Seminar Matematika

Oleh:Elisabeth Isandhyta

(06121008011)Dosen Pembimbing: Dr. Yusuf Hartono

Pembuktian Teorema Van Aubel

Pendahuluan

Teorema ini dikemukakan oleh seorang ilmuwan matematika dari Belanda, yang bernama H. Hubertus van Aubel.

Materi Penunjang

• Segiempat & Persegi• Segitiga-segitiga Kongruen• Sudut yang Bertolak Belakang• Vektor• Bilangan Kompleks

Materi Pokok

Van Aubel’s Theorem“If squares are

constructed outwardly on the sides of a convex

quadrilateral, then the line segments joining the centers of opposite pairs

of squares are perpendicular and equal

in length.”

A C

P Q

RS D

B

Pembuktian Teorema Van

Aubel

Secara geometri Dengan vektor dan bilangan kompleks

PEMBUKTIAN SECARA GEOMETRI

Diberikan:• Sebuah segiempat

sembarang ABCD,• Empat buah persegi

masing-masing dengan titik pusat P, Q, R dan S.A C

P Q

RS D

B

Akan dibuktikan bahwa dan

AD

C

P Q

S

B

R Pertama akan kita buktikan:• ;• ;• ;

O

1. Langkah Pertama

Akan dibuktikan bahwa .

Bukti:1. ...2. ...3.

...

Dari , dan maka

(S-Sd-S) Teorema 1

DC

QB

R

OK’

K’’

L

Karena maka ...(*)

Akan dibuktikan .

Bukti: Karena

DC

QB

R

OK’

K’’

LM𝜷𝜷

𝜶

𝜶

Sehingga,

...(**)

DC

QB

R

OK’

K’’

LM𝜷𝜷

𝜶

𝜶

Pada , ...(***)

Pada , ...(****)

DC

QB

R

OK’

K’’

L

DC

QB

R

OK’

K’’

L

...(*) ...(**)

...(***) ...(****)

Dari (*), (***) dan (****) maka

dan dari (**), (***) dan (****) maka .

Sama seperti pembuktian dengan garis garis maka garis garis dan .

AD

C

P Q

S

B

R

O

2. Langkah Kedua

Akan dibuktikan .Dari pembuktian pada langkah pertama:• pada pada .• pada pada .• dan .

Pada ,

Pada ,

Maka (S-Sd-S) Teorema 1

AD

CBP Q

RQ S

O

Karena maka pastilah . Terbukti

AD

CBP Q

RQ S

O

AD

C

BP Q

RQ S

O

3. Langkah Ketiga Misalkan

SehinggaNJ 𝜶

’

𝜷

AD

C

BP Q

RQ S

O

Misalkan sama dengan ,

Maka

atau . Terbukti.NJ𝜶

’

𝜷𝜷 ′

PEMBUKTIAN DENGAN VEKTOR DAN BILANGAN KOMPLEKS

Diberikan:• Sebuah segiempat

sembarang ABCD,• Empat buah persegi

masing-masing dengan titik pusat P, Q, R dan S.A C

P Q

RS D

B

Akan dibuktikan bahwa dan

Karena segiempat tertutup, hasil perjumlahan vektor

sehingga …(*)

B

OC

Q

𝟐𝒃

𝟐𝒄𝟐𝒅

D

R

S

𝟐𝒂

P

B

AC

Q

D

R

S

P

p

rsq

Dapat juga dinotasikan dalam bentuk polar , dimana

𝒂

𝑰𝒎

𝒂

BA𝟐𝒂

P

𝑹𝒆

𝝅𝟐

(𝒂 , 𝒊𝒂)p

B

AC

Q

D

R

S

P

p

rsq 𝟐𝒃

𝟐𝒄𝟐𝒅

𝟐𝒂(𝟏+𝒊 )𝒃

(𝟏+𝒊

)𝒄(𝟏+𝒊 )𝒅

B

AC

Q

D

R

S

P

p

rsq 𝟐𝒃

𝟐𝒄𝟐𝒅

𝟐𝒂

MN

Kita harus membuktikan bahwa segmen garis dan sama panjang dan saling tegak lurus, sehingga bilangan dan harus memenuhi

atau dengan mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan , sehingga menjadi

B

AC

Q

D

R

S

P

p

rsq 𝟐𝒃

𝟐𝒄𝟐𝒅

𝟐𝒂

MN

dan Terbukti.

B

AC

Q

D

R

S

P

prsq 𝟐𝒃

𝟐𝒄𝟐𝒅

𝟐𝒂

MN

Kesimpulan

Teorema van Aubel dapat dibuktikan secara geometri dan

dengan vektor dan bilangan kompleks bahwa jika diberikan

sebuah segiempat sembarang, kemudian dibangun masing-masing

sebuah persegi dari luar keempat sisinya tersebut, lalu titik-titik

pusat dari persegi-persegi yang berlawanan dihubungkan.

Teorema van Aubel menyatakan bahwa kedua garis yang

menghubungkan titik-titik pusat dari persegi-persegi yang

berlawanan tersebut sama panjang dan tegak lurus satu sama lain.

TERIMA KASIH