

R R X i k=

= = . Untuk tiap perlakuan

dihitung nilai iR Anderson (1959) mengusulkan statistik untuk menguji hal yang sama seperti uji Friedman. Statistik Anderson dapat dituliskan seperti berikut :

2

1 1

= =

=

c

k

c

jkj

c

bDbcA (4)

dimana Dkj = banyaknya kelompok dimana perlakuan j memiliki peringkat k. Tolak hipotesis nol jika A besar nilainya. b adalah banyaknya kelompok dan c adalah banyaknya perlakuan.

Statistik uji Kruskal-Wallis, Friedman, dan Durbin adalah yang paling dikenal orang karena paling umum, untuk pengujian perlakuan pada rancangan yang sederhana, meskipun terdapat beberapa variasi pengujian nonparametrik lainnya yang diterapkan pada rancangan percobaan. Sebut saja, uji Jonckheere, Anderson dan Bell-Doksum.. Kruskal-Wallis, Friedman, dan Durbin sudah banyak dimasukkan dalam modul-modul dari paket program statistik terkenal seperti : SPSS, Statistica, dan SAS, bahkan beberapa paket program statistika kecil yang tergolong freeware. Hanya paket program besar yang memasukkan beberapa uji nonparametrik berikutnya seperti Jonckheere dan Bell-Doksum. Namun demikian, seluruh statistik uji nonparametrik yang telah banyak dikembangkan tersebut digunakan untuk menguji perlakuan dengan pengaruh tetap.



Untuk menguji perlakuan dengan pengaruh acak secara nonparametrika pada rancangan percobaan, Professor Zakkula Govindaraju, Ph.D. (alumni University of Minnesota, 1961) dan dua muridnya (Ann Clemmens dan Sigit Nugroho) mulai mengembangkan prosedur pengujian dimaksud. Mereka menggunakan pendekatan Uji Paling Kuasa Lokal (Locally Most Powerful) karena tidak dimungkinkan untuk membuat Uji Paling Kuasa Seragam (Uniformly Most Powerful) dalam pengembangan teorinya. Untuk notasi-notasi yang digunakan pada statistik-statistik berikut pembaca dapat merujuk ke artikel-artikel Nugroho atau Govindarajulu.

Pada tahun 1975, Govindarajulu telah memulai menurunkan statistik uji untuk pengaruh perlakuan acak pada Rancangan Acak Lengkap. Dengan beberapa asumsi tambahan, statistik ujinya adalah

0 01 1

'( ) '( ) "( )( ) ( ) ( )i k i

t N N Ni k i

jZ jZ jZj i k ii k i

f W f W f WT E Ef W f W f W= =

= +

(5)

Ann Elizabeth Clemmens (1980) mendapatkan statistik pengujian serupa dengan menggunakan penyederhanaan apabila fungsi kepekatan peluang datanya logistik. Dengan demikian statistik pada persamaan (5) dapat dituliskan menjadi

2 21 1

2 (2 1) 43( 2) ( 1)( 2)

t t

j jj jN NT N n S

N N N= =+

= + ++ + +

1 1 1

4 8 ( )( 1) ( 1)( 2)jt t n

j j j jkj j kn S n k RN N N= = = +

+ + +

(6)

Pada tahun 1986, Clemmens meneruskan pekerjaan untuk membuat statistik uji perlakuan pengaruh acak pada Rancangan Acak Kelompok Lengkap. Statistik uji Clemmens dapat dituliskan sebagai berikut:



. . .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

'( ) '( ) "( )( ) ( ) ( )

i i i

i i iml l

n n ni i ib t b tl m l

i i ijZjZ jZi j l m i j ll m l

f W f W f WE Ef W f W f W = = = = =

= +

. .

( ) ( )

( ) ( )

0 0( ) ( )1 1 1

'( ) '( )( ) ( )

i k

i kml

n ni kt b bl m

i k jZjZj i k l ml m

f W f WE Ef W f W= = =

+

(7)

Nugroho (1994) menurunkan statistik uji sebagai suatu teorema untuk menguji pengaruh acak perlakuan pada Rancangan Acak Kelompok Lengkap Dasar, yang statistiknya adalah seperti berikut :

( )

( )

0 ( )1 1 1

"( )( ) im

ib t tm

i jZi j m m

f WE f W = = =

=

( ) ( )

( ) ( )

0 0( ) ( )1 1 1

'( ) '( )( ) ( )i km l

i kt b b t tm l

i kjZ jZj i k m lm l

f W f WE Ef W f W = = =

+

(8)

Beberapa Lemma juga diturunkan dari teorema diatas apabila fungsi kepekatannya berturut-turut adalah normal baku, eksponensial ganda, dan logistik, seperti dibawah ini

( )

2( )

01 1 1

im

t b ti

N m jZj i m

E V = = =

=

(9)

( )

2( )

01 1 1

( ) im

t b ti

DE m jZj i m

E Sgn D = = =

=

(10)

22

21 1

4 ( 1)( 1) 3( 1)

t b

L ijj i

bt tR b tt t

= =

= + + (11)

Dalam kasus logistik, Nugroho juga menunjukkan bahwa statistiknya memiliki hubungan linier dengan statistik Friedman untuk pengujian pengaruh tetap perlakuan pada skema rancangan yang sama seperti berikut :

( 1)3( 1) 3( 1)L

bt bt tFt t

= + +

(12)

Tentunya ini berimplikasi sebagai teorema bahwa apabila hipotesis nol benar secara asimtotik kedua statistik diatas memiliki sifat-sifat yang sama. Dan dengan demikian statistik



Friedman juga merupakan uji paling kuasa lokal untuk menguji pengaruh acak perlakuan pada Rancangan Acak Kelompok Lengkap Dasar.

Pada Rancangan Kelompok Tak Lengkap Seimbang (Balanced Incomlete Block Design), Nugroho menurunkan statistik untuk menguji pengaruh acak perlakuan. Statistiknya adalah :

( )

( )

0 ( )1 1 1

"( )( ) im

ib c km

i jZi j m m

f WE f W= = =

=

( ) ( )

( ) ( )

0 0( ) ( )1 1 1

'( ) '( )( ) ( )i lm t

i lc b b k km t

i ljZ jZj i l m sm t

f W f WE Ef W f W= = =

+

(13)

Bilamana f yang ada pada persamaan (13) merupakan fungsi kepekatan logistik, maka akan diperoleh Lemma seperti berikut :

22

21 1

4 ( 1)( 1) 3( 1)

c b

L ijj i

bk kR b kk k

= =

= + + (14)

dan sebuah teorema yang menunjukkan hubungan linier antara statistik ini dengan statistik Durbin, sebagaimana statistik uji serupa (11) dengan statistik uji Friedman. Hubungan linier tersebut adalah

[ ]( 1) 1 ( )3( 1)( 1)L

bk k D c r b bkc k

= + + +

(15)

Analog dengan hasil sebelumnya, statistik Durbin dengan demikian juga merupakan uji paling kuasa lokal untuk menguji pengaruh acak perlakuan pada Rancangan Acak Kelompok Tak Lengkap Dasar


Lemmer dan Stoker (1967) mempelajari distribution-free analysis of variance klasifikasi dua arah dengan menggunakan fungsi dari peringkat (rank). Beberapa



prosedur telah diusulkan dalam literatur-literatur untuk menguji tidak adanya interaksi percobaan dua-arah. Tukey (1949) mengusulkan uji nonadditifitas komponen tersebut; Brown dan Mood (1951) mengembangkan uji median; Mehra dan Smith (1970) menggunakan konsep skor pada distribusi tertentu; Bhapkar dan Gore (1974) menggunakan statistik-U; Hegemann dan Johnson (1976) membahas analisis keragaman dua arah dengan interaksi pengamatan tunggal; serta Wolfe, Dean dan Hartlaub (1990) mempelajari uji peringkat tertata terluruskan untuk interaksi dalam percobaan dua arah. Namun demikian, seluruh statistik pengujian diatas untuk menguji pengaruh tetap dari interaksi. Konsep rank-interaction dikenalkan oleh De Kroon dan van der Laan (1981). Secara kasar, rank-interaction dapat dijelaskan sebagai suatu fenomena dimana peringkat taraf perlakuan berbeda untuk tiap blok.

Nugroho juga telah mengembangkan teorema berupa statistik uji apabila dimungkinkan adanya interaksi antara perlakuan yang bersifat acak dan blok/kelompok. Statistik uji tersebut adalah

)()(1 1

)(

)(

)(

)(

02

)()('

)()('

im

il jZjZ

b

i

c

j

rc

li

m

im

il

il

rc

m

iwfwf

wfwf

E = =

=

+ = = =

b

i

c

jjZi

l

il

rc

li i

lwfwf

E1 1

)(

)(

10

2)()(

)("

+

= = =)()( )(

)(')()('

)(

)(

10

1)(

)(

10 k

mi

l jZkm

km

rc

m

b

i

b

k

c

jjZi

l

il

rc

lik

wfwf

Ewfwf

E

(16)

Detail asumsi yang diperlukan untuk penurunan Teorema, Lemma, ataupun Corollary dapat dilihat pada informasi yang relevan.

Dari teorema terakhir diperoleh Lemma 1. Jika f adalah fungsi kepekatan dari sebaran logistik, maka akan menjadi L dimana



= =

+

++=

b

i

c

j

ijiL rcrM

rcrc1 1

)(2 )1()2)(1(8

+ =

+

b

i

b

k

c

j

kj

ijik crSS

rc 1

2)()(2)1(

4

(17)

dengan

sigit nugroho - statistik uji pengaruh perlakuan pada rancangan percobaan nonparametrik

Documents