rumus matematika praktis 6 sd .pdf

8/11/2019 Rumus Matematika Praktis 6 SD .pdf

1/35

Rumus Matematika Praktis -2

A. Mengenal Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif

Bilangan nol

Bilangan bulat negatif

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7-5-6-7

nolbilangan bulat negatif bilangan bulat positif

B = { ... 7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}Ciri bilangan positif ke kanan, maju, naik, ditambah, laba, diberiCiri bilangan negatif ke kiri, mundur, turun, dikurang, rugi, diminta, pinjam,hutang

B. Operasi Bilangan Bulat

1. Penjumlahan

contoh :

2 + 3 = 5

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Rumus

a + b = c Syarat

+ + + = +

- + - = -

+ + - = - bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

- + + = + bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b


2/35


2. Pengurangan

23 = 2 + (-3) = -1

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

Rumu

a b = c Syarat

+ + = - bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b

- - = + bila a < b, + bila a > b, 0 bila a = b+ - = +

- + = -

C. Sifat Komutatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a + b = b + a

Rumus perkalian komutatif = a x b = b x a

Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = 13 + 15 = 15 + 13 = 28

Perkalian komutatif = 20 x 14 = 14 x 20 = 280

D. Sifat Asosiatif pada Penjumlahan dan Perkalian

Rumus penjumlahan komutatif = a +( b + c ) = ( b + c ) + a

Rumus perkalian komutatif = (a x b) x c = c x ( b x a )

Contoh soal :

Penjumlahan komutatif = (19 + 12) + 8 = 19 + (12 + 8) = 39

Perkalian komutatif = (10 x 15) x 30 = 10 (15 x 30) = 4500

E. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus Perkalian terhadap Penjumlahan Distributif

= a x (b+ c) = (a x b) + (a x c)

Contoh soal :

13 x (17 + 14) = (13 x 17) + (13 x 14)

= (13 x 17) + (13 x 14)


3/35


= 221 + 182

= 403

F. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan danPenguranganRumus Perkalian terhadap Pengurangan Distributif

= a x (b- c) = (a x b) - (a x c)

Contoh soal :

25 x (2215) = (25 x 22)(25 x 15)

= 550375

= 175

G. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat

Contoh soal :

3.000450 x 30 : 25 + 850 = . . .

Langkah-langkah untuk mengerjakan adalah sebagai berikut.

1. Kerjakan operasi perkalian terlebih dahulu

2. Lanjutkan dengan operasi pembagian

3. Lakukan operasi pengurangan

4. Terakhir selesaikan operasi penjumlahan

Jawab

3.000450 x 30 : 25 + 850

= 3.000

13.500 : 25 + 850

= 3.000 540 + 850

= 2.460 + 850

= 3.310

Jadi, 3.000450 x 30 : 25 + 850 = 3.310


4/35


H. Operasi Bilangan Bulat Dalam Garis Bilangan

. Ada 3 jenis bilangan bulat

a. Bilangan bulat positif

b. Bilangan bulat nol (0)

c. Bilangan bulat negatif.

Ada juga yang meneglompokkan bilangan bulat ganjil dan genap

Intinyakalau ditaruh pada garis bilangan batasannya adalah angka nol

Kalau ditarik ke kanan positif semakin besar, sebaliknya kalau ditarik ke kiri

dari nol adalah negatif dan semakin kecil.

Lihat garis bilangan

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

Negatip Positip

I. PEMFAKTORAN FPB dan KPK

1. PEMFAKTORAN

a) Faktor Prima

Contoh :

1) Faktor prima dari 180 = ....

2

180

90

2 45

3 15

3 5

maka faktor prima dari 180 adalah 2,

3, dan 5

2) Faktor prima dari 3150 adalah 2, 3, 5, 7, sebab faktorisasi prima dari :

23150 = x 32

x 52

x 7, maka faktor primanya = 2, 3, 5, 7

b. Faktorisasi Prima

Contoh : Faktorisasi prima dari 180 = ... .


5/35


Sebab

2

180

90

2 45

3 15

3 5

maka faktorisasi prima dari 180 =

53x2 22

2. FPB

-Untuk menentukan FPB, pilihlah faktor yang sama dan pangkat kecil- Jika faktor sama, pangkat sama diambil salah satu

Contoh soal :

FPB dari 72 dan 84 adalah .

Jawab :

Cara 1)

Faktor dari 72 dan 84 :

72 = 2 x 2 x 3 x 6

84 = 2 x 2 x 3 x 7

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

Cara 2)

272 84

236 42

3

18 21

76

dibag

i

Jadi FPB = 2 x 2 x 3 = 12

3. KPK

- Untuk menentukan KPK diambil satu dari setiap faktor- Kalau faktor sama pangkat berbeda diambil yang pangkatnya lebih tinggi- Kalau faktor sama, pangkat sama diambil salah satu


6/35


Contoh soal :

KPK dari 24, 36 dan 40 adalah .

Jawab :

Cara 1)

24

2 12

2 6

2 3

36

2 18

2 9

3 3

40

2 20

2 10

2 5

KPK = 2

3

x 3

2

x 5 = 360

Cara 2)

dibagi 24 36 40

2 12 18 20

2 6 9 10

2 3 9 5

3 1 3 5

3 1 1 5

5 1 1 1

KPK = 23x 32 x 5 = 360


7/35


Macam macam pecahan

Biasa Sederhana Campuran Desimal Persen Permil

2

1 0,5 50 % 000500

4

3 0,75 75 % 000750

12

16 3

4 3

11 1,33 133 % 0001333

48

54

89

81

1 1,25 112,5 % 0001125

A. Menentukan Pecahan Senilai

Contoh soal :

a.9

6=

2x9

2x6=

18

12

b.9

6 =3:9

3:6 =3

2

B. Menyederhanakan Bilangan Pecahan

Contoh soal :

Tentukan pecahan paling sederhana dari16

12!

Jawab:

1. Lakukan faktorisasi dari 12 dan 16 dengan membuat pohon faktor.

2. Bagilah pembilang dan penyebut masing-masing dengan FPB


8/35


12 = 22

16 = 42

FPB dari 12 dan 16 adalah 22 = 4.

1612 =

4:164:12 =

43

Jadi, pecahan paling sederhana dari16

12adalah

4

3.

C. Mengurutkan Pecahan

Contoh soal :

Diketahui pecahan-pecahan .125dan,

62,

21,

41,

32

* Urutan pecahan di atas dari yang terkecil.

* Urutan pecahan di atas dari yang terbesar.

Jawab :

Ada 2 cara untuk mengerjakan contoh soal di atas

1. Mengubah pecahan-pecahan di atas menjadi pecahan yang berpenyebut

sama dengan mencari KPK nya.

2. Mengubah pecahan di atas menjadi angka desimal.

3. Mengurutkan sesuai permintaan soal

Cara 1: dicari dengan pohon faktor KPK dari penyebut adalah 12

3

2=

4x3

4x2=

12

8

41 =

3x43x1 =

123


9/35


2

1=

6x2

6x1=

12

6

6

2=

2x6

2x2=

12

4

12

5=

1x12

1x5=

12

5

Jika penyebutnya telah sama, kemudian lakukan perbandingan pembilangnya,

untuk mengurutkannya. Sehingga dapat ditentukan urutannya berikut ini.

a. Urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.12

8dan,

12

6,

12

5,

12

4,

12

3

Jadi, urutan pecahan dari yang terkecil adalah

.3

2dan,

2

1,

12

5,

6

2,

4

1

b. Urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.12

3dan,

12

4,

12

5,

12

6,

12

8

Jadi, urutan pecahan dari yang terbesar adalah

.4

1dan,

6

2,

12

5,

2

1,

3

2

Cara 2: Dengan merubah pecahan biasa menjadi Desimal

.12

5dan,

6

2,

2

1,

4

1

3

2,

416,0.

333,0

50,0

25,0

666,0

12

5

6

2

2

1

4

1

3

2


10/35


Setelah menjadi angka desimal tinggal diurutkan dengan cara mengurutkan

bilangan dibelakang koma dari yang paling dekat dengan koma, dari yang

terkecil atau yang terbesar. Apabila bilangan dibelakang koma sama besar,

maka lihat bilangan berikutnya dan seterusnya.

Hasil dari urutan terkecil :

0,25 ; 0,333 ; 0,416 ; 0,50 dan 0,666

atau.

3

2dan,

2

1,

12

5,

6

2,

4

1

Hasil dari urutan terbesar :

0,666 ; 0,50 ; 0,416 ; 0,333 ; 0,25

atau.

4

1dan,

6

2,

12

5,

2

1,

3

2

Untuk lebih meningkatkan pemahaman urutkan soal berkut dari yang terbesar

dan terkecil ?

4

2;56,0;

4

3%;80;

9

8;72,0;

6

5).a

2

1;46,0;

3

2%;85;

9

6;712,0;

4

3).b

D. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Desimal

Untuk merubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal, gunakan dengan cara

berikut (Poro gapit= Jawa ). Pembilang dibagi penyebut.

Contoh soal :

5

3= . . .

Jawab :

Cara 1)

5

3artinya 3 : 5, sehingga


11/35


Jadi,5

3= 0,6

Cara 2)

2

2x

5

3=

10

6= 0,6

E. Mengubah Bentuk Desimal ke Bentuk Pecahan Biasa

1. Carilah terlebih dahulu FPB pembilang dengan penyebut dengan

menggunakan pohon faktor

2. Bagilah pembilang dan penyebut dengan FPB tersebut

Contoh soal :

Ubahlah menjadi pecahan biasa !

0,4 = .....

0,4 =10

4(FPB pembilang dan penyebut adalah 2, maka masing-masing

dibagi dengan bilangan 2).

0,4 =10

4=

5

2

Jadi, 0,4 =5

2

F. Mengubah Persentase menjadi Pecahan

Untuk merubah prosentase menjadi pecahan tidaklah sulit.

1. Langkah pertama jadikan prosentase menjadi bentuk pecahan biasa


12/35


2. Langkah kedua pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama

atau dibagi dengan FPB nya.

Contoh soal :

1. 20% = ..

2. 75% = ..

Jawab

1) 20% = 100

20

FPB dari 20 dan 100 adalah 20

20

20

100

20:

5

1

2) 75% = 100

75

FPB dari 75 dan 100 adalah 25

25

25

100

75:

4

3

G. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Asli

1. Mengalikan Pecahan dengan Bilangan Bulat pada dasarnya mengalikan

pembilang dengan bilangan bulat, kemudian dibagi dengan penyebut.

2. Apabila antara pembilang dengan penyebut ternyata dapat disederhanakan,

akan lebih baik disederhanakan agar bilangan pebilangnya tidak terlalu

besar.

Contoh soal :

7

4x 28 = . . .

Jawab Cara 1 :

7

4x 28


13/35


=7

28x4

=7

112

= 16

Jawab Cara 2 :

28x7

4

28:7

4

1

4x4

61

1

4

H. Pembagian dalam Pecahan

1. Jadikan soal yang dibagi dan pembagi menjadi pecahan semua.

2. Rubahlah bentuk pembagian menjadi perkalian, INGAT posisi bilangan

pembagi karena dirubah menjadi perkalian harus dilakukan pembalikan

fungsi yang semula penyebut harus diposisikan sebagai pembilang dan

sebaliknya.

3. Lakukan langkah operasional pembilang dikalikan pembilang,kemudian

dibagi penyebut dikalikan penyebut.

4. Kalau bilangannya bias disederhanakan antara pembilang dengan penyebut,

sederhanakan dulu supaya lebih mudah (bilangannya tidak terlalu besar)

Contoh soal :

54

1: 3 =

=4

21:

1

3

=

4

21x

3

1


14/35


=12

21

= 112

9

= 14

3

Atau bisa juga dikerjakan dengan cara berikut :

54

1: 3 =

3

1x

4

21

7

1

=4

7

= 14

3

Contoh soal :

46

1: 2

2

1=

= 6

25

: 2

5

5

2x

6

25

5

1

1

3

=3

5

= 13

2

I. Penjumlahan Pecahan dengan Bilangan Campuran

Ada beberapa cara sederhana untuk menyelesaikan penjumlahan bilangan

pecahan campuran. Perhatikan cara berikut ini :

Cara 1 :

1. Semua bilangan dijadikan pecahan


15/35


2. Tentukan KPK dari penyebutnya.

3. Kemudian lakukan operasi penjumlahan

Cara 2 :

1. Kelompokkan bilangan bulat dengan bilangan bulat, bilangan pecahan

dengan bilangan pecahan

2. Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu, bilangan pecahan

dikelompokkan kemudian dicari KPK dari penyebut bilangan pecahan

3. Setelah ketemu KPKnya dari penyebutnya baru dilakukan operasi

penjumlahan

Contoh soal :

24

1+ 3

2

1= . . .

Jawab :

Jawab Cara 1.

1.Jadikan menjadi pecahan semua

2.Cari KPK dari kedua penyebutnya ; dari 2 dan 4, KPK ketemu 4.

=4

9+

2

7

=4

9+

4

14

=4

149

= 4

23

= 54

3

Jawab Cara 2.

Bilangan bulat dikelompokkan menjadi satu sesama bilangan bulat, kemudian

bilangan pecahan juga dikelompokkan menjadi satu kelompok sesama bilangan

pecahan.


16/35


KPK dari pecahan dari 2 dan 4, ketemu adalah 4

24

1+ 3

2

1= . . .

= ( 2 + 3 ) + (4

1 +2

1 )

= 5 + (4

1+

4

2)

= 54

3

J. Menentukan Nilai Pecahan dari suatu Kuantitas Bilangan

Contoh soal :

8

5x 16 ton = . . . kg

Jawab :

ton16x8

5

1

2

= 5 x 2 ton = 10 ton

= 10 x 1.000 kg = 10.000 kg

Jadi,8

5x 16 ton = 10.000 kg


17/35


A. PERPANGKATAN / KUADRAT

Perpangkatan atau kuadrat adalah perkalian berulang pada angka atau

bilangan yang bersangkutan.

Perhatikan !

Tabel 1

12= 1 x 1 = 1

22= 2 x 2 = 4

32= 3 x 3 = 9

42= 4 x 4 = 16

52= 5 x 5 = 25

62= 6 x 6 = 36

72= 7 x 7 = 49

82

= 8 x 8 = 6492= 9 x 9 = 81

Dari Tabel 1 di atas ada 2 bilangan bersifat istimewa yaitu :

a. Bilangan 1 ( dalam posisi sebagai satuan )

b. Bilangan 5 ( dalam posisi sebagai satuan )

*. Bilangan 1 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil

satuannya adalah 1. ( Perhatikan tabel 2 )


18/35


A. MISTERI ANGKA 1

Tabel 2

1 = 1 x 1 = 1

11

2

= 11 x 11 = 121212= 21 x 21 = 441

312= 31 x 31 = 961

412= 11 x 11 = 1681

512= 51 x 51 = 2601

612= 61 x 61 = 3721

712= 71 x 71 = 5041

812= 81 x 81 = 6561

912= 91 x 91 = 8281

Hasil pengamatan :

1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasil kuadratnya

pada bilangan satuan adalah 1.

2. Angka 0 pada posisi puluhan lazimnya tidak ditulis, kecuali pada proses olah

data. Maksudnya begini, bilangan 1 pada tabel di atas sejatinya adalah 01. (

Paham ya maksudnya ? )

3. Kakaknya bilangan 1 adalah bilangan 2. (betulkan...?)

Kesimpulan dari hasil pengamatan dapat diciptakan rumus praktis

sebagai berikut.

RUMUS PRAKTIS :

a. Hasil pengkuadratan bilangan yang satuannya 1, pasti hasil kuadratnya

menghasilkan bilangan satuan 1, kemudian tulis pada posisi satuan

b. Kalikan bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan

1 yaitu bilangan 2, hasilnya tulis pada posisi bilangan puluhan

c. Kuadratkan bilangan puluhan, hasilnya tulis pada posisi ratusan dan

seterusnya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut !


19/35


Perhatikan hasil pengkuadratannya :

Contoh soal 1 :

312 = 961

Bilangan 1 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan pada

31 yang dikuadratkan

Bilangan 6 pada 961 adalah hasil kali bilangan puluhan (3) pada

bilangan 31 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan

2 ( kakaknya bilangan 1 )

Bilangan 9 pada 961 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan (3)

pada bilangan 31 yang dukuadratkan

Contoh soal 2 :

412= 1681

Bilangan 1 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan satuan

pada 41 yang dikuadratkan

Bilangan 8 pada 1681 adalah hasil kali bilangan puluhan (4) pada

bilangan 41 yang dikuadratkan kemudian dikalikan dengan bilangan

2 ( kakaknya 1 )

Bilangan 16 pada 1681 adalah hasil kuadrat dari bilangan puluhan

(4) pada bilangan 41 yang dikuadratkan.

Contoh soal 3 :

712 = 5041

Bilangan 1 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan

satuan pada 71 yang dikuadratkan

Bilangan 4 pada 5041 adalah hasil kali bilangan puluhan (7)

pada bilangan 71 yang dikuadratkan kemudian dikalikan

dengan bilangan 2 ( kakaknya 1 ), ditulis 4, nyimpan puluhan

1 yaingat.

Bilangan 50 pada 5041 adalah hasil kuadrat dari bilangan

puluhan ( 7 ) pada bilangan 71 yang dikuadratkan = 49 plus

simpanan 1


20/35


Untuk lebih memahami cobalah Anda kerjakan latihan berikut :

1. 512=

2. 612=

3. 81

2

= 4. 1012=

5. 1112=

6. 1212=

7. 1512=

8. 1612=

9. 1812=

10. 1912

=

B. MISTERI ANGKA 5

Sekarang kita bahas Misteri Keistimewaan bilangan 5. Siap ya? OK

1. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil

kuadratnya pasti menunjukkan bilangan 25.

2. Bilangan 5 dalam posisi sebagai satuan apabila dikuadratkan hasil

kuadratnya pada bilangan puluhan adalah 2 dan pada bilangan satuanadalah 5. ( Perhatikan tabel 3 )

Perhatikan tabel di bawah ini

Tabel 3

5 = 5 x 5 = 25

152= 15 x 15 = 225

252= 25 x 25 = 625

35

2

= 35 x 35 = 1225452= 45 x 45 = 2025

652= 65 x 65 = 4225

752= 75 x 75 = 5625

852= 85 x 85 = 7225

952= 95 x 95 = 9025


21/35


Mari kita amati bersama :

1. Semua bilangan pada tabel di atas, apabila dikuadratkan hasilnya kuadratnya

selalu menunjukkan bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5 atau dengan

kata lain ditulis 25.

2. Hasil pada bilangan ratusan atau depannya bilangan 25, merupakan hasil

kali bilangan puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Kesimpulan kuadrat dari bilangan yang bersatuan 5 dapat dibuat rumus

praktis sebagai berikut :

RUMUS PRAKTIS :

1. Semua bilangan yang bersatuan 5 apabila dikuadratkan, hasil kuadrat nya

adalah bilangan puluhan 2 dan bilangan satuan 5. Atau gampangnya pasti

menghasilkan angka 25 (dua bilangan dari belakang)

2. Posisi bilangan ratusan atau ribuan,merupakan hasil perkalian bilangan

puluhan yang dikuadratkan dengan kakaknya bilangan tersebut.

Perhatikan contoh hasil kuadrat berikut :

252 = 625

Bilangan satuan 25 pada hasil 625, merupakan pengkuadratan

bilangan satuan 5 pada 25 yang dikuadratkan. Tulis .25 (dari

belakang ya!!!)

Bilangan 6 pada hasil 625 merupakan hasil perkalian antara

bilangan puluhan (2) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut,

yaitu (3). Tulis di-depan-nya 25 menjadi 625.

Perhatikan contoh lagi hasil kuadrat berikut :

552= 3025


bilangan satuan 5 pada 55 yang dikuadratkan. Tulis seperti contoh di

atas.

Bilangan 30 pada hasil 3025 merupaka hasil perkalian antara bilangan

puluhan (5) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut, yaitu (6).

Tulis di-depan-nya 25, menjadi 3025.


22/35


Perhatikan contoh lagi hasil kuadrat berikut :

852 = 7225


bilangan satuan 5 pada 85 yang dikuadratkan. Lihat contoh di atas.

Bilangan 72 pada hasil 7225 merupakan hasil perkalian antara

bilangan puluhan (8) dikalikan dengan kakaknya bilangan tersebut,

yaitu (9). Tulis di-depan-nya .25, menjadi 7225. OK. Mudah kan?

Agar Anda lebih mendalam coba kerjakan latihan berikut ini !

952 = ..

1052 = ..

1152 = ..

1252 = ..

1352 = ..

1452 = ..

2152 = ..

2252 = ..

3252 = ..

4252 = ..

B. MENARIK AKAR KUADRAT

Akar kuadrat adalah invers atau kebalikan dari pengkuadratan. Untuk mencari

akar kuadrat dari suatu bilangan.

1. Mencoba dengan mengalikan angka tertentu.

2. Bilangan yang ditarik akar kuadrat dibayangkan dan dikelompokkan dua

dua dari belakang.

3. Mencari dengan faktorisasi prima


23/35


Contoh soal 1 :

Contoh soal 2 :

= ....

Jawab :

2 x 2+

45 x 5

= 254

225

225

0

625

625

Ada cara yang sangat sederhana dan dijamin hasilnya pasti benar, yaitu

dengan menggunakan ilmu Niteni atau mencermati terhadap hasil

pengkuadratan suatu bilangan.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 4

1 = 1 x 1 = 1

22= 2 x 2 = 4

32= 3 x 3 = 9

42= 4 x 4 = 16

9 = 9 x 9 = 81

82= 8 x 8 = 64

72= 7 x 7 = 49

62= 6 x 6 = 36

Dari tabel di atas ditemukan hasil pengamatan sebagai berikut !

a. Bilangan 1 dan 9 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan

menghasilkan bilangan satuan 1

= ....

Jawab :

3 x 3

+6

6 x 6

1296

1296

= 369

396

396

0


24/35


b. Bilangan 2 dan 8 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan


c. Bilangan 3 dan 7 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan

menghasilkan bilangan satuan 9d. Bilangan 4 dan 6 pada posisi satuan apabila dikuadratkan akan


INGAT ! PENARIKAN AKAR adalah KEBALIKAN dari PENGKUADRATAN !

Kesimpulan :

1. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 1, maka hasil

penarikan akarnya pada bilangan satuan harus bilangan 1 atau 9







5. Apabila yang ditarik akar adalah bilangan yang bersatuan 2 atau 3, maka

hasil penarikan akarnya pasti bilangan campuran (bulat + pecahan)


penarikan akarnya pasti bilangan harus bilangan bersatuan 5


25/35


Dari hasil pengamatan di atas dapat dibuat Rumus Praktis.

Untuk membuat Rumus Praktis, dibutuhkan bantuan tabel 5 dan 6.

Anda disarankan untuk hafal terhadap angka pedoman pada tabel 5 dan 6

berikut ini.

Tabel 5.

10 = 100

202= 400

302= 900

402= 1600

502= 2500

602= 3600

702= 4900

802= 6400

902= 8100

Tabel 6.

5 = 25

152= 225

252= 625

352= 1225

452= 2025

552= 3025

652= 4225

752= 5625

852= 7225

952= 9025

Dengan hafal data pada tabel di atas, dalam menjawab soal penarikan akar kuadrat

dapat dilakukan dengan cepat dan pasti benar.


26/35


Perhatikan Tabel 4

Contoh soal :

1. 961 = n (Bilangan yang satuannya 1 apabila ditarik akar, maka hasilnya

jawaban pada bilangan satuan harus 1 atau 9)Jawab no. 1.

- Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 1 atau 9

- Angka = 961 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 302= 900, maka

jawabnya harus > 30

- Angka = 961 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 352 = 1225,

maka jawabnya harus < 35

- Jadi jawabnya adalah 30 < n < 35

Maka jawabnya dipastikan adalah= 31

2. 784 = n (Bilangan yang satuannya 4 apabila ditarik akar, maka hasilnya

jawaban pada bilangan satuan harus 2 atau 8)

Jawab no. 2.



jawabnya harus > 25

- Angka = 784 pada tabel 6 adalah lebih kecil dari 302= 900, maka

jawabnya harus < 30


Maka jawabnya dipastikan adalah = 28

3. 729 = n (Bilangan satuan yang diakar 9, bilangan satuan pada jawaban harus

3 atau 7)Jawab no. 3.



jawabnya > 25


jawabnya < 30




27/35


4. 1936 = n (Bilangan satuan yang diakar 6, bilangan satuan pada jawaban harus 4

atau 6)

Jawab no. 4.

- Bilangan satuan hasil penarikan akar harus bilangan 4 atau 6- Angka = 1936 pada tabel 5 adalah lebih besar dari 402= 1600, maka

jawabnya > 40


jawabnya < 45



5. 9025 = n (Bilangan satuan yang diakar 5, bilangan satuan pada jawaban hanya

angka 5)

Jawab no. 5.

- Ingat, bilangan satuan hasil penarikan harus bilangan 5

- Angka = 9025 = jawab untuk satuannya adalah 5

- Ingat pengkuadratan bilangan yang bersatuan 5, setelah ditulis 25 dari

belakang, depannya hasil perkalian bilangan adik dan kakak !

- Angka = 90 = hasil perkalian bilangan 9 x 10 (adik x kakak ) Maka

jawabnya dipastikan = 95

Untuk lebih mendalami coba Anda kerjakan latihan berikut :

1. 1521 = ..

2. 2601 = ..

3. 4761 = ..

4. 6561 = ..

5. 1024 = ..

6. 2304 = ..

7. 2704 = ..

8. 1089 = ..

9. 2209 = ..


28/35


10. 3969 = ..

11. 1936 = ..

12. 3136 = ..

13. 5476 = ..

14. 7396 = ..

15. 9025 = ..

C. MENARIK AKAR KUADRAT SUATU BILANGAN YANG

TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN

Untuk bilangan yang satuannya 2 dan 3 dipastikan hasilnya penarikan akan pasti

pecahan, bukan angka bulat seperti contoh-contoh di atas.

Contoh soal :

12 = ......

Jawab :Perhatikan garis bilangan berikut.

12 terletak 9 antara 16 dan.

Maka, terletak antara 3 dan 4

1. 129 = 3

2. 169 = 7

12 = 3

= 3,43


29/35


D. PANGKAT TIGA dan MENARIK AKAR PANGKAT TIGA

1. PANGKAT TIGA

Pada dasarnya pangkat tiga merupakan perkalian berulang pada bilangan yangsama sampai tiga kali.

Perhatikan tabel berikut !

Tabel 7

1 = 1 x 1 x 1 = 1

23= 2 x 2 x 2 = 8

33= 3 x 3 x 3 = 27

43= 4 x 4 x 4 = 64

53= 5 x 5 x 5 = 125

63= 6 x 6 x 6 = 216

73= 7 x 7 x 7 = 343

83= 8 x 8 x 8 = 512

93= 9 x 9 x 9 = 729

Dari pencermatan data di atas bahwa pada hasil pemangkatan atau pangkat 3 dari

suatu bilangan yang yang bersatuan antara 1 sampai 9, dapat dikelompokkan

sebagai berikut :

Kelompok 1 :

Bilangan bersatuan 1 dipangkatkan 3, hasilnya pada bilangan satuan adalah 1





Kelompok 2 :

Bilangan bersatuan 3 dipangkatkan 3, hasil bilangan satuannya adalah 7


Bilangan 3 dan 7 adalah kelompok berkebalikan

Kelompok 3 :



30/35



Bilangan 2 dan 8 adalah kelompok berkebalikan

Contoh soal :

1.113= n---------11 x 11 x 11 = 1331

2.143= n---------14 x 14 x 14 = 2744

3.153= n---------15 x 15 x 15 = 3375

4.163= n---------16 x 16 x 16 = 4096

5.193= n---------19 x 19 x 19 = 6859

6.233= n---------23 x 23 x 23 = 12167

7.27

3

= n---------

27 x 27 x 27 = 196838.223= n---------22 x 22 x 22 = 10648

9.283= n---------28 x 28 x 28 = 21952

2. MENARIK AKAR PANGKAT

Menarik akar pangkat tiga, pada dasarnya sama dengan menarik akar pangkat

dua atau kuadrat.

1. Kalau bilangan yang ditarik akar pangkat tiga masih sederhana gunakanfaktorisasi prima

2. Tetapi kalau yang ditarik akar pangkat tiga bilangannya besar, maka akan

lebih cepat dan benar dalam mengerjakan soal, pakailah tabel pedoman

sebagaimana tercantum pada tabel di bawah ini.

Tabel 8

5 = 125

15

3

= 3.375253= 15.625

353= 42.875

453= 91.125

553= 166.375

653= 274.625

753= 421.875

853= 614.125

953= 857.375


31/35


Tabel 9

10 = 1.000

203= 8.000

303= 27.000

403= 64.000

503= 125.000

603= 216.000

703= 343.000

803= 512.000

903= 729.000

Contoh soal :

1. 3 8 = . . .

2. 3 27 = . . .

Jawab: Kalau angkanya masih sederhana seperti contoh di atas gunakan dengan

cara faktorisasi prima.

Jawab :

1. Faktorisasi prima dari 8 yaitu 2 x 2 x 2

Maka:

38 = 3 2x2x2

= 3 32 = 2

Jadi, 3 8 = 2

2. Faktoriasi prima dari 27 yaitu 3 x 3 x 3

Maka :

327 = 3 3x3x3

= 3 33 = 3

Jadi, 3 27 = 3


32/35


Tetapi kalau angkanya yang ditarik akar pangkat tiga seperti di bawah ini !

Contoh soal :

1.

3

17576 = nJawab 1.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 6, maka jawab pada satuan harus 6

Angka 17576 > 15625(253), berarti jawabnya > 25 (lihat table 8)

Angka 17576 < 27000(303), berarti jawabnya < 30 (lihat table 9)

Jadi jawabannya 25 < n < 30

Ya. n = 26

2. 3 5832 = n

Jawab 2.


Angka 5832 > 3.375(153), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)



Ya. n = 18

3. 3 1728 = n

Jawab 3.



Angka 1728 < 3.375(153), berarti jawabnya < 15 (lihat table 8)

Jadi jawabannya 10 < n < 15Ya. n = 12

4. 3 3375 =

Jawab 4.



Angka 3375 < 8000

(20

3

), berarti jawabnya < 20 (lihat table 9)Ya.. jawabannya = 15


33/35


5. 3 4913 =

Jawab 5.

Angka satuan yang ditarik akar adalah 3, maka jawab pada satuan harus 7Angka 4913 > 3.375(15

3), berarti jawabnya > 15 (lihat table 8)



Ya. n = 17

Nah untuk melatih agar Anda lebih terampil, kerjakan latihan berikut !

1.3

1331 = .

2. 3 2744 = .

3. 3 3375 = .

4. 3 6859 = .

5. 3 12167 = .

6. 3 19683 = .

7.3

32768 = .

8. 3 54872 = .

9. 3 54872 = .

10. 3 54872 = .


34/35


A. Lambang Bilangan Romawi

I = untuk satu

V = untuk lima

X = untuk sepuluh

L = untuk lima puluh

C = untuk seratusD = untuk lima ratus

M = untuk seribu

B. Penulisan Bilangan Romawi

1. Bilangan romaswi dibaca dari kiri ke kanan

2. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya sama atau lebih kecil

dari angka tersebut, maka nilai angka yang mengikuti harus ditambah dengannilai angka yang diikuti

Contoh soal :

13 = XIII artinya = 10 + 1 + 1 + 1

27 = XXVII artinya = 10 + 10 + 5 + 1 + 1

3. Jika suatu angka diikuti dengan angka lain yang nilainya lebih besar dari pada

angka yang diikuti, maka nilai angka yang mengikuti harus dikurangi dengan

nilai angka yang diikuti.

Contoh Soal :

90 = XC, artinya = 10010

900 = CM, artinya = 1000100

49 = XLIX, artinya = ( 5010 ) + ( 101 )


35/35

Catatan Penting :

1. I hanya bisa mengurangi V dan X saja

2. X sebagai pengurang L

3. C sebagai pengurang D

4. V bukan sebagai lambang bilangan pengurang

5. L bukan sebagai lambang bilangan pengurang

6. D bukan sebagai lambang bilangan pengurang

7. L Tidak boleh diulang

8. D Tidak boleh diulang

4. Sistem pengurangan angka pada lambing bilangan Romawi dapat dilakukan

maksimum 3 kali

Contoh soal :

1988 = MCMLXXXVIII, 1000 + ( 1000-100)+ 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

133 = CXXXIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1

134 = CXXXIV, 100 + 10 + 10 + 10 + ( 5 - 1 )

138 = CXXXVIII, 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1

149 = CXLIX, 100 + ( 50 - 10 ) + ( 10 - 1 )

rumus matematika praktis 6 sd .pdf

Documents