redundansi frame dan pengaruhnya pada...

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

REDUNDANSI FRAME DANPENGARUHNYA PADA

DEKOMPOSISI FUNGSI DIRUANG HILBERT

SUZYANNANRP.1208 201 002

July 13, 2010

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

ABSTRAK

Konsep frame di ruang hasil kali dalam dapat dipandang se-bagai perumuman dari basis ortonormal dalam ruang Hilbertdengan {fk}∞k=1 disebut frame jika terdapat 0 < A 6 B < ∞sedemikian sehingga A‖f‖2 6

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 6 B‖f‖2 untuk

setiap f ∈ H dengan A dan B adalah batasan frame.JikaA = B maka {fk}∞k=1 disebut frame ketat. Materi tesis inimembahas pengertian redundan atau overcomplete pada suatuframe ketat. Disajikan pula cara perhitungan suatu redundansidalam contoh-contoh sederhana baik di dimensi hingga maupuntak hingga.

Kata-kunci: hasil kali dalam, basis, basis ortonormal, norm,frame.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

LATAR BELAKANG

Frame pertama kali diperkenalkan oleh Duffin danSchaeffer(1952), menggunakan frame untuk mempelajari DeretFourier yang nonharmonik yakni ekspansi fungsi di (L2 [0, 1]).Christensen(2006),Balan dkk (2005),dan Casazza (2010) sesuaidefinisi frame dimana frame adalah basis yang overcompletedan perumuman dari basis ortonormal. A dan B masing-masingadalah batas atas dan bawah frame.Jika A = B maka frame disebut sebagai frame ketat. Setiapbasis ortonormal adalah Riesz basis dan setiap Reisz basis adalahframe.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Casazza dkk (2009), menenuhi definisi frame, jika A = B = 1,maka disebut sebagai frame Parseval. Frame mempunyai redun-dant N

n. Jika ‖ϕi‖ = c untuk semua i = 1, ..., N disebut equal

norm frame. Jika φ adalah equal norm Parseval frame maka re-dundansi R−φ = R+

φ = Nn

dimana R−φ adalah batas bawah redun-dansi sedang R+

φ adalah batas atas redundansi.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Casazza(1998), setiap frame dalam ruang Hilbert H dapat diny-atakan sebagai jumlahan dari tiga basis ortonormal diH, dan da-pat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua basis ortonor-mal jika dan hanya jika frame adalah Riesz Basis.Setiap frame dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari dua buahframe ketat dengan batasan frame adalah 1 atau jumlah dari suatubasis ortonormal dan Riesz basis di H, dan juga dapat ditulissebagai rata-rata dua basis ortonormal di ruang Hilbert.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Mallat(1999), memenuhi definisi frame, frame adalah lengkap,stabil dan punya redundan.Jika vektor-vektor pada frame di nor-malkan, atau ‖fk‖ = 1, maka redundansi dapat dinyatakan seba-gai batasan-batasan frame A dan B.Daubechies (1992), memenuhi definisi frame, redundant A+B

2dengan frame adalah ketat.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

PERMASALAHAN

Dalam tesis ini akan difokuskan pembahasan permasalahan se-bagai berikut:

• Bagaimana bentuk redundansi frame pada dekomposisi su-atu fungsi di ruang Hilbert.

• Bagaimana pengaruh redundansi frame pada dekomposisisuatu fungsi di ruang Hilbert.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

BATASAN MASALAH

Redundansi frame dalam tesis ini dapat dikontrol (secara relatif)oleh ‖f‖ yaitu dengan ketentuan 0 6 R 6 K‖f‖2 denganK adalah konstanta positif yang bergantung pada penyajian atasframe yang diberikan selain itu redundansi bisa dikontrol jugaoleh ‖f‖2 sesuai sifat frame A‖f‖2 6

∑k=1

|〈f, fk〉|2 6 B‖f‖2

untuk suatu frame {fk}k.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

TUJUAN PENELITIAN

a. Menentukan batas atas dan batas bawah frame

b. Mengkaji pengaruh redundansi frame pada dekomposisifungsi f di ruang Hilbert di L2(R).

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

MANFAAT PENELITIAN

Dengan adanya penelitian ini diharapkan hasilnya dapat digu-nakan sebagai rujukan untuk penelitian lanjutan yang berkai-tan dengan dekomposisi frame, khususnya dalam menyelesaikanmasalah aplikasi.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

KAJIAN PUSTAKA dan DASARTEORI

Sifat-sifat hasil-kali-dalam adalah sebagai berikut :

• 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉• 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉• 〈x, y〉 = 〈y, x〉• 〈x, x〉 > 0 dan 〈x, x〉 = 0⇔ x = 0

Ruang vektor V dengan hasil kali dalam 〈., .〉 disebut ruanghasil-kali-dalam.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Definisi Ortogonal

Jika x, y ∈ X , dengan x 6= y dalam suatu ruang hasil-kali-dalam, dan 〈x, y〉 = x · y = 0 , maka x dan y dikatakan salingortogonal. Apabila ‖x‖ = 1 untuk x ∈ X , maka X dikatakanhimpunan ortonormal �

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Ketaksamaan Cauchy-SchwarzSuatu hasil kali dalam dan norma memenuhi ketaksamaan

Cauchy-Schwarz dinyatakan sebagai berikut:|〈x, y〉| = |〈y, x〉| 6 ‖x‖ ‖y‖

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Basis OrtonormalSuatu basis {ek}∞k=1 adalah basis ortonormal, yaitu bila

〈ek, ej〉 = δk,j =

{1 jika k = j0 jika k 6= j

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Definisi FrameSuatu barisan {fk}∞k=1 dengan anggota anggotanya diruangHilbertH disebut Frame untukH bila terdapat A,B > 0 (A,Badalah konstan) sedemikian hingga

A‖f‖2 6∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 6 B‖f‖2, ∀f ∈ H

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Definisi Frame Ketat• Jika A = B maka frame disebut frame ketat (tight frame).

• Suatu frame dikatakan bukan frame bila ada salah satuanggotanya dihilangkan, dan disebut frame eksak.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Contoh 1

Ambil H = C2, e1 = (0, 1), e2 =(√

32, 12

), dan

e3 =(√

32, −1

2

), untuk setiap υ = (υ1, υ2) diH maka,

3∑j=1

|〈v, ej〉|2 = |v2|2 +∣∣∣√3

2v1 +

12v2∣∣∣2 + ∣∣∣√3

2v1 − 1

2v2∣∣∣2

= 32‖v‖2

Dengan demikian { e1, e2, e3} adalah frame dengan batas-batas

A = B = 32, yang menyatakan redundan adalah 3

2�

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Unconditionality atau Tak bersyarat

Andaikan {fn : n ∈ Z} adalah frame di ru-ang Hilbert H, maka setiap pengurutan kem-bali dari barisan {fn} juga merupakan frame.�

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Contoh 2

Misalkan: A2 := { e1, e2} dengan e1 = (1, 0) dan e1 = (1, 0)

x, y ∈ R2

2∑k=1

〈(x, y) , ek〉2 = 〈(x, y) , (1, 0)〉2 + 〈(x, y) , (0, 1)〉2

= x2 + y2 = ‖ f‖2

Dalam contoh ini A = B = 1 yang berarti 1 adalah redundansidari sistem dua vektor di R2. KarenaA = B maka frame disebutframe ketat.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

METODA PENELITIAN

• Tahap 1: Mengkaji sifat-sifat frame sebagai perluasan kon-sep basis di ruang hasil kali-dalam Pada tahapan ini akandikaji sifat-sifat frame yaitu bahwa frame yang dibicarakanmula-mula dalam ruang vektor dimensi hingga dengan hasilkali dalam, dan merupakan perluasan dari basis ortonormal,memberikan contoh frame.

• Tahap 2 : Mengkaji dekomposisi fungsi-fungsi menggu-nakan frame Pada tahapan ini akan dibahas tentang operatorsintesis, operator analisis operator frame, invers, self adjoin,bentuk dekomposisi fungsi, dan contoh menghitung S−1fk.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

• Tahap 3 : Mengkaji frame di dimensi tak hingga Pada taha-pan ini setelah membahas pendahuluan tentang frame dalamruang di dimensi hingga, maka berikut akan dibicarakanekspansi dalam ruang vektor dimensi tak hingga, membahasbarisan konvergen absolut, konvergen tak bersyarat, operatorlinear terbatas, operator adjoin, barisan Bessel, dan dekom-posisi f diruang dimensi tak hingga.

• Tahap 4: Mengkaji redudansi suatu dekomposisi fungsiframe. Pada tahap ini memberi contoh menentukan redu-dansi suatu dekomposisi fungsi frame yang berasal dari ba-sis ortonormal, memberi contoh tentang penggunaan fungsidekomposisi frame.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

HASIL DAN PEMBAHASAN

Contoh 3

F = {fk}∞k=1 =

{e1,

1√2e2,

1√2e2,

1√3e3,

1√3e3,

1√3e3, ...

}Maka untuk setiap f ∈ H,

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 =∞∑k=1

k

∣∣∣∣⟨f, 1√kek

⟩∣∣∣∣2 = ‖f‖2Dengan demikian {fk}∞k=1 frame ketat untuk H dengan batasframe A = B = 1.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Dekomposisi fungsi-fungsimenggunakan frame

Suatu ruang vektor V yang dilengkapi frame {fk}mk=1 dandidefinisikan suatu pemetaan linear:

T : Cm → V, T {ck}mk=1 =m∑k=1

ckfk (1)

dengan T disebut sebagai operator pre-frame atau disebut jugadengan operator sintesis, sedangkan operator adjoin diberikansebagai berikut :

T ∗ : V → Cm, T ∗f = {〈f, fk〉}mk=1 (2)

dan disebut sebagai operator analisis. Dengan komposisi T danT ∗ diperoleh operator frame sebagai berikut :

S : V → V, Sf = TT ∗f =m∑k=1

〈f, fk〉fk (3)

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Berikut adalah bentuk operator frame:

〈Sf, f〉 =m∑k=1

〈f, fk〉〈fk, f〉 =m∑k=1

〈f, fk〉〈 f, fk〉 =m∑k=1

|〈f, fk〉|2, f ∈ V

(4)Batas bawah frame dapat dipandang sebagai “ batas bawah ” su-atu operator frame. Jika dapat dipilih batas A = B dari definisimaka frame {fk}mk=1 disebut frame ketat sehingga diperoleh :

m∑k=1

|〈f, fk〉|2 = A‖f‖2, ∀f ∈ V (5)

Untuk frame ketat, nilai eksak A dalam (6) disebut batas frame(frame bound).

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Teorema

Misalkan {fk}mk=1 adalah suatu frame untuk V dengan operatorframe S maka belaku sifat-sifat berikut:

• S punya invers dan self-adjoint.

• Untuk setiap f ∈ V dapat disajikan bentuk

f =m∑k=1

⟨f, S−1fk

⟩fk =

m∑k=1

〈f, fk〉S−1fk (6)

• Jika f ∈ V mempunyai penyajian f =m∑k=1

ckfk untuk be-

berapa koefisien skalar {ck}mk=1, maka berlaku

m∑k=1

|ck|2 =m∑k=1

∣∣⟨f, S−1fk⟩∣∣2+ m∑k=1

∣∣ck − ⟨f, S−1fk⟩∣∣2

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Berikut ini adalah salah satu contoh aplikasi frame yaitu dalampengiriman sinyal. Misalkan kita akan mengirim sinyal f dalamruang vektor V dari suatu transmiter (pengirim) A ke suatu ri-siver (penerima) R. Bila keduanya yaitu A maupun R mem-punyai informasi tentang frame {fk}mk=1 untuk V , maka halini dapat diselesaikan jika A menyampaikan atau mengirimkankoefisien frame {〈f, S−1fk〉}mk=1, dimana receiver (penerima)R dapat membangun kembali sinyal f menggunakan dekompo-sisi frame. Sekarang diasumsikan bahwa penerima R mener-ima gangguan sinyal(noise) , yaitu menerima koefisien frame{〈f, S−1fk〉 + ck}mk=1. Berdasarkan koefisien penerima,R akanmenyatakan bahwa sinyal yang dikirim adalah sebagai berikut :

m∑k=1

(⟨f, S−1fk

⟩+ ck

)fk =

m∑k=1

(⟨f, S−1fk

⟩)fk +

m∑k=1

ckfk

= f +m∑k=1

ckfk

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Redundansi Dekomposisi Fungsi diRuang Hilbert

Frame mempunyai penyajian overcomplete artinya fungsi(data,sinyal) yang disajikan dalam bentuk frame tidak tunggal se-hingga dikatakan bahwa frame tidak ortogonal. Oleh karena itudekomposisi fungsi yang disajikan dalam bentuk basis ortonor-

mal tidak stabil karena koefisien ck dari f =∞∑k=1

ckfk adalah

tunggal yaitu dengan mengubah koefisien frame ck,misalkan(ck + εk) akan mengubah dekomposisi fungsi f ,sehingga tidakakan menjadi f lagi. Secara matematis dapat ditulis:

f =∞∑k=1

ckfk +∞∑k=1

εkfk

oleh karena

∞∑k=1

ckfk =∞∑k=1

εkfk

makaf̃ = 2f

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Sehingga untuk∞∑k=1

ckfk = 0 atau∞∑k=1

εkfk = 0, berarti noise

yang dicari tidak dapat ditangkap (capture) dengan optimal,akibatnya dekomposisi fungsi dengan basis ortonormal selaludidapat “redundansi” nol.Sedang pada frame dikatakan stabil, artinya dengan mengubah

koefisien frame ck menjadi (ck + εk) dari f =∞∑k=1

ckfk tidak

mengubah fungsi dekomposisi f =∞∑k=1

ckfk , sehingga dikatakan

bahwa frame adalah stabil.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Secara matematis dapat distulis sebagai berikut:Fungsi f̃ mengalami noise sehingga bentuknya sebagai berikut:

f̃ =∞∑k=1

(ck + εk)fk

=∞∑k=1

ckfk +∞∑k=1

εkfk

Jika bentuk tersebut disederhanakan akan menjadi:

f̃ ≈ f +∞∑k=1

εkfk

dimana∞∑k=1

εkfk 6= 0.

Karena dekomposisi menggunakan frame, maka∞∑k=1

εkfk selalu

ada, selain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penam-

bahan∞∑k=1

εkfk tidak mengubah fungsi asal.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Penutup

1. KesimpulanRedundansi suatu frame dapat dikontrol (secara relatif) oleh ‖f‖yaitu dengan ketentuan 0 6 R 6 K‖f‖2 dengan R adalah re-dundansi dan K adalah konstanta positif yang bergantung padapenyajian atas frame yang diberikan, selain itu redundansi se-cara mutlak bisa dikontrol oleh ‖f‖2 sesuai sifat frameA‖f‖2 6∑k=1

|〈f, fk〉|2 6 B‖f‖2 untuk suatu frame {fk}k.

Pada waktu mengalami gangguan (noise), koefisien frame {ck}akan berubah menjadi {ck + εk} dengan {εk} adalah noise, se-hingga bentuk dekomposisi fungsi f menjadi fungsi f̃ dengandemikian diasumsikan

f̃ ≈ f +∞∑k=1

εkfk

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

Dengan demikian∞∑k=1

εkfk 6= 0. Karena dekomposisi menggu-

nakan frame, maka∞∑k=1

εkfk atau redundannya selalu ada, se-

lain itu karena frame bersifat stabil maka dengan penambahan∞∑k=1

εkfk tidak mengubah fungsi asal. Oleh karena itu redundansi

memberikan pengaruh terhadap dekomposisi fungsi bergantungpada koefisien frame {ck}

2. SaranUntuk penelitian lebih lanjut perlu dikaji masalah aplikasi redun-dansi frame.

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

ReferencesAllen, R.,Mills,D. (2004), Signal Analysis, John Wiley & Sons,

Canada.

Boufounos,P.T, (2006), “ Quantization and Erasures in FrameRepresentation”, Submitted to the Department of ElectricalEngineering and Computer Science in partial fulfillment ofthe requirements for the degree of Doctor of Science in Elec-trical Engineering and Computer Science

Balan.R,Casazza.P.G,Edidin.G,Kutinyok.G, (2005), “ Decompo-sitions of Frames and a New Frame Identity”, Proceeding ofSPIE

Bodman,B.G, Casazza,P.G,Kutyniok,.G, (2010), “ Upper andLower Redundancy of Finite Frames”, Annual Conferenceand Information Sciences and Systems (CISS)

Casazza,P.G, (1998), “ Every Frame is a Sum of Three(but nottwo) Orthonormal Bases and Other Frame Representations”,Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol 4, No.6

Home Page

Title Page

Contents

JJ II

J I

of 33

Go Back

Full Screen

Close

Quit

ReferencesCasazza,P.G, dan Kovacevic, J, (2001), “ Uniform Tight Frames

for Signal Processing and Communications”, In Proc.SPIEConf on Wavelet Appl.in Signal and Image Proc

Casazza, P.,Bodmann, B., dan Kutyniok, G. (2009),“A Quantitative Notion of Redundancy for FiniteFrames”,Illinois/Missori Applied Harmonic AnalysisSeminar

Casazza,P.G,Leon,.M, (2010), “ Existense and Construction ofFinite Frames with a Given Frame Operator”, Int. J of Pureand Appl Math

Christensen, O., (2003), An Introduction To Frames and RieszBases, Birkhauser, Boston.

Christensen, O., (2006), “Recent Developments in Frame The-ory”,Modern Mathematical Models,Methods and Algo-rithms for Real World System,

redundansi frame dan pengaruhnya pada...

Documents