rancangan bujur sangkar latin
TRANSCRIPT
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 1
RANCANGAN BUJUR SANGKAR LATIN1
(LATIN SQUARE DESIGN)
Oleh :
Ir. I Gde Ekaputra Gunartha, M.Agr., Ph.D. Dosen Statistika (Biometri) FMIPA Unram
1. Struktur Perlakuan (treatment design) : Faktor Tunggal
a). Notasi perlakuan : t b). Tiap aras t diulang sebanyak : r c). Jumlah blok baris : b d). Jumlah blok kolom : k e). Jadi jumlah unit percobaan : t*r = t * t = t2
2. Syarat tata-letak (layout) unit percobaan :
a). faktor lingkungan yang mengganggu (nuisance factor) berdimensi dua arah sumber keragaman, dengan kata lain terdapat dua arah gradien pengganggu, yakni arah baris dan arah kolom. Misal, lahan percobaan dengan gradien kesuburan tanah (soil fertility) dan gradien arah jalur irigasi, gradien kemiringan tanah (slope) dan gradien arah angin, dan sebagainya; b). stratifikasi faktor pengganggu menjadi blok baris dan blok kolom dimaksudkan untuk mengontrol galat agar dapat menghilangkan adanya dua sumber keragaman tersebut dari galat percobaan (ε); c). perlakuan/prosedur (t) yang dikenakan pada unit percobaan diacak secara lengkap pada setiap blok baris dan blok kolom, artinya setiap perlakuan hanya muncul sekali baik pada blok baris maupun blok kolom.
3. Tata-letak unit percobaan (perlakuan) :
Misal : t = 4 (A, B, C, dan D), r = 4, b = 4, dan k = 4 Unit percobaan = t * r = 4 * 4 = 16
444413422431
324333312341
234223242211
114143132121
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
DABC
BCAD
CBDA
ADCB
1 Materi Ajar Mata Kuliah Survey dan Rancangan Percobaan FMIPA Unram (©2013-2014)
Jumlah t = r = b = k
i = notasi blok baris j = notasi perlakuan k = notasi blok kolom yijk = data pengamatan
------ kolom ------
----
-- b
aris
----
--
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 2
4. Struktur Data:
•••••••••••••
••
••
••
••
••
yyyyyyyyyyybyyyyybyyyyybyyyyybykkkk
4321k
44444134224314
33243333123413
22342232422112
11141431321211
i4321
dan
•••••••••••••
•••••••••••••
yyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyyyDCBA
4321j
4321j
444431422413
341333324312
242234223211
143132121114
5. Model Partisi Ragam :
ijkkjiijk y εβταµ ++++= (1) dimana : yijk : respon perlakuan ke-j pada blok baris ke-i dan blok kolom ke-k µ : rerata umum αi : efek blok baris ke-i sebagai deviasi dari µ βk : efek blok kolom ke-k sebagai deviasi dari µ τj : efek perlakuan ke -j sebagai deviasi dari µ εijk : galat acak percobaan dari perlakuan ke-j pada blok baris ke-i dan blok kolom ke-k
6. Asumsi Analisis Ragam :
a). Komponen µ, αi, τj, βk, dan εijk bersifat aditif (merupakan fungsi penjumlahan) b). Efek blok baris merupakan efek acak, ( ) 0y yii =−=∑ ∑ •••••α , dan ( )2
i 0,N~ ασα c). Efek blok kolom merupakan efek acak, ( ) 0y y kk =−=∑ ∑ •••••β , dan ( )2
k 0,N~ βσβ c). Efek perlakuan ( ) 0y y jj =−=∑ ∑ •••••τ . d). Komponen acak (εijk) bersifat independen, var (εijk) = σ2 (bersifat konstan atau homoskedastisitas), dan berdistribusi normal, atau ditulis sebagai εijk ∼ NID(0, σ2)
7. Hipotesis yang diuji :
Rumusan hipotesis perlakuan diformulasikan sebagai berikut:
---------- kolom ---------- -------- perlakuan --------
--- b
aris
---
-- u
lang
an --
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 3
H0 : µA = µB = µC = µD (tidak terdapat perbedaan diantara perlakuan) H1 : minimal ada satu rerata perlakuan yang berbeda nyata. atau dinyatakan dengan H0 : τj = 0 (perlakuan tidak berpengaruh nyata terhadap respon yang dikaji) H1 : minimal ada satu τj ≠ 0.
Hipotesis efek blok baris dirumuskan sebagai berikut : H0 : αi = 0 (blok tidak berpengaruh terhadap respon yang dikaji) H1 : minimal ada satu αi ≠ 0. Hipotesis efek blok kolom dirumuskan sebagai berikut : H0 : βk = 0 (blok tidak berpengaruh terhadap respon yang dikaji) H1 : minimal ada satu βk ≠ 0.
Perhitungan Fhitung-nya dapat dilihat dari nilai ekspektasi kuadrat tengah (EKT) pada model. Tabel 1: Nilai ekspektasi kuadrat tengah (EKT)
Sumber Keragaman
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah (KT) EKT
Blok Baris t-1 KTB 1-t
t
t
1i
2i
2∑=+α
σ
Blok Kolom t-1 KTK 1-t
t
t
1k
2k
2∑=+β
σ
Perlakuan t-1 KTP 1-t
t
t
1j
2j
2∑=+τ
σ
Galat (t-1)(t-2) KTG 2σ Total t2-1
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 4
8. Perhitungan :
a). Jumlah Kuadrat (Sum of Squares), JK :
Lihat kembali Persamaan (1), dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) maka diperoleh:
•••••••••
•••••
•••••
•••••
•••
+−−−==
−=−=
−==
y2 yyy y e ˆy y ˆy y ˆ
y yˆy ˆ
kjiijkijkijk
jj
kk
ii
ε
τβ
αµ
sehingga keragaman total dijabarkan menjadi : ( ) ( ) ( ) ( )
( )•••••••••
••••••••••••••••••
+−−−+
−+−+−=−
y2yyy y
y y y yy y y y
kjiijk
kjiijk
(2)
Jika ruas kiri dan ruas kanan Persamaan (2) dikuadratkan maka:
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
kjiijk
kji2ijk y2yyy y
y yy yy y y y
+−−−+
−+−+−=−
•••••••••
•••••••••••••••••• (3)
Jika semua pengamatan dijumlahkan maka Persamaan (3) menjadi
( ) ( ) ( )
( )
( )∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= = =•••••••••
= = =•••••
= = =•••••
= = =•••••
= = =•••
+−−−
+−+
−+−=−
t
1i
t
1j
t
1k
2kjiijk
t
1i
t
1j
t
1k
2k
t
1i
t
1j
t
1k
2j
t
1i
t
1j
t
1k
2i
t
1i
t
1j
t
1k
2ijk
y2yyy y
y y
y yy y y y
(4)
karena :
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 5
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 0y2 yyy yy y
0y2 yyy yy y
0y yy y
0y2 yyy yy y
0y yy y
0y yy y
t
1i
t
1j
t
1kkjiijkk
t
1i
t
1j
t
1kkjiijkj
t
1i
t
1j
t
1kkj
t
1i
t
1j
t
1kkjiijki
t
1i
t
1j
t
1kki
t
1i
t
1j
t
1kji
=+−−−−
=+−−−−
=−−
=+−−−−
=−−
=−−
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = =••••••••••••••
= = =••••••••••••••
= = =••••••••••
= = =••••••••••••••
= = =••••••••••
= = =••••••••••
Dari Persamaan (4) dapat dinyatakan bahwa :
( ) y yt
1i
t
1j
t
1k
2ijk∑∑∑
= = =•••− = Jumlah Kuadrat Total (JKT) (5)
( )∑∑∑= = =
••••• −t
1i
t
1j
t
1k
2i y y = Jumlah Kuadrat Blok Baris (JKB) (6)
( )∑∑∑= = =
••••• −t
1i
t
1j
t
1k
2j y y = Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) (7)
( )∑∑∑= = =
••••• −t
1i
t
1j
t
1k
2k y y = Jumlah Kuadrat Blok Kolom (JKK) (8)
( )∑∑∑= = =
•••••••• +−−−t
1i
t
1j
t
1k
2kjiijk y2yyy y = Jumlah Kuadrat Galat
(JKG) (9)
jadi JKT = JKB + JKP + JKK + JKG 10)
Untuk perhitungan praktis, maka Persamaan (5) sampai (9) dijabarkan sebagai berikut :
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 6
( )
2
2t
1i
t
1j
t
1k
2ijk
2t
1i
t
1j
t
1kijkt
1i
t
1j
t
1k
2ijk
t
1i
t
1j
t
1i
2ijk
ty y
tt
yy y y
•••
= = =
= = =
= = == = =•••
−=
∗
−=−
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
(11)
dimana 2
2
ty •••
dikenal dengan sebutan Faktor Koreksi (FK), yakni grand
total (total umum) dikuadratkan dibagi dengan jumlah unit percobaan (t*t = t2).
Jadi FK y JKTt
1i
t
1j
t
1k
2ijk −=∑∑∑
= = =, (12)
dengan kata lain JKT merupakan penjumlahan tiap-tiap data pengamatan yang dikuadratkan dikurangi Faktor Koreksi. Untuk perhitungan JKB diperoleh :
( )
FK t
y
ty
t
y
tt
y
t
y y y
t
1i
2i
2
2
t
1i
2i
2t
1i
t
1j
t
1kijk
t
1i
2it
1i
t
1j
t
1k
2i
−=
−=
∗
−=−
∑
∑
∑∑∑∑∑∑∑
=••
•••=••
= = ==••
= = =•••••
(13)
Dengan demikian JKB merupakan penjumlahan tiap-tiap total blok baris dikuadratkan dibagi dengan jumlah blok kolom dikurangi Faktor Koreksi. Untuk perhitungan JKP diperoleh :
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 7
( )
FK t
y
ty
t
y
tt
y
t
y y y
t
1j
2j
2
2
t
1j
2j
2t
1i
t
1j
t
1kijk
t
1j
2jt
1i
t
1j
t
1k
2j
−=
−=
∗
−=−
∑
∑
∑∑∑∑∑∑∑
=••
•••=••
= = ==••
= = =•••••
(14)
Dengan demikian JKP merupakan penjumlahan tiap-tiap total perlakuan dikuadratkan dibagi dengan jumlah ulangan dikurangi Faktor Koreksi. Untuk perhitungan JKK diperoleh :
( )
FK t
y
ty
t
y
tt
y
t
y y y
t
1k
2k
2
2
t
1k
2k
2t
1i
t
1j
t
1kijk
t
1k
2kt
1i
t
1j
t
1k
2k
−=
−=
∗
−=−
∑
∑
∑∑∑∑∑∑∑
=••
•••=••
= = ==••
= = =•••••
(15)
Dengan demikian JKK merupakan penjumlahan tiap-tiap total blok kolom dikuadratkan dibagi dengan jumlah blok baris dikurangi Faktor Koreksi. Sedangkan untuk JKG = JKT – JKB – JKP - JKK , (16)
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 8
atau JKG merupakan jumlah kuadrat total dikurangi dengan jumlah kuadrat blok baris, jumlah kuadrat blok kolom, dan jumlah kuadrat perlakuan.
b). Kuadrat Tengah (Mean Sqaures)
Kuadrat Tengah (KT) diperoleh dengan membagi masing-masing Jumlah Kuadrat dengan derajat bebas (db)-nya masing-masing. Derajat bebas blok baris yang berasosiasi dengan JKB adalah (t – 1), karena terdapat t blok baris dan hilang 1 akibat perhitungan deviasi dari rerata umum, ( )••••• y-yi , sehingga Kuadrat Tengah Blok Baris (KTB):
1tJKB KTB−
= (17)
Untuk derajat bebas yang berasosiasi dengan JKP adalah (t – 1), karena terdapat t perlakuan dan hilang 1 akibat perhitungan deviasi dari rerata umum, ( )••••• y-y j . Sehingga Kuadrat Tengah Perlakuan (KTP) :
1tJKP KTP−
= . (18)
Untuk derajat bebas yang berasosiasi dengan JKK adalah (t – 1), karena terdapat t blok kolom dan hilang 1 akibat perhitungan deviasi dari rerata umum, ( )••••• y-y k . Sehingga Kuadrat Tengah Blok Kolom (KTK) :
1tJKK KTK −
= . (19)
Sedangkan Kuadrat Tengah Galat (KTG) berasosiasi dengan (t-1)(t-2) derajat bebas, yakni dari (t2) observasi kehilangan t derajat bebas untuk perhitungan estimasi jτ , t derajat bebas untuk estimasi iα dan t derajat bebas untuk estimasi kβ dalam memprediksi ijky . Sehingga diperoleh :
( )( ) .2t1tJKG KTG
−−= . (20)
KTG merupakan penduga ragam σ2, yakni komponen galat acak εijk. Jadi
KTG. ˆ 2 =σ
Dr. I Gde Ekaputra Gunartha - 9
c). Statistik Uji F Setelah KTB, KTP, KTK, dan KTG dihitung maka statistik uji signifikansi (Fhitung) untuk Blok Baris dihitung sebagai berikut :
.KTGKTB F barisblok -hitung = (21)
Untuk Fhitung Perlakuan :
.KTGKTP F perlakuan-hitung = (22)
Sedangkan untuk Fhitung Blok Kolom:
.KTGKTK F kolomblok -hitung = (23)
Nilai Fhitung selanjutnya dibandingkan dengan nilai Fα(υb,υg) untuk blok baris, Fα(υt,υg) untuk perlakuan dan Fα(υk,υg) untuk blok kolom. Aras signifikansi (α) yang digunakan umumnya 1% atau 5%; υb merupakan derajat bebas blok baris, υt merupakan derajat bebas perlakuan, υk merupakan derajat bebas blok kolom, sedangkan υg merupakan derajat bebas galat. Untuk blok baris, jika: Fhitung > Fα(υb,υg), maka H0 ditolak; Fhitung ≤ Fα(υb,υg), maka H0 diterima Untuk blok kolom, jika: Fhitung > Fα(υk,υg), maka H0 ditolak; Fhitung ≤ Fα(υk,υg), maka H0 diterima Sedang untuk perlakuan, jika: Fhitung > Fα(υt,υg), maka H0 ditolak; Fhitung ≤ Fα(υt,υg), maka H0 diterima