rekayasa gempa

Upload: charles-kamba

Post on 17-Jul-2015

493 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

BAB V SISTEM DERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL TAK TEREDAM (UNDAMPED SINGLE DEGREE OF FREEDOM SYSTEM) V.1. Umum Dalam dinamika struktur, jumlah koordinat bebas (independent coordinates) diperlukan untuk menetapkan susunan atau posisi sistem pada setiap saat, yang berhubungan dengan jumlah derajat kebebasan (degree of fredom). Pada umumnya, struktur berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of degrees of fredom) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat mereduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajat kebebasan tunggal. Pada gambar V.1. terlihat beberapa contoh struktur yang dapat dianggap sebagai struktur berderajat kebebasan satu (one degree of freedom) dalam analisis dinamis, yaitu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal (single displacement coordinate).

Gambar V.1. Contoh Struktur yang Dimodelisasikan sebagai Sistem Derajat Kebebasan Tunggal Sistem derajat kebebasan tunggal ini dapat dijelaskan secara tepat dengan model matematis seperti pada Gambar V.2, dimana memiliki elemen-elemen sebagai berikut : (1). Elemen massa (m), menyatakan massa dan sifat inersia dari struktur.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

(2). Elemen pegas (k), menyatakan gaya balik elastis (elastic restoring force) dan kapasitas energi potensial dari struktur. (3). Elemen redaman (c), menyatakan sifat geseran dan kehilangan energi dari struktur. (4). Gaya pengaruh (F(t)), menyatakan gaya luar yang bekerja pada sistem struktur.

Gambar V.2. Model Matematis Sistem Derajat Kebebasan Tunggal Teredam Dengan mengambil model matematis pada gambar V.2, dianggap bahwa tiap elemen dalam sistem menyatakan satu sifat khusus, yaitu (1). Massa (m), menyatakan sifat khusus inersia (property of inertia), bukan elastisitas atau kehilangan energi. (2). Pegas (k), menyatakan elastisitas, bukan inersia atau kehilangan energi. (3). Peredam (c), menyatakan kehilangan energi. V.2. Sistem Tak Teredam (Undamped System) Analisis sistem dasar yang sederhana dalam pembahasan dinamika struktur adalah sistem derajat kebebasan tunggal, dimana gaya geseran atau redaman diabaikan, dan sebagai tambahan, akan ditinjau sistem yang bebas dari gaya aksi gaya luar selama bergerak atau bergetar. Pada keadaan ini, sistem tersebut hanya dikendalikan oleh pengaruh atau kondisi yang dinamakan kondisi awal (initial conditions), yaitu perpindahan yang diberikan dalam kecepatan pada saat t=0, pada saat pembahasan dimulai. Sistem derajat kebebasan tunggal tak teredam sering dihubungkan dengan osilator sederhana tak teredam (simple undamped oscillator) yang selalu disajikan seperti gambar V.3 (a) dan V.3 (b) ataupun sebagai bentuk yang mirip dengan yang di atas. Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

Gambar V.3. Bentuk Alternatif Model Matematis Sistem Derajat Kebebasan Tunggal Kedua gambar tersebut merupakan model matematis secara dinamis ekivalen dan hanya tergantung pada pilihan perorangan saja dalam penggunaannya. Pada model ini massa m dihambat oleh pegas k dan bergerak menurut garis lurus sepanjang satu sumber koordinat. Karakteristik mekanis dari pegas digambarkan antara besar gaya Fs yang bekerja pada ujung pegas dengan hasil perpindahan y seperti terlihat pada Gambar V.4 yang menunjukkan secara grafik dari tiga jenis pegas yang berbeda.

Gambar V.4. Hubungan gaya dan perpindahan (a). Pegas Kuat; (b). Pegas Linear; (c). Pegas Lemah Berdasarkan gambar V.4., karakteristik lengkungan (a) menyatakan sifat dari pegas kuat (hard spring), dimana gaya harus memberikan pengaruh lebih besar untuk suatu perpindahan yang disyaratkan seiring dengan terdeformasinya

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

pegas. Sedangkan, karakteristik lengkungan (b), menyatakan sifat pegas linear, karena deformasinya selaras (proportional) dengan gaya dan gambar grafisnya mempunyai karakteristik garis lurus. Konstanta keselarasan antara gaya dan perpindahan dari pegas linier disebus konstanta pegas (spring constant), yang biasa dinyatakan dengan k, sehingga persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya dan perpindahan pegas linier adalah sebagai berikut :

Fs = ky ...................... (V.1)Pegas dengan karakteristik lengkungan (c) pada gambar V.4 disebut pegas lemah, dimana pertambahan gaya untuk memperbesar perpindahan cenderung mengecil pada saat deformasi pegas menjadi makin besar. V.3. Pegas dipasang Seri atau Paralel Pemasangan konstanta pegas ekivalen dari suatu sistem dapat dilakukan melalui dua cara yaitu paralel (gambar V.5(a)) dan seri (gambar V.5(b))

Gambar V.5. Kombinasi Pegas (a). Pegas Paralel; (b) Pegas Seri Untuk dua pegas paralel, gaya P yang diperlukan untuk membuat perpindahan pada satu sistem adalah sebesar perkalian antara perpindahan dengan jumlah kedua konstanta pegas tersebut, sehingga besar kekakuan pegas total adalah :

k e = k1 + k 2 ...................... (V.2)Atau secara umum, dapat dirumuskan sebagai berikut :n

k e = k i ...................... (V.3)i =1

dimana : n adalah jumlah pegas yang dipasang paralel Sedangkan, untuk dua pegas terpasang seri, gaya P menghasilkan perpindahan total y dari ujung bebas pada susunan pegas sebesar :

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

y=

P P + .............. (V.4) k1 k 2

Akibatnya, gaya yang diperlukan untuk membuat satu unit perpindahan (konstanta pegas ekivalen) diberikan oleh

ke =

P .............. (V.5) y

Dengan mensubstitusi y dari persamaan ini ke dalam persamaan V.4, maka didapatkan nilai kebalikan dari konstanta pegas :

1 1 1 = + .............. (V.6) k e k1 k 2Secara umum, konstanta pegas ekivalen yang terpasang serin 1 1 = .............. (V.7) k e i =1 k i

dimana : n adalah jumlah pegas terpasang seri. V.4. Hukum Gerak Newton Hubungan analitis antara perpindahan y dan waktu t, diberikan oleh Hukum Newton Kedua untuk gerak sebagai berikut :

F = ma ..................... (V.8)dimana : F : gaya yang bekerja pada partikel massa m a : resultan percepatan Persamaan V.8 dapat ditulis dalam bentuk ekivalen, dimana besaran

komponennya menurut sumbu koordinat x, y dan z, yaitu :

F F F

x

= ma x ..................... (V.9a) = ma y ..................... (V.9b) = ma z ..................... (V.9c)

y

z

Percepatan didefinisikan sebagai turunan kedua vektor posisi terhadap waktu; yang berarti ketiga persamaan adalah persamaan differensial. Persamaan Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

Hukum Newton dapat digunakan pada benda idealis seperti partikel yang bermassa tetapi tidak bervolume, tetapi juga dapat digunakan pada benda berdimensi yang bergerak. Benda kaku yang bergerak pada sebuah bidang adalah simetris terhadap bidang gerak (bidang x-z), sehingga mengakibatkan Hukum Newton perlu dimodifikasi menjadi :

F F

x

= m( aG ) x .................................... (V.10a) = m( aG ) y .................................... (V.10b)G

y

Mdimana :

= I G .................................... (V.10c)

( aG ) x , ( aG ) y :IG

komponen percepatan sepanjang sumbu x dan y dari pusat benda yang bermassa G

: percepatan sudut : momen inersia massa benda terhadap sumbu melalui pusatmassa G : jumlah momen gaya yang bekerja pada benda terhadap sumbu melalui pusat massa G yang tegak lurus pada bidang x-y.

M

G

V.5. Diagram Free Body Digram Free Body adalah suatu sketsa dari benda yang dipisahkan dari benda lainnya, dimana semua gaya luar pada benda terlihat jelas. Pada Gambar V.6(b) Mengilustrasikan Diagram Free Body dari massa osilator (m) yang dipindahkan pada arah positif menurut koordinat y, yang memberikan gaya pada pegas sebesar Fs = ky (asumsi pegas linier).

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

Gambar V.6. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat Kebebasan Tunggal; (b). Gaya-gaya Luar Berat dari mg dan reaksi normal N dari permukaan penunjang diperlihatkan juga untuk pelengkap meskipun gaya-gaya ini bekerja pada arah vertikal dan tidak termasuk dalam persamaan gerak yang ditulis menurut arah y. Penggunaan Hukum Gerak Newton memberikan,

ky = m y

(V.11)

Dimana gaya pegas bekerja pada arah negatif mempunyai tanda minus dan

y percepatan dinyatakan oleh . Pada notasi ini, dua titik di atas menyatakanturunan kedua terhadap waktu dan satu titik menyatakan turunan pertama terhadap waktu, yaitu kecepatan. V.6. Prinsip DAlembert Sebuah alternatif pendekatan untuk mendapatkan persamaan (V.11) adalah penggunaan Prinsip DAlembert yang menyatakan bahwa sebuah sistem dapat dibuat dalam keadaan keseimbangan dinamis dengan menambahkan sebuah gaya fiktif pada gaya-gaya luar yang biasanya dikenal sebagai gaya inersia.

Gambar V.7. Diagram Free Body, (a). Sistem Derajat Kebebasan Tunggal; (b). Gaya-gaya Luar dan Inersia

y Gambar V.7(b) memperlihatkan Diagram Free Body dengan gaya inersia myang sama dengan massa dikalikan percepatan dan selalu diberikan arah negatif terhadap koordinat yang bersangkutan. Penggunaan prinsip dAlembert

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

memungkinkan pemakaian persamaan keseimbangan untuk mendapatkan persamaan gerak. Pada Gambar V.7(b), jumlah gaya-gaya pada arah y memberikan persamaan sebagai berikut :

m + ky = 0 ................................... (V.12) yContoh V.1 Tunjukkan bahwa persamaan differensial yang sama akan didapat gerak vertikal benda yang tergantung pada pegas dan benda yang sama bergetar sepanjang sumbu horisontal, seperti pada Gambar V.8(a) dan V.8(b). Diagram Free Body kedua osilator sederhana tersebut terlihat pada Gambar V.8(c) dan V.8(e) termasuk gaya inersianya.

Gambar V.8. Dua osilator sederhana dan diagram free body-nya

y Berdasarkan gambar V.8, diperoleh persamaan : m + ky = 0Pada saat benda pada gambar V.8(d) dalam posisi seimbang statis, pegas tertarik sejauh yo unit dan mengakibatkan gaya kyo = W (berat benda) ke atas pada benda tersebut. Apabila benda berpindah sejauh y ke bawah dari posisi seimbang, maka besar gaya pegas diberikan oleh Fs = k(y o + y) atau Fs = W + ky, sebab kyo = W. Hasil ini dipakai pada benda Gambar V.8(e) dan Hukum Newton Kedua untuk gerak didapat :

(W + ky ) + W = m y

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

V.7. Solusi Persamaan Differensial Gerak Solusi persamaan differensial pada persamaan (V.12), dapat dilakukan melalui pendekatan sistematis yang dimulai dengan mengklasifikasikan persamaan

y differensial tersebut. Karena variable bebas y dan turunan keduanya padapersamaan (V.12) berderajat satu, maka persamaan tersebut diklasifikasikan

y linier orde kedua. Selain itu, karena y dan (demikian pula k dan m) adalahkonstan dan sisi sebelah kanan sama dengan nol, maka persamaan tersebut diklasifikasikan sebagai homogen dengan koefisien konstan. Sehingga, untuk memecahkan persamaan differensial linier (homogen atau nonhomogen) dari setiap orde, yaitu dengan cara trial-error, yaitu sebagai berikut :

y = A cos t ................................. (V.13)atau

y = B sin t ................................. (V.14)dimana: A, B : konstanta yang tergantung pada kondisi awal gerak : besaran yang menyatakan besaran fisik sistem

Hasil substitusi persamaan (V.13) ke persamaan (V.12) menghasilkan :

( m

2

+ k A cos t = 0 ......................... (V.15)

)

Apabila persamaan (V.15) benar untuk setiap besaran waktu, maka faktor yang terdapat di dalam kurung sama dengan nol, atau

2 =sehingga :

k ......................... (V.16) m

=

k .............................. (V.17) m

yang disebut sebagai frekuensi natural (natural frequency) dari sistem. Karena persamaan (V.13) dan (V.14) adalah solusi persamaan (V.12) dan persamaan differensial adalah linier, maka superposisi kedua solusi tersebut, seperti pada persamaan (V.18), yang merupakan solusi persamaan differensial orde dua dan mempunyai dua konstanta integrasi A dan B

y = A cos t + B sin t .............................. (V.18)

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

sehingga :

y = A sin t + B cos t ..................... (V.19)Selanjutnya, perlu ditentukan konstanta integrasi A dan B. Kedua konstanta ini dapat ditentukan dari perpindahan yo dan kecepatan vo pada kondisi awal yaitu pada saat t=0. Kedua kondisi ini disebut kondisi awal (initial conditions) dan masalah pemecahan persamaan differensial dengan kondisi awal disebut problem harga awal (initial value problem). Sesudah substitusi harga y = yo dan

y = vo pada saat t = 0 pada persamaan (V.18) dan (V.19), maka diperolehpersamaan : yo = A (V.20a) vo = B . (V.20b) Akhirnya, substitusi A dan B dari persamaan (V.20) ke dalam persamaan (V.18) memberikan :

y = y o cos t +

vo sin t .................... (V.21)

dimana merupakan perpindahan y dari osilator sederhana sebagai fungsi dari variabel waktu t; jadi masalah struktur model osilator sederhana dengan derajat kebebasan tunggal telah diselesaikan. V.8. Frekuensi dan Periode Pengujian persamaan (V.21) memperlihatkan bahwa gerakan menuurut persamaan tersebut adalah harmonis (harmonic) dan oleh karena itu periodik; artinya hal tersebut dapat dinyatakan dengan fungsi sinus atau cosinus frekuensi yang sama, sebesar . Perioda dengan mudah dapat ditemukan karena fungsi sinus dan cosinus mempunyai periode 2. Periode T dari gerak ditentukan oleh

T = 2 . (V.22)atau

T=

2 (V.23)

Periode biasanya dinyatakan dalam detik persiklus ataupun detik tetapi dengan pengertian tiap siklus. Kebalikan harga perioda adalah frekuensi natural f dari persamaan (V.22)

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

f =

1 = (V.24) T 2

Frekuensi natural f selalu dinyatakan dalam siklus per detik (spd). Sebab besar berbeda dengan frekuensi natural f karena faktor konstan 2, maka , juga seing dianggap sebagai frekuensi natural. Untuk membedakan kedua pernyataan frekuensi natural itu, dapat dikatakan frekuensi natural sudut atau gerak lingkaran (circular or angular). Hal ini sering dapat diketahui dari unit/dimensi yang digunakan. Frekuensi natural f diukur dalam siklus per detik sedangkan frekuensi gerak lingkaran selalu diberikan dalam radian per detik (rad/detik).

Contoh V.2.317.5 mm25.4 mm 6. 35 mm

k 2=1872 N/m

225.5 N

Tentukan frekuensi natural dari sistem pada gambar di atas yang terdiri dari suatu berat (W) = 225.5 N terpasang pada sebuah balok kantilever oleh pegas k2. Tebal balok kantilever t = 6.35 mm, lebar = 25.4 mm, modulus elastisitas 2 x 105 MPa, dan L = 317.5 mm. Pegas dengan kekakuan k2 = 1872 N/m. - Lendutan pada ujung bebas dari balok kantilever akibat gaya statis P, diberikan oleh

=Konstanta pegasnya adalah

PL3 3EI

k1 =

P 3EI = 3 L

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

dimana I =

1 3 bh (untuk penampang segi empat). Kantilever dan pegas 12

dihubungkan sebagai pegas terpasang seri, akibatnya konstanta pegas ekivalen yang diberikan oleh persamaan (V.6) adalah

1 1 1 = + k e k1 k 2Dengan mensubstitusikan harga numeriknya, didapat :

I=

1 3 x 25.4 x ( 6.35) = 541.97 mm4 12 3 x 2 x 10 5 x 541.97

k1 =Dan

( 317.5) 3

= 10.16 N/mm = 10160 N/m

1 1 1 = + k e 10160 1872 k e = 1592 .36 N/mFrekuensi natural diberikan oleh

=

ke = (W g )

1592 .36 = 8.32 rad/s ( 225.5 9.81)

Atau

f =

8.32 = = 1.32 sps 2 2

V.9. Amplitudo Gerak Bentuk ekivalen dari persamaan (V.21) yang merupakan solusi gerak getaran bebas dari osilator tak teredam adalah :

y = C sin ( t + ) ..................... (V.25)atau

y = C cos ( t ) ..................... (V.26)dimana :

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

C=

v y + o 2 o

2

..................... (V.27)

tan = tan =

yo ..................... (V.28) vo vo ..................... (V.29) y

sehingga :

v y y = C o cos t + o sin t ..................... (V.30) C C

vo

yo

Gambar V.9. Definisi sudut Berdasarkan gambar V.9 terlihat bahwa :

sin =dan

yo ..................... (V.31) C

cos =

vo ..................... (V.32) C

Substitusikan persamaan (V.31) dan (V.32) ke dalam persamaan (V.30) sehingga menjadi

y = C ( sin cos t + cos sin t ) ............................ (V.33)Pernyataan dalam tanda kurung pada persamaan (V.33) identik dengan

sin ( t + ) dari persamaan (V.25). Harga C dari persamaan (V.25) atau

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

persamaan (V.26) merupakan hubungan antara amplitudo gerak dan sudut (atau ) sebagai sudut fasa. Solusi gerak osilator sederhana terlihat pada gambar V.10.

y vo yo C t

T=

2

Gambar V.10. Respons Getaran Bebas Tak Teredam Contoh V.3.y 2918 N/m F(t) L= 4572 mm

I = 3.43 x 10 mm

7

4

L= 7620 mm

(a)

(b)

Tinjaulah kerangka pada gambar di atas (a) yang merupakan kerangka baja kaku dimana bekerja gaya dinamis horisontal di tepi atasnya. Sebagai bagian dari perencanaan suatu struktur yang menyeluruh, diperlukan frekuensi natural dari kerangka tersebut. Dibuat dua anggapan : 1. 2. massa kolom dan dinding diabaikan, dan balok yang cukup kaku untuk mencegah rotasi pada puncak kolom Anggapan ini bukan untuk menyelesaikan masalah akan tetapi untuk menyederhanakan analisa. Dengan kondisi yang demikian, kerangka ini dapat dimodelisasikan sebagai sistem massa-pegas seperti pada gambar di atas (b).

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

Parameter-parameter dari model ini dapat dihitung sebagai berikut : W = 2918 x 7620 x 10-3 = 22235.16 N I = 3.43 x 107 mm4 E = 2 x 105 MPa

k* =

12 E ( 2 I ) 12 x 2 x 10 5 x 2 x 3.43 x 10 7 = = 1722.73 N/mm L3 ( 4572 ) 3

(

)

k = 1722.73 N/mm Jadi, frekuensi natural adalah

f =

1 2

k 1 = (W g ) 2

1722.73 x 10 3 = 4.39 sps ( 22235.16 9.81)

V.10. Ringkasan - Model matematis dari struktur adalah idealisasi gambaran untuk analisis - Jumlah derajat kebebasan dari suatu sistem adalah sama dengan jumlah koordinat bebas yang diperlukan untuk menentukan posisinya. - Diagram Free Body (DFB) dari keseimbangan dinamis (menurut penggunaan Prinsip dAlembert) adalah diagram sistem yang terpisah dari bagian lainnya, yang menggambarkan semua gaya luar termasuk juga gaya inersia - Kekakuan atau konstanta pegas dari sistem linier adalah gaya yang diperlukan untuk membuat satu unit perpindahan - Persamaan differensial osilator sederhana tak teredam dalam gerak bebas adalah

m + ky = 0 ydan solusi umumnya adalah

y = A cos t + B sin tdimana A dan B adalah konstanta integrasi yang ditentukan dari kondisi awal :

A = yo , B= vo , k adalah frekuensi natural dalam rad/s m

=f =

adalah frekuensi natural dalam siklus perdetik (sps) 2

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA

T=

1 adalah periode natural dalam detik f

- Persamaan gerak dapat ditulis dalam beberapa bentuk

y = C sin ( t + )Atau

y = C cos ( t )dimana :

C=

v y + o 2 o

2

tan = tan =

yo vo vo y

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

Ria Catur Yulianti ST.MT REKAYASA GEMPA