Logika InformatikaLOGIKA INFORMATIKA MODUL PEMBELAJARAN PENGAYAAN MATA PELAJARAN TEKNOLOGI INFORMASI DAN KOMUNIKASI (TIK) PENDAHULUAN Logika disebut juga the calculus of computer science karena logika memegang peranan yang sangat penting di bidang ilmu komputer. Peran kalkulus (matematika) sama pentingnya untuk ilmu-ilmu bidang sains, misalnya ilmu fisika, ilmu elektronika, ilmu kimia, dan sebagainya. Oleh karena itu, biasanya pelajar, mahasiswa, guru, dan dosen setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan manusia sehari-hari. Logika, komputasi numerik, dan matematika diskrit memiliki peran penting dalam ilmu komputer karena semuanya berperan dalam pemrograman. Logika merupakan dasar-dasar matemtis suatu perangkat lunak, digunakan untuk memformalkan semantik bahasa pemrograman dan spesifikasi program, serta menguji ketepatan suatu program. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya logika matematika karena banyak ilmu, khususnya dalam bidang ilmu komputer, yang memerlukan logika untuk berkembang. Logika dalam ilmu komputer dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan syaraf tiruan, dan lainlainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu contoh yang populer adalah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit. Logika matematika (mathematical logic) adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika. Logika matematika sendiri juga terus berkembang, mulai dari logika proposional, logika predikat, pemrograman logika, dan sebaganya. Perkembangan terakhir ilmu logika adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya. Dari penjelasan diatas bisa disimpulkan mengenai peran penting logika dalam ilmu komputer. Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas dari masalah logika. Oleh karena itu, logika matematika dipelajari secara formal di perguruan tinggi, khususnya dalam ilmu komputer sebagai matakuliah wajib selama 1 semester. Di indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi Informasi LOGIKA BAB 1 : DASAR-DASAR LOGIKA

1.1 PENGERTIAN UMUM LOGIKA Filsafat dan matematika adalah bidang pengetahuan rasional yang ada sejak dahulu. Jauh sebelum matematika berkembang seperti sekarang ini dan penerapannya menyentuh hampir seluruh bidang ilmu pengetahuan modern, ilmuwan dan filosof yunani telah mengembangkan dasar pemikiran ilmu geometri dan logika. Sebut saja THALES (640-546 SM) yaitu seorang ilmuwan geometri yang juga disebut sebagai bapak filosofi dan penalaran deduktif. Ada juga ahli matematika dan filosof PHYTAGORAS (572-497 SM) dengan dalil phytagorasnya yang terkenal yaitu a2+b2=c2 . MATEMATIKA DAN FILSAFAT Persamaan filsafat dan matematika - Kerja Filosof adalah berpikir konsep. - Kerja Matematikawan adalah memperjelas konsep yang dikembangkan oleh filosof. Perbedaan filsafat dan matematika - Filsafat bebas menerapkan berbagai metode rasional. - Matematikawan hanya menerapkan metode deduksi. MATEMATIKA DAN LOGIKA Menurut BETRAND RUSSEL matematika adalah ilmu yang menyangkut deduksi logis tentang akibat-akibat dari pangkal fikir umum semua penalaran. Ini berkaitan dengan konsepsi matematika sebagai ilmu formal, ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran dan keluasan, ilmu tentang hubungan, pola bentuk, dan rakitan juga sebagai ilmu yang bersifat abstrak dan deduktif. MAKNA LOGIKA Berasal dari bahasa yunani LOGOS yang berarti kata, ucapan, atau alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Logika mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penalaran kesimpulan yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbolsimbol logika secara intensif. Dasar pemikiran logika klasik adalah logika benar dan salah yang disimbolkan dengan 0 (untuk logika salah) dan 1 (untuk logika benar) yang disebut juga LOGIKA BINER. Tetapi pada kenyataanya dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang kita jumpai yang tidak bisa dinyatakan bahwa sesuatu itu mutlak benar atau mutlak salah. Ada daerah dimana benar dan salah tersebut nilainya tidak bisa ditentukan mutlak benar atau mutlak salah alias kabur.

LOGIKAUntuk mengatasi masalah yang terjadi dalam logika klasik yang dikembangkan oleh ARISTOTELES tersebut, seorang ilmuwan dari Universitas California Berkeley, PROF. LOTFI A.ZADEH pada tahun 1965 mengenalkan suatu konsep berpikir logika yang baru yaitu LOGIKA KABUR (FUZZY LOGIC). PADA LOGIKA FUZZY - Nilai kebenarn bukan bersifat crisp (tegas) 0 dan 1 saja tetapi berada diantaranya (multivariabel). - Digunakan untuk merumuskan pengetahuan dan pengalaman manusia yang mengakomodasi ketidakpastian ke dalam bentuk matematis tanpa harus mengetahui model matematikanya. - Pada aplikasinya dalam bidang komputer, logika fuzzy diimplementasikan untuk memenuhi kebutuhan manusia akan sistem komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia. HUBUNGAN MATEMATIKA DAN LOGIKA Menurut RUDOLF CARNAP (1931) - Konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasanbatasan yang jelas. - Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni. Menurut BETRAND RUSSEL - Logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika. LOGIKA DAN KOMPUTER Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false) yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan NAND. Program komputer berjalan di atas struktur penalaran yang baik dari suatu solusi terhadap suatu permasalahan dengan bantuan komponen program IFTHENELSE, FORTODO, WHILE, CASEOF. 1.2 LOGIKA DAN PERNYATAAN 1.2.1 LOGIKA PENGERTIAN UMUM LOGIKA Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah. Ilmu

logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimatkalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar. Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesahipotesa. Oleh karena itu aturan-aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintaks-sintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri. GAMBARAN UMUM LOGIKA Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat (Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy Logic). Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif. Logika Predikat menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas sebuah argumen. Logika Hubungan mempelajari hubungan antara pernyataan, relasi simetri, refleksif, antisimtris, dll. Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukumhukum yang berlaku di dalamnya. Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya tidak, nol-satu, benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit, sekitar x, sering, umumnya. Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan, mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih cepat bila dibanding dengan logika biner. ALIRAN DALAM LOGIKA LOGIKA TRADISIONAL - Pelopornya adalah Aristoteles (384-322 SM) - Terdiri dari analitika dan dialektika. Ilmu analitika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada pernyataan yang benar sedangkan dialektika yaitu cara penalaran yang didasarkan pada dugaan. LOGIKA METAFISIS - Dipelopori oleh F. Hegel (1770-1831 M) - Menurut Hegel, logika dianggap sebagai metafisika dimana susunan pikiran dianggap sebagai kenyataan. LOGIKA EPISTIMOLOGI - Diperkenalkan oleh FH. Bradley (1846-1924) dan Bernhard Bosanquet (1848-1923 M).

- Prisip dari logika epistimologi ini adalah untuk mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran yang logis dan perasaan halus digabungkan. Selain itu, untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan yang lainnya. LOGIKA INSTRUMENTALIS/FRAGMATIS - Dipelopori oleh Jhon Dewey (1859-1952) - Prinsipnya adalah logika merupakan alat atau instrumen untuk menyelesaikan masalah. LOGIKA SIMBOLIS - Logika simbolis adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah) yang dikembangkan menggunakan metode matematika dan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindari makna ganda dari bahasa sehari-hari. - Pelopornya adalah Leibniz, De Morgan, dan Boole - Logika ini menggunakan bahasa simbol untuk mempelajari secara rinci bagaimana akal harus bekerja dan bercirikan teknis, matematis, dan ilmiah. Pemakaian simbol matematika ini untuk mewakili bahsa dalam bentuk pernyataan yang bernilai benar atau salah. - Logika simbolis ini kemudian menjadi dasar logika matematika modern yaitu logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan. 1.2.2 PERNYATAAN (PROPOSISI) Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi. Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Contoh : 1. Yogyakarta adalah kota pelajar (Benar). 2. 2+2=4 (Benar). 3. Semua manusia adalah fana (Benar). 4. 4 adalah bilangan prima (Salah). 5. 512=90 (Salah).

Tidak semua kalimat berupa proposisi Contoh : 1. Dimanakah letak pulau bali?. 2. Pandaikah dia?. 3. Andi lebih tinggi daripada Tina. 4. 3x-2y=5x+4. 5. x+y=2. 1.2.3 PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik. LOGIKADalam logika dikenal 5 buah penghubung Simbol Arti Bentuk Tidak/Not/Negasi Tidak. Dan/And/Konjungsi ..dan.. Atau/Or/Disjungsi atau. _ Implikasi Jika.maka. Bi-Implikasi ..bila dan hanya bila.. Contoh 1.1 : Misalkan : p menyatakan kalimat Mawar adalah nama bunga Q menyatakan kalimat Apel adalah nama buah Maka kalimat Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah Dinyatakan dengan simbol p q Contoh 1.2 : Misalkan p: hari ini hari minggu q: hari ini libur, dinyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :

a. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur b. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur Penyelesaian 1. Kata tetapi mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : p q b. p q c. (p q) NEGASI (INGKARAN) Jika p adalah Semarang ibukota Jawa Tengah, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah p yaitu Semarang bukan ibukota Jawa Tengah atau Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya. KONJUNGSI Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung DAN/AND dengan notasi Contoh 1.3: p: Fahmi makan nasi Q:Fahmi minum kopi LOGIKAMaka pq : Fahmi makan nasi dan minum kopi Pada konjungsi pq akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pq bernilai salah. DISJUNGSI Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung ATAU/OR dengan notasi . Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu : a. INKLUSIF OR Yaitu jika p benar atau q benar atau keduanya true Contoh : p : 7 adalah bilangan prima q : 7 adalah bilangan ganjil

p q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil. b. EKSLUSIF OR Yaitu jika p benar atau q benar tetapi tidak keduanya. Contoh : p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV. q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan. p q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan. Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya. IMPLIKASI Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata JIKA sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata MAKA sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi _. Notasi p_q dapat dibaca : 1. Jika p maka q 2. q jika p 3. p adalah syarat cukup untuk q 4. q adalah syarat perlu untuk p Contoh 1.4: 1. p : Pak Ali adalah seorang haji. q : Pak Ali adalah seorang muslim. p _ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim. 2. p : Hari hujan.

Lq : Adi membawa payung. Benar atau salahkah pernyataan berikut? a. Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung. b. Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung. c. Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung. d. Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung. BIIMPLIKASI Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi p q yang bernilai sama dengan (p _q) (q _ p) sehingga dapat dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar. Contoh 1.5 : p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus. q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat. p q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat. TABEL KEBENARAN p q p q pq pq p_q pq p q TTFFTTFTT TFFTTFTFF FTTFTFTTF FFTTFFFTT Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,) maka

tabel kebenaran memuat 2n baris. 1.2.4 INGKARAN (NEGASI) SUATU PENYATAAN NEGASI SUATU KONJUNGSI Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi Suatu konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah. Oleh karena itu negasi dari : Fahmi makan nasi dan minum kopi adalah suatu pernyataan majemuk lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: Fahmi tidak makan nasi atau tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : (pq) ekuivalen dengan pq NEGASI SUATU DISJUNGSI Contoh : Fahmi makan nasi atau minum kopi Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat diatas adalah : Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi atau dapat juga dikatakan Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi. Disini berlaku hukum De Morgan yaitu : (pq) pq NEGASI SUATU IMPLIKASI Contoh 1.6 : Jika hari hujan maka Adi membawa payung. Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu : p_ q pq Maka negasinya ( p_ q) (pq) pq NEGASI SUATU BIIMPLIKASI Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p dan q yang dinotasikan dengan p q (p _ q) (q _ p) sehingga : (p q) [(p _ q) (q _ p)] [(pq ) (qp)] (pq ) (qp) (p q) (pq ) (qp) 1.3 TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN CONTINGENT Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (True) tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya, sebaliknya kontradiksi adalah suatu bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (False), tidak peduli bagaimanapun nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan

menghasilkan True, sebaliknya kontradiksi akan selalu bernilai False. Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan nilai F dan T, maka disebut formula campuran (contingent). Contoh 1.7 : 1. Tunjukkan bahwa p(p) adalah tautologi! p p p(p) TTT TFT FTT FFT 2. Tunjukkan bahwa (pq) [(p) (q)] adalah tautologi! p q p q pq p q (pq) [(p) (q)] TTFFTFT TFFTTFT FTTFTFT FFTTFTT 3. Tunjukkan bahwa (pq) [(p) (q)] adalah kontradiksi! p q p q pq p q (pq) [(p) (q)] TTFFTFF TFFTTFF FTTFTFF FFTTFTF 4. Tunjukkan bahwa [(pq) _ r] _ p adalah contingent! p q r pq (pq) _ r [(pq) _ r] _ p TTTTTT

TTFTTT TFTFFT TFFFFT FTTFTF FTFFTF FFTFTF FFFFTF 1.4 KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Perhatikan pernytaan di bawah ini! _ Jika suatu bender adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut Bentuk umum implikasi di atas adalah p _ q dengan p : Bendera RILOGIKA q : Bendera yang ada warna merahnya. Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu : 1. KONVERS, yaitu q _ p Sehingga implikasi diatas menjadi : Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI. 2. INVERS, yaitu p _ q Sehingga implikasi diatas menjadi : Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya. 3. KONTRAPOSISI, yaitu q _ p Sehingga implikasi di atas menjadi : Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI. Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya. Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut p q p q p_q q _ p p _ q q _ p

TTFFTTTT TFFTFTTF FTTFTFFT FFTTTTTT INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Contoh 1.8: Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut. Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih Penyelesaian Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih maka kalimatnya menjadi p _ q atau jika menggunakan operator dan maka p _ q ekuivalen(sebanding/) dengan p q. Sehingga 1. Negasi dari implikasi Implikasi : (p_q) p q Negasinya : (pq) pq Kalimatnya :Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih. LOGIKA 2. Negasi dari konvers Konvers : q_p qp Negasinya : (qp) qp Kalimatnya : Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI. 3. Negasi dari invers

Invers : p _ q (p)q) pq Negasinya : (pq) pq Kalimatnya : Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan putih. 4. Negasi dari kontraposisi Kontraposisi : q _ p (q)p qp Negasinya : (qp) qp Kalimatnya : Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah bendera RI. 1.5 EKUIVALENSI LOGIKA Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis. Perhatikan pernyataan berikut : Contoh 1.9 : 1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik. Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut : A = Dewi sangat cantik. B = Dewi peramah. Maka ekspresi logikanya : 1. A B 2. B A Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A B B A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :

A B AB BA TTTT TFFF FTFF FFFF LOGIKA Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini : Contoh 1.10 : 1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur. 2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur. Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika. Adapaun langkah-langkahnya : 1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika. Misal : A=Badu pandai B=Badu jujur, Maka kalimatnya menjadi 1. AB 2. (AB) 2. Buat tabel kebenarannya A B A B AB AB (AB) TTFFTFF TFFTFTT

FTTFFTT FFTTFTT Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi. 3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi AB (AB) AB (AB) FFT TTT TTT TTT Jika hasilnya adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen tersebut ekuivalen secara logis. 1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA Identitas p1 p p0 p Ikatan p1 T p0 0 Idempoten pp p pp p Negasi pp 1 pp 0 Negasi Ganda p p Komutatif pq qp pq qp Asosiatif (pq)r p(qr) (pq)r p(qr) Distributif p(qr) (pq)(pr) p(qr) (pq)(pr) De Morgans (pq) p q (pq) p q Aborbsi p(pq) p p(pq) p

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih singkat Contoh 1.11 : 1. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi. (pq) (pq) p Penyelesaian (pq) (pq) (p(q)) (pq) (pq) (pq) p (qq) p T p Terbukti Dalam membuktikan ekuivalensi pq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan : 1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada). 2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga didapat P. 3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks maka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan jika p dan q sama-sama kompleks. PENYEDERHANAAN LOGIKA Operasi penyederhanaan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logis. Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi. Contoh 1.12 : 1. p _ (p _ q) p _ (p q) ingat p_q pq

(p) (p q) ingat p_q pq p (p q) Hk. Negasi ganda dan De Morgan (pp) (pq) Hk. Distributif p(pq) Hk. Idempoten pp p p Hk. Absorbsi 2. p(pq) (p1) (pq) Hk.Identitas p(1q) Hk.Distributif p1 Hk.Identitas p Hk.Identitas 3. (p_q) (q_p) (pq) (qp) ingat p_q pq (pq) (pq) Hk. Komutatif [(pq) p] [(pq)q] Hk. Distributif [(pp)(pq)] [(pq)(qq)] Hk. Distributif [0(pq)] [(pq)0] Hk. Kontradiksi (pq)(pq) Hk. Identitas Operasi penyederhanaan dengan menggunakan hukum-hukum logika dapat digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya adalah contingent. Contoh 1.13 : 1. [(p_q)p]_q [(pq)p] _ q ingat p_q pq

[(pq)p] q ingat p_q pq [(pq)p] q Hk. Negasi ganda dan De Morgan [(pp)(qp)] q Hk. Distributif [1(pq)] q Hk. Idempoten dan komutatif (pq)q Hk. Identitas p(qq) Hk. Assosiatif p1 Hk. Idempoten 1 Hk. Identitas Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi. 2. (pq) [(p) (q)] (pq)(pq) [(pq)p][(pq)q] Hk. Distributif [(pp)(qp)][(pq)(qq)] Hk. Distributif [0(qp)][(pq)0] Hk. Negasi (pq)(pq) Hk. Idempoten (pp)(qq) Hk. Assosiatif 00 Hk. Negasi 0 Hk. Idempoten Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi. 3. [(pq)p] _ q [(pp)(qp)] _ q Hk. Distributif [0 (qp)] _ q Hk. Negasi (qp) _ q Hk. Identitas

(qp) q ingat p_q pq (qp) q Hk. De Morgan (qq)p Hk. Assosiatif qp Hk. Idempoten Hasilnya bukan 0 atau 1, ekspresi logika di atas adalah contingent. 1.5 INFERENSI LOGIKA 1.5.1 ARGUMEN VALID DAN INVALID Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P1, P2, ,Pn yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan). Secara umum di notasikan dengan P1,P2, .,Pn _Q atau dapat juga ditulis Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut : Suatu argumen P1,P2,,,Pn _ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah (invalid/fallacy). Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy). Jadi suatu argumen dikatakan valid jika dan hanya jika proposisi P1P2..Pn) _ Q adalah sebuah Tautologi. Contoh 1.14 : 1. Premis P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan belajar komputer P2 : Office dan Delphi diperlukan Konklusi Q : Semua orang akan belajar komputer Jika ditulis dalam bentuk notasi logika Misal p : Office dan Delphi diperlukan q : Semua orang belajar komputer Maka argumen diatas dapat ditulis : p_q, p _ q (valid)

2. Misal p : Saya suka kalkulus q : Saya lulus ujian kalkulus P1 P2 Pn \Q Premis Konklusi Premis Konklusi LOGIKA Maka argumen p _ q, p _ q dapat ditulis P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus P2 : Saya lulus ujian kalkulus \ Saya lulus ujian kalkulus (valid) Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Tentukan premis dan konklusi argumen 2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi. 3. Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar. 4. Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah maka argumen tersebut tidak valid. Contoh 1.15: Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau invalid a) p(qr), r _ pq

b) p_(qr), q_(pr) _p_r Penyelesaian a) Baris ke p q r qr p(qr) (Premis) r (Premis) pq (konklusi) 1TTTTTFT 2TTFTTTT 3TFTTTFT 4TFFFTTT 5FTTTTFT 6FTFTTTT 7FFTTTFF 8FFFFFTF Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua. Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris konklusi semuanya bernilai benar. Maka argumen diatas adalah valid. b) Silahkan Anda kerjakan!. 1.5.2 ATURAN PENARIKAN KESIMPULAN

A. MODUS PONEN Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika diketahui implikasi Bila p maka q yang diasumsikan bernilai benar dan antasenden (p) benar. Supaya implikasi p_q bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar. Modus Ponen : p_q , p _ q atau dapat juga ditulis p_q p ____ \q LOGIKA Contoh 1.16 : Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Digit terakhir suatu bilangan adalah 0 ____________________________________ \ Bilangan tersebut habis dibagi 10 B. MODUS TOLLENS Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan kesimpulan merupakan kontraposisi premis pertama modus ponen. Hal ini mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya. Modus Tollens : p_q, q _ p Atau dapat juga ditulis p_q q ____ \ p Contoh 1.17:

Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10 Suatu bilangan tidak habis dibagi 10 ____________________________________ \ Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0 C. PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION) Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung . Alasannya adalah karena penghubung bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar. Misalnya saya mengatakan Langit berwarna biru (bernilai benar). Kalimat tersebut tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung . Misalnya Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui. Kalimat tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat Bebek adalah binatang menyusui, merupakan kalimat yang bernilai salah. Addition : p _(pq) atau q _ (pq) Atau dapat ditulis p atau q ____ ____ \ pq \ pq Contoh 1.18 : Simon adalah siswa SMU ____________________ \ Simon adalah siswa SMU atau SMP D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION) Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika beberapa kalimat dihubungkan dengan operator , maka kalimat tersebut dapat diambil salah satunya secara khusus (penyempitan kalimat). Simplification : (pq) _p atau (pq) _ q Atau dapat ditulis pq atau pq ___ ___ \p\q

Contoh 1.19 : Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat _________________________ \ Langit berwarna biru atau \ Bulan berbentuk bulat E. SILOGISME DISJUNGTIF Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B). Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah memilih B. Begitu juga sebaliknya. Silogisme Disjungtif : pq, p _q dan pq, q _ p Atau dapat ditulis pq atau pq p q ____ ____ \q\p Contoh 1.20: Saya pergi ke mars atau ke bulan Saya tidak pergi ke mars __________________ \ Saya pergi ke bulan F. SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY) Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi p_q dan q_r keduanya bernilai benar, maka implikasi p_r bernilai benar pula. Transitivity : p_q , q_r _ p_r Atau dapat ditulis p_q q_r

_____ \ p_r Contoh 1.21: Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur, Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor _____________________________ \ Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor. LOGIKA G. KONJUNGSI Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat tersebut dengan menggunakan penghubung juga bernilai benar. Konjungsi p q __ \ pq H. DILEMA Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung , masing-masing kalimat dapat mengimplikasikan sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu maka suatu kesimpulan dapat diambil. Dilema : pq p_r q_r ___

Apa itu Logika Komputasi?Computational Logic is a wide interdisciplinary field having its theoretical and practical roots in mathematics, computer science, logic, and artificial intelligence. Logika Komputasi adalah sebuah bidang interdisipliner yang luas memiliki akar teoritis dan praktis dalam matematika, ilmu komputer, logika, dan kecerdasan buatan. Its subfields include Subbidang meliputi

Mathematical logic Logika matematika Logic programming Logika pemrograman Deduction systems Pengurangan sistem Knowledge representation Pengetahuan representasi Artificial intelligence Kecerdasan buatan Methods of formal specification and verification Metode spesifikasi formal dan verifikasi Inference techniques Inferensi teknik Syntax-directed semantics Sintaks-diarahkan semantik The relationship between theoretical computer science and logic. Hubungan antara ilmu komputer teoritis dan logika.

Indeed, the wideness of the scope of computational logic anchors in the power and generality of logic based reasoning across the spectrum of scientific disciplines, and in its practical use in the form of computer supported automated tools. Memang, wideness lingkup jangkar logika komputasi pada kekuatan dan umum dari penalaran logika berdasarkan seluruh spektrum disiplin ilmu, dan dalam penggunaan praktis dalam bentuk komputer yang didukung alat otomatis. As a consequence, it has its applications in computer science itself, mathematics, the engineering sciences, humanities and social sciences including law, as well as in the natural sciences and in interdisciplinary fields like cognitive science. Akibatnya, ia memiliki aplikasi dalam ilmu komputer itu sendiri, matematika, ilmu teknik, humaniora dan ilmu sosial termasuk hukum, serta dalam ilmu-ilmu alam dan dalam bidang-bidang interdisipliner seperti sains kognitif. The field of computational logic covers all kinds of applications of logic in computer science. Bidang logika komputasi mencakup semua jenis aplikasi logika dalam ilmu komputer. Computational logic centers around the famous definition: Komputasi logika pusat sekitar definisi yang terkenal: Algorithm = Logic + Control . Algoritma = Logika + Control . According to this view, algorithms consist of a problem description (the logic part) along with a strategy to carry out useful computations on this description (the control part). Menurut pandangan ini, algoritma terdiri dari deskripsi masalah (bagian logika) bersama dengan strategi untuk melakukan perhitungan yang berguna pada deskripsi (bagian kontrol). Computational Logic is devoted to the ideal of a programmer who concentrates solely on the description of the problem and spends no time at all on the actual computation mechanism. Logika Komputasi

dikhususkan untuk ideal seorang programmer yang hanya memusatkan perhatian pada deskripsi masalah dan menghabiskan waktu sama sekali pada mekanisme perhitungan yang sebenarnya. This unique paradigm of declarative programming leads to programs that are fast and simple to develop and easy to understand and maintain - features which are of rapidly increasing importance as today's computer systems grow more and more complex. Ini paradigma pemrograman deklaratif unik mengarah ke program yang cepat dan sederhana untuk mengembangkan dan mudah untuk memahami dan memelihara - fitur yang penting cepat meningkat sebagai sistem komputer saat ini tumbuh lebih banyak dan lebih kompleks. Moreover, the rigorous use of logic revolutionizes the whole field of hard- and software verification. Selain itu, penggunaan logika ketat merevolusi seluruh bidang keras dan verifikasi perangkat lunak. Instead of having to undergo a test phase which necessarily cannot give more than just some confirmation that a program will do what it is supposed to do, the development of programs and systems that are guaranteed to be correct is the second ideal of Computational Logic. Daripada harus menjalani tahap uji coba yang tentu tidak dapat memberikan lebih dari hanya beberapa konfirmasi bahwa program akan melakukan apa yang seharusnya dilakukan, pengembangan program dan sistem yang dijamin benar adalah yang ideal kedua Logika Komputasi.

Professional Perspective Perspektif ProfesionalToday's information technology is witnessing a change - and the change is omnipresent. Teknologi informasi hari ini adalah menyaksikan perubahan - dan perubahan itu di mana-mana. It is getting closer to our lives and plays a more active role in day-to-day activities with more and more people using it for diverse needs: from on-line transactions, on-line chat and e-mail to fancy browsers and real-time audio and video; computers and especially the Internet have taken the entire world by a storm. Hal ini semakin dekat dengan kehidupan kita dan memainkan peran yang lebih aktif dalam sehari-hari kegiatan dengan lebih banyak orang dan lebih menggunakannya untuk kebutuhan yang beragam: dari transaksi on-line, on-line chatting dan email ke browser mewah dan real -time audio dan video, komputer dan terutama internet telah mengambil seluruh dunia oleh badai. The Internet is a scientific invention that has really influenced the way we think and act. Internet adalah penemuan ilmiah yang telah benar-benar mempengaruhi cara kita berpikir dan bertindak. The more all this transfuses into our lives, the more mind boggling it becomes for the computer scientists to handle various key issues involved in data security, transactions, network computing, network architecture, computer architecture, complex software, distributed platforms and in short - every little aspect which affects our present day computer society. Semakin semua ini transfuses ke dalam kehidupan kita, pikiran lebih membingungkan itu menjadi bagi para ilmuwan komputer untuk menangani berbagai isuisu kunci yang terlibat dalam keamanan data, transaksi, komputasi jaringan, arsitektur jaringan, arsitektur komputer, perangkat lunak yang kompleks, platform didistribusikan dan di singkat setiap sedikit aspek yang mempengaruhi masyarakat kita hari ini komputer. As our systems become smarter every day and as the major organizations vie for the maximum market share, present computer scientists are forced to understand the key issues even faster while making advanced sophistication look a triviality. Sebagai sistem kita menjadi lebih cerdas setiap hari dan sebagai organisasi besar bersaing untuk pangsa pasar maksimum, ilmuwan komputer ini dipaksa untuk memahami isu-isu kunci lebih cepat sementara membuat kecanggihan sebuah kesia terlihat canggih.

Computational logic is a unique paradigm to address problems in hardware and software design that are too complex to be solved by plain heuristics and rules of thumb. Logika komputasi adalah sebuah paradigma yang unik untuk mengatasi masalah di hardware dan software desain yang terlalu kompleks untuk diselesaikan oleh heuristik polos dan aturan praktis. It is no longer the case that hardware can survive without good software and vice versa. Tidak ada lagi kasus bahwa perangkat keras dapat bertahan hidup tanpa perangkat lunak yang baik dan sebaliknya. In fact they now have to grow synergetically as our systems become more complex. Bahkan mereka sekarang harus tumbuh synergetically sebagai sistem kita menjadi lebih kompleks. It has been observed that Computational Logic also plays a crucial role in understanding key problems in software. Telah diamati bahwa Logika Komputasi juga memainkan peran penting dalam memahami masalah utama dalam perangkat lunak. The advent of logic and constraint programming has led to a great success of declarative programming languages in expert systems, natural language processing, planning and acting, to name but a few. Munculnya logika dan pemrograman kendala telah menyebabkan sukses besar bahasa pemrograman deklaratif dalam sistem pakar, pengolahan bahasa alami, perencanaan dan bertindak, untuk nama tapi beberapa. In today's world of wireless and mobile networking, distributed system protocols form a major aspect of system design. Dalam dunia sekarang ini jaringan nirkabel dan mobile, sistem terdistribusi protokol membentuk aspek utama dari desain sistem. Removing unnecessary and redundant computations from such protocols and verifying such protocols is usually a formidable task. Menghapus perhitungan yang tidak perlu dan berlebihan dari protokol tersebut dan memverifikasi protokol seperti biasanya tugas berat. With the tools of computational logic the journey is easier. Dengan alat logika komputasi perjalanan lebih mudah. The field of software engineering is witnessing a multi-discipline approach to define the software system specifications formally and logics have shown immense guiding potential to the way formal specifications are studied. Bidang rekayasa perangkat lunak adalah menyaksikan pendekatan multi-disiplin untuk menentukan spesifikasi perangkat lunak sistem formal dan logika telah menunjukkan potensi luar biasa untuk membimbing cara spesifikasi formal dipelajari. With these motivations to guide the heuristics and to have more emphasis on formal methods for software and hardware verification, computational logic covers the scope of the above mentioned areas. Dengan motivasi untuk memandu heuristik dan memiliki lebih menekankan pada metode formal untuk perangkat lunak dan verifikasi perangkat keras, logika komputasi meliputi ruang lingkup daerah yang disebutkan di atas.

Computational Logic in Europe Logika Komputasi di EropaAs of today, computational logic is one of the flagships of research and education in Europe. Seperti hari ini, logika komputasi adalah salah satu flagships penelitian dan pendidikan di Eropa. Computational logic is of increasing importance for dealing with the complexity of modern computer-supported systems and worldwide on the rise. Logika komputasi adalah peningkatan penting untuk berurusan dengan kompleksitas komputer modern yang didukung sistem dan di seluruh dunia meningkat. The field has been established over many years by numerous European projects and networks. Lapangan telah berdiri selama bertahun-tahun oleh proyek-proyek Eropa banyak dan jaringan. In particular, the European networks of excellence in computational logic, CompulogNET 1 and 2 as well as CoLogNET were instrumental for turning Europe into the world-wide leading region in computational logic. Secara khusus, jaringan Eropa keunggulan

dalam logika komputasi, CompulogNET 1 dan 2 serta CoLogNET berperan untuk mengubah Eropa menjadi wilayah terkemuka seluruh dunia dalam logika komputasi. Around thirty professors that are working in the field have jointly initiated the European Master's Program in Computational Logic (EMCL). Sekitar tiga puluh profesor yang bekerja di lapangan telah bersama-sama diprakarsai Program Master Eropa di Logika Komputasi (EMCL). They have published a number of books on subjects in computational logic . Mereka telah menerbitkan sejumlah buku tentang subyek dalam logika komputasi .

Teks asli Inggris

Removing unnecessary and redundant computations from such protocols and verifying such protocols is usually a formidable task.Sarankan terjemahan yang lebih baik