relasi rekursi - gunadarma...

Relasi Rekursi

Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan

@OnggoWr

Definisi

Definisi 1

• Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan {𝑎𝑛} merupakan sebuah rumus untuk menyatakan 𝑎𝑛

ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya

dari barisan tersebut, untuk suatu bilangan bulat

nonnegatif 𝑛.

• Suatu barisan disebut solusi dari sebuah relasi

rekursi jika suku-suku pada barisan tersebut

memenuhi relasi rekursinya.

Contoh 1

Contoh 1

• Misal 𝑎𝑛 barisan yang memenuhi relasi rekursi

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 untuk 𝑛 ≥ 2, lalu misalkan

𝑎0 = 3 dan 𝑎1 = 5. Tentukan nilai 𝑎2 dan 𝑎3.

Jawab

• Karena 𝑎2 = 𝑎1 − 𝑎0, maka 𝑎2 = 2. Karena 𝑎3 = 𝑎2 − 𝑎1, maka 𝑎3 = −3.

Contoh 2

Contoh 2

• Untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛, apakah barisan 𝑎𝑛 = 3𝑛, 𝑎𝑛 = 2𝑛 dan 𝑎𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 ?

Jawab

(i) Misal 𝑎𝑛 = 3𝑛, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2 3 𝑛 − 1 − 3 𝑛 − 2

𝑎𝑛 = 3𝑛. Maka 𝑎𝑛 = 3𝑛 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2.

Contoh 2

(ii) Misal 𝑎𝑛 = 2𝑛, untuk bilangan bulat nonnegatif

𝑛. Maka

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2 2 𝑛−1 − 2 𝑛−2

𝑎𝑛 = 2𝑛 − 2𝑛−2

𝑎𝑛 = 2𝑛 1 − 14

= 2𝑛 ∙ 34≠ 2𝑛.

Maka 𝑎𝑛 = 2𝑛 bukan merupakan solusi bagi relasi

rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2.

Contoh 2

(iii) Misal 𝑎𝑛 = 5, untuk bilangan bulat nonnegatif 𝑛. Maka

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 2 5 − 5

𝑎𝑛 = 5

• Maka 𝑎𝑛 = 5 merupakan solusi bagi relasi rekursi 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2.

Catatan: Kondisi awal 𝑎0 akan menentukan suku-suku pada barisan berikutnya.

Contoh 3

Contoh 3

• Tentukan barisan yang merupakan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 =3𝑎𝑛−1, jika diketahui 𝑎0 = 2.

Jawab

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1

𝑎𝑛 = 3 3𝑎𝑛−2 = 32 ∙ 𝑎𝑛−2

𝑎𝑛 = 3 3 3𝑎𝑛−3 = 33 ∙ 𝑎𝑛−3

⋮

𝑎𝑛 = 3𝑛 ∙ 𝑎𝑛−𝑛 = 3𝑛 ∙ 𝑎0

𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛

• Sehingga barisan 𝑎𝑛 = 2 ∙ 3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursi

𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1 dengan nilai awal 𝑎0 = 2.

Jenis-jenis Relasi Rekursi

Definisi 2

• Suatu relasi rekursi linier homogen berderajat 𝑘

dengan koefisien konstan memiliki bentuk

umum:

𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1 + 𝑐2𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘

dengan 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑘 adalah bilangan real, dan

𝑐𝑘 ≠ 0.

Jenis-jenis Relasi Rekursi

• Perhatikan tabel berikut ini:

Relasi Rekursi Linier Homogen Koef. Konst. Degree

𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 2

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−22 2

𝐻𝑛 = 2𝐻𝑛−1 + 1 1

𝑏𝑛 = 𝑛𝑏𝑛−1 1

Menentukan Relasi Rekursi Linier Homogen dengan

Koefisien Konstan

Contoh 1

• Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2, dengan 𝑎0 = 2, dan 𝑎1 = 7.

Jawab

• Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2.

• Pindahkan semua suku ke ruas kiri.

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

• Karena relasi di atas memiliki derajat 2, maka bentuk polinomial derajat 2 yang bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi tersebut, perhatikan setiap koefisien dan tanda tiap suku.


Koefisien Konstan

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

↓ 𝑟2 − 𝑟 − 2𝑟0 = 0

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0

• Persamaan di atas disebut persamaan

karakteristik, dan memiliki 2 akar berbeda yaitu

𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = −1 yang disebut akar-akar

karakteristik.


Koefisien Konstan

• Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang

memiliki 2 akar berbeda adalah

• Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas

adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 2𝑛 + 𝑐2 ∙ −1 𝑛

• Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛


Koefisien Konstan

• Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang diketahui.

𝑎0 = 2 = 𝑐1 ∙ 20 + 𝑐2 ∙ −1 0

2 = 𝑐1 + 𝑐2 ... (1)

𝑎1 = 7 = 𝑐1 ∙ 21 + 𝑐2 ∙ −1 1

7 = 2𝑐1 − 𝑐2 ... (2)

• Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 3 dan 𝑐2 = −1.

• Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 =𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 adalah 𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛 − −1 𝑛.


Koefisien Konstan

Contoh 2

• Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 −9𝑎𝑛−2, dengan 𝑎0 = 1, dan 𝑎1 = 6.

Jawab

• Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2

↓ 𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 9𝑎𝑛−2 = 0

↓ 𝑟2 − 6𝑟 + 9 = 0


Koefisien Konstan

• Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-

akar karakteristik kembar yaitu 𝑟1 = 𝑟2 = 3.


memiliki 2 akar kembar adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛𝑟1

𝑛


Koefisien Konstan

• Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 3𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛 3 𝑛

• Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.


𝑎0 = 1 = 𝑐1 ∙ 30 + 𝑐2 ∙ 0 −1 0

1 = 𝑐1 ... (1)

𝑎1 = 6 = 𝑐1 ∙ 31 + 𝑐2 ∙ 1 3 1

6 = 3𝑐1 + 3𝑐2 ... (2)


Koefisien Konstan

• Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan

metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan

𝑐1 = 1 dan 𝑐2 = 1.

• Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2 adalah 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 𝑛 ∙ 3𝑛.


Koefisien Konstan

Contoh 3

• Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 −11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3, dengan 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 5 dan 𝑎2 = 15.

Jawab

• Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3

↓ 𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 11𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3 = 0

↓ 𝑟3 − 6𝑟2 + 11𝑟 − 6 = 0


Koefisien Konstan

• Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar

karakteristik berbeda yaitu 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2 dan 𝑟3 = 3.


memiliki 3 akar berbeda adalah

• Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas

adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 1𝑛 + 𝑐2 ∙ 2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 3𝑛

• Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 bilangan real.

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 𝑟3𝑛


Koefisien Konstan


𝑎0 = 2 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3

𝑎1 = 5 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3

𝑎2 = 15 = 𝑐1 + 4𝑐2 + 9𝑐3

• 3 persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1, 𝑐2 = −1 dan 𝑐3 = 2.

• Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3 adalah 𝑎𝑛 = 1 − 2𝑛 + 2 ∙ 3𝑛.

Latihan

Latihan

Tentukan solusi khusus dari relasi-relasi rekursi berikut ini.

1. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1, 𝑎0 = 3

2. 𝑎𝑛 = 5𝑎𝑛−1 − 6𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 0

3. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 8

4. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 4

5. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 − 2𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6 dan 𝑎2 = 0

6. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 5𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 7, 𝑎1 = −4 dan 𝑎2 = 8

relasi rekursi - gunadarma...

Documents