web viewthe key word here is . ... bekerja melalui sejumlah besar bahan iterasi. ... sebelum...

KATA PENGANTAR

uji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SW. karena atas izin dan karunia-NYAlah tugas

“PORTOFOLIO” atau catatan pembelajaran selama satu semester ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Penulisan tugas ini bertujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Dasar Matematika sebagai syarat mengikuti Ujian Tengah Semester Ganjil.

P

Dalam menyelesaikan tugas ini, penulis mengalami berbagai kesulitan, disebabkan oleh factor ketelitian dan ilmu pengetahuan yang diketahui. Akan tetapi, dengan bimbingan beberapa pihak penulis dapat menyelesaikan tugas ini.

Portofolio ini berisi catatan materi - materi pembelajaran dan tugas–tugas latihan yang diberikan oleh Dosen

Tugas Portofolio 1

Pengantar Dasar Matermatika selama satu semester.

Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada dosen yang telah memimbing kami. Apabila ada kesalahan dalam tugas “PORTOFOLIO” ini, penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya.

Semoga Portofolio ini bermanfaat untuk kita semua, khususnya untuk teman-teman di prodi MATEMATIKA.

Tangerang, 10 Januari 2012

Mega Puspita Dewi

NIM : 1101125122

Pertemuan 1

Tugas Portofolio 2

Tanggal: 22 September 2011

Pada pertemuan pertama yang lain, saya belum mulai

masuk kuliah, karena saya mengikuti tes gelombang

ke 3, dimana yang mengikuti tes gelombang ke 3 dan

baru mulai masuk kuliah pada tanggal 28 September

2011, namun pada saat saya pertama masuk kuliah

saya di beri tau oleh teman – teman kelas 1 – B saya

bahwa pada pertemuan pertama ada tugas untuk

minggu depan yaitu tanggal 28 September 2011 yaitu

tugas mentranslate dari bahasa inggris ke bahasa

Indonesia dan Tugas akhir atau tugas untuk

persyaratan UAS yaitu :

1. Tugas individu 1 : Membuat artikel proses

berfkir matematik minimal 3 halaman dan

maksimal 10 halaman yang kemudian akan

dikumpulkan menjadi satu file dalam sekelas.

Dengan syarat :

Diketik Ukuran kertas : A4 Juldul size nya : 14 Tulisan size nya : 12

Tugas Portofolio 3

Huruf : Times new roman

Magin : Atas 4cm, Bawah 3 cm, kanan 3 cm, dan kiri 4 cm

Tugas individu 2 : Membuuat Portopolio atau dokumentasi perkuliahan kita sendiri

Dengan syarat :

Diketik Atas nama sendiri Ukuran kertas A4

2. Tugas kelompok Dengan syarat :

Memiliki buku referensi matematika satu kelompok cukup satu.

Baca buku referensi tersebut. Kerjakan soal bab 1 dan bab 2 yang

nomernya ganjil Jawaban diketik Kumpulkan buku dan jawabanya.

Tugas Translate

Tugas Portofolio 4

PREFACE

One of the most difficult steps a student of

mathematics must make is the one into that (blissful)

state known as “mathematical maturity”. This is a

step which is accomplished by making the transition

from solving problems in a fairly concrete setting in

which there is a well-known method or an algorithm

for each problem type (as in most calculus course, for

example) to writing proofs and producing

counterexamples involving more abstract objects and

concepts, an activity for which is expected just to

“happen”, perhapsduring the summer between the

sophomore and junior years; however it is not clear

what summertime activities one could recommend to

ensure such a result. My recant teaching experience

suggests that this transition is not an easy one for

most students and generally cannot be successfully

made without some concerted effort and guidance.

Two things which seem to inhibit a smooth transition

are a lack of knowledge of some fundamental

mathematical ideas-logic, sets, functions-and a lack of

Tugas Portofolio 5

experience in two important mathematical activities-

finding examples of objects with specified properties

and writing proofs. This book is an attempt to provide

an opportunity to gain exposure to these activities

while learning some of the necessary fundamental

ideas.

I have tried to keep the book as short as

possible to achieve these goals; thus some interesting

topics are left out and others are treated only in the

exercises. I have also tried to take a developmental

point of view so that the book starts out in a fairly

simple, informal manner and gradually becomes more

formal and abstract. This means that while it is

possible to cover the first chapter rather rapidly, one

should not expect to maintain this speed throughout

the book; indeed, I have found that some sections in

Chapter 2 can easily take more than a week to cover

with any degree of thoroughness.

The transitional process begins with an

informal introduction to logic, including a careful

Tugas Portofolio 6

consideration of quantifiers and discussion of basic

proof forms. The objective here is to obtain a firm

foundation on which to build the proof-writing skills

which will be developed later on. The first

mathematical objects encountered in any detail are

sets. This provides a familiar setting in which students

can write simple proofs, test conjectures and produce

counterexamples. The next topic, relation, is probably

not as familiar as the topic of sets, and here the

students get their first taste of trying to understand

the definition of a new concept (e.g., equivalence

relation, strict partial order) well enough to provide

examples and proofs. Functions are presented as

special relation and functional composition is

emphasized. Chapter 2 concludes with binary

operations and equivalence relations induced by

functions, a foreshadowing of the fundamental

theorem of group homomorphisms. Several forms of

mathematical induction are presented in chapter 3,

and since the students should have acquired a

working knowledge of implications, propositional

funtions and sets by this time, there is some chance

Tugas Portofolio 7

that their understanding of induction will be more

than an algorithmic one. These first three

chapters form what I think should be the core of the

course; in fact, with some difficulty I have been

restrained from calling it “What Every Mathematics

Student Should Know”. As time permits (and it

sometimes actually does), any of the last three

chapters may be studied independently of one

another in accordance with the interests and needs of

the class. Each is reasonably self-contained and

chapters 5 (Groups) and 6 (Cardinality) do not require

any previous knowledge and have tha advantage of

presenting material which is the new to the students.

Chapter 4 (Continuity Carefully Considered) probably

should not be attempted by students who have not

had a year of calculus. It begins with a development of

the real number system, including algebraic order and

metric properties. Extensive use is made of sequences

in examining the concepts of limits, continuity and

uniform continuity. In chapter 5, cosets are discussed

in some detail (as examples of partitions) and their

connection to homomorphisms is explored. In chapter

Tugas Portofolio 8

6 much use is made of one-to-one correspondences.

The properties of finite and infinite sets are

distinguished and cardinal numbers are discussed. In

each of these “application” chapters no attempt has

been made to give a comprehensive view of the

subject being considered; rather, a small area has

been examined in sufficient depth so that some non-

trivial results can be shown (e.g., intermediate value

theorem, fundamental theorem of group

homomorphisms, the uncountability of R ¿ .

One final comment: In days gone by I

thought that if I could organize the material to be

presented in a cogent fashion, develop the students

interest in it and provide good examples and answers

to their questions, I would be a good teacher and they

would learn a lot of mathematics. That is, I thought

that what I did was the important part of the

educational process. Now I have come to believe that

what I do is not nearly so important as what I can get

the students to do. This means that it is impossible to

overemphasize the importance of having the students

Tugas Portofolio 9

do exercises. I have provided a wide selection of

exercises, many of which are presented as conjectures

to be verified or shown incorrect. A somewhat

unusual sort exercise which appears throughout the

last five chapters of the book is the “Believe It or Not”

exercise. In these exercises a conjecture is given,

along with a proof and a counterexample. Of course,

at least one must be incorrect (sometimes all three

are), and the student’s task is to sort things out and

put them right by determining the true state of affairs

and giving (if necessary) a correct proof of

counterexample and pointing out the errors in the

ones given.

I am not sure if it is possible to teach

someone how to write proof, any more than it is

possible to teach them how to write poetry or

compose a symphony. However, I do think that it is

possible to help someone learn how to write proofs

and I hope that this book is useful in accomplishing

this important task.

Tugas Portofolio 10

I am grateful to the many students who, over

the years, labored through the large number of

iterations of this material. In many cases they have

inspired the interesting, but incorrect, parts of the

“Believe It or Not” exercises. I want to thank the

reviewers whose helpful comments have improved

the exposition and helped root out unclear passages.

Barbara Bohannon, Hofstra University;

Richard E. Chandler, North Carolina State

University;

Harvey Charlton, North Carolina State

University;

Charles Clever, South Dakota State

University;

Peter Colwell, Iowa State University;

Gary D. Crown, Wichita State University;

Bruce Edwards, University of Florida;

Tugas Portofolio 11

Robert O. Gamble, Winthrop College;

John I. Gimbel, University of Alaska;

Stephen Pennell, University of Lowell.

Of course any inaccuracies and opaqueness remaining

are mine. I am also indebted to the staff at McGraw-

Hill who have made the production of this book a

pleasure.

David C. Kurtz

Tugas Portofolio 12

A FEW WORDS FOR THE READER

Many students have difficulty when they are

first asked to prove theorems in mathematics. Part of

this difficulty may come from an unfamiliarity with the

mathematical objects involved (vectors, bases, linear

transformations, groups, homomorphisms, and so

forth), but a major part of the difficulty seems to be

due to an imprecise knowledge of the fundamentals

of mathematics: logic, sets, relations and functions.

This book attempts to address this problem by giving

a concise account of a minimal amount of this

material as a vehicle for gaining practice in proving

theorems. The key word here is practice. As you no

doubt have observed, learning how to write out a

correct proof yourself is quite a bit different from

watching someone else write out a proof and

understanding that his or her proof is correct.

Mathematics is not a spectator sport. Practice and

involvement are essential. If anything is to be gained

from this book, the reader must become actively

engaged in working his or her way through it. This

Tugas Portofolio 13

means marking up the pages with questions about

unclear passages (should there be any!), doing the

examples and then checking the results, working all

the exercises and, above all, approaching the subject

matter with a questioning mind intent upon gaining a

thorough understanding of it.

A passive approach is doomed to failure. A

pencil and paper should be at hand before you start

reading. Of course, this means that you won’t be able

to read 20 pages a night; 3 pages would be a more

reasonable goal, especially further along in the book

where the level of abstraction is somewhat higher and

more is expected of you. But as in anything where a

considerable effort is required, the rewards are

equally great; the satisfaction of writing a proof which

you know is correct is hard to match. So pick up your

pencil (or pen or whatever it is yuo use) and proceed

at a deliberate pace throught the following pages,

knowing that mastery of their contents will lead to

mathematical pleasures unknown to the uninitiated.

Tugas Portofolio 14

Translatenya :

PENDAHULUAN

Salah satu langkah yang paling sulit untuk

seorang mahasiswa matematika adalah harus

membuat suatu tingkat yang dikenal sebagai

"kematangan matematis".Ini adalah langkah yang kita

lakukan dengan membuat transisi dari pemecahan

masalah dengan pengaturan yang cukup konkret di

mana ada metode yang terkenal atau algoritma untuk

setiap jenis masalah (contohnya, seperti dalam

kebanyakan kursus kalkulus) tapi menulis bukti dan

memproduksi sanggahan melibatkan lebih banyak

objek abstrak dan konsep-konsep, suatu aktivitas

dimana tidak ada algoritma yang didefinisikan dengan

baik.Sering transisi ini adalah sesuatu yang diharapkan

hanya untuk "terjadi". Mungkin selama musim panas

antara tahun kedua dan tahun yang lebih muda;

namun, tidak jelas apa kegiatan musim panas yang

bisa merekomendasikan untuk memastikan hasil

tersebut.Pengalaman mengajar saya baru-baru ini

Tugas Portofolio 15

menunjukkan bahwa transisi ini tidak mudah bagi

sebagian besar siswa dan umumnya tidak dapat

berhasil dibuat tanpa upaya terpadu dan

bimbingan.Dua hal yang tampaknya menghambat

kelancaran transisi adalah kurangnya pengetahuan

beberapa logika matematika ide-fundamental,

himpunan, fungsi-dan kurangnya pengalaman dalam

dua kegiatan penting matematika-menemukan

contoh objek dengan sifat tertentu dan menulis bukti.

Buku ini merupakan upaya untuk memberikan

kesempatan untuk mendapatkan eksposur untuk

kegiatan ini sambil belajar beberapa ide dasar yang

diperlukan.

Saya telah mencoba untuk membuat buku ini

sesingkat mungkin untuk mencapai tujuan ini, dengan

demikian beberapa topik menarik akan ditinggalkan

dan yang lainnya diperlukan hanya dalam latihan.

Saya juga telah mencoba untuk mengembangkan

sudut pandang, sehingga buku dimulai dengan cukup

simpel, dengan cara yang informal(tidak baku) dan

secara bertahap menjadi lebih formal dan abstrak. Ini

berarti bahwa sementara itu adalah mungkin untuk

Tugas Portofolio 16

menutup bab pertama agak cepat, orang tidak

seharusnya berharap untuk mempertahankan

kecepatan ini di seluruh buku. Saya telah menemukan

bahwa beberapa bagian dalam bab 2 dengan mudah

dapat diambil lebih dari seminggu untuk menutupi

dengan tingkat ketelitian.

Proses transisi dimulai dengan pengenalan

informal dalam hal logika, termasuk pertimbangan

cermat quantifiers dan diskusi tentang bentuk dasar

bukti.

Tujuan di sini adalah untuk mendapatkan

landasan yang kuat untuk membangun keterampilan

menulis bukti yang akan dikembangkan di kemudian

hari. Objek matematika yang pertama kali dibahas

secara rinci adalah himpunan. Hal ini menyediakan

pengaturan akrab di mana siswa dapat menulis bukti

sederhana, dugaan tes(hipotesis) dan menghasilkan

sanggahan. Topik berikutnya adalah relasi, relasi ini

mungkin tidak familiar sebagai topik himpunan, dan di

sini para siswa mendapatkan rasa pertama mereka

mencoba untuk memahami definisi dari konsep baru

(misalnya relasi ekivalen, urutan parsial ketat) dengan

Tugas Portofolio 17

cukup baik untuk memberikan contoh dan bukti .

Fungsi-fungsi disajikan sebagai relasi khusus dan

komposisi fungsional lebih ditekankan. Bab 2 diakhiri

dengan operasi biner dan hubungan kesetaraan yang

disebabkan oleh fungsi, bayangan dari teorema dasar

kelompok homomorphisms . Beberapa bentuk induksi

matematika disajikan dalam bab 3 dan sejak siswa

harus mendapatkan pengetahuan tentang implikasi,

fungsi proporsional dan himpunan pada saat ini, ada

beberapa kemungkinan bahwa pemahaman induksi

mereka akan lebih dari satu algoritma.

Tiga bab pertama membentuk apa yang saya

pikir harus menjadi inti pelajaran, bahkan, dengan

beberapa kesulitan saya telah menahan diri dari

panggilan itu "apa yang setiap mahasiswa matematika

harus tahu". Jika waktu mengizinkan (dan kadang-

kadang itu terjadi), salah satu dari tiga bab terakhir ini

dapat dipelajari secara mandiri satu sama lain sesuai

dengan kepentingan dan kebutuhan kelas. Masing-

masing cukup mandiri dan bab 5 (kelompok) dan 6

(kardinalitas) tidak memerlukan pengetahuan

Tugas Portofolio 18

sebelumnya dan memiliki keuntungan menyajikan

materi yang baru untuk para siswa. Bab 4

(Pertimbangan Kecermatan yang Berkesinambungan)

mungkin tidak harus dicoba oleh mahasiswa yang

tidak memiliki satu tahun kalkulus. Ini dimulai dengan

pengembangan sistem bilangan real, termasuk

ketertiban dan sifat aljabar metrik. Penggunaan

ekstensif digunakan dari urutan dalam memeriksa

konsep limit, kontinuitas dan kontinuitas yang

seragam. Dalam bab 5, operasi antar himpunan

dibahas dalam beberapa detail (sebagai contoh

partisi) dan koneksi mereka untuk homomorphisms

dieksplorasi (digali lebih jauh). Dalam bab 6 banyak

penggunaan yang terbuat dari satu-ke-satu

korespondensi(korespondensi satu-satu). Properti

himpunanterbatas dan tidak terbatas yang dibedakan

dan nomor kardinal yang dibahas. Masing-masing

bab "penerapan" tidak ada usaha yang telah dibuat

untuk memberikan pandangan yang komprehensif

tentang subjek yang dipertimbangkan, melainkan

sebuah daerah kecil telah diteliti secara cukup

mendalam sehingga beberapa non-sepele hasilnya

Tugas Portofolio 19

dapat ditampilkan (misalnya teorema antar nilai,

teorema dasar homomorphisms kelompok, bilangan

real tak hingga).

Satu komentar terakhir: di hari-hari berlalu saya

berpikir bahwa jika saya bisa mengatur materi yang

akan disajikan secara meyakinkan, mengembangkan

minat siswa di dalamnya dan memberikan contoh

yang baik dan jawaban atas pertanyaan mereka, saya

akan menjadi guru yang baik dan mereka akan belajar

banyak dari matematika. Artinya, saya berpikir bahwa

apa yang saya lakukan adalah bagian penting dari

proses pendidikan.Sekarang saya telah datang untuk

percaya bahwa apa yang saya lakukan adalah tidak

terlalu penting karena apa saya bisa mendapati siswa

untuk melakukan. Ini berarti bahwa adalah mustahil

untuk terlalu menekankan pentingnya memiliki siswa

yang mau melakukan latihan. Saya telah menyediakan

berbagai pilihan latihan, banyak yang disajikan

sebagai dugaan harus diverifikasi atau ditampilkan

salah. Semacam agak tidak biasa dari latihan yang

muncul di seluruh lima bab terakhir dari buku ini

adalah latihan "Percaya atau tidak". Dalam latihan

Tugas Portofolio 20

dugaan diberikan, bersama dengan bukti dan

menyangkal pernyataan tersebut. Tentu saja,

setidaknya seseorang harus benar (kadang-kadang

semua tiga orang) dan tugas siswa adalah untuk

memilah hal-hal yang keluar dan menempatkan

mereka tepat dengan menentukan keadaan urusan

sebenarnya dan memberikan (jika perlu) suatu bukti

benar atau menyangkal dan menunjuk keluar dalam

kesalahan yang diberikan.

Saya tidak yakin apakah itu adalah mungkin

untuk mengajar seseorang bagaimana menulis bukti-

bukti, lebih dari itu adalah mungkin untuk mengajar

mereka bagaimana menulis puisi atau menulis

simfoni. Namun, saya berpikir bahwa adalah mungkin

untuk membantu seseorang belajar bagaimana

menulis bukti-bukti dan saya berharap bahwa buku ini

berguna dalam menyelesaikan tugas penting.

Saya berterima kasih kepada banyak siswa yang,

selama bertahun-tahun, bekerja melalui sejumlah

besar bahan iterasi. Dalam banyak kasus, mereka

telah mengilhami bagian yang menarik, namun tidak

tepat, dari latihan "Percaya atau Tidak". Saya ingin

Tugas Portofolio 21

mengucapkan terima kasih kepada para pengulas

yang membantu berkomentar sehingga meningkatkan

eksposisi dan membantu membasmi bagian yang

tidak jelas.

Barbara Bohannon, Universitas Hofstra;

Richard E. Chandler, Universitas Carolina Utara;

Harvey Charlton, Universitas Carolina Utara;

Charles Clever, Universitas Dakota Selatan;

Peter Colwell, Universitas Iowa;

Gary D. Crown, Universitas Wichita;

Bruce Edwards, Universitas Florida;

Robert O. Gamble, Sekolah Tinggi Winthrop;

John I. Gimbel, Universitas Alaska;

Stephen Pennell, Universitas Lowell.

Tentu saja setiap ketidaktepatan dan kekaburan yang

tersisa adalah milik saya. Saya juga berhutang budi

kepada staf di McGraw-Hill yang telah membuat

produksi buku ini menyenangkan.

David C. Kurtz

Tugas Portofolio 22

BEBERAPA KATA UNTUK PEMBACA

Banyak siswa mengalami kesulitan ketika mereka

pertama kali diminta untuk membuktikan teorema

dalam matematika. Bagian dari kesulitan ini mungkin

berasal dari ketidakbiasaan dengan objek matematika

yang terlibat (vektor, basis, transformasi linear,

kelompok, hpmomorphisms, dan benteng), tetapi

merupakan bagian utama dari kesulitan tampaknya

karena pengetahuan tidak tepat dasar-dasar

matematika; logika, set, fungsi relasi. Buku ini

mencoba untuk mengatasi masalah ini dengan

memberikan rekening ringkas dari jumlah minimal

bahan ini diperlukan untuk kemajuan lebih lanjut

dalam matematika dan kemudian menggunakan

bahan ini sebagai kendaraan untuk mendapatkan

praktek di teorema membuktikan.

Kata kuncinya di sini adalah praktek. Ketika Anda tidak

diragukan lagi telah mengamati, belajar bagaimana

menulis sebuah bukti yang benar diri sendiri adalah

agak sedikit berbeda dari menonton orang lain

Tugas Portofolio 23

menulis sebuah yang benar dan pemahaman bahwa

bukti nya benar. Matematika bukan olahraga

penonton. Praktek dan keterlibatan sangat penting.

Jika sesuatu harus halus dari buku ini, pembaca harus

menjadi aktif terlibat dalam bekerja dengan cara-nya

melalui itu. Ini berarti menandai halaman dengan

pertanyaan-pertanyaan tentang bagian-bagian tidak

jelas (harus ada!), Melakukan contoh dan kemudian

memeriksa hasilnya, bekerja semua latihan dan, di

atas semua, mendekati subjek dengan niat pikiran

yang mempertanyakan pada mendapatkan melalui

pemahaman tentang itu.

Pendekatan pasif adalah ditakdirkan untuk gagal.

Sebuah pensil dan kertas harus di tangan sebelum

Anda mulai membaca. Tentu saja, ini berarti bahwa

Anda tidak akan dapat membaca 20 halaman malam;

3 halaman akan menjadi tujuan yang lebih masuk

akal, terutama lebih lanjut sepanjang dalam buku

mana tingkat abstraksi agak lebih tinggi dan lebih

diharapkan dari Anda. Tapi seperti dalam apapun

dimana usaha yang cukup besar diperlukan, imbalan

sama-sama besar, kepuasan menggeliat bukti yang

Tugas Portofolio 24

Anda tahu adalah benar sulit untuk mencocokkan.

Jadi ambil pensil Anda (atau pena apa pun yang Anda

gunakan) dan dilanjutkan pada kecepatan yang

disengaja melalui halaman berikut, mengetahui

bahwa penguasaan isinya akan menyebabkan

kesenangan matematika dikenal oleh belum tahu.

Tugas Portofolio 25

Pertemuan 2

Tanggal catatan : 28 September 2011

Pertemuan kedua ini, merupakan pertemuan pertama

saya di pelajaran Pengantar Dasar Matematika.

LOGIKA MATEMATIKA

Pengertian Logika

Logika :

- Pemikiran

- Penalaran

Logika adalah suatu cabang ilmu yang mempelajari

penurunan-penurunan kesimpulan yang shahih atau

valid dan tidak shahih atau tidak valid.

Kalimat : Kumpulan dari beberapa kata yang memiliki makna ( dua kata atau lebih )

Pertanyaan : Tidak bisa di ambil kesimpulan benar atau salah

Tugas Portofolio 26

Contoh : Apakah anda orang yang normal ?

Perintah : Tidak bisa di ambil kesimpulan benar atau salah

Contoh : Jadilah orang yang normal !

Ajakan : Tidak bisa di ambil kesimpulan benar atau salah

Contoh :Marilah menjadi orang yang normal !

Pernyataan : Bisa di ambil kesimpulan benar atau salah

Contoh : Saya orang yang normal sedangkan anda tidak

Larangan : Tidak bisa di ambil kesimpulan benar atau salah

Contoh : Janganlah menjadi orang yang tidak normal

Macam – macam Kalimat :

1. Kalimat Tertutup

Tugas Portofolio 27

Kalimat Tertutup adalah suatu kalimat yang hanya

memiliki nilai kebenaran Benar atau Salah, tetapi

tidak mungkin keduanya.

Contoh :

- Baju saya berwarna merah ( sudah jelas bahwa

saya memakai baju berwarna merah )

- 2.4 + 6 = 10 (Bisa di hitung dan memiliki nilai

salah )

2. Kalimat Terbuka / Variabel

Kalimat Terbuka adalah suatu kalimat yang tidak atau

belum dapat ditentukan kebenarannya .

Contoh :

- Wajah dia ganteng ( ganteng bersifat relative )

- 2 𝑥 + 1 = 7 (belum bisa dipastikan bernilai benar

atau salah karena masih berbentuk variable )

Tugas Portofolio 28

Macam – macam Teori :

1. Teori Korespondensi

Teori korespondensi adalah pengambilan

kesimpulan yang sesuai dengan kenyataan

Contoh :

- Semua manusia akan mati (B)

- Tasik ibu kota Jepang (S) => karena Ibu

kota Jepang adalah Tokyo

2. Teori Koherensi

Teori koherensi adalah pernyataan yang bernilai

benar apabila pernyataan tersebut tidak

menyalahi teori yang sudah ada yang sudah di

sepakati.

Contoh : Jumlah sudut – sudut dalam suati

persegi panjang adalah 360o (sesuai

dengan teorema sebelumnya )

Menurut Vence menyatakan ada 6 aksioma yang

berkait dengan bilangan real a, b, dan c terhadap

Tugas Portofolio 29

operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) berlaku

sifat :

1. Tertutup :a+bϵ R dana .b ϵ R

2. Asosiatif : a+(b+c)=(a+b)+c

a .(b . c)=(a .b). c

3. Komutatif :a+b=b+adana .b=b .a

4. Distributif :a .(b+c )=a .b+a. c

(b+c) . a=b .a+c .a5. Identitas : a+0=0+a=a

a .1=1.a=a6. Invers : a+(−a)=(−a)+a=0

a . 1a=1

a.a=1

Ada 4 aksioma yang berkait dengan bilangan a, dan b:

Persamaan ini benar karena sesuai dengan

aksioma-aksioma berikutnya.

Contoh : Perpotongan 2 buah garis adalah sebuah

titik

Tugas Portofolio 30

Aksioma adalah pernyataan yang sudah jelas

kebenarannya yang tidak perlu di buktikan

Berdasarkan 6 aksioma diatas, teorema seperti

– b+(a+b)=adapat dibuktikan dengan cara

berikut :

−b+(a+b)=−b+(b+a)

Aksioma 3 (Komutatif)

−b+(a+b)=(−b+b)+a

Aksioma 2 ( Asosiatif)

−b+(a+b)=0+a

Aksioma 6 ( Invers)

−b+(a+b)=a

Aksioma 5 (identitas (+))

Contoh soal :

1. x+3=2 ( Bukan pernyataan )

2. x+3=2 adalah sebuah pernyataan ( Pernyataan

bernilai Salah, karena masih dalam bentuk

variable,nilai x belum diketahui)

Tugas Portofolio 31

3. 3 adalah bilangan prima (Pernyataan bernilai

benar, karena Bilangan Prima adalah bilangan

yang hanya bisa dibagi dengan 1 dan angka itu

sendiri)

4. Tadi pagi Fahmi bertanya, “Pa guru kapan

ulangan ?” ( Pernyataan, namun nilai

kebenarannya bagaimana Fahmi, apakah Fahmi

benar bertanya atau tidak )

5. 2n + 1 untuk n elemen bilangan asli adalah

bilangan ganjil, pernyataan bernilai Benar, karena

saat nilai n dimasukan dengan bilangan asi

hasilnya adalah bilangan ganjil.

Setelah selesai materi pelajajan pak krisna bertanya :

(P=Pa Krisna, M=Mahasiswa)

P :Apakah kalian semua punya Tuhan??

M :Punya,

P :Dimana Tuhan kalian ??

M : Ada yang menjawab dihati dan ada yang

menjawab dimana-mana.

Tugas Portofolio 32

P :Jika Tuhanmu ada dimana-mana,

bagaimanakah cara kalian berdoa,

M :(memberikan cotoh),(manadahkan kedua

tangan ke atas)

P :Jika Tuhan kalian ada dimana-mana,

mengapa kalian berdo’a hanya menadahkan

tangan ke atas bukan dengan cara di

putar” ? Jika Tuhan kalian dimana-mana

berarti Tuhan kalian ada di wc,kuburan,dan

tempat jelek lainya,

M : Tidak,

P :Kita semua tahu kan bahwa “Tuhan yang

maha kuasa”

M :Benar,

P :seorang atheis bertanya “mampukah Tuhan

mu menciptakan batu yang tidak bisa di

angkatNya??

M :Mampu

P :Apa alasanya??

M :(tidak mampu menjawabnya)

P :Jika mampu berarti Tuhan tidak kuasa

karena Tuhan tidak mampu mengangkat batu

Tugas Portofolio 33

yang ia ciptakan sendiri,tapi jika Tuhan tidak

mampu maka berarti Tuhan tidak bisa

menciptakan.

M : ????

P :Pertanyaan tersebut tidak memiliki jawaban

atau bukan pertanyaan tetapi mampu

menjebak kita,jika ada orang yang bertanya

seperti itu kepada kita tanyakan kembali

kepadanya “ mampukah dia melahirkan anak

yang mampu melahirkan dia?”

Sebelum mengakhiri pertemuan Pa Krisna menyuruh

kami mengumpulkan tugas translate yang di berikan,

dan menanyakan isi dari Translate itu kepada

beberapa siswa.

Tugas

Latihan 2.1 halaman 5

1. Andi berbohong pada hari Senin, Selasa, dan

Rabu, sedangkan pada hari-hari yang lain ia

berkata benar. Teman karibnya, si Badu

Tugas Portofolio 34

berbohong pada hari Kamis, Jum’at, dan Sabtu,

sedangkan pada hari – hari yang lain ia brkata

benar. Pada suatu hari, Andi berkata : “Kemarin

adalah hari dimana saya berkata bohong.” Badu

lalu menimpali : “Kemarin adalah hari dimana

saya berbohong juga”.

a. Pada hari-hari apakah mereka berdua dapat

menyatakan hal itu ?

Jawab :

S S R K J S M

Andi B B B J J J J

Badu J J J B B B J

Keterangan : B = Berbohong

J = Jujur

Mereka berdua berkata Bohong pada hari

Kamis, karena pada hari Kamis Andi berkata jujur,

bahwa kemarin ia berkata bohong, dan Badu

pada hari Kamis berkata bohong kalau ia kemarin

Tugas Portofolio 35

berkata bohong sedangkan kemarin Badu berkata

jujur.

2. Pada suatu rumah makan, ANDI seorang SUPIR

sedang duduk mengelilingi meja berbentuk

persegi dengan tiga orang temannya. Ketiga

teman Andi tersebut bekerja sebagai KELASI,

PILOT, dan MARKONIS. Tentukan pekerjaan Budi

jika :

ANDI duduk disebelah kiri CHANDRA

BUDI duduk di sebelah kanan KELASI, dan

DANI yang duduk berhadapan dengan CHANDRA

bukanlah seorang PILOT.

Jawab

Dani (Markonis)

Andi(Supir) Budi (Pilot)

Chandra (Kelasi)

Pertama kita sudah mengetahui bahwa Andi

adalah seorang Supir, Andi duduk di sebelah

Tugas Portofolio 36

kanan Kelasi namun belum dapat di tentukan

siapa yang berprofesi sebagai kelasi, dan dari

keterangan selanjutnya yaitu Dani yang duduk

behadapan dengan Chandra bukanlah seorang

Pilot, dari situ dapat di simpulkan bahwa Budi

duduk berhadapan dengan Andi dan duduk di

sebelah kanan Chandra yang berprofesi sebagai

Kelasi, karena Dani bukanlah seorang Pilot maka

yang seorang Pilot adalah Budi, dan Dani

berprofesi sebagai Markonis.

∴ Budi bekerja sebagai Pilot

3. Ada tiga orang siswa yaitu TONI, DIDI, dan

HORY. Ditentukan bahwa :

a. Toni tidak pernah berbohong, Didi kadang-

kadang berbohong, dan Hory selalu

berbohong.

b. Mereka memakai kaos HIJAU, KUNING, dan

MERAH.

Tugas Portofolio 37

c. Siswa yang memakai kaos kuning,

menyatakan bahwa siswa yang berkaos

merah adalah Hory

d. Siswa yang memakai kaos

merah,menyatakan bahwa dirinya adalah

Didi

e. Siswa terakhir yang memakai kaos hijau,

menyatakan bahwa siswa yang berkaos

merah adalah Toni.

Berdasarkan keterangan di atas, tentukan warna

kaos yang di pakai tiap siswa.

Jawab:

Toni: Jujur,

Didi : Kadang-kadang jujur,

Hory : Bohong

Dari keterangan c: Siswa yang memakai kaos kuning,

menyatakan bahwa siswa yang berkaos merah adalah

Hory, Misalkan yang memakai kaos kuning adalah

Tugas Portofolio 38

Toni, karena Toni selalu berkata jujur maka yang

memakai kaos merah adalah Hory.

Dan dari keterangan e yang memakai kaos hijau

adalah Didi.

Pertemuan 3

Tanggal catatan : 29 september 2011

KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI, BIIMPLIKASI

DAN NEGASINYA

1. KONJUNGSI ( p⋀q)

Kata penghubung : dan, namun, tapi, tetapi

Contoh :

“Mengambil sendok dan garpu”

- Mengambil sendok saja (Salah)

- Mengambil garpu saja (Salah)

- Mengambil kedua-duanya (Benar)

- Tidak mengambil kedua-duanya (Salah)

Tugas Portofolio 39

Contoh yang tidak sesuai :

“Dijual batagor dan siomay”

- Beli batagor saja (Salah) => tidak sesuai bagi

pihak penjual dan pembeli

- Beli siomay saja (Salah) => tidak sesuai bagi

pihak penjual dan pembeli

- Beli batagor dan siomay (Benar)

- Tidak membeli batagor dan siomay (Salah) =>

tidak sesuai bagi pihak penjual dan pembeli

Kesimpulan :

Dua buah proposisi akan bernilai benar bila

kedua-duanya benar, selain itu salah

Tabel Kebenaran

Tugas Portofolio 40

p q p q⋀

B B B

B S S

S B S

S S S

2. DISJUNGSI ( p⋁q)

Kata penghubung : atau

Contoh :

“Mengambil pensil atau pulpen”

- Mengambil pensil saja (Benar)

- Mengambil pulpen saja (Benar)

- Mengambil kedua-duanya (Benar)

- Tidak mengambil kedua-duanya (Salah)


“Naik motor atau mobil”

- Naik motor (Benar)

- Naik mobil (Benar)

- Naik motor dan mobil (Benar)

=> tidak mungkin naik motor dan mobil

secara bersamaan

- Tidak naik motor ataupun mobil (Salah) =>

Bisa saja dia tidak naik motor ataupun mobil

Kesimpulan :

Tugas Portofolio 41

Dua buah proposisi akan bernilai salah bila kedua-

duanya salah, selain itu benar.

Tabel Kebenaran

Setelah merikan materi konjungsi dan disjungsi pak

krisna membahas tugas kemarin (tanggal 28

september 2011) memanggil beberapa orang untuk

mengerjakan dan menjelaskan tugas yang ia berikan

kemarin. Setelah membahas tugas sebelum beliau

mengakhiri mata kuliah yang beliau ajarkan, beliau

menayaan satu pertanyaan kepada kami, yaitu :

“ada seorang terdakwa yang akan di hukum mati, lalu

hakimpun berkata jika kamu membuat satu

pernyataan yang benar maka kamu akan saya hukum

dengan cara di gantung,dan jika pernyataan yang

Tugas Portofolio 42

P q p q⋁

B B B

B S B

S B B

S S S

kamu buat salah maka kamu akan saya hukum dengan

cara di setrum. Kira-kira pernyataan apakah yang akan

terdakwa berikan??” beberapa dari teman saya

mencoba untuk menjawab, tetapi jawabannya tidak

ada yang benar, dan pak Krisnapun memberikan

jawaban nya, yaitu : “saya akan di hukum

dengan cara di setrum, atau saya akan di hukum

dengan cara di gantung”. Karena ke dua jawaban

tersebut belum tentu benar, dan karena yang

memutuskan hukuman terdakwa tersebut adalah

hakim.

Pertemuan 4

Tanggal Catatan : 06 Oktober 2011

3. IMPLIKASI ( p→q)

Kata penghubung : Jika…maka…

Contoh :

“Jika hari cerah maka abang datang”

- Hari ini cerah dan abang datang (Benar)

- Hari ini cerah dan abang tidak datan(Salah)

Tugas Portofolio 43

- Hari ini hujan dan abang dating (Benar)

- Hari ini hujan dan abang tidak datang(Benar)

Contoh yang salah :

“Jika kambing hidup maka Bernafas”

- Kambing hidup dan bernafas (Benar)

- Kambing hidup dan tidak bernafas (Salah)

- Kambing tidak hidup dan bernafas (Benar)

=> semua yang tidak bernafas sudah pasti

mati

- Kambing tidak hidup dan tidak

bernafas(Benar)

Kesimpulan :

Implikasi dua buah proposisi bernilai salah bila

proposisi pertama benar dan proposisi kedua

salah, selainnya benar.

Tabel Kebenaran

Tugas Portofolio 44

p Q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

4. BIIMPLIKASI ( p↔q)

Kata penghubung : …Jika dan hanya jika…

Contoh :

“Kambing hidup jika dan hanya jika bernafas”

- Kambing hidup dan dia bernafas (Benar)

- Kambing hidup dan dia tidak bernafas(Salah)

- Kambing mati dan dia bernafas (Salah)

- Kambing mati dan dia tidak bernafas(Benar)


“Abang datang Jika dan hanya jika hari cerah”

- Abang datang dan hari cerah (Benar)

- Abang tidak datang dan hari cerah (Salah)

=> tidak sesuai, karena tidak menepati janji

Tugas Portofolio 45

- Abang datang dan hari tidak cerah (Salah)

=>tidak sesuai, hargai pengorbanan si Abang

- Abang tidak datang dan hari tidak cerah

(Benar)

Kesimpulan :

Biimplikasi dua buah proposisi bernilai salah bila

salah satu proposisi bernilai salah, selainnya

benar

Tabel Kebenaran

P q p↔q

B B B

B S S

S B S

S S B

Catatan :

Tugas Portofolio 46

Contoh implikasi akan salah atau tidak sesuai jika

digunakan untuk contoh biimplikasi dan sebaliknya

contoh biimplikasi akan salah atau tidak sesuai jika

digunakan untuk contoh implikasi

5. NEGASI / INGKARAN (∼atau⇁)

Benar ⇁ ≡ Salah

Salah ⇁ ≡ Benar

Benar ⇁ ≡ Tidak Benar ≡ Salah

Salah ⇁ ≡ Tidak Salah ≡ Benar

⇁P ≢P

Teori Consistent (masih lemah)

⇁P ≡P

Contoh :

1. P( 𝑥 ) = Harimau memakan daging

⇁P(x ) = Harimau tidak memakan daging

Tugas Portofolio 47

2. P( 𝑥 ) = Mahasiswa duduk menghadap

utara

P( ⇁ 𝑥 ) =Mahasiswa duduk tidak

menghadap utara3. ⇁ (x<7)≡x ≥7

x<7 x≥74. ⇁ (4>8)≡4≤85. ⇁ (8=9)≡8≠9

Catatan :

Yang mengalami negasi adalah selain Subjeknya, dan

Negasi bisa dinyatakan dengan menambahkan kata

“tidak”, “tidak tepat bila” atau dengan mengingkari

tanda

Contoh :

Siswa 1 uang jajannya

Rp. 107.000 Uang jajannya Kurang


Tugas Portofolio 48

Rp. 20.000


Rp.25.000 Uang jajannya Cukup


Rp. 40.000

Siswa 5 uang jajannya Rp. 50.000

- siswa yang merasa uang jajannya kurang adalah

yang uang jajannya kurang dari Rp. 25.000 yaitu Siswa

1 dan Siswa 2

x<25000

x<orang3

- siswa yang merasa uang jajannya cukup adalah

yang uang jajannya lebih dari samadengan Rp.25.000

yaitu orang 3, orang 4, dan orang 5.

x≥25000

Tugas Portofolio 49

x≥ orang3

P Q ⇁p

⇁q

p q⋀ p q⋁ (p q)⇁ ⋀ ( p q)⇁ ⋁ p q⇁ ⋁ ⇁ p q⇁ ⋀ ⇁

B B S S B B S S S S

B S S B S B B S B S

S B B S S B B S B S

S S B B S S B B B B

Tabel Kebenaran

Rumus :

⇁ ( p⋀ q)≡⇁ p⋁⇁ q

Pernyataan Konjungsi

⇁ ( p⋁ q)≡⇁ p⋀⇁ q

Pernyataan Disjungsi

Tugas Portofolio 50

Contoh :

a. 3+5>7 ⇁ a≡b

b. Tidaklah tepat bila 3+5>7 ⇁ a≡ cc. 3+5≤7 ∴b≡ cd. 𝓍2 - 3𝓍 + 2 = 0 bukanlah sebuah persamaan

kuadrat d ≡⇁ e

e. Tidaklah benar bahwa x2−3 x+2=0 bukanlah

sebuah persamaan kuadrat d ≡⇁ f

f. x2−3 x+2=0 merupakan persamaan kuadrat

∴ e≡ f

Tugas

Latihan 3.1

1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan

berikut!

a. 3+2=6⇔4+2=5

S⇔S=Bb. 3+2=5⇒ 4+2=5

Tugas Portofolio 51

B⇒ S=S

c. 3+2=5 atau Jakarta Ibukota DI Aceh

d. B⋁ S=BJika x2=4maka x=2B⇒ S=Se. Jika x=−2maka x2=4

x=−2(B) , x 2=4(B)

B⇒B=Bf. Jika3 x+4=2dan x⋲B ,maka x=−1

B⋀ S⇒S

S⇒ S=B

2. Jika p : 10 habis dibagi 5 (Benar)

q : 8 adalah bilangan prima (Salah)

Nyatakan dalam kalimat sehari – hari pernyataan

– pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai

kebenarannya.

a. p⇁ = 10 tidak habis dibagi 5(Salah)

Tugas Portofolio 52

b. q⇁ = 8 bukan bilangan prima(Benar)c. p q⋀ = 10 habis dibagi 5 dan 8 adalah

bilangan prima (B⋀ S=S)

d. p q = 10 habis dibagi 5 atau 8 adalah⋁

bilangan prima (B⋁ S)

e. ⇁ p⋀⇁ q=10 tidak habis dibagi 5 dan 8

bukan bilangan prima (S⋀B=S)

f. ⇁ p⋀ q=10 tidak habis dibagi 5 dan 8

adalah bilangan prima (S⋀ S=S)

g. p⋀⇁ q=10 habis dibagi 5 dan 8 bukan

bilangan prima (B⋀ B=B)

h. p⇒q=¿ jika 10 habis dibagi 5 maka 8

adalah bilangan prima (B⇒S=S)

i. p⇔q=10habis dibagi 5 Jika dan hanya jika

8 adalah bilangan prima(B ⇔S=S)

j. ( p⋁⇁ q)⇒(⇁ p⋁q)=¿Jika 10 habis

dibagi 5 atau 8 bukan bilangan prima maka 10

tidak habis dibagi 5 atau 8 adalah bilangan

prima( B∨B )→ (S∨S )=B→S=S

Tugas Portofolio 53

3. Jika a : Lisa gadis cantik dan

b : Lisa gadis cerdas

Nyatakan pernyataan di bawah ini dengan

menggunakan a, b dan symbol –simbol logika

matematika.

a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas

(a⋀⇁b)b. Lisa gadis yang tidak cantik dan tidak cerdas

(⇁ a⋀⇁b)

c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik

namun ia gadis yang cerdas(⇁ a⋀ b)

d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis

yang cerdas (a⋀ b)

e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan

cerdas (⇁ (a⋀ b))

f. Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas

(a⇒⇁ b)g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak

cerdas (⇁ a⇒⇁b)

Tugas Portofolio 54

4. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan ini :

P Q p⇁ p ⇒ q p q⇁ ⋁ p ⇒ q ⇔ p ⇁ ⋁

q

B B S B B B

B S S S S B

S B B B B B

B S B B B Ba. p⇒q⇔⇁ p⋁ q

b. p⋀ q⇒ (q⋀⇁q⇒ r⋀ q)

p q r ⇁q q⋀⇁q r ⋀q p⋀ q

B B B S S B B

B B S S S S B

B S B B S S S

B S S B S S S

S B B S S B S

S B S S S S S

S S B B S S S

Tugas Portofolio 55

S S S B S S S

q⋀⇁q⇒ r⋀ q p⋀ q⇒ ¿B BB BB BB BB BB BB BB B

c. ⇁ [(⇁ p⇒r )⋁ ( p⇒⇁ q)]⋀ r

p q R ⇁ p ⇁q ⇁ p⇒r p⇒⇁q

B B B S S B S

B B S S S B S

B S B S B B B

B S S S B B B

S B B B S B B

S B S B S S B

S S B B B B B

S S S B B S B

Tugas Portofolio 56

(⇁ p⇒r )⋁( p⇒⇁q)

⇁¿

( p⇒⇁q)¿

⇁ [(⇁ p⇒r )⋁ ( p⇒⇁ q)]⋀ r

B S S

B S S

B S S

B S S

B S S

B S S

B S S

B S S

Tugas Portofolio 57

Pertemuan 5

Tanggal Catatan : 7 Oktober 2011

1. NEGASI IMPLIKASI

Tabel Kebenaran

P Q p⇁ q⇁ p → q ( p → q )⇁ p ⋀ ⇁

q

B B S S B S S

B S S B S B B

S B B S B S S

B S B B B S S

p❑⇁ q⇁ (p→q)≣ p⋀⇁q

Rumus :

⇁ ( p → q ) ≡ p q⋀ ⇁

p → q ≡ p q⇁ ⋀ ⇁

p → q ≡ p q⇁ ⋁

Tugas Portofolio 58

2. NEGASI BIIMPLIKASI

p ↔q ≡ ( p → q ) ( q → p )⋀ ( p ↔ q )⇁ ≡ [( p → q ) ( q → p )]⇁ ⋀ ( p ↔ q )⇁ ≡ ( p → q ) ( q → p )⇁ ⋁ ⇁ ( p ↔ q )⇁ ≡ ( p q ) ( q p ) ⋀ ⇁ ⋁ ⋀ ⇁

Catatan :

Perbedaan tanda implikasi dan biimplikasi yang

bergaris satu dan bergaris dua adalah

⇒⇔Berdampak atau sudah dapat dipastikan

kebenarannya (⇔ artinya sama dengan )≣→↔ Operasi Logika dan harus dicari

menggunakan tabel kebenaran

3. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

Tautologi : Pernyataan majemuk yang

selalu benar

Kontradiksi : Pernyataan majemuk yang

selalu salah.

Tugas Portofolio 59

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI SUATU IMPLIKASI

SERTA NEGASINYA

Cotoh :

Jika menggunakan Bayclin maka baju menjadi putih

bersinar ( p → q )

Jika tidak menggunakan bayclin maka baju tidak

menjadi putih bersinar ( p → q )⇁

P q p⇁ q⇁B B S S

B S S B

S B B S

S S B B

Implikasi Invers Konvers Kontrapositif

p → q p → q⇁ ⇁ q → p q → p⇁ ⇁B B B B

S B S S

B S B B

Tugas Portofolio 60

B B B B

≡

≡

Kesimpulan : “

- Invers sama dengan Konvers,

- Implikasi sama dengan Kontraposisi”

Setelah memberi materi pak krisna berkata “Minggu

depan saya akan ngerjain kalian”

Pertemuan ke 6

Mengumpulkan tugas dan tes

Tanggal Latihan : 13 Oktober 2011

Tugas

Exercise 1.3

1. Which of the following are logically equivalent ?

a. P ∧ q⇁p q q⇁ p∧⇁q

Tugas Portofolio 61

B B S S

B S B B

S B S S

S S B S

b. P → q

p q p→q

B B B

B S S

S B B

S S B

c. ( ⇁ ⇁ p q)⋁p q ⇁ p ⇁ p q⋁ ( ⇁ ⇁ p q)⋁B B S B S

B S S S B

S B B B S

S S B B S

d. q → p⇁p q p⇁ q → p⇁

Tugas Portofolio 62

B B S S

B S S B

S B B B

S S B B

e. ⇁ p ⋁ q

p q ⇁ p ⇁ p ∨ q

B B S B

B S S S

S B B B

S S B B

f. ( p ⇁ → q)

P q p → q ⇁(p → q)

B B B S

B S S B

S B B S

S S B S

g. P → q⇁

Tugas Portofolio 63

p q ⇁

q

p→⇁

q

B B S S

B S B B

S B S B

S S B B

h. p ⇁ → q⇁p q ⇁p ⇁q ⇁p → q⇁B B S S B

B S S B B

S B B S S

S S B B BJadi, a ≡ c f, b ≣ ≡ e, d ≡ g

2. Show that the following pairs are logically

equivalent :

a. p ∧ ( q ∨ r ) ; ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

P q r q ∨ p ∧ (q ∨ p ∧ q p ∧ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧

Tugas Portofolio 64

r r) r r)

B B B B B B B B

B B S B B B S B

B S B B B S B B

B S S S S S S S

S B B B S S S S

S B S B S S S S

S S B B S S S S

S S S S S S S S

b. p ∨ ( q ∧ r ) ; ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )

P q r q ∧ r

p ∨ (q ∧

r)

p ∨ q

p ∨ r

( p ∨ q ) ∧ (

p ∨ r)

B B B B B B B B

B B S S B B B B

B S B S B B B B

B S S S B B B B

S B B B B B B B

S B S S S B S S

S S B S S S B S

Tugas Portofolio 65

S S S S S S S S

≡

c. p ↔ q ; ( p → q ) ∧ ( q → p )

p q p ↔ q

( p → q )

( q → p )

( p → q ) ∧ ( q → p )

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

≡

d. p → q ; ⇁ q → ⇁ p

P q ⇁ p

⇁ q

p → q ⇁ q → ⇁ p

B B S S B B

B S S B S S

S B B S B B

S S B B B B

Tugas Portofolio 66

≡

4. Find :

a. The contrapositive of ⇁ p → q

P q ⇁ p ⇁p → q ⇁ q → p

B B S B B

B S S B B

S B B B B

S S B S S

b. The converse of ⇁ q → p

P q ⇁ q

⇁ q →

p

p → ⇁

q

B B S B S

B S B B B

S B S B B

S S B S B

Tugas Portofolio 67

c. The inverse

of the converse

of q→⇁p

P q ⇁ p

q

→ ⇁ p

p

→ ⇁

q

B B S S S

B S S B B

S B B B B

S S B B B

d. The negation of

p → ⇁ q

p q ⇁

p

⇁

q

p

→ ⇁

q

⇁

p

→ q

B B S S S B

B S S B B B

S B B S B B

S S B B B S

e. The converse of ⇁ p ∧ qp q ⇁

p

⇁ q

⇁ p ∧ q

⇁ p

→ q⇁⇁ ( ⇁ p → q⇁

)

Tugas Portofolio 68

B B S S S B S

B S S B S B S

S B B S B S B

S S B B S B S

5. Indicate which of the following is true :

a. If 2 + 1 = 4 then 3 + 2 = 5

S → B = B

b. Red is white if and only if green is blue

S ↔ S = B

c. 2 + 1 = 3 and 3 + 1 = 5 implies 4 is odd

( B ∧ S ) → S

S → S = B

d. If 4 is odd then 5 is odd

S → B = Be. If 4 is odd then 5 is even

S → S = B

f. If 5 is odd then 4 is odd

B → S = S

9. Suppose that p, ⇁ q, and r are true. Which of

true following is true ?

Tugas Portofolio 69

a. p → q

B → S = S

b. q → p

S → B = B

c. p → (q ∨ r)

B → (S ∨ B)

B → B = B

d. p ↔ q

B ↔ S = S

e. p ↔ r

B ↔ B = B

f. (p ∨ q) → p

(B ∨ S) → B

B → B

= B

g. (p ∧ q) → q

(B ∧ S) → S

S → S = B

10. We note that we now have five logic “ connective

“ = ∧, ∨, →, and ↔, each of which corresponds

to a contruct from our ordinary language, it turns

out that from a logical point of view this is

somewhat wastefull, since we cold express all

these in terms of jus ⇁ and ∧. Even more, if we

define p ⃓ q to be false when both p dan q are

true one connective ( is known as the sheffer

stroke ). Partially verify the statements given

above by :

a. Finding a preposition which is equivalent to p ∨ q using just ∧ and ⇁

Tugas Portofolio 70

b. writing out the truth table for p ⃓ q

c. Showing that p ⃓ p is equivalent to ⇁ p

d. Showing that ( p ⃓ q ) ⃓ ( q ⃓ p ) is equivalent to p ∧ q

p ⃓ q bernilai salah bila p dan q berniloai benar,

Selainnya benar

a. Proposisi yang ekuivalent dengan p ∨ q

dengan hanya menggunakan ∧ dan ⇁

p q ⇁ p ⇁ q p ∨ q p ∧ q ⇁ p ∧ q p ∧ ⇁ qB B S S B B S S

B S S B B S S B

S B B S B S B S

S S B B S S S S

≡

b. Buat tabel

untuk p|p

P q p ⃓ qB B S

B S B

S B B

S S B

Tugas Portofolio 71

c. Buktikan

p|p

ekuivalent

dengan⇁p

p ⇁ p

p ⃓ qB S S

B S S

S B B

S B B

≡

Tugas Portofolio 72

d. Buktikan bahwa (p ⃓ q) ⃓ (q ⃓ p) ekuivalent

dengan p ∧ q

p q p ∧ q

p ⃓ q q ⃓ p (p ⃓ q) ⃓ (q ⃓ p)

B B B S S B

B S S B B S

S B S B B S

S S S B B S

≡

Setelah tugas di kumpulkan maka memulai untuk di

kerjain namun ternyata ngerjainnya itu dalam bentuk

tes maju satu-satu, dan yang sudah maju di

persilahkan pulang.

Pertanyaan atau soal dalam Tes lisan :

1. Sudah berapa kali pertemuan dengan saya ?

Seharusnya pertemuan ke 6 tapi saya baru 5 kali

pertemuan dengan bapa karena saya baru masuk

pada pertemuan kedua.

Tugas Portofolio 73

2. Pertemuan pertama ngapain aja ?

Pertemuan pertama belajar tentang logika yaitu

kalimat tertutup, kalimat terbuka, teori

korespondensi,teori koherensi, konjungsi dan

disjungsi,

3. Coba jelaskan pengertian kalimat terbuka dan

kalimat tertutup !

Kaliamat terbuka adalah kalimat kalimat yang belum

bisa dinyatakan kebenarannya sedangkan kalimat

tertutup adalah kalimat yang memiliki nilai kebenaran

benar atau salah namun tidak mungkin memiliki dua

nilai benar dan salah

4. Berikan contoh kalimat konjungsi dan disjungsi !

Contoh kalimat konjungsi : Tolong ambilkan sendok

dan garpu

Contoh kalimat disjungsi : Tolong ambilkan pensil

atau penghapus

Tugas Portofolio 74

5. Buat tabel konjungsi,disjungsi,implikasi dan

biimplikasi

P q p ∧ q p ∨ q ( p → q ) p ↔ q

B B B B B B

B S S B S S

S B S B B S

S S S S B B

Pertemuan ke 7 ini melanjutkan tes kemarin yang

belum dapet giliran maju atau belum mendapat nilai

dan membahas tugas yang belum mengerti.yaitu

tugas yang no 4. E. converse of ⇁ p ∧ q .

Pertemuan 8

Tanggal Catetan : 20 Oktober 2011

PERNYATAAN BERKUANTOR

1. Semua Harimau memakan daging =

∀ x P ( x )Kuantor S Fungsi Proposisi

Tugas Portofolio 75

2. Beberapa Harimau memakan daging =

∃ x P ( x )Kuantor S Fungsi Proposisi

Quantor Universal dan Quantor Existensial

A. Quantor Universal

- Berlaku untuk semua atau seluruh anggota

Domain

- Untuk membenarkan harus semua anggota

memenuhi syarat∀ ; Semua, Setiap, Tiap –tiap, Seluruh, dsb

B. Quantor Eksistensial

- Berlaku untuk sebagian anggota Domain

- Untuk membenarkan hanya satu saja yang benar

sudah dapat membenarkan suatu pernyataan

- Bukan merupakan himpunan kosong atau

memiliki anggota

∃ ; Ada, Beberapa, Sebagian, dsb

x∈ R { ∀ x ( x>x ); ambil x=1∈R=1>1(S )∃ x ( x2=x ) ;ambil x=1∈R=12=1(B)

Tugas Portofolio 76

U A

B

∀ x ( x>x ); ambil x=1∈R

Cara baca : Semua x dimana x lebih besar

daripada x, dimana x elemen bilangan riil

∃ x (x2=x ); ambil x=1∈R

Cara baca : Ada x dimana x2 samadengan x,

dimana x merupakan bilangan riil

Contoh :

A : Kumpulan Mahasiswa 1 - B

B : Mahasiswa yang senang mencontek

- Beberapa mahasiswa 1-B senang mencontek

- Semua mahasiswa yang senang mencontek

merupakan mahasiswa 1-B

Tugas Portofolio 77

Negasi Pernyataan Berkuantor

⇁ (∀ x P ( x ) ) ≡∃ x⇁P (x )

⇁ (∃ x P ( x ))≡∀ x⇁P (x)

Contoh soal 1

1. Semua Harimau memakan daging ≡

Ada Harimau yang tidak memakan daging

∀ x P ( x )≡∃ x⇁P ( x )

2. Beberapa Harimau memakan daging ≡Semua Harimau tidak memakan daging

∃ x P ( x ) ≡∀ x⇁P ( x )

3. ∀ x ( x>x )≡∃ x ( x ≤ x )

4. ∃ x (x2=x )≡∀ x (x2≠ x )

Contoh soal 2

P (x) = x adalah bilang prima (Kalimat

Terbuka)

∃ x P (x) = Ada x yang merupakan bilang prima

Tugas Portofolio 78

Catatan : Dengan menambahkan quantor

Eksistensial sudah bisa membuat kalimat

terbuka menjadi benar.

Contoh Soal 3

Misalnya didefinisikan Q (𝑥, 𝑦) sebagai “ x = 𝑦 + 2.

Tentukan nilai kebenaran dari Q (1, 2) !

Q (1, 2) maka

x = 𝑦 + 2

1 = 2 + 2 (pernyataan bernilai salah)

C. Quantor Tersarang

- Misal 𝑥 dan 𝑦 adalah orang

- L (𝑥, 𝑦) = 𝑥 mencintai 𝑦a. ∃ y L(x , y ) = 𝑥 mencintai beberapa 𝑦b. ∀ x¿ = semua 𝑥 mencintai beberapa 𝑦c. ∀ y¿ = Beberapa 𝑥 mencintai semua 𝑦

Tugas Portofolio 79

d. ∃ x ∀ y L(x , y ) = Beberapa 𝑥 mencintai

semua 𝑦e. ∀ x∃ x L(x , y ) = Semua 𝑥 mencintai

beberapa 𝑦f. ∃ y ∀ x L(x , y ) = Semua x mencintai

beberapa 𝑦∀ x ∀ y P ( x )≡∀ y ∀ x

∃ x ∃ y P ( x )≡∃ y ∃ xP ( x )

∀ x (P ( x )∧Q ( x ))≡ ∀ x P (x )∧∀ xQ ( x )

∃ x ( P (x )∨Q ( x )) ≡∃ x P ( x )∨∃ xQ ( x )

Ada x∈B ,∋ x∈bilangan ganjilatau x∈bilangangenap

Ada x∈B ,∋ x∈bilangan ganjilatau ada x∈bilangan genap

Pertemuan 9


Tugas

Latihan 4.2

Tugas Portofolio 80

1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut :

a. ∃ x ( x2=x )

∀ x ( x2≠ x )

b. ∃ x (|x|=0 )

∀ x (|x|≠0 )c.

∀ x ( x<x+1 )

∃ x ( x≥ x+1 )

d.

∀ x ( x−1=x )

∃ x ( x−1≠ x )

e.

∃ x ( x2+2 x+1=0 )

∀ x (x2+2x+1≠0 )f.

∀ x (x2+2x+1>0 )

∃ x (x2+2 x+1≤0 )

g. ∃ x (|x|≥0 )

∃ x (|x|≥0 )h.

∀ x (x2−3 x+2=0 )

∃ x (x2−3 x+2≠0 )

2. Tentukan negasi pernyataan – pernyataan berikut

:

a. Semua laki – laki dapat dipercaya

( ∀ x P(x )¿

Negasinya :

Tugas Portofolio 81

Ada laki – laki yang tidak dapat dipercaya

(∃ x⇁P (x ) ¿

b. Ada segitiga sama kaki yang bukan segitiga

sama sisi

(∃ x⇁P ( x ))

Negasinya :

Semua segitiga sama kaki merupakan segitiga

sama sisi (∀ x P ( x ) )c. Beberapa matriks tidak memiliki invers

(∃ x⇁P ( x ))

Negasinya :

Semua matriks memiliki invers

(∀ x P ( x ))

d. Setiap perwira TNI adalah Laki-laki

(∀ x P ( x ))

Negasinya :

Ada perwira TNI yang bukan Laki-laki

((∃ x⇁P ( x ))

Tugas Portofolio 82

e. Beberapa gubernur di Indonesia adalah

perempuan

(∃ x P (x ) )Negasinya :

Semua gubernur di Indonesia yang bukan

perempuan (∀ x⇁P ( x ))

f. Setiap bilangan jika di pangkatkan nol akan

bernilai sama dengan 1 (∀ x P ( x ))

Negasinya :

Ada bilangan yang jika di pangkatkan nol

tidak sama dengan 1

(∃ x⇁P ( x ))g. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers

perkalian)

(∀ x P ( x ) )Negasinya :

Ada bilangan yang tidak memiliki kebalikan

(invers perkalian) (∃ x⇁P ( x ))h. Setiap jajargenjang adalah trapesium

(∀ x P ( x ) )

Tugas Portofolio 83

Negasinya :

Ada jajargenjang yang bukan trapesium

(∃ x⇁P ( x ))i. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh

penduduk (⇁∀ x P ( x ))

Negasinya :

Ada pulau di Indonesia yang tidak didiami

oleh penduduk (∃ x⇁P ( x ))

3. Tentukan negasi pernyataan – pernyataan

berikut, lalu tentukan nilai kebenaran negasi

pernyataan – pernyataan itu dengan semesta

pembicaranya adalah x= {1 ,2,3 ,4 ,5 }

a. ∀ x (4+x<10 ) (Benar)

x=1=¿4+1=5

x=2=¿4+2=6

x=3=¿4+3=7

x=4=¿4+4=8

x=5=¿4+5=9

Negasinya :

Tugas Portofolio 84

∃ x (4+x>10) (Salah)

b. ∃ x (4+x=7) (Benar)

x=3=¿4+3=7

Negasinya :

∀ x (4+ x≠7) (Salah)

c. ∀ x (4+ x≤7) (Salah)

Negasinya :

∃ x (4+x ≥7) (Benar)

x=4=¿4+4=8

x=5=¿4+5=9

d. ∃ x (4+x>8) (Benar)

x=5=¿4+5=9

Negasinya :

∀ x (4+ x<8) (Salah)

4. Tentukan negasi pernyataan – pernyataan berikut

ini.

a. ∃ x p ( x )∧∀ yq ( y )

Negasinya :⇁ (∃ x p ( x )∧∀ y q ( y ) )

Tugas Portofolio 85

∀ x⇁ p ( x )∨∃ y⇁ q ( y )

b. ∀ x p ( x )⇒∀ y q ( y )

Negasinya :⇁ (∀ x p ( x )⇒∀ y q ( y ) )∃ x p ( x )∧∃ y⇁q ( y )

c. ∀ x p ( x )∨∃ yq ( y )

Negasinya :⇁ (∀ x p ( x )∨∃ y q ( y ) )∃ x⇁ p (x )∧∀ y⇁ q ( y )

d. ∃ x p ( x )⇒∃ y q ( y )

Negasinya :⇁ (∃ x p ( x )⇒∃ yq ( y ))∀ x p ( x )∧∀ y⇁q ( y )

Setelah tugas di kumpulkan, Pa Krisna menanyai

satu-satu kepada kami tentang tugas yang baru saja

di kumpulkan, di mulai dari barisan belakang.

Pertemuan 10

Tugas Portofolio 86


Tugas

Latihan 1.6

1. Translate the following into symbolic form,

indicating appropriate choices for domains:

a. There exists an integer x such that 4= x+2

Jawab :

Ada sebuah bilangan bulat x seperti 4 = x – 2

(∃ x (4=x−2 )) (B)

b. For all integers x 4= x+2

Jawab :

Semua bilangan bulat x memenuhi 4 = x – 2

(∀ x (4=x−2 )) (S)

c. Every equilateral triangle is equiangular

Jawab :

Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga siku-

siku (∀ x P ( x )) (S)

d. All students like logic

Jawab :

Semua siswa menyukai logika

(∀ x P ( x ) ) (S)

Tugas Portofolio 87

e. Some student dislike logic

Beberapa murid tidak menyukai logika

(∀ x⇁P ( x )) (B)

f. No man is an island

Jawab :

Tidak ada laki-laki di dunia

⇁ (∃ x P ( x )) (S)

g. Everyone who understand logic like it

Jawab :

Setiap orang yang mengerti logika menyukai

itu (∀ x P ( x )) (S)

h. Each person has a mother

Jawab :

Setiap orang memiliki ibu

(∀ x P ( x )) (B)

i. Amongs all the integers there are some

which are primes

Jawab :

Diantara semua bilangan bulat ada beberapa

yang merupakan pernyataan(∃ x P ( x ))(B)

j. Some integers are even and divisible by 3

Tugas Portofolio 88

Jawab :

Beberapa bilangan bulat adalah bilangan

genap dan dapat dibagi dengan 3

(∃ xPx∧Qx )(B)

k. Some integers are even or divisible by 3

Jawab :

Beberapa bilangan bulat adalah bilangan

genap atau dapat dibagi dengan 3

(∃ xPx∨Qx ) (B)

l. All cyclic groups are abelian

Jawab :

Semua kelompok siklik adalah abelian.

(∀ x ( Px ) ) (B)

m. At least one of the letters in banana is a

vowel

Jawab :

Setidaknya satu dari kata dalam “BANANA”

adalah huruf vocal(∃ xP ( x ) ) (B)

n. One day next month is a Friday

Jawab :

Tugas Portofolio 89

Satu hari di bulan selanjutnya adalah hari

jum’at (∃ xP (x))

(B)

o. x2−4=0 has a positive solution

Jawab :

x2−4=0, mempunyai penyelesaian positif

(∀ x ( x2−4=0 ) ) (S)

p. Every solution of x2-4=0 is positive

Jawab :

Setiap penyelesaian dari x2−4=0 adalah

positif (∀ x ( x2−4=0 ) ) (S)

q. No solution of x2-4=0 is positive

Jawab :

Tidak ada penyelesaian dari x2−4=0 yang

positif ⇁ (∃ x ( x2−4=0 ) ) (S)

r. One candidate will be the winner

Jawab :

Satu kandidat akan menjadi pemenang

∃ xP (x)

Tugas Portofolio 90

(B)

s. Every element in set A is an element of set B

Jawab :

Setiap elemen dihimpunan A adalah adalah

elemen dari himpunan B (∀ xP(x ))(S)

2. Find an English negation for each of the

proposition in exercise 1 :

a. ⇁ (∃ x (4=x−2 ) )≡ (∀ x (4 ≠x−2 ) )For all integers x such that 4 ≠ x+2

(S)

b. ⇁ (∀ x (4=x−2 ) ) ≡ (∃ x (4 ≠x−2 ) )There exists an integer x, 4 ≠x+2

(B)

c. ⇁ (∀ x P ( x ) ) ≡ (∃ x⇁P(x))Some equilateral triangles is not equiangular

(B)

d. ⇁ (∀ x P ( x ) ) ≡ (∃ x⇁P(x))

Tugas Portofolio 91

Some students dislike logic

(B)

e. ⇁ (∀ x⇁ P ( x ) ) ≡ (∃ x P ( x ) )All tudents like logic

(S)

f. ⇁ (⇁ (∃ x P ( x ) ) )≡ (∃ xP ( x ))Some men is an island

(B)

g. ⇁ (∀ x P ( x ) ) ≡ (∃ x⇁P ( x ) )Someone who understands logic dislike it

(B)

h. ⇁ (∀ x P ( x ) ) ≡ (∃ x⇁P ( x ) )Not each person has a mother

(S)

i. ⇁ (∃ x P ( x )) ≡ (∀ x⇁P ( x ) ) All the integers there are some which aren’t

primes (S)

j. ⇁ (∃ xPx∧Qx ) ≡ (∀ x⇁ P ( x )∨⇁Q ( x ) )

Tugas Portofolio 92

All integers are odd or not divisible by 3

(S)

k. ⇁ (∃ xPx∧Qx ) ≡ (∀ x⇁ P ( x )∧⇁Q ( x ) )All integers are odd and not divisible by 3

(S)

l. ⇁ (∀ x (Px ) ) ≡ (∃ x⇁P ( x ) )Some cyclic groups are not abelian

(S)

m. ⇁ (∃ xP (x ) ) ≡ (∀ x⇁P (x ) )All of the letter in “BANANA” is consonant

(S)

n. ⇁ (∃ xP(x)) ≡ (∀ x⇁P (x ) )All day next month is not a Friday

(S)

o. ⇁ (∀ x (x2−4=0 ))≡ (∃ x (x2−4≠0 ))x2−4=0 has not a positive solution

(B)

p. ⇁ (∀ x ( x2−4=0 ))≡ (∃ x ( x2−4≠0 ))Some solution of ( x2−4≠0 ) is negative

(B)

Tugas Portofolio 93

q. ⇁ (⇁ (∃ x ( x2−4=0 ))) ≡∃ x ( x2−4=0 )

Every solution of ( x2−4=0 ) is negative

(B)

r. ⇁ (∃ xP (x ) ) ≡ (∀ x⇁P (x ) )All candidate won’t be the winner

(S)

s. ⇁ (∀ xP ( x ) )≡ (∃ x⇁P (x ) )Some element in set A isn’t an element of set

B (B)

3. Let D be the set of natural numbers (that is

D= {1 ,2 ,3 , 4 ,…}), p(x) be “ x is even” q(x) be

“ x is divisible by 3” and r(x) be “ x is divisible by

4”. For each of the following, express in english,

determine its truth value and give an English

negation.

a. ∀ x∈D , p ( x )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )) ≡ (∃ x∈D ,⇁ p ( x )) For all x in natural namber is even

(F)

Tugas Portofolio 94

There exists an x in natural number is

odd (T)

b. ∀ x∈D , p ( x )∨q ( x )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )∨q ( x ) ) ≡ (∃ x∈D ,⇁ p ( x )∧⇁ q ( x ) ) Every x in natural numbers are even or

divisible by 3 (F)

There exsists an x in natural numbers are

odd and not divisible by 3(T)

c. (∀ x∈D , p (x ) →q ( x ) )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )→q ( x ) )≡ (∃ x∈D , p ( x )∧⇁ q ( x ) ) For all x in natural numbers if x is even

then x is divisible by 4

(F)

There exists an x in natural numbers x is

even and x isn’t divisible by 3 (T)

d. ∀ x∈D , p ( x )∨r ( x )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )∨r ( x ) ) ≡ (∃ x∈D ,⇁ p ( x )∧⇁r ( x ) )

Tugas Portofolio 95

For all x in natural numbers x is even or x

is divisible by 4

(F)

There exsists an x in natural number x is

odd and x is not divisible by 4 (T)

e. ∀ x∈D , p ( x )∧q ( x )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )∧q ( x ) ) ≡ (∃ x⇁ p ( x )∨⇁q ( x ) ) For all x in natural numbers x is even and

x is divisible by 3 (F)

There exists an x in natural numbers x is

odd or x is not divisible by 3(T)

f. ∃ x∈D∋ r (x )

⇁ (∃ x∈D ,r (x ) ) ≡ (∀ x∈D ,⇁r ( x ) ) There exists an x in natural numbers

such that divisible by 4 (T)

For all x in natural numbers such that

not divisible by 4

(F)

Tugas Portofolio 96

g. ∃ x∈D∋ p ( x )∧q ( x )

⇁ (∃ x∈D , p ( x )∧q ( x ) ) ≡ (∀ x∈D ,⇁ p ( x )∨q (x ) ) There exists an x in natural numbers

such that x are even and x are divisible

by 3 (T)

For all x in natural numbers such that x

are odd or undivisible by 3

(F)

h. ∃ x∈D∋ p ( x ) →q (x )

⇁ (∃ x∈D∋ p ( x )→q ( x ) )≡ (∀ x∈D∋ p ( x )∧⇁ q ( x ) ) There exisits an x in natural numbers

such that if x is even then x is divisible by

3(T)

For all x in natural numbers such that x is

even and x is undivisible by 3 (F)

i. ∃ x∈D∋q ( x )→q ( x+1 )

⇁ (∃ x∈D∋q ( x ) →q (x+1 ) ) ≡ (∀ x∈D∋q ( x )∧⇁ q ( x+1 ) )

Tugas Portofolio 97

There exists an x in natural numbers

such that if x is even then ( x+1 )is

divisible by 3 (T)


divisible by 3 and ( x+1 ) is undivisible by

3 (F)

j. ∃ x∈D∋ p ( x ) ↔q (x+1 )

⇁ (∃ x∈D∋ p ( x )↔q ( x+1 ) )≡ (∀ x∈D∋ ( p ( x )∧⇁q ( x+1 ) ) (q ( x+1 )∧⇁ p ( x ) ) ) There exists an x in natural numbers

such that x is even if only if ( x+1 )is

divisible by 3 (T)


even and ( x+1 ) is not divisible by 3 or

( x+1 ) is divisible by 3 and x is odd (F)

k. ∀ x∈D ,r (x ) → p ( x )

⇁ (∀ x∈D ,r ( x )→ p (x ) ) ≡ (∃ x∈D ,r ( x )∧⇁ p ( x ) ) There exists x in natural numbers if x is

divisible by 4 then x is odd

Tugas Portofolio 98

(T)

For all in natural numbers x is divisible by

4 and x is even

(F)

l. ∀ x∈D , p ( x ) →⇁ q ( x )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )→⇁q ( x ) ) ≡ (∃ x∈D , p ( x )∧q ( x ) ) For all x in natural numbers if x is even

then x is undivisible by 3

(F)

There exists x in natural numbers an x is

even and x is divisible by 3 (T)

m. ∀ x∈D , p ( x ) → p ( x+2 )

⇁ (∀ x∈D , p ( x )→ p ( x+2 ) ) ≡ (∃ x∈D , p ( x )∧⇁ p (x+2 ) ) For all x in natural numbers if x is even

then ( x+2 )is even (F)


even and ( x+2 ) is odd (T)

Tugas Portofolio 99

n. ∀ x∈D ,r (x ) →r ( x+4 )

⇁ (∀ x∈D ,r ( x )→r ( x+4 ) ) ≡ (∃ x∈D ,r ( x )∧⇁ r ( x+4 ) ) For all x in natural numbers if x divisible

by 4 then ( x+4 ) is divisible by 4 (F)



4 (T)

o. ∀ x∈D ,q ( x )→q ( x+1 )

⇁ (∀ x∈D ,q ( x ) →q (x+1 ) ) ≡ (∃ x∈D ,q ( x )∧⇁ q ( x+1 ) ) For all x in natural numbers if x is divisible

by 3 then ( x+1 ) is divisible by 3 (F)



3 (T)

A list of Tautologies

1. p∨⇁ p

2. ⇁ ( p∧⇁ p )

Tugas Portofolio 100

3. p→ p4. a) p↔ ( p∨ p ) idempotent laws

b) p↔ ( p∧ p )5. ⇁⇁ p↔ p

double negation

6. a) ( p∨q )↔ (q∨ p )communicative laws

b) ( p∧q )↔ (q∧ p )

7. a) ( p∨ (q∨ r ) ) ↔ ( ( p∨q )∨ r )associative laws

b) ( p∧ (q∧ r ) ) ↔ ( ( p∧q )∧ r )8. a) ( p∧ (q∨ r ) ) ↔ ( ( p∧q )∨ ( p∧ r ) )

distributive laws

b) ( p∨ (q∧ r ) ) ↔ ( ( p∨q )∧ ( p∨ r ) )9. a) ( p∨c ) ↔ p

identity lawsb) ( p∧c ) ↔cc) ( p∨ t )↔td) ( p∧ t )↔ p

10. a) ⇁ ( p∧q )↔ (⇁ p∨⇁ q )DeMorgan’s laws


b) ⇁ ( p∨q )↔ (⇁ p∧⇁ q )

11. a) ( p↔q )↔ ( ( p→q )∧ (q→ p ) )equivalence

b) ( p↔q )↔ ( ( p∧q )∨ (⇁ p∧⇁q ) )c) ( p↔q )↔ (⇁ p↔⇁ q )

12. a) ( p→q )↔ (⇁ p∨q )implication

b) ⇁ ( p→q ) ↔ ( p∧⇁ q )

13. ( p→q )↔ (⇁ q→⇁ p )contrapositive

14. ( p→q )↔ ( ( p∧⇁ q ) →c )reductio ad absurdum

15. a) ( ( p→r )∧ (q→r ) )↔ ( ( p∨q )→r )b) ( ( p→q )∧ ( p→r ) ) ↔ ( p→ (q∧ r ) )

16. ( ( p∧q )→r ) ↔ ( p→ (q→r ) )exportation laws

17. p→ ( p∨q )addition

18. ( p∧q )→ psimplification


19. ( p∧ ( p→q ) ) →qmodus ponens

20. ( ( p→q )∧⇁q ) →⇁ pmodus tollens

21. ( ( p→q )∧ (q→r ) ) → ( p→r )hypothetical

syllogism

22. ( ( p∨q )∧⇁ p ) →qdisjunctive syllogism

23. ( p→c ) →⇁ pabsurdity

24. ( ( p→q )∧ (r →s )) → ( ( p∨ r ) → (q∨ s ) )25. ( p→q )→ ( ( p∨r ) → (q∨r ) )

Pertemuan 11


Contoh soal 1 :

“Semua singa menyeramkan”

- 𝑥 adalah singa = P(𝑥)


- 𝑥 itu menyeramkan = Q(𝑥)

“Beberapa singa tidak minum kopi”

- 𝑥 adalah singa = P(𝑥)

- 𝑥 tidak minum kopi = Q(𝑥)

Kesimpulan

∀ x ( P ( x )→Q (x ) )

∃ x (P ( x )⋀⇁Q(x))

1. P(a) → Q(a)

2. P(a) ∧ ⇁ R(a)

3. P(a)

4. ⇁ R(a)

5. Q(a)

6. Q(a) ∧ ⇁ R(a)

∃ x (Q ( x )⋀⇁R ( x ))

∴Beberapa yangmenyeram kantidak minum kopi

Catatan :


Semua pernyataan harus bernilai benar agar

kesimpulan menjadi benar, jika salah satu salah

makakesimpulan akan salah

P1

P2

P3

⋮

Pn

∴Kesimpulanbenar

P1

P2

P3

⋮

Pn

Maka kesimpulan

akan salah

Cara Menyimpulkan

1. Addition

P

∴ p⋁ q

2. Simplify

p ∧ q∴ p

3. Konjungsi

p

q

∴ p⋀ q

4. Disjunctive

syllogism

p∨q


⇁ p

∴q

5. Modus

ponens(the mode

of offirming)

p

p → q

∴q

6. Modus

Tollens(The mode

of denying)⇁q

p → q

∴⇁ p

7. Hipotetical

syllogism

p → q

q → r

p → r

8. Universal

instantiation

∀ x P ( x )

∴ P(a)

9. Eksistensial

instantiation

∃ x P ( x )

∴ P(a)

10. Universal

Generalization

P(a)

∴∀ x P ( x )

11. Eksistential

Generalization

P(c)

∴∃ x P (x )Contoh soal 2 :


1. It is not sunny and it is cold = ⇁sunny ∧ cold

2. We swim only if it is sunny =

swim → sunny

3. If we do not swim, then we will be canoe = ⇁swim → canoe

4. If we come then we will be home early = canoe → early

5. ⇁sunny = simplify 1

6. Cold = simplify 1

7. ⇁swim = Modus tollens 5 dan 2

8. Canoe = Modus ponens 7 dan 3

9. Early = Modus ponens 8 dan 4

Pertemuan 12


Soal 1 :

“penambahan 50 poin untuk uts bagi yang bisa”

(namun tidak ada yang bisa)


Show that ⇁ ( P⋁ (⇁ p⋀ q ) ) ≡⇁ p⋀⇁q

Without using table of truth !

⇁ ( P⋁ (⇁ p⋀ q ) ) ≡⇁ p⋀⇁q

⇁P⋀ (⇁ p⋀ q ) ≡⇁ p⋀⇁ q

⇁P⋀⇁ (⇁ p⋀ q )≡⇁ p⋀⇁q

⇁P⋀ ( p⋁⇁ q ) ≡⇁ p⋀⇁ q

(⇁ p⋀ p ) ⋁ ( p⋀⇁ q ) ≡⇁ p⋀⇁ q

S ∨ B S

Soal 2 :

1) Semua merak itu kaya akan warna

2) Tidak ada burung besar yang hidup di dahan


3) Burung yang hidup tidak di dahan, memiliki

sedikit warna

Kesimpulan

Burung merak itu kecil ∀ x ( M ( x )→⇁B ( x ) )

Pembuktian soal:

1.) ∀ x ( M ( x )→ K ( x ) )2.) ⇁∃ x ¿

3.) ∀ x (⇁D (x ) →⇁ K (x ))

Persamaan 2 dan 3

∀ x (B ( x )→⇁D ( x ))

∀ x (⇁D (x ) →⇁ K (x ))

∀ x (B ( x )→⇁K ( x )) …Persamaan 4

Persamaan 1 dan 4

∀ x ( M ( x )→ K ( x ) )


∀ x (B ( x )→⇁K ( x ))

∀ x ( M ( x )→⇁B ( x ) )Jadi kesimpulan benar dan terbukti “Burung merak itu

kecil”

Soal 3 :

1) Saya mungkin bermimpi atau halusinasi

2) Saya tidak sedang bermimpi

3) Jika saya berhalusinasi maka saya akan melihat

gajah berbikini

Tentukan kesimpulan yang bisa dibuat !

1)P(x) ∨ Q(x)

2)⇁P

3)Q(x) → R(x)

Persamaan 1 dan 2

P(x) ∨ Q(x)⇁P

Q(x) Disjunction syllogism (persamaan 4)

Persamaan 3 dan 4


Q(x) → R(x)

Q(x)

R(x) Modus ponens

∴ kesimpulannya saya akan melihat gajah berbikini

Soal 4 :

Ada seorang laki – laki yang ingin menuju ke kuil

merh,namun ia tidak tau jalan, lalu saat di jalan ia

menemukan pertigaan, ia memiliki dua pilihan yaitu

jalan ke kanan atau ke kiri, di masing – masing jalan di

jaga oleh iblis, yang satu iblis yang suka berkata jujur

dan yang satu lagi suka berkata bohong(kita belum

tau mana jalan mana yang di jaga oleh iblis yang suka

berkata jujur dan mana yang suka berkata bohong), ia

hanya memiliki kesempatan untuk bertanya satu kali.

Pertanyaan apakan yang harus ia ajukan ?


B A B B

J J

Seorang laki-laki

Pertanyaan yang akan diajukan:

- Jika iblis A sedang Bohong dan iblis B sedang

Jujur

Saya bertanya ke iblis B “jika saya bertanya

kepada iblis A kemana jalan menuju ke kuil

merah ? kira – kira iblis B akan menjawab

apa ?” Iblis B menjawab iblis A akan

menjawab kiri.Karena iblis B Jujur maka ia

akan berkata yang sebenarnya, padahal iblis

A berkata Bohong, jadi jalan menuju kuil

merah adalah ⇁ kiri yaitu kanan.

- Jika iblis A sedang jujur dan iblis B sedang

Bohong

Saya bertanya ke iblis B “jika saya bertanya

kepada iblis A kemana jalan menuju ke kuil

merah ? kira – kira iblis B akan menjawab


apa ?” Iblis B menjawab iblis A akan

menjawab kanan. Karena iblis B Bohong

maka ia akan menjawab sebaliknya atau ⇁kanan yaitu kiri. Padahal jalan menuju kuil

merang adalah ⇁ kiri yaitu kanan.

Pertemuan 13

Tanggal Latihan : 3 November 2011

Soal 1

∃ x ¿

1. ∃ x P ( x )∃ xQ(x ) Premise

2. ∃ x P ( x ) Simplify 1

3. P (c ) Eksistensial

instantiation 2

4. ∃ x Q(x) Simplify 1

5. Q(c) Eksistensial

instantiation 4

6. P(c) ∧ Q(c) Conjunction 3 and

5


7. ∃ x ¿ Eksistential Generalization

6

Identify the error or errors from argument ?

Jawab :

5 and 6 errors

Example

Ada x, sehingga x bilangan prima dan bilangan genap

∃ x P ( x )

P(3) = bilangan prima

∃ x G ( x )

Q(3) = Q belum tentu 3 karena 3 bukan

bilangan genap

Soal 2

Jika a =1 dan b =1

1) a=b2) a .a=b .a

3) a2=ab

4) a2– b2=ab – b2

5)(a−b)(a+b)=b (a – b)


6)(a−b)(a+b)

a –b=

b(a – b)a−b

a+b=b

1+1=2

Cari syarat yang salah !

Jawab :

Syarat pembagian yang salah yaitu pada proses ke 6,

karena a- b = 1-1= 0, semua bilangan yang dibagi

dengan 0 hasilnya tidak tentu. ab

,dimanab≠0.

Pertemuan 14

Hari/Tanggal Latihan : Jum’at/ 4 November 2011

1. Semua mahasiswa TI mengambil mata kuliah

pengantar dasar matematika

2. Tatang mengambil mata kuliah pengantar dasar

matematika

∴ Tatang merupakan mahasiswa TI

Buktikan kesimpulannya!

Jawab :


TI

Kesimpulan bisa benar bisa salah karena tidak ada

pembatasan yang mengambil mata kuliah pengantar

dasar matematika. Karena mahasiswa Pendidikan

Matematika juga mengambil mata kuliah pengantar

dasar matematika.

PDM

Pertemuan 15

Hari/Tanggal UTS : Kamis/10 November 2011

Soal UTS kode A


1. Jelaskan perbedaan pernyataan tertutup dan

pernyataan terbuka ! Berikan masing – masing

satu!

2. Buat tabel kebenaran dari konjungsi (∧), disjungsi

(∨), implikasi (→) dan biimplikasi (↔) !

3. Berikan contoh kalimat dari konjungsi dan

biimplikasi yang tidak sesuai dengan tabel

kebenarannya !

4. Tuliskan pernyataan berikut dengan

menggunakan kuantor dan fungsi preposisi : “

Tidak ada kucing yang memahami Pengantar

Dasar Matematika”

5. Komisi Etik telah mewawancarai lima saksi

perkara korupsi, yaitu : Tuti, Lili, Joni, Daud, dan

Angga. Diperoleh kesimpulan bahwa :

(i) Jika Tuti dan Joni berbohong, maka Lili

berkata sebenarnya.


(ii) Jika Tuti berkata yang sebenarnya, maka

Daud berbohong.

(iii) Daud adalah seorang dengan integritas tinggi

sehingga ia tidak pernah berbohong.

(iv) Lilia atau Angga berbohong.

(v) Jika Tuti atau Angga berbohong, maka Joni

juga berbohong.

6. Buktikan kebenaran kesimpulan dari argument di

bawah ini !

(i) Hari ini tidak cerah dan kemungkinan terjadi

hujan.

(ii) Nelayan melaut hanya jika cerah.

(iii) Jika nelayan tidak melaut, maka mereka akan

memancing.

(iv) Jika mereka memancing, maka mereka tidak

bermalam di laut.

∴ Nelayan tidak bermalam di laut.

7. Find an error or errors from the sequence below !


If ∀ x¿ TRUE, then ∀ x P ( x )∀ xQ(x ) must be

TRUE.

(i) ∀ x¿ Premise

(ii) P (c )Q(c) Universal

Instatiation (i)

(iii) P(c) Simplify

(ii)

(iv) ∀ x P ( x )

Generalization (iii)

(v) Q(c) Simplify

(iv)

(vi) ∀ xQ(x )

Generalization (v)

(vii) ∀ x P ( x )∀ xQ(x )

Conjunction (iv) and (vi)

8. Proof that argument below which have q as a

conclution is correct !

p∨q

q→⇁ p


p→q

∴q

9. Didevinisikan p∆ q bernilai salah bila p dan q

keduanya bernilai benar dan p∆q bernilai benar

pada kondisi yang lain. Berdasarkan definisi

tersebut, tentukan :

a. Buatlah tabel kebenaran dari ∆ q !

b. Tunjukkan bahwa p∆ p equivalent dengan

⇁ p

c. Tunjukkan bahwa ( p∆ q ) ∆(q ∆ p)

equivalent dengan p∧q

10.Sebutkan nama anak dari ibu anda yang bukan

merupakan kakak anda dan bukan merupakan

adik anda !

Pertemuan 16

Hari/Tanggal : Jum’at/ 11 November 2011


Membahas Soal UTS

1. Pernyataan Tertutup : Pernyataan

yang memiliki

nilai kebenaran

yaitu benar atau

salah, namun

tidak mungkin

memiliki

keduanya atau

benar dan salah.

Contoh : 4 + 3 = 7 (Benar)

Pernyataan Terbuka : Pernyataan

yang tidak

memiliki

nilaikebenaran,

atau belum bisa

di tentukan nilai

kebenarannya


Cotoh : Wajah dia ganteng (ganteng bersifat

relative)

2. Tabel kebenaran konjungsi (∧), disjungsi (∨),

implikasi (→) dan biimplikasi (↔)

Konjungsi Disjungsi

Implikasi Biimplikasi

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

B B B B B B

B S S B S S

S B S B B S

S S S S B B

3. Contoh kalimat konjungsi yang tidak sesuai :

“Di jual Batagor dan Siomay”

- Beli Batagor dan Siomay (Benar)

- Beli Batagor saja (Salah) => tidak

sesuai, bagi pihak pembeli dan penjual


- Beli Siomay saja (Salah) =>

tidak sesuai, bagi pihak penjual dan pembeli

- Tidak membeli Batagor dan Siomay(Salah) =>

tidak sesuai, bagi pembeli

Contoh kalimat biimplikasi yang tidak sesuai :

“Abang datang Jika dan hanya jika hari cerah”

- Abang datang dan hari cerah

(Benar)

- Aang tidak datang dan hari cerah (Salah)=>

tidak sesuai, karena tidak menepati janji

- Abang datang dan hari tidak cerah (Salah)=>

tidak sesuai, hargai pengorbanan si Abang

- Abang tidak datang dan hari tidak

cerah(Benar)

4. Kuantor ¿

5. Diperoleh data :

(i) (⇁T ∧ ⇁ J) → L

(ii) T → ⇁ D


(iii) D

(iv) ⇁ L ∨ ⇁ A(v) (⇁ T ∨ ⇁ A) → ⇁ J(vi) D = pernyataan (iii)

(vii) ⇁ T = pernyataan (ii)

(viii) ⇁ J = pernyataan (i)

(ix) L = pernyataan (i)

(x) ⇁ A = pernyataan (iv)

∴ yang berkata jujur adalah Daud dan Lilia,

sedangkan yang Berbohong adalah Tuti, Joni dan

Angga.

6. Diperoleh data :

(i) ⇁ C ∧ H

(ii) L ↔ C

(iii) ⇁ L → M

(iv) M → ⇁ B

∴Nelayantidak bermalam di Laut (⇁B)

(v) ⇁ C Pernyataan (i)

(vi) H Pernyataan (i)


(vii) ⇁ L Pernyataan (ii)

(viii) M Pernyataan (iii)

(ix) ⇁ B Pernyataan (iv)

Terbukti bahwa Nelayan tidak bermalam di Laut.

7. Mana yang salah atau tidak sesuai

(i) ∀ x¿ Premise

(ii) P (c )Q (c) Universal

Instatiation (i)

(iii) P(c) Simplify (ii)

=> simplify harus dari bentuk

konjungsi

(iv) ∀ x P ( x ) Generalization (iii)

=> karena pernyataan iii salah

(v) Q(c) Simplify (iv)

=> simplify harus dari bentuk

konjungsi

(vi) ∀ xQ(x ) Generalization (v)

=> Karena pernyataan v salah

(vii) ∀ x P ( x )∀ xQ(x ) Conjunction (iv)

and (vi) => Conjuncion harusnya


tandanya ∧Jadi, pernyataan yang salah atau tidak sesuai

adalah pernyataan (iii),(iv),(v),(vi),dan (vii)

8. Pembuktian :

(i) p∨q

(ii) q→⇁ p

(iii) p→q

∴q

Pernyataan (ii) dan

(iii)

q→⇁ p

p→q

p→⇁ p

S→B=B

Pernyataan (i)

p∨q

S ∨ B = B

⇁ p

q =>Terbukti


9. p∆ q bernilai salah bila p dan q keduanya bernilai

benar dan p∆q bernilai benar pada kondisi yang

lain.

a. Tabel kebenaran p∆ q

P q p∆q

B B S

B S B

S B B

S S B

b. p∆ p≡⇁ p

P p ⇁ p p∆ p

B B S S

B B S S

S S B B

S S B B

≡


c. ( p∆q ) ∆ (q∆ p ) ≡ p∧q

P q p∆ q q ∆ p ( p∆q ) ∆ (q∆ p ) p∧q

B B S S B B

B S B B S S

S B B B S S

S S B B S S

≡

10.MEGA PUSPITA DEWI

Pertemuan 17

Hari / Tanggal : Kamis / 17 November

2011


METODE PEMBUKTIAN

Syarat atau cara melakukan pembuktian :

1. Analisis : Kemampuan untuk melihat

komponen – komponen penyusun

Contoh :

- Jaringan menjadi sel

- Komponen penyusun makanan

2. Sintesa : Kebalikan dari analisa, mampu

membuat sesuatu yang baru dari

komponen yang tersedia

Contoh :

- Ada telur, mentega, terigu, margarine, bagai

mana cara nya agar bisa menjadi kue.

3. Deduktif : Suatu konsep yang didasari oleh

konsep sebelumnya

Contoh :

- Konsep perkalian dari konsep penjumlahan

2 x 3 = 3 + 3

Sebanyak 2

4. Abduktif : Memerlukan tahapan yang dilalui


Contoh :

p → q

q → r

∴ p→r => tahapannya dari p ke q dan dari

q ke r maka p → r

Cara pembuktian :

1. Direct proof ( Pembuktian Langsung)

Implikasi : p → qKontrapositive : ⇁ q → ⇁ p

2. Indirect Proof ( Pembuktian tidak Langsung )

Example :

- Kontradiksi

- Counterexample

- Silogisme, etc

Pembuktian :

Diketahui Genap = 2m, dan Ganjil adalah 2m + 1

1. Genap + Genap = Genap

2m + 2n = 2( m + n)


2m + 2n = 2 k, misalkan (m

+ n) = k, k ⋲B

2. Ganjil + Ganjil= Genap

(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2

(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)

(2m + 1) + (2n + 1) = 2 l , misalkan (m

+ n + 1) = l, l ϵ B

3. Genap + Ganjil= Ganjil

2m + (2n + 1) = 2m + 2n + 1

2m + (2n + 1) = 2(m + n) + 1

2m + (2n + 1) = 2 p + 1, misalkan

(m + n) = p, p ϵ B

4. Genap x Genap = Genap

2m x 2n = 4mn

2m x 2n = 2(2mn),

2m x 2n = 2 q, misalkan

(2mn) = q, q ϵ B


5. Ganjil x Ganjil = Ganjil

(2m + 1) x ( 2n + 1) = 4 mn + 2m + 2n

+ 1

(2m + 1) x ( 2n + 1) = 2(2 mn + m + n)

+ 1

(2m + 1) x ( 2n + 1) = 2r + 1, misalkan

(2 mn + m + n) = r, r ϵ B

6. Ganjil x Genap = Genap

(2m +1) x 2n = 4mn + 2n

(2m +1) x 2n = 2(2mn + n)

(2m +1) x 2n = 2 s, misalkan

(2mn + n) = s, s ϵ B7. ( + ) x (+) = ( + )

a x b = b + b + b + b

+ . . . + b

Sebanyak

a

a x b = Positif ( + ) ab

8. ( + ) x ( - ) = ( - )


a x (-b) = (-b) + (-b) + (-b) +

. . . + (-b)

Sebanyak a

a x (-b) = Negatif ( - ) ab

9. ( - ) x ( + ) = ( - )

(-b) x a = a x (- b)

=> Komutatif

(-b) x a = Negatif ( -) ab

10. ( - ) x ( - ) = ( + )

(-a) x (-b) = ?

(-a) x 0 = 0

(-a) x (b + (-b)) = 0

(-a). b x (-a). (-b) = 0

-abx ? = 0

-abx ab = 0

Tugas :


1. Ganjil : Ganjil = Ganjil

(2m + 1) : (2n + 1) = [2m+12n+1 ]

(2m + 1) : (2n + 1) = [2a+12b+1 ] ,

dimana a, b ϵ B

2. Genap : Genap = Genap

2m : 2n = [2m2n ]

2m : 2n = [2a2b ] , dimana

a, b ϵ B

3. Genap - Genap = Genap

2m - 2n = 2 (m – n )

2m - 2n = 2 a, misalkan (m

– n) = a, a ϵ B

4. Ganjil - Ganjil = Genap


(2m + 1) - (2n +1) = 2(m – n)

(2m + 1) - (2n +1) = 2b, misalkan (m

– n) = b, b ϵ B

5. Genap - Ganjil = Ganjil

2m - (2n + 1) = 2 (m – n) – 1

2m - (2n + 1) = 2 c – 1, misalkan

(m – n ) = c, c ϵ B

6. Ganjil - Genap = Ganjil

(2m + 1) - 2n = 2 (m – n) + 1

(2m + 1) - 2n = 2 d + 1, misalkan

(m – n) = d, d ϵ B

7. [Ganjil+Ganjil ]2 = Genap

[Genap ]2 = (Genap) (Genap)

[Genap ]2 = (2m) (2n)

[Genap ]2 = 4mn

[Genap ]2 = 2(2mn)


[Genap ]2 = 2 e, misalkan

(2mn) = e, e ϵ B

8. [Genap ]2 = (Genap) (Genap)

[Genap ]2 = (2m) (2n)

[Genap ]2 = 4mn

[Genap ]2 = 2(2mn)

[Genap ]2 = 2 f, misalkan

(2mn) = f, f ϵ B

9. [Ganjil ]2 = Ganjil

(Ganjil)(Ganjil) = (2m + 1)(2n + 1)

(Ganjil)(Ganjil) = 4mn + 2m + 2n +

1

(Ganjil)(Ganjil) = 2(2mn + m + n) +

1

(Ganjil)(Ganjil) = 2 g + 1, misalkan

(2mn + m + n) = g, g ϵ B


10. [Ganjil :Ganjil ]2 = Ganjil

[GanjilGanjil ]

2

= [2m+12n+1 ]

2

[GanjilGanjil ]

2

= 4m2+4m+14n2+4 n+1

[GanjilGanjil ]

2

=

2(2m2+2m)+12(2n2+2n)+1

[GanjilGanjil ]

2

= 2h+12 i+1 , h dan i

ϵ B

11. [Ganjil ]2 - [Genap ]2 = Ganjil

(2m+1)2−(2n)2 = 4m2+2m+1−4n2

(2m+1 )2−(2n )2 = 2 (2m2+m−2n2 )+1

(2m+1 )2−(2n )2 = 2 j + 1, misalkan

(2m2+m−2n2 ) = j, j ϵ B


12. Adakah bilangan prima yang genap selain 2 ?

Tidak ada, karena bilangan prima hanya memiliki

2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

13. Apakah semua bilangan prima adalah bilangan

ganjil selain 2?

Ya

Pertemuan 18

Hari / Tanggal Catatan : Jum’at/ 18 November 2011

Methods of Proof

Teorema : Jika m, n ϵ B Genap, maka m + n

ϵ B Genap

p →q


1. Bukti Langsung

p = m, n ϵ B Genap

Maka dapat dinyatakan m = 2k dan n = 2j, dimana

k dan j ϵ B sehingga,

m + n = 2k + 2j

m + n = 2 ( k + j ), misalkan (k + j) = l, dimana j ϵ Bm + n = 2 j

Kesimpulannya m + n ϵ BGenap. Proof

2. Bukti contrapositif ( ⇁ q → ⇁ p )

m, n ϵ B⇁ q = m + n ≠ Genap ( Ganjil )

Maka dapat dikatakan m + n = 2k + 1, k ϵ B

Kemungkinan 1

Missal m ϵ B Ganjil , maka selesai dan TERBUKTI

Kemungkinan 2

Missal m ϵ BGenap

Berarti m = 2j, dimana j ϵ BSehingga


n = m – m + n

n = (m + n) – m

n = 2k + 1 – 2j

n = 2(k – j) + 1

n = 2 l + 1, dimana l ϵ B

Didapat n ϵ B Ganjil ( ⇁ p )

3. Bukti Tidak Langsung

m, n ϵ B Genap

m + n ϵ B Ganjil

Sehingga dapat dinyatakan m = 2k dan m + n = 2j

+ 1, dimana k dan j ϵ B, kemudian dapat

ditentukan:

n = n + m – m

n = (m + n) – m

n = 2j + 1 – 2k

n = 2( j – k ) + 1

n = 2 l + 1, misalkan (j – k) = l, dimana l ϵ Bdengan kata lain n ϵ BGanjil


“ hal ini kontradiksi dengan permisalan atau

premis m, n ϵ B Genap” Berarti permisalan

SALAH

p → q

p

p ∧ ⇁ q ( salah)

harusnya p ∧ q

Contoh Lain :

Buktikan bahwa tidak ada x bilangan rasional sehingga

x2=2 misal x bilangan rasional, sehingga x dapat

dinyatakan dengan ab

, b ≠ 0, FPB (a,b) = 1 akibatnya :

x2=a2

b2

2 = a2

b2

a2=2b2. . . (1)


Didapat a bilangan Genap. Dengan kata lain a = 2k,

dimana k ϵ B, jadi

(2k )2=2b2

4 k2= 2b2

2k2=b2 . . . (2)

Didapat b bilangan Genap, jadi ab

memiliki FPB (a, b)

≥ 2.

Hal ini kontradiksi dengan permisalan x bilangan

rasional karena FPB (a, b) ≠ 1

INDUKSI MATEMATIKA

1=1

1+2=3

1+2+3=6


1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+…+100=?

Rumus :

1 + 2 + … + n = n2(n+1)

Pembuktian :

- Untuk n = 1

1=12

(1+1 )

1=1 => Benar

- Untuk n = k => 1 + 2 + 3 + … + k =

k2(k+1) (asumsikan benar)

Akan dibuktikan bahwa benar untuk n = k + 1


1 + 2 + 3 + … + k + k + 1) = k+12

( k+1+1 )

k2

( k+1 ) (k + 1) = k+12

( k+2 )

(k+1 )( k2+1) =

k+12

( k+2 )

(k+1 )( k+22

) = k+12

( k+2 )

TERBUKTI

Pertemuan 19

Hari/ Tanggal Catetan : Kamis / 24 November

2011

Tugas Pembuktian hal 44

Menentukn dari “Pembuutian” berikut ini benar dan

salah, jika bukti benar, tunjukan jenis pembuktiannya

dan jika bukti salah, tunjukan mengapa itu salah :

a. “Pembuktian 1”

Bukti Langsung :

x , y ϵ BilanganGanjil ,maka x− y ϵ BilanganGenap

p→q


x , y ϵ BilanganGa njil : x=2 j+1dan y=2k+1, j dank ϵ B

Sehingga didapat :

x− y=(2 j+1 )−(2k+1 )

x− y=2 j+1−2k−1

x− y=2 j−2k

x− y=2 ( j−k )

x− y=2l ,misalkan j−k=l ,dan l ϵ B

x− y=BilanganGenap ,Terbukti

Bukti Kontrapositif :

x− y ϵ BilanganGanjil ,maka x , y ϵ BilanganGenap

⇁q →⇁ p

maka x− y=2 t+1 , t ϵ B

Kemungkinan 1 :

Missal x ϵ BilanganGenap, Terbukti

Kemungkinan 2 :

Misal x ϵ BilanganGanjil ,maka x=2 j+1. j ϵ BSehingga didapat :

y=x−x+ y

− y= (x− y )−x


− y= (2t+1 )−(2 j+1 )

− y=2t +1−2 j−1

− y=2t−2 j

y=2 j−2 t

y=2 ( j−t )

y=2 p ,misalkan j−t=pdimana p ϵ B

y=BilanganGenap

Hal ini kontradiksi dengan permisalan awal, maka

permisalan salah.

b. “Pembuktian 3”

Bukti Langsung

jika x− y ϵ Bilangan Ganjil ,maka x ,ϵ Bilangan Genap

p→q

x− y ϵ BilanganGanjil ,maka didapat x− y=2 j+1 , j ϵ B

misal y=2k+1 , k ϵ B , y ϵ BilanganGanjil

Sehingga didapat :

x=x− y+ y

x=( x− y )+ y


x=2 j+1− (2k+1 )

x=2 j+1−2k−1

x=2 j−2k

x=2 ( j−k )

x=2 l ,dimana l ϵ B ,

x ϵ BilanganGenapTERBUKTI

Bukti Kontrapositif

Jika x , ϵ BilanganGanjil maka x− y ϵ Bilangan Genap

⇁q →⇁ p

x ϵ BilanganGanjil maka didapat x=2 l+1 , dimanal ϵ B

Kemungkinan 1 :

Misal x− y ϵ BilanganGanjil maka didapat x− y=2i+1 ϵ B

Sehingga didapat :

x=x− y+ y

x=( x− y )+ y

x=(2 i+1 )+2l+1

x=2 i+2l+2

x=2 ( i+ l+1 )

x=2 j ,misal (i+l+1 )= j , dimana j ϵ B


x ϵ BilanganGenap

Hal ini kontradiksi dengan permisalan awal, maka

permisalan salah.

c. “ Pembuktian 5”

Bukti Langsung

jika x , yϵ Bilangan Genapmaka x− y ϵ BilanganGanjil

p→q

x , y ϵ BilanganGenap

maka dapat dinyatakan x=2 j dan y=2k ,dimana j dank ϵ B

Sehingga didapat :

x− y=2 j−2k

x− y=2 ( j−k )

x− y=2l ,misal j−k=l , dimanal ϵ B

x− y ϵ BilanganGenap


TERBUKTI

d. “Pembuktian 7”

Bukti Langsung

Jika x , y ϵ BilanganGenap maka x− y ϵ BilanganGenap

p→q

x , y ϵ BilanganGenap

Maka didapat :

x=2 j dan y=2k ,dimana j dank ϵ B

Sehingga didapat :

x− y=2 j−2k

x− y=2 ( j−k )

x− y=2l ,misal j−k=l , dimanal ϵ B

x− y ϵ BilanganGenap


TERBUKTI

e. “Pembuktian 9”

Bukti Langsung

Jika x− y ϵ BilanganGanjilmaka y ϵ BilanganGenap

p→q

x− y ϵ BilanganGanjil

Maka didapat :

x− y=2 j+1, dimana j ϵ B

x ϵ BilanganGanjil

x=2k+1

Sehingga didapat :

y=x−x+ y

y=x−( x− y )


y=2k+1−(2 j+1 )

y=2k+1−2 j−1

y=2k−2 j

y=2 (k− j )

y=2l ,misal k− j=l , dimanal ϵ B

y ϵ BilanganGenap

TERBUKTI

Setelah membahas tugas, dilanjutkan dengan materi :

INDUKSI MATEMATIKA

1 =1

2 + 3 + 4 = 9

3 + 4 + 5 + 6 + 7 =

25

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49


5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 81

Rumus :

n→ (2n−1 )2=n+ (n+1 )+…+(3n−2 )

Pembuktian :

Untuk n = 1

(2.1−1 )2=1

=

>

(

B

e

n

a

r

)


U

n

t

u

k

n

=

k

(2k−1 )2=k+(k+1 )+…+(3k−2 )

(Asumsikan Benar)

(2k−1 )2−k= (k+1 )+…+(3k−2 )

Akan dibuktikan bahwa berlaku untuk n

= k +

1


(2 (k+1 )−1 )2=(k+1 )+( k+2 )+…+(3k−2 )+(3k−1 )+3 k+(3k+1 )

(2k+1 )2=(2k−1)2−k+ (3k−1 )+3k+ (3 k+1 )

(2k+1 )2=4k2−4 k+1−k+9k

(2k+1 )2=4k2+4k+1

(2k+1 )2=(2k+1 )2

TERBUKTI

Pertemuan 20

Hari/ Tanggal : Jum’at/ 25 November

2011

Memberikan tugas

13=1

13+23=9

13+23+33=36


13+23+33+43=100

Buktikan menggunakan induksi matematika !

Pertemuan 21

Hari/ Tanggal : Kamis/ 1 Deseber 2011

Pembahasan Tugas Hari Jum’at tanggal 25

November 2011

Pembuktian :

Rumus Umum :

13+23+33+43+…+n3=[ n (n+1 )2 ]

2

Buktikan dengan Induksi Matematik !

Pembuktian :

Untuk n = 1


n3=[ n (n+1 )2 ]

2

13=[1 (1+1 )2 ]

2

1=1 ( BENAR)

Untuk n = k

13+23+33+43+…+k3=[ k (k+1 )2 ]

2

(

ASUMSIKAN BENAR)

Untuk n = k + 1

13+23+33+43+…+k3+(k+1)3=[ (k+1)( k+1+1 )2 ]

2

13+23+33+43+…+k3+(k+1)3=[ (k+1)( k+2 )2 ]

2


[ k ( k+1 )2 ]

2

+( k+1 )2 ( k+1 )=[ (k+1 ) (k+2 )2 ]

2

k2 (k+1 )2

22+ ( k+1 )2 (k+1 )=[ (k+1 ) (k+2 )

2 ]2

(k+1 )2( k 2

22+(k+1 ))=[ ( k+1 ) ( k+2 )

2 ]2

(k+1 )2( k 2+4k+422 )=[ (k+1 ) (k+2 )

2 ]2

(k+1 )2 (k+2 )2

22=[ (k+1 ) (k+2 )

2 ]2

[ ( k+1 ) ( k+2 )2 ]

2

=[ (k+1 ) (k+2 )2 ]

2


Soal 1

Jika x≥0maka∀ nϵ N , (1+x )n ≥1+xn

Untuk n = 1

(1+x )1≥1+x1

(1+x )≥1+x => Benar

Untuk n = k

(1+x )k≥1+xk => Asumsikan Benar

Akan dibuktikan bahwa n = k + 1

(1+x )k+1≥1+xk +1

(1+x )k (1+x ) ≥1+xk +1

(1+x )k (1+x ) ≥ (1+xk ) (1+x )≥1+xk+1

(1+x )k+1≥ (1+xk ) (1+x )≥1+xk+1

(1+x )k+1≥1+x+xk+xk+1≥1+xk+ 1

1+xk+1≥1+xk +1

TERBUKTI

Soal 2

∀nϵ N ,n2≤ nUntuk n = 1


n2≤n

12≤1 => Benar

Untuk n = k

k 2≤k => Asumsikan benar

Untuk n = k + 1

(k+1 )2≤ k+1

k 2+2k+1≤k+1

k 2+2k ≤ k (kedua ruas

dikurangi 1)

k 2≤k (Kembali pada asumsi

awal)

Maka :

n2≤n ,nϵ N (Benar)

Soal 3

∀nϵ N ,n2−n+41merupakan bilangan primaPembuktian :


Untuk n = 1

n2−n+41merupakan bilangan prima

12−1+41merupakan bilangan prima

41merupakan bilangan prima, BENAR

Namun Bilangan kuadrat bukan bilangan

prima

412merupakan bilangan prima

1681bukanmerupakanbilangan prima

Maka asumsi awal salah

Soal 4

∀n ,Dx xn=nxn−1

Pembuktian :

Untuk n = 1


Dx xn=n xn−1

Dx x1=1x1−1

Dx x=x0

x=1 => Benar

Untuk n = k

Dx xk=k xk−1 => Asumsikan

Benar

Untuk n = k + 1

Misal xk=u ,dan x=v

(uv )'=u' v+v ' u

Dx xk+1= (k+1 ) xk +1−1

Dx xk+1= (k+1 ) xk

Dx xk . x=( k+1 ) xk

k . xk−1. x+1. xk=(k+1 ) xk

xk (k+1 )=( k+1 ) xk

TERBUKTI


Pertemuan 22

Hari/Tanggal Latihan : Jum’at/2

Desember 2011

Soal 1 (Bentuk BIIMPLIKASI)

Tunjukan bahwa, jika n bilangan bulat positif

maka n adalah bilangan ganjil Jika dan hanya

jika 5n + 6 bilangan ganjil.

Jawab :

Karena dalam bentuk biimplikasi, maka

harus membuktikan dalam kondisi p → q,

dan q → p

- Bukti langsung :

Kondisi p → q

n = ganjil

n = 2k + 1, k ϵ N


Sehingga didapat :

5n + 6 = 5(2k + 1) + 6

5n + 6 = 10k + 5 + 6

5n + 6 = 10k + 11

5n + 6 = 2 (5k + 5) + 1

5n + 6 = 2 l+1, misal (5k + 5) = l

Maka kesimpulannya 5n + 6 = 2 l+1 atau 5n

+ 6 = ganjil

TERBUKTI

- Bukti Kontrapositif (⇁p → ⇁ q)

Kondisi q → p

n = Genap ( ⇁p )

n = 2p, pϵ NSehingga didapat :

5n + 6 = 5 (2p) + 6

5n + 6 = 10p + 6

5n + 6 = 2 (5p + 3)

5n + 6 = 2 q, misal (5p + 3) = q

Maka kesimpulannya (5p + 3) = 2q atau (5p +

3)= Genap (⇁q)


TERBUKTI

Soal 2

Tunjukan jika

x ϵ Q maka 1x

ϵ Q(Bilangan Rasional)

x ϵ Q artinya x dapat dinyatakan dengan

ab

,b≠0 , a≠0 , dimanaadanbϵ Z (Bil. Asli)

Catatan :

Karena bila x = 0 = ab

maka a=b .0 = 0

Sehingga 1x= 1

ab

=ba

, ba

ϵ Q

Kesimpulannya 1x

ϵ Q

Soal 3


Tunjukan bahwa terdapat bilangan dari

bilangan real a1 , a2 , a3 ,…,an yaitu lebih

dari atau sama dengan (≥ ) rata−ratanyaJawab :

Definisi : A=a1 , a2 , a3 ,…,an

n

Misal A adalah rata-rata

Asumsi :

a1 , a2 , a3 ,…,an< A

a1+a2+a3+…+an<n . A didapat dari :

a1< A

a2< A

a3< A

⋮

an< A +

a1+a2+a3+…+an< A+ A+ A+…+ A

n

Akibatnya :


a1+a2+a3+…+an

n< A

Kontradiksi dengan definisi, kesimpulannya

asumsi SALAH.

Tugas

1. a. ∀ nϵ N ,

12+22+32+…+n2=n (n+1 )(2n+1)

6

c. ∀ nϵ N ,1+3+5+…+ (2n−1 )=n2

d. ∀ nϵ N ,1+2−1+2−2+2−3+…+2−n ≤2

j. ∀ nϵ N ,2n>n

Pertemuan 23


Hari/Tanggal : Kamis/ 8

Desember 2011

Pembahasan Tugas tanggal 2 Desember

2011, dengan maju satu – satu siapa yang

mau dan bisa dan sekaligus menjelaskan

kepada yang lain.

a. ∀ nϵ N , 12+22+32+…+n2=n (n+1 ) (2n+1 )6

Pembuktian :

Untuk n = 1

12=1 (1+1 ) (2.1+1 )6

1=1 (2 ) (3 )6

1=66

1=1 =>Benar

Untuk n = k


12+22+32+…+k 2= k (k+1 ) (2k+1 )6

Asumsikan Benar

Untuk n = k + 1

12+22+32+…+k 2+( k+1 )2=(k+1 ) ( (k+1 )+1 ) (2 (k+1 )+1 )

6

12+22+32+…+k 2+( k+1 )2= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )6

k (k+1 ) (2 k+1 )6

+( k+1 )2= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )6

(k+1 )( k (2k+1 )6

+(k+1 ))= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )6

(k+1 )( 2k2+k+6 k+66 )= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

6


(k+1 )( 2k2+7k+66 )= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

6

(k+1 )( ( k+2 ) (2k+3 )6 )= (k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

6

(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )6

=(k+1 ) (k+2 ) (2k+3 )

6

TERBU

KTI

c. ∀ nϵ N ,1+3+5+…+ (2n−1 )=n2

Pembuktian :

Untuk n = 1

(2.1−1 )=12

1=1 =>Benar

Untuk n = k


1+3+5+…+(2k−1 )=k2

=>Asumsikan Benar

Untuk n = k + 1

1+3+5+…+ (2k−1 )+(2 k+1 )=(k+1 )2

k 2+(2k+1 )=(k+1 )2

k 2+2k+1=(k+1 )2

(k+1 )2=(k+1 )2

TERBU

KTI

d. ∀ nϵ N ,1+2−1+2−2+2−3+…+2−n ≤2Pembuktian :

Maka :

1+ 12+ 122

+ 123

+…+ 12n ≤2

Untuk n = 1

121

≤2


12

≤2 Benar

Untuk n = k

1+ 12+ 122

+ 123

+…+ 12k ≤2 Asumsikan Benar

Untuk n = k + 1

1+ 12+ 122

+ 123

+…+ 12k + 1

2k+1 ≤2

1+ 12+ 122

+ 123

+…+ 12k + 1

2k+1−1≤2−1

(Kedua ruas di kurang 1)

12+ 122

+ 123

+…+ 12k +

12k+1 ≤1

12 (1+ 12+ 122+ 123 +…+ 1

2k )≤2. 12

(1+ 12+ 122+ 123+…+ 12k )≤2

2≤2

TERBUKT

I


J. ∀ nϵ N ,2n>nPembuktian :

Untuk n = 1

21>1 Benar

Untuk n = k

2k>k

k ϵ N ,k>0maka2k>20

2k>k

2k+2k>2k+k>20+k

2k+2k>20+k

2.2k>1+k

2k +1>k+1TERBUKTI

Setelah membahas tugas Pa Krisna

menyuruh mencari pasangan untuk games

berpasangan, games nya kita harus saling

bergantian menulis angka 1 atau 2, siapa

yang terakhir mencapai angka yang


dimaksud dia yang menang, dari ada 14

pasang, karena siswa di kelas 1 B 28 siswa

yang menang di adu lagi menjadi 7 pasang,

dan diadu lagi menjadi 4 pasang (ditambah

Pa Krisna), di adu lagi sampai tinggal 1

pasang yaitu Sulidiah VS Panca dan akhirnya

Panca yang memenangkan games ini.

Buktikan bahwa minimum (a, minimum (b,c))

= minimum (minimum (a,b), c) untuk a, b, c

ϵ R

-

a<b<c min (a ,min (b , c ) )=a=¿min (min (a ,b ) , c)

-

a<c<bmin (a ,min (c ,b ) )=a=¿min (min (a , c ) , b)

-

b<a<c min (b ,min (a , c ) )=b=¿min (min (b ,a ) , c)

-

b<c<amin (b ,min (c ,a ) )=b=¿min (min (b , c ) , a)


-

c<a<bmin (c ,min (a ,b ) )=c=¿min (min (c ,a ) , b)

-

c<b<amin (c ,min (b ,a ) )=c=¿min (min (c ,b ) , a)

Kesimpulannya berdasarkan 6 kasus yang

mungkin di dapat

minimum (a, minimum (b,c)) = minimum

(minimum (a,b), c)

TERBUKTI

Pertemuan 24

Tanggal : 15 Desember 2011

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

=?

Jawab :

Cara 1 :

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

=¿


23

34

45

Dari langkah diatas di dapat rumus

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

= nn+1

n 1 = 12

=> 1 . 12

n 2 = 16

=> 12

. 13

⋮

n= 1n(n+1)

Maka :

1n (n+1 )

= 19900


1n(n+1)

= 199(99+1)

Maka k = 99

12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 199.100

= 9999+1

12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 199.100

= 99100

Atau

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

= 99100

Cara 2 :

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

=?

n 1 = 12

=> 1 - 12


n 2 = 16

=> 12−13

n 3 = 112

=> 13−14

⋮

1n (n+1 )

=1n− 1

n+1

Maka :

12+ 16+ 112

+ 120

+…+ 19900

=?

(1−12 )+( 12−13 )+( 13−14 )+( 14−15 )+…+( 199− 1100 )=…

1− 1100

= 99100

Soal 1 :

Buktikan 1

n (n+1 )=1

n+ 1

n+1

Jawab :

1n (n+1 )

=1n− 1

n+1


1n (n+1 )

=n+1−nn (n+1 )

1n (n+1 )

= 1n ( n+1 )

TERBUKTI

Soal 2 :

Buktikan dengan menggunakan induksi

matematika :

12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1n (n+1 )

= nn+1

Jawab :

Untuk n = 1

11 (1+1 )

= 11+1

12=12 (BENAR)

Untuk n = k


12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

= kk+1

(ASUMSIKAN BENAR)

Untuk n = k + 1

12+ 12.3

+ 13.4

+ 14.5

+…+ 1k (k+1 )

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

kk+1

+ 1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k (k+2 )+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k2+2k+1(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

(k+1 ) (k+1 )(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

k+1k+2

= k+1k+2


TERB

UKTI

Ada sebuah teorema yang menyatakan

bahwa 4 = 3

Bukti :

Misal :

(1) a + b = c

(2) 4a – 3a + 4b – 3b = 4c – 3c

(3) 4a + 4b – 4c = 3a + 3b – 3c

(4) 4 ( a + b – c ) = 3 ( a + b – c )

4 = 3

Pertemuan 25

Tanggal : 22 Desember 2011

Sebelum memulai ke materi pembelajaran

Pa Krisna memberika soal :

- =

Isilah segitiga dan lingkaran diatas dengan bilangan

apa pun yang jika segitiga dikali dengan lingkaran


1 1

1/3 1/3

1/41/4

-2

2-2

2

menghasilkan segitiga di kurangi lingkaran. Atau

apabila dua buah bilangan dikali akan sama dengan

jika dua bilangan tersebut di kurangi. (Beberapa

siswa mencoba maju kedepan)

J awab :

=

=

=

=

Kesimpulan :

- Jika perkalian dalam suatu pecahan yang

penyebutnya berbeda maka hasilnya akan sama

dengan pengurangan yang menggunakan

penyebut yang lebih kecil dari perkalian tersebut


dikurangi dengan penyebut yang lebih besar dari

perkalian tersebut.

- Suatu perkalian bilangan bulat yang memiliki

hasil perkalian yang sama dengan hasil

pengurangannya yaitu hanya – 2 dan 2.

-

+

Buat dan susun kelereng tersebut yang jumlahnya 25

buah kelereng, namun dengan syarat jumlah atas 9,

bawah 9, kanan 9, dan kiri 9.


1.

2.

3.

4.

Kesimpulan

:

Agar jumlah

kelereng 25,

yang syaratnya

atas berjumlah 9, bawah berjumlah 9, kiri berjumlah

9, dan kanan berjumlah 9, maka jumlah yang tengah


dalam horizontal atau vertical, ataupun kedua-duanya

harus berjumlah 7. Mengapa harus berjumlah 7 ?

karena jumlah keseluruhan 25, dikurang yang atas 9

dan di kurang yang bawah 9 maka menghasilkan 7,

atau jumlah keseluruhan 25 dikurangi yang kanan 9

dan yang kiri 9 maka menghasilkan 7.

a + b = 7 atau c + d = 7,

tabel yang kosong bisa

diisi dengan angka

berapa pun tetapi yang

jika di jumlah yang tas menjadi 9, yang bawah 9, yang

kiri 9 dan yang kanan 9.

Setelah membahas soal diatas Pa Krisna menyuruh 2

orang untuk maju kedepan laki-laki 1 orang dan

perempuan 1 orang dan yang lainnya sebagai juri,

yang di panggil yaitu laki-lakinya Reza dan yang

perempuannya Nurul Metriana. Mereka diberikan

Soal Logika sosial :


a

c d

b

1. Ada tali sepanjang 12 meter untuk menjemur

handuk, sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk

menjemur 1 handuk sampai kering adalah 15

menit, berapakah waktu yang dibutuhkan untuk

menjemur 20 handuk ?

Jawab :

15 menit, karena untuk mengeringkan handuk

langsung semuanya, tidak harus menunggu 1

handuk sampe kering dulu.

2. Untuk merebus telur 3 butir telur sampai matang

membutuhkan waktu 15 menit, berapa menit

waktu yang dibutuhkan untuk merebus 50 butir

telur ?

Jawab :

15 menit, karena bisa langsung merebus telur

secara sekaligus 50.

Kembali Belajar:

1. (1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 12011)=?


Jawab :

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 12011)=?

12

. 23

. 34

… 20102011

= 12011

2. Buktikan menggunakan induksi matematik

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1−1n )=1nJawab :

Pembuktian :

Untuk n = 2

1−1n=1

n

1−12=12

12=12 -> Benar

Untuk n = k

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1−1k )=1k -

> Asumsikan Benar


Untuk n = k + 1

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1−1k )(1− 1k+1 )= 1

k+1

1k (1− 1

k+1 )= 1k+1

1k− 1

k (k+1 )= 1

k+1

1 (k+1 )−1k (k+1 )

= 1k+1

k+1−1k ( k+1 )

= 1k+1

kk (k+1 )

= 1k+1

1k+1

= 1k+1

TERB

UKTI

3. Buktikan dengan induksi matematik :

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1n+1 )= 1

n+1


Jawab :

Untuk n = 1

1− 1n+1

= 1n+1

1− 11+1

= 11+1

1−12=12

12=12 -> Benar

Untuk n = k

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+1 )= 1

k+1

-> Asumsikan Benar

Untuk n = k + 1

(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+1 )(1− 1

k+2 )= 1k+2

1k+1 (1− 1

k+2 )= 1k+2


1k+1

− 1(k+1 ) (k+2 )

= 1k+2

k+2−1(k+1 ) (k+2 )

= 1k+2

k+1(k+1 ) (k+2 )

= 1k+2

1k+2

= 1k+2

T

E

R

B

U

K

T

I


Pertemuan 26

Hari/ Tanggal : Kamis/ 29 Desember 2011

Permainan 1

Pa Krisna menyuruh untuk mencari 5 benda yang

berukuran berbeda, dari yang kecil hingga yang besar,


dan menyuruh untuk memindahkan benda dari 3

tempat, dan harus tersusun dari yang terkecil hingga

yang terbesar,hitung ada berapa langkah yang

mungkin terjadi namun langkah yang paling sedikit,

dimulai dari :

- 2 benda dengan ukuran yang berbeda : 3

langkah


langkah


langkah


langkah

Maka didapat :

Banyak benda Langkah tersedikit

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31


⋮ ⋮

n 2n−1

Permainan 2

Mencari berapa banyak jalan yang bisa dilalui namun

tidak boleh jalan memotong.

- 1 kotak : 2 Jalan

B Jalan 1 : B

Jalan 2 : B

A A A

- 2 x 2 kotak : 6 jalan

B

A

Jalan 1 : Jalan 2 :

Jalan 3 : Jalan 4 :

B B B

B


A A A

Jalan 5 : Jalan 6 :

B B

A A

- 3 x 3 kotak : 20 jalan

Jalan 1 : Jalan 2 :

Jalan 3 : Jalan 4 :

B B B

B

A A A

Jalan 5 : Jalan 6 :

Jalan 7 : Jalan 8 :


B B B

B

A A A

Jalan 9 : Jalan 10 :

Jalan 11 :

B B

A A A


Jalan 14

B B


A A A


Jalan 17 :

B B

B

A A A


Jalan 20 :

B B B

A A A

Berapa langkah bila 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6, dan n x n ?

Pertemuan 27


4

Hari/ Tanggal : Kamis/ 05 Januari 2012

Perpotongan garis dengan garis

Titik : Tanda tempat/ kedudukan tempat

Titih hanya ada di alam pikir karena panjangnya 0

dan lebarnya 0, maka titik berdefinisi 0.

Garis : Suatu lintasan yang menghubungkan

beberapa titik.

Garis dengan garis akan menjadi suatu bangun.

4

Berapa Luas segitiga ?

Jawab : 0, karena segitiga merupakan

gabungan dari 3 buah garis, dimana garis tidak

memiliki lebar. Maka luas segitiga 0

Berapa Luas daerah segitiga ?

Jawab :


Luas daerah segitiga : 12

at

Luas daerah segitiga : 124 .4

Luas daerah segitiga : 8c m2

1 garis dengan 1 garis

1 Titik potong

1 garis 2 garis : 2 titik potong


2 garis dengan 2 garis : 4 titik potong

Metode perkalian menggunakan perpotongan garis

( kalkulator garis )

Dua angka x dua angka

Puluhan Satuan

Puluhan

Satuan

Contoh :


11×13=⋯

(10+1 ) × (10+3 )=⋯

ratusan Puluhan

100 4

3 Satuan

Cara aljabar :

11×13=…

10×10=100

10×3=30

1×10=10

1×3=3+¿

143


Tiga angka x Tiga angka :

Puluhan ribu Ribuan

Ratusan

Puluhan

Satuan

110×102=⋯

Puluhan ribu ribuan(1000)

1 1 0

10.000

ratusan (200)


Puluhan(20

Satuan (0)

110×102=11220

Tiga angka x dua angka

112×12=⋯

Ratusan

Ribuan

Puluhan

satuan

Cara aljabar :

14×31=(1×10+4 ) × (3×10+1 )


14 x 31=10 .30+10 .1+4 .30+4 .1

14 x 31=300+10+120+4

14 x 31=434

RUMUS :

Hasil tanggal lahir :

((( ( (T × .5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( (( (5T +6 ) ×4 )+9 )×5)+B−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( ( (20T+24 )+9 ) ×5 )+B−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( (20T +33 ) ×5 )+B−165

((( ( (T ×5 )+6 ) .×4)+9)×5)+B−165=100T+165+B−165


ab×cd=( a×10+b ) (c ×10+d )

ab×cd=ac×100+ad×10+bc .×10+bd

ab× cd=ac×100+( ad+bc )10+bd

Contoh :

Tanggal lahir = 27 dan Bulan Lahir = 8

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=(( (( (27×5 )+6 ) ×4 )+9)×5)+8−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=(( (( (135 )+6 )×4 )+9) ×5)+8−165

((( ( (T × .5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( (( (141 ) ×4 )+9)×5)+8−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( ( (564 )+9 ).5 )+8−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=( (573 ) .5 )+8−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=2865+8−165

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=2873−165


Keterangan :

T = Tanggal Lahir

B= Bulan Lahir

((( ( (T ×5 )+6 ) ×4)+9)×5)+B−165=2708

Tanggal, Bulan dan Tahun :

ab=Tanggal , cd=Bulan ,danef=Tahun

ab×10.000+cd×100+ef

Rumus Penebakan jumlah saudara:

(( (L .2 )+3 ) .5)+P=( (2 L+3 ) .5 )+P

(( (L .2 )+3 ) .5 )+P=10 L+15+P


Keterangan :

L=Saudara Laki-Laki

P=Saudara Perempuan

web viewthe key word here is . ... bekerja melalui sejumlah besar bahan iterasi. ... sebelum...

Documents