rpm (kd 1 logika matematika)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Satuan Pendidikan : SMA

Kelas/ Semester : X/ Genap

Mata Pelajaran : Matematika

Materi Pelajaran : Logika Matematika

Standar Kompetensi : 5. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang

berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Kompetensi Dasar : 5.1 Menggunakan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan implikasi

dalam pemecahan masalah.

Indikator : 5.1.1. Memahami nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,

nilai kebenaran dari disjungsi, konjungsi dan ingkarannya.

5.1.2. Menentukan nilai kebenaran dari ingkaran suatu pernyataan,


5.1.3. Memahami nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan

kontraposisi beserta ingkarannya.

5.1.4. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers,

dan kontraposisi beserta ingkarannya.

5.1.5. Memahami pernyataan majemuk, tautologi, dan pernyataan

majemuk yang ekivalen.

5.1.6. Menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang telah

ditentukan.

5.1.7. Membuktikan sebuah pernyataan majemuk adalah sebuah

tautologi.

5.1.8. Mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif dan sifat

distributif pada disjungsi dan konjungsi.

5.1.9. Memahami hubungan konvers, invers dan kontraposisi dengan

implikasi.

5.1.10. Menentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan

implikasi.

5.1.11. Memahami perngertian kuantor universal dan kuantor

eksistensial, serta ingkaran dari sutu pernyataan berkuantor.

5.1.12. Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan kuantor universal,

kuantor eksistensial dan ingkarannya.

Alokasi Waktu : 10 x 45’menit (5 x pertemuan)

A. Tujuan Pembelajaran : 1. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari ingkaran,

disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi dari suatu

pernyataan.

2. Siswa dapat membedakan tabel kebenaran antara disjungsi,

konjungsi, implikasi dan biimplikasi.

3. Siswa dapat melihat hubungan antara implikasi dengan

konvers, invers dan kontraposisi.

4. Siswa dapat dan menentukan implikasi dengan konvers,

invers dan kontraposisi.

5. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan

majemuk.

6. Siswa dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan

majemuk adalah sebuah tautologi.

7. Siswa dapat memahami dua buah pernyataan majemuk yang

ekivalen.

8. Siswa dapat mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif

dan sifat distributif pada disjungsi dan konjungsi.

9. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran setiap pernyataan

kuantor universal dan kuantor eksistensial.

10. Siswa dapat memahami bagaimana cara menentukan

ingkaran dari sebuah pernyataan berkuantor.

11. Siswa dapat menentukan ingkaran dari sebuah pernyataan

berkuantor.

B. Materi Ajar

1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka

2. Ingkaran, Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

3. Pernyataan Majemuk, Tautologi, dan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

4. Hubungan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dengan Implikasi

5. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

C. Pendekatan/ Metode Pembelajaran

Pendekatan : Reciprocal Teaching

Metode Pembelajaran : Tanya jawab, diskusi, latihan, ceramah dan pemberian tugas

D. Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan Pertama : 2 x 45’

Metode Pembelajaran : Tanya jawab, latihan dan pemberian tugas, diskusi.





Kegiatan Waktu

A. Kegiatan Awal

1. Apersepsi

a. Membaca do’a belajar dilanjutkan dengan membaca al qur’an dan

terjemahannya secara bersama-sama.

b. Guru menyiapkan siswa untuk belajar.

c. Guru membahas PR yang tidak dimengerti oleh siswa.

2. Motivasi

a. Guru mengkomunikasikan tujuan belajar dan pokok-pokok materi yang

akan dipelajari dalam kegiatan belajar.

b. Guru memberikan penjelasan tentang cara belajar siswa.

B. Kegiatan Inti

1. Guru memberikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 1 )

2. Guru memberikan beberapa contoh kalimat dimana kalimat tersebut hanya

benar saja atau salah saja, tidak sekaligus benar dan salah pada saat yang

sama. Dengan mentode Tanya jawab, siswa dapat mendefinisikan

pernyataan.( Lampiran 2 )

3. Guru menjelaskan kepada siswa dari sebuah pernyataan. Dapat dibentuk

pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar, sehingga siswa

dapat menemukan sendiri pengertian dari ingkaran. ( Lampiran 3 )

4. Guru menjelaskan hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah

pernyataan dengan pernyataan semula.

5. Guru menyuruh siswa untuk mendiskusikan dengan teman sebangku tentang

10’

20’

lembar diskusi yang ada pada bahan ajar yang diberikan guru.

6. Salah seorang siswa menjelaskan kepada teman yang lainnya tentang hasil

diskusi yang di dapatnya. Disini guru hanya sebagai fasilitator.

7. Siswa dapat menentukan ingkaran dari pernyataan.

8. Dengan metode tanya jawab, guru membimbing siswa untuk menentukan

ingkaran dari sebuah pernyataan.

9. Siswa mengerjakan soal latihan yang ada pada bahan ajar.( Lampiran 1 )

10. Guru berkeliling memberikan bantuan seperlunya kepada siswa

C. Kegiatan Akhir

1. Guru merangkum semua materi yang telah diajarkannya pada pertemuan

tersebut.

2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya yang sudah ada pada

bahan ajar.

15’

10’

10’

15’

10’

Pertemuan Kedua : 2 x 45’

Metode Pembelajaran : Tanya jawab, diskusi, latihan, ceramah dan pemberian tugas.





Kegiatan Waktu

A. Kegiatan Awal

1. Apersepsi

a. Membaca da’a sebelum belajar dan dilanjutkan dengan membaca al

qur’an beserta terjemahannya secara bersama-sama.



2. Motivasi

10’




B. Kegiatan Inti

1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa.( Lampiran 5 )

2. Guru memberikan persepsi kepada siswa tentang disjungsi, konjungsi.

3. Dengan metode diskusi siswa dapat menemukan pengertian dan nilai

kebenaran dari disjungsi dan konjungsi.

4. Guru memberikan contoh pernyataan kepada siswa, sehingga siswa dapat

merangkai pernyataan itu dan dapat menentukan nilai kebenarannya.

( Lampiran 4 )

5. Dengan metode tanya jawab, siswa dapat menentukan hubungan antara

disjungsi, konjungsi dua pernyataan dengan dua himpunan

6. Guru memberikan latihan kepada siswa yang sudah ada pada bahan ajar.

7. Siswa mengerjakan soal latihan yang diberikan guru.

8. Guru berkeliling memberikan bantuan seperlunya kepada siswa.

C. Kegiatan Akhir


tersebut.

2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.( Lampiran 5 )

10’

15’

10’

10’

15’

10’

10’

Pertemuan Ketiga : 2 x 45’

Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah, dan pemberian tugas.

Indikator : 5.1.3 Memahami nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan

kontraposisi beserta ingkarannya.

5.1.4. Menentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers,

dan kontraposisi beserta ingkarannya.

Kegiatan Waktu

A. Kegiatan Awal 10’

1. Apersepsi





2. Motivasi




B. Kegiatan Inti


2. Guru memberikan pernyataan, sehingga siswa dapat merangkai pernyataan

tersebut. Dari pernyataan tersebut siswa dapat mengambil kesimpulan

tentang pernyataan implikasi dan biimplikasi.

3. Dengan metode tanya jawab, guru mendefinisikan nilai kebenaran dari suatu

pernyataan implikasi dan biimplikasi.

4. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan implikasi dan

biimplikasi.

5. Guru membimbing siswa memahami hubungan antara implikasi dan

biimplikasi dengan himpunan bagian.

6. Guru memberikan pernyataan dan guru membimbing siswa dalam

menentukan dan membedakan antara konvers, invers, dan kontraposisi.

7. Siswa dapat menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan

implikasi.

8. Guru memberikan latihan kepada siswa.

9. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru

10. Guru berkeliling membimbing siswa dalam mengerjakan latihan

C. Kegiatan Akhir


tersebut.

10’

20’

10’

15’

15’

10’

2. Siswa diberikan tugas untuk pertemuan berikutnya.

Pertemuan Ke-empat : 2 x 45’

Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah dan pemberian tugas.

Indikator : 5.1.5 Memahami pernyataan majemuk, tautologi, dan pernyataan

majemuk yang ekivalen.

5.1.6. Menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang telah

ditentukan.

5.1.7. Membuktikan sebuah pernyataan majemuk adalah sebuah

tautologi.

5.1.8. Mendefinisikan sifat komutatif, sifat assosiatif dan sifat

distributif pada disjungsi dan konjungsi.

5.1.9. Memahami hubungan konvers, invers dan kontraposisi dengan

implikasi.

5.1.10. Menentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan

implikasi.

Kegiatan Waktu

A. Kegiatan Awal

1. Apersepsi


10’




2. Motivasi




B. Kegiatan Inti


2. Dengan metode tanya jawab guru menjelaskan apa yang dimaksud dengan

kalimat majemuk, tautologi, dan dua buah pernyataan majemuk yang

ekivalen.

3. Dari penjelasan guru, siswa dapat membedakan antara pernyataan majemuk,

dengan tautologi, dan dengan dua buah pernyataan majemuk yang ekivalen.

4. Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk,

membuktikan bahwa pernyataan tersebut tautologi dan menarik kesimpulan

dari dua buah pernyataan majemuk yang ekivalen.

5. Guru menjelaskan sifat-sifat yang memenuhi dalam logika matematika.

6. Siswa dapat membuktikan sifat-sifat yang memenuhi dalam logika

matematika yang dijelaskan oleh guru.


8. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru.

9. Guru berkeliling mengahmpiri siswa dan membimbing siswa dalam

mengerjakan latihan.

C. Kegiatan Akhir


tersebut.


15’

15’

10’

10’

20’

10’

Kegiatan Kelima : 2 x 45’

Metode Pembelajaran : tanya jawab, latihan, ceramah dan pemberian tugas, diskusi.

Indikator : 5.1.11. Memahami perngertian kuantor universal dan kuantor

eksistensial, serta ingkaran dari sutu pernyataan berkuantor.

5.1.12. Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan kuantor universal,

kuantor eksistensial dan ingkarannya.

Kegiatan Waktu

A. Kegiatan Awal

1. Apersepsi





2. Motivasi




B. Kegiatan Inti

1. Guru membagikan bahan ajar kepada siswa. ( Lampiran 8 )

2. Guru memberikan beberapa pernyataan, sehingga siswa dapat menemukan

sendiri apa yang dimaksud dengan kuantor universal dan kuantor

eksistensial.

3. Guru meluruskan pendapat siswa tentang pengertian kuantor universal dan

kuantor eksistensial.

4. Guru memberikan beberapa soal kepada siswa, sehingga siswa dapat

menentukan pernyataan berkuantor dan menentukan nilai kebenarannya.

5. Guru membimbing siswa dalam menyelesaikan soal.

6. Guru memberikan beberapa contoh pernyataan berkuantor, sehingga siswa

dapat menentukan ingkarannya, karena pada pertemuan pertama guru sudah

membahas tentang negasi atau ingkaran.


8. Siswa mengerjakan latihan yang diberikan guru.

9. Guru berkeliling mengahmpiri siswa dan membimbing siswa dalam

mengerjakan latihan.

C. Kegiatan Akhir

10’

15’

10’

15’

15’

15’


tersebut.


10’

E. Alat Dan Sumber Belajar

1. Buku Matematika Kelas X Semester 2

2. Bahan Ajar

F. Penilaian

1. Partisipasi dalam diskusi dan menjawab pertanyaan guru.

2. Proses mengerjakan soal-soal latihan.

LAMPIRAN 1

BAHAN AJAR 1





Pertemuan : 1

Pernyataan dan Bukan Pernyataan

a. Pernyataan ( kalimat deklaratif )

Kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja,

tidak sekaligus dua-duanya. Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa

pernyataan adalah kalimat yang mempunyai benar saja atau salah saja tetapi tidak

benar benar dan salah sekaligus, atau dengan kata lain sebuah pernyataan adalah

kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya ( bernilai benar atau salah

berdasarkan empirik atau nonempireik ). Untuk mempermudah penggunaan

selanjutnya, pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil, misalnya p, q, r,

dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki nilai kebenaran B ( benar ) atau 1

dan pernyataan salah memiliki kebenaran S ( salah ) atau 0.

Contoh :

a. p : Bilangan cacah adalah bilangan asli ditambah nol

b. q : Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Kusbini

c. r : Jika 2x = 6 maka x = 3

1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung peubah ( variabel ) dan apabila

peubah diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu

pernyataan.

Contoh :

a. x + 2 = 5

b. x2 – 5x – 40 > 0

c. Ini adalah sebuah logam

2. Bukan Pernyataan ( Kalimat Nondeklaratif )

Kalimat bukan pernyataan merupakan kalimat yang mempunyai arti tetap dan tidak

mempunyai nilai benar atau salah.

Contoh :

a. Semoga Tuhan mengampuni dosaku.

b. Beristirahatlah jika anda lelah.

Ingkaran/ Negasi

Ingkaran atau negasi adalah suatu pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan

dengan nilai kebenaran dari semula. Negasi dari pernyataan p ditulis bernilai salah,

dan jika p bernilai salah, maka bernilai benar.

Tabel kebenaran negasi:

Nilai Kebenaran

Jika p suatu pernyataan bernilai benar, maka bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai

salah maka bernilai benar.

Contoh :

1. p : Jakarta ibu kota Indonesia

: Tidak benar Jakarta ibu kota Indonesia

: Jakarta bukan ibu kota Indonesia

2. q : 6 < 3

: Tidak benar 6 < 3

:

r :

: Tidak benar

:

4. s :

p

B S

S B

: Tidak benar

: 2 – 3 x 4 > 10

Latihan

1. Diberikan kalimat-kalimat sebagai berikut

a. Jakarta ibu kota Republik Indonesia.

b. Saya pelajar SMA.

c. 2 bukan bilangan prima.

d. Gradien garis y = 3x + 6 adalah 3.

e. 117 habis dibagi 9.

Dari kalimat diatas, tentukan kalimat yang benar dan kalimat yang salah.

Diskusi

Lakukan diskusi dengan teman sebangkumu.

Diberikan pernyataan p = Saya siswa kelas XI SMA. Jika kalian bukan siswa kelas XI

SMA, maka bagaimana mengatakannya untuk menyangkal pernyataan p tersebut ?

Pekerjaan Rumah

Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1. Buatlah ingkaran dari kalimat berikut!

a. Semarang adalah ibu kota Jawa Tengah.

b. Panjang diameter sebuah lingkaran adalah dua kali jari-jarinya.

c. 2 + 3 < 1.

d. 4 bukan merupakan bilangan prima.

e. Jajar genjang tidak memiliki simetri setengah putar.

f. Tidak benar bahwa 23=9

g. Semua ikan bernafas dengan insang.

h. Ada bilangan cacah yang bukan bilangan asli.

LAMPIRAN 2

Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut ini.

i. “4 adalah bilangan genap”, kalimat ini benar.

ii. “Hasil kali 2 dan 3 sama dengan 6”, kalimat ini benar.

iii. “10 adalah bilangan ganjil”, kalimat ini salah.

iv. “7 kurang dari 6”, kalimat ini salah.

Kalimat-kalimat diatas hanya benar saja dan salah saja, tidak sekaligus benar dan salah pada

saat yang sama. kalimat-kalimat yang bercirikan seperti itu disebut sebagai pernyataan.

LAMPIRAN 3

Dari sebuah pernyataan, dapat dibentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak

benar…di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata

tidak atau bukan dalam pernyataan semula. Pernyataan baru yang diperoleh dengan cara

seperti itu disebut ingkaran atau negasi.

LAMPIRAN 4

Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

p : Surabaya adalah ibukota Jawa Timur

q : Surabaya adalah kota pahlawan

Dua pernyataan itu dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau menjadi:

“Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau Surabaya adalah kota pahlawan”. Dua pernyataan

tersebut bernilai benar.

LAMPIRAN 5

BAHAN AJAR 2





Pertemuan : 2

Disjungsi

Disjungsi adalah dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung logika “ atau

“ untuk membentuk pernyataan majemuk yang disebut disjungsi dari pernyataan semula.

Disjungsi dari dua pernyataan p dan q ditulis “ “ ( baca p atau q ). Nilai kebenaran

dari memenuhi sifat-sifat, jika p salah dan q salah maka bernilai salah, selain

itu selalu bernilai benar. Atau bernilai salah jika mempunyai unsure-unsur

salah atau salah.

Tabel kebenaran disjungsi :

Contoh :

1. p : 5 merupakan bilangan ganjil. ( Benar )

q : Kalimantan adalah pulau terbesar di Indonesia. ( Benar )

p q

B B B

B S B

S B B

S S S

: 5 merupakan bilangan ganjil atau Kalimantan adalah pulau terbesar di

Indonesia. ( Benar )

2. p : 3 adalah bilangan prima. ( Benar )

q : 3 adalah bilangan genap. ( Salah )

: 3 adalah bilangan prima atau bilangan genap. ( Benar )

Hubungan Antara Disjungsi Dua Pernyataan dengan Gabungan Dua Himpunan.

Jika p dan q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka

p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka adalah himpunan penyelesaian dari

kalimat terbuka pada himpunan semesta S yang sama.

Dalam bentuk lambing himpunan dapat ditulis sebagai berikut.

Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diangram Venn seperti ditunjukkan pada

gambar dibawah ini.

S

Contoh :

Diketahui p(x) : 2x2 - 7x + 3 = 0 dan q(x) : x2 – 2x – 3 = 0, dengan x peubah pada himpunan

bilangan real R. Jika p dan q adalah pernyataan yang terbentuk dari p(x) dan q(x) dengan

mengganti nilai , carilah nilai x sehingga ( ) bernilai benar.

Jawab :

Himpunan penyelesaian p(x) : 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah

Himpunan penyelesaian q(x) : x2 – 2x – 3 = 0 adalah

=

( ) bernilai benar, jika , berarti x = -1, x = , x = 3

Konjungsi

Konjungsi adalah dua buah pernyataan yang dihuungkan dengan kata hubung logika “

dan “ untuk membentuk pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan.

Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “ “ ( dibaca p dan q ). Nilai kebenaran dari

memenuhi sifat-sifat jika p benar dan q benar maka benar, selain itu

selalu salah, atau bernilai benar jika mempunyai unsure benar dan benar.

Tabel kebenaran konjungsi :

Contoh :

p q

B B B

B S S

S B S

S S S

1. p : Jakarta adalah ibu kota Indonesia. ( Benar )

q : Jakarta terletak di pulau Jawa. ( Benar )

: Jakarta adalah ibu kota Indonesia dan terletak di pulau Jawa. ( Benar )

2. p : 2 adalah bilangan prima. ( Benar )

q : 2 adalah bilangan ganjil. ( Salah )

: 2 adalah bilangan prima dan bilangan ganjil. ( Salah )

Hubungan Antara Konjungsi Dua Pernyataan dengan Irisan Dua Himpunan.

Jika P dan Q masing-masing merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan

q(x) pada himpunan semesta S, maka P ∩ Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat

terbuka pada himpunan semesta S yang sama.

Dalam bentuk lambing himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.

benar jika

Contoh :

Diketahui p(x) : x2 – 5x + 4 = 0 dan q(x) : dengan x peubah pada himpunan

bilangan asli A. Pernyataan p dan q dibentuk dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai

.

Carilah nilai x sehingga ) bernilai benar.

Jawab :

Himpunan penyelesaian p(x) : x2 – 5x + 4 = 0 adalah

Himpunan penyelesaian q(x) : adalah

Irisan P dan Q adalah

) benar, jika , berarti untuk nilai x = 4

Latihan :

1. Diketahui p : Saya lulus ujian dan q : Saya sangat bahagia. Buatlah pernyataan baru

dengan ketentuan berikut ini!

a.

b.

2. p, q, dan r masing-masing merupakan sebuah pernyataan. Buatlah table kebenaran

yang menyatakan pernyataan majemuk berikut ini !

a.

b.

c.

d.

Pekerjaan Rumah

1. Tentukan harga x, agar disjungsi dari dua pernyataan berikut bernilai benar !

a. p(x) : 2x + 1 = 3 ; q : 4 > 2

b. p(x) : x adalah bilangan asli kurang dari 3 ; q: India adalah anggota ASEAN

2. Lengkapilah tabel berikut !

p q

B B

B S

S B

S S

LAMPIRAN 6

BAHAN AJAR 3





Pertemuan : 3

Implikasi

Dua pernyataan p dan q dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk

menjadi bentuk “ jika p maka q “. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini

disebut pernyataan implikasi atau pernyataan bersyarat/ kondisional dari pernyataan p dan

q. Bagian “ jika p “ dinamakan alasan atau sebab ( antesenden/ hipotesis ) dan bagian “

maka q “ dinamakan kesimpulan atau akibat ( konklusi atau konsekuen ). Implikasi “ jika

p maka q “ dalam bentuk symbol ditulis :

p → q ( dibaca “ jika p maka q “)

Implikasi p → q dapat pula dibaca sebagai berikut :

q hanya jika p

p syarat cukup bagi q

q syarat perlu p

Tabel Kebenaran Implikasi :

Nilai kebenaran :

Implikasi p ↔ q bernilai salah jika p benar dan q salah, dalam kemungkinan lain p ↔ q

bernilai benar.

Contoh :

1. p : 2 adalah faktor dari 6. ( Benar )

q : 6 adalah bilangan genap. ( Benar )

p → q : Jika 2 adalah faktor dari 6 maka 6 adalah bilangan genap. ( Benar )

2. p : Sekarang hari mendung. ( Benar )

p q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

q : Sekarang akan turun hujan. ( Benar )

p → q : Jika sekarang hari mendung maka sekarang akan turun hujan. ( Benar )

Hubungan Antara Implikasi dengan Himpunan Bagian

Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x)

dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p → q benar jika

Atau dalam bentuk lambing himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.

Implikasi p → q benar, jika

Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diagram Venn seperti ditunjukkan pada

gambar dibawah ini.

Contoh :

Apabila Badu benar seorang haji, tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.

a) Jika Badu seorang haji, maka beragama Islam.

b) Jika Badu beragama Islam, maka Badu seorang haji.

Jawab :

Misalkan P adalah himpunan haji dan Q adalah himpunan orang beragama Islam.

Hubungan antara himpunan P dan himpunan Q diperlihatkan dengan diagram Venn pada

gambar dibawah ini.

P Q

PQ

Diagram Venn diatas memperliharkan bahwa sedangkan .

Dengan demikian :

a) “ Jika Badu seorang haji, maka Badu beragama Islam “ merupakan implikasi yang

benar, sebab .

b) “ Jika Badu beragama Islam, maka Badu seorang haji “ merupakan implikasi yang

salah, sebab .

Biimplikasi

Dua bentuk pernyataan p dan q dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat

majemuk menjadi bentuk “ p jika dan hanya jika q “. Pernyataan baru yang disusun

dengan cara seperti ini disebut pernyataan biimplikasi atau ekuivalensi dari pernyataan p

dan q. Biimplikasi dari pernyataan p dan q dalam bentuk symbol ditulis :

p ↔ q ( dibaca “ p jika dan hanya jika q “ )

Biimplikasi p ↔ q dapat pula dibaca sebagai berikut :

Jika p maka q dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup bagi q

q syarat perlu dan cukup bagi p

Nilai kebenaran dari pernyataan p ↔ q adalah jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang

sama maka p ↔ q bernilai benar, selain itu p ↔ q bernilai salah atau p ↔ q bernilai benar

jika nilai kebenarannya mengandung unsur keduanya sama.

Tabel kebenaran biimplikasi :

Contoh :

p : 5 > 1

q : 32 = 9

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

p ↔ q :

Sehingga biimplikasi bernilai benar karena mempunyai nilai kebenaran sama.

Konvers, Invers, dan Kontraposisi.

Dari suatu pernyataan implikasi p → q dapat dibuat pernyataan baru, yaitu :

1. q → p disebut konvers dari implikasi

2. disebut invers dari implikasi

3. disebut kontraposisi dari implikasi

Contoh :

Misalkan p : Segitiga ABC sama sisi dan q : Ketiga sudutnya sama besar. Implikasi dari

pernyataan p dan q adalah p → q “ Jika segitiga ABC sama sisi maka ketiga sudutnya

sama besar “.

1. Konversnya q → p : “ Jika ketiga sudutnya sama besar maka segitiga ABC sama sisi

“.

2. Inversnya : “ Jika segitiga ABC bukan sama sisi maka ketiga sudutnya

tidak sama besar “.

3. Kontraposisi : “ Jika ketiga sudunnya tidak sama besar maka segitiga ABC

bukan sama sisi “.

Latihan

Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan benar !

1. Tentukan nilai kebenarannya dari :

a. Jika hasil dua bilangan negarif adalah positif maka -1 < 0.

b. Jika 273 bilangan ganjil maka 2 adalah bilangan genap.

c. Jika E adalah nomor kendaraan untuk wilayah Ciebon maka 1 + 4 = 7.

2. Tentukan harga x agar biimplikasi berikut bernilai benar !

a. 2 – x < 1 – 2x jika dan hanya jika Surabaya ibu kota provinsi Jawa Timur.

b. 3 < 2 jika dan hanya jika x bilangan asli kurang dari 3.

Pekerjaan Rumah

Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan benar !

1. Lengkapilah tabel berikut!

p q

B B

B S

S B

S S

2. Lengkapilah tabel berikut !

p q p ↔ q

B B

B S

S B

S S

3. Lengkapilah pernyataan berikut agar menjadi suatu implikasi yang bernilai benar !

a. Jika P (1,) dicerminkan terhadap sumbu y maka bayangannya adalah ….

b. Jika x2 + bx + c = 0 mempunyai dua akar sama maka diskriminannya adalah ….

c. Jika a > b dan b > c maka a ….

d. Jika n bilangan ganjil maka 2n adalah bilangan ….

4. Tentukan nilai kebenaran dari

LAMPIRAN 7

BAHAN AJAR 4





Pertemuan : 4

Pernyataan Majemuk dan Nilai Kebenarannya.

Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan

tunggal ( komponen ) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Nilai

kebenaran dari kalimat majemuk dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran.

Contoh :

Menentukan kebenaran dari pernyataan majemuk . Ada dua cara menentukan

nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk yaitu :

Cara 1

Tabel kebenaran pernyataan ditentukan melalui langkah-langkah berikut :

a) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan pernyataan q.

pernyataan p dan q beserta nilai kebenarannya dituliskan pada kolom (1) dan (2).

b) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai kebenarannya dituliskan

pada kolom (3).

c) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai

kebenarannya dituliskan pada kolom (4).

d) Tentukan nilai kebenaran . Pernyataan beserta nilai

kebenarannya dituliskan pada kolom (5).

(1) (2) (3) (4) (5) kolom ke

p q

B B S B S

B S B B S

S B S S B

S S B B S

(1) (2) (3) (4) langkah ke

Nilai kebenaran pernyataan dapat dibaca dari atas ke bawah pada

kolom (5) yaitu S, S, B, S.

Cara 2.

Langkah-langkah yang digunakan sama seperti pada cara 1, hanya saja operasi-operasi

dan pernyataan-pernyataan ditulis secara berurutan pada baris judul. Jadi, baris judul pada

tabel kebenaran ditulis

a) Tentukan semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan p dan q nilai

kebenaran pernyataan p dan q ditulis pada kolom (2) dan (5).

b) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada kolom (4). Perhatikan

baris judul pada kolom (4) hanya ditulis saja.

c) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada kolom

(3). Perhatikan baris judul pada kolom (3) hanya ditulis saja.

d) Tentukan nilai kebenaran . Nilai kebenaran ditulis pada

kolom (1). Perhatikan baris judul pada kolom (1) hanya ditulis .

(1) (2) (3) (4) (5) kolom ke

( p q )

S B B S B

S B B B S

B S S S B

S S B B S

(4) (1) (3) (2) (1) langkah ke

Nilai kebenaran pernyataan dapat dibaca dari atas ke bawah pada

kolom (1), yaitu S, S, B, S.

Tautologi

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.

Contoh :

Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) adalah sebuah

tautologi.

Jawab :

Perhatikan tabel kebenaran [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) dibawah ini.

p q r p→q q→ r p→r ( p → q) ∧ ( q→ r)[( p → q) ∧ ( q→

r)]→(p→r)

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

Dari tabel di atas jalas bahwa :

[( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r)= BBBBBBBB

Jadi, pernyataan majemuk [( p → q) ∧ ( q→ r)]→(p→r) adalah sebuah tautologi.

Dua Buah Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Tautologi yang berbentuk a ↔ b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan

lambing a ≡ b ( dibaca: a ekuivalen b ). Dua buah pernyataan majemuk dikatakan

ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama

untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataa-pernyataan komponennya.

Contoh :

Tunjukkan bahwa :

a)

b)

c)

d)

Jawab :

a) Tabel kebenaran

p q

B B S S B S S

B S S B B S S

S B B S B S S

S S B B S B B

Jadi,

b) Tabel kebenaran

p q

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S S B B

S S B B S B B

Jadi,

c) Tabel kebenaran

p q

B B S B S S

B S B S B B

S B S B S S

S S B B S S

Jadi, .

d) Tabel kebenaran

p q )

B B S S B S S S S

B S S B S B S B B

S B B S S S B B B

S S B B B S S S S

Jadi, .

Berdasarkan contoh diatas, ingkaran, dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi

dapat ditentukan melalui hubungan berikut.

a)

b)

c)

d)

Sifat Komutatif, Assosiatif, dan Distributif pada Disjungsi dan Konjungsi

1. Sifat Komutatif

a)

b)

2. Sifat Assosiatif

a)

b)

3. Sifat Distributif

a) Distributif disjungsi terhadap konjungsi.

b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi.

Latihan

1. i. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dibawah ini.

(p ∇ q) → (q ∧ r)

B B B

B B S

B S B

B S S

S B B

S B S

S S B

S S S

ii. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal i), tentukan nilai kebenaran

pernyataan majemuk .

2. i. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dibawah ini.

p q r( q ∧ r ) [ p ∇ ( q ∧

r )]

p → [ p ∇ ( q ∧ r )]

B B B

B B S

B S B

B S S

S B B

S B S

S S B

S S S

ii. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal i), apakah pertanyaan majemuk

p → [ p ∇ ( q ∧ r )] sebuah tautologi?

3. Tunjukkan bahwa:

a) p ∇ p ≡ pb) p ∧ p ≡ pc)

Pekerjaan Rumah

1. Diketahui p adalah pernyataan yang bernilai benar, q adalah pernyataan yang bernilai

salah, dan r adalah pernyataan yang bernilai benar. Berdasarkan ketentuan tersebut,

tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan majemuk berikut.

a.

b.

c. → r

d. ( p ∧ r ) → q

e.

2. Tunjukkan bahwa tiap pernyataan majemuk berikut ini adalah sebuah tautologi.

Petunjuk: Gunakan tabel kebenaran.

a. ( p ∧ q ) → q

b.

c.

d.

e.

3. Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkan berlakunya sifat assosiatif dan

distributif berikut.

a. ( p ∇ q ) ∇ r ≡ p ∇ (q ∇ r )b. ( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∇ (q ∧ r )c. p ∇ (q ∧ r) ≡ ( p ∇ q ) ∧ (p ∇ r )d. p ∧ (q ∇ r) ≡ ( p ∧ q ) ∇ (p ∧ r )

LAMPIRAN 8

BAHAN AJAR 5





Pertemuan : 5

Kuantor Universal

Coba perhatikan kembali pernyataan berkuantor universal “ Semua siswa kelas XA

senang olahraga “.

Jika: P = Himpunan semua siswa kelas XA.

Q = Himpunan semua siswa kelas X yang senang olahraga.

S = Himpunan semua siswa kelas X.

Maka P ⊂ Q dan pernyataan berkuantor universal. “ Semua siswa kelas XA senang

olahraga “ dapat digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut.

S Secara umum, P ⊂ Q berarti semua anggota P

merupakan anggota Q, atau jika maka

, yang ditulis dengan lambing :

) → (

QP

Pernyataan berkuantor universal dapat dinyatakan dengan “ Semua P adalah Q “ atau “

Setiap P adalah Q “, yang ekuivalen dengan “ Jika maka “.

Contoh :

Diketahui kalimat terbuka q(x) : x2 + 3 > 0.

Tentukan pernyataan berkuantor universal dari q(x) dan carilah nilai kebenarannya, jika

himpunan semestanya adalah semua bilangan real R.

Jawab :

Pernyataan berkuantor universalnya .

Pernyataan berkuantor universal ini bernilai benar, sebab

untuk semua

Sehingga x2 + 3 > 0 untuk semua .

Kuantor Eksistensial

Coba perhatikan kembali pernyataan berkuantor eksistensial “ Beberapa siswa kelas

XB senang olahraga “.

Jika : P = Himpunan semua siswa kelas XB.

Q = Himpunan semua siswa kelas X yang senang olahraga.

S = Himpunan semua siswa kelas X.

Maka pernyataan “ Beberapa siswa kelas XB senang olahraga “.

Jadi, ada x anggota P ( sekurang-kurangnya satu anggota ) yang menjadi anggota Q. Atau

dapat dikatakan “ Beberapa anggota P merupakan anggota Q” yang ditulis dengan

lambing .

Jadi: Pernyataan berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dengan “beberapa P adalah Q”

atau “Ada P yang Q”, yang ekuivalen dengan “ Sekurang-kurangnya ada satu anggota P

yang menjadi anggota Q”.

Contoh :

Diketahui kalimat terbuka p(x) : 2x – 1 = 3.

Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial dari p(x) serta nilai kebenarannya, jika

himpunan semestanya adalah himpunan bilangan real R.

Jawab :

Pernyataan berkuantor eksistensial dari p(x) adalah :

, 2x – 1 = 3

Pernyataan itu bernilai benar. Sebab ada sebuah nilai , yaitu untuk x = 2, yang

mengubah kalimat terbuka p(x) : 2x – 1 = 3 menjadi pernyataan yang benar.

Perhatikan, untuk x = 2 diperoleh :

2 ∙ 2 – 1 = 3, merupakan pernyataan yang benar.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Diskusi :

Ade : Semua siswa kelas XA senang olahraga.

Budi : Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.

Diskusikan dengan teman sebangkumu untuk membuat ingkaran dari pernyataan Ade dan

Budi, kemudian bacakan hasil diskusimu di depan kelas.

Untuk lebih memahaminya, coba lengkapi isian berikut.

Salin dan Lengkapilah

a. Ingkaran pernyataan berkuantor universal

1. p : Semua siswa SMA gemar matematika.

: Tidak semua ….

: Beberapa siswa SMA tidak ….

: Ada … yang …

2. p : Semua P adalah Q.

: …. semua P adalah Q.

: Beberapa P adalah … Q.

: Ada P yang … Q.

3. Pernyataan :

Ingkarannya : , ….

4. p : , p(x)

: , p(x))

: , p(x)

b. Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial

1. p : Beberapa bilangan asli hais dibagi 2.

: Semua bilangan asli tidak ….

2. p : Beberapa P adalah Q.

: Semua P adalah tidak ….

3. Pernyataan : , log x = 2

Ingkarannya : , …

4. p : , p(x)

: , p(x))

: , p(x)

Jadi, ingkaran dari pernyataan berkuantor :

, p(x)) ≡ …..

, p(x)) ≡ …..

Latihan

1. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berkuantor universal berikut ini, jika

himpunan semestanya adalah A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

a)

b)

c)

d)

e)

2. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berkuantor eksistensial berikut ini jika

himpunan semestanya adalah A = {1, 2, 3, 4 }

a)

b)

c)

d)

e)

3. Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan berkuantor universal dan eksistensial

berikut ini.

a) Semua tamu boleh menyalami pengantin.

b) Setiap bilangan real adalah rasional atau irasional.

c) Setiap persegi mempunyai panjang sisi yang sama.

d) Beberapa orang kaya tidak hidup bahagia.

e) Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X.

f) Ada bilangan real x sehingga x2 + 1 = 0

g) Terdapat bilangan real x sehingga x2 – 1 = 0

rpm (kd 1 logika matematika)

Documents