proyek mtk sukubanyak1

7/22/2019 PROYEK mtk SUKUBANYAK1

http://slidepdf.com/reader/full/proyek-mtk-sukubanyak1 1/36



PENYELES I N SUKUB NY K

KELOMPOK V



NGGOT

KELOMPOK



MOTTO• Tekad, semangat, kegigihan, dan keyakinan kita ! Itulah modal utama untuk meraih

kesuksesan yang kita inginkan.

• Hal yang dianggap kegagalan pun tak akan sia-sia, jika dijadikan pelajaran untuk

pengalaman berikutnya.

• Jangan menyerah selagi masih ada kemungkinan walaupun itu hanya 1 persen

• Kesalahan terbesar adalah ketika kamu tidak percaya dengan kemampuanmu sendiri.

• Kalau kau ingin menangis karena gagal, berlatihlah lebih keras lagi, sehingga kau

pantas menangis ketika kau gagal.

• Tidak peduli jalan kehidupan apa yang kau pilih, jalanilah selama itu membuatmu

bahagia, walau orang lain sulit untuk mengerti. selama kau bertanggung jawab atas

pilihan tersebut, melangkahlah dengan yakin.

• Jangan biarkan kekhawatiran menghambat langkahmu atau kamu tidak akan pernah

sampai ke manapun.

• Just because we can do it!



AKAR-AKAR RASIONAL

DAN IRASIONAL

SUKUBANYAK



Akar-akar rasional dari persamaan sukubanyak

Misalkan f(x) = 0 adalah sukubanyak , (x – y)merupakan faktor

dari f(x) jika dan hanya jika f(x) = 0. Sedangkan f(k) = 0 jika danhanya jika k adalah akar persamaan f(x) = 0. Denganmenggunakan kaidah silogisme pada dua pernyataantersebut, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

Misalkan f(x) adalah sebuah sukubanyak. (x–

k) adalah faktordari f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. kdisebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak f(x) = 0

• Jika sukubanyak f(x) berderajat n, maka persamaan f(x) = 0maksimum mempunyai n buah akar yang real.

• Taksiran geometri dari k adalah menyatakan titik potonggrafik fungsi y = f(x) dengan sumbu x .



Teorema Akar-Akar Rasional

Misalkan f(x) = an x n + an – 1 x n – 1 + . . . + a1 x + a0 = 0 adalah sebuah persamaansuku banyak dengan koefisien-koefisien bulat. Jika

adalah akar rasional dari

f(x) = 0, maka n adalah faktor bulat positif dari a0 dan n adalah faktor bulatdari an. Akar-akar rasional dari suatu persamaan suku banyak yangdiungkapkan dalam teorema di atas ditentukan dengan menggunakanalgoritma sebagai berikut :

Langkah 1

Mula-mula ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu

.

Dimana

m = faktor bulat positif dari a0 dan n = faktor bulat dari an .

Langkah 2

Dari himpunan akar-akar yang mungkin yang diperoleh pada langkah 1, akar-akar yang sebenarnya harus memenuhi syarat f(

) = 0.



Akar-akar irasional

Akar-akar irasional dapat ditentukan dari suku

banyak hasil bagi yang berderajat dua,sehingga

akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan

rumus kuadrat.

Untuk mencari akar-akar irasional, kita juga dapat menggunakan rumus ABC

sebagai berikut :

X12 =−± −4

2



Teorema faktor

Jika f(x) adalah suku banyak; (x – k ) merupakan

faktor dari P(x). Jika dan hanya jika P(k ) = 0.Artinya:

“ Jika (x – k ) merupakan faktor, maka nilai P(k ) =

0. Sebaliknya, jika P(k ) = 0 maka (x – k) merupakan faktor “

Misal suku banyak f(x) dibagi (x-a) mempunyaisisa f(a) = 0 maka (x-a) merupakan faktor darif(x).



Contoh:

Buktikan bahwa (x-1) merupakan faktor dari x2

- 6x + 11x - 6 dan tentukan faktor

lainnya!

Jawab:

1 1 -6 11 -61 -5 6

1 -5 6 0

x2

- 6x + 11x – 6 = (x-1) (x2- 5x + 6) + 0

= (x-1) (x-3) (x-2)

Jadi faktor lainnya adalah (x-1), (x-3), dan (x-2).



Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar.

a. Persamaan Pangkat Dua

ax2 + bx + c = 0

x1 + x2 =−

x1 . x2 =

b. Persamaan Pangkat Tiga

ax3 + bx

2 + cx + d = 0

x1 + x2 + x3 =−

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =

x1 . x2 . x3 =−

c. Persamaan Pangkat Empat

ax4 + bx

3 + cx

2 + dx + e = 0

x1 + x2 + x3 + x4 = −

x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = −

x1 . x2 . x3 . x4 . x5 =



CONTOH SOAL

Contoh 1

Tunjukkanlah bahwa salah satu akar persamaan sukubanyak x3 – 7x – 6

= 0 adalah 3. Kemudian tentukanlah akar-akar yang lain.

Jawab :

Misalkan f(x) = x3 – 7x – 6 = 0. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar

dari f(x) = 0, cukup diperlihatkan bahwa f(3) = 0.

f(3) = (3)3 – 7(3) – 6

= 27 – 21 – 6

= 0

Karena f(3) =0, maka 3 adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x – 6



Untuk menentukan akar-akar yang lain, dicari terlebih

dahulu hasil bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x – 3. Hasil

bagi dapat ditentukan dengan metode Horner sebagai berikut :

3 1 0 - 7 -6

3 9 6 +1 3 2 0

Hasil baginya adalah H(x) = x2 + 3x + 2

= (x + 1) ( x + 2)

Jadi, akar-akar yang lain adalah x= -1 dan x = -2



Contoh 2

Tentukanlah akar- akar dari persamaan suku banyak f(x) = x 4- 15x2 - 10x + 24= 0.

Jawab

an = 1 dan a0 = 24

m = faktor bulat positif dari a0 = 24, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

n = faktor bulat dari a0 yaitu , -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6, -8,8, -12, 12, -24,24

akar yang mungkin adalah(

) = 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, 6,-6 ,8,-8

substitusikan akar yang mungkin ke dalam persamaan apakah f (

)= 0 ?



Karena soal berderajat 4, maka cari minimal 2 nilai akar terlebih dahulu:

Ambil nilai x=1 :

f(1) = 1 – 15 – 10 + 24 = 0

x = 1 adalah akar persamaan

Ambil nilai x = 2

f(2) = 16 – 60 – 20 + 24 = -40

x= 2 bukan akar persamaan

Ambil nilai x = -2

f(-2) = 16 - 60 + 20 + 24 = 0 Æ

x = -2 adalah akar persamaan

didapat dua nilai yaitu x = 1 dan x = -2

kalikan dua nilai sbb:

(x-1)(x+2) = x2+ x - 2

Bagi persamaan dengan nilai tersebut, sehingga hasil akhirnya didapat :

f(x)= (x - 1)(x + 2)( x2

- x - 12) = 0 atau (x - 1)(x + 2) (x - 4 ) (x + 3) = 0

didapat akar-akar persamaan : x = 1 ; x = -2 ; x= -3 dan x = 4



Contoh 3

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan f(x)= 2x 3 + 5x

2 – 4x – 3 = 0.

Jawab :

f(x)= 2x 3 + 5x

2 – 4x – 3 = 0.

an = 2 dan a0 = -3

akar-akar yang mungkin adalah

m = factor bulat positif dari a0 = -3 yaitu 1 dan 3

d = factor bulat dari an = 2 yaitu -2 , -1 , 1, dan 2

akar-akar yang mungkin adalah -3, -

, −, -

,

, 1 ,

, 3

menghitung nilai f (

)

untuk

= -3 diperoleh

f(-3) = 2(-3)3 + 5(-3)

2 – 4( -3 ) – 3

= -54 +45 +12 – 3

= 0



Karena f(-3) = 0 , maka -3 adalah akar dari f(x) = 0

Untuk

= -

3

2 diperoleh

f (- 3

2) = 2(- 3

2 )3 + 5 (- 3

2 )2

– 4 (- 3

2 ) –

3

= -27

4 +

45

4 +

12

2 - 3 = 7

1

2

Karena f(-3

2) =7

1

2 # 0, maka -

bukan akar dari f(x)= 0

Untuk

= -

1

2 diperoleh

f(-1

2) = 2(-

1

2 )3 + 5(-

1

2 )2 – 4 (-

1

2 ) – 3

= -1

4

+5

4

+ 2 – 3 = 0

Karena f(-1

2 ) = 0, maka -

adalah akar dari f(x) = 0



Untuk

= 1, diperoleh

f(1) = 2(1)3 + 5(1)2 – 4(1) – 3 = 2 + 5 – 4 – 3 = 0

karena f(1) = 0, maka 1 adalah akar dari f(x) = 0.

Dari perhitungan di atas telah diperoleh tiga buah akar,

yaitu x1 = -3 , x2= -1

2

, dan x3 = 1 sehingga perhitungan

nilai f(

) tidak perlu dilanjutkan, sebab untuk f(x)

berderajat 3 maksimum hanya mempunyai tiga buah akar.

Jadi,akar-akar persamaan suku banyak f(x)= 2 x3 + 5x2 –

4x

– 3 = 0 adalah x1 = -3 , x2= -1

2, dan x3 = 1 atau HP = { -3 ,

-1

2, 1 }



Contoh 4

jika ,, akar-akar dari - - x + p= 0 dan dua akarnya saling berlawanan,tentukan nilai p

Jawab :

+ + = -

+ + = 3

- + + = 3

=3

. + + . =

. + + . = -1

−. − + . = -1

− = -1

= 1

= ±1

= = -1

= − = 1

.. = -

.. = p

-1. 1. 3=p P= -3

1 = − 2



Contoh 5

Akar-akar persamaan x3 – 4x

2 – 9x + 11 = 0 adalah a, b, dan c. Hitung a

2 +

b2 + c

2 = . . .

Jawab :

a + b + c = -4

ab + bc + ac = -9

abc = -11

a2 + b

2 + c

2 = (a + b + c)

2 – 2(ab + bc + ac)

= (-4)2 – 2(-9)

= 16 + 18

= 34

Jadi nilai a2 + b

2 + c

2 adalah 34.



SOAL

1. Jika 2x2 + x – 6 adalah faktor dari 2x

3 + mx

2 – nx + 12, maka

nilai m + n = . . .

2. Bila x4 – ax

3 – (a-b)x

2 + (3a+b+2)x – (3a+b) dibagi oleh x

2 + x –

2 memiliki sisa x – 3, maka nilai a dan b adalah . . .

3. Bila x – y + 1 merupakan sebuah faktor dari bentuk ax2 + bxy

+ cy2 + 5x – 2y + 3, maka nilai a, b, dan c adalah . . .

4. Salah satu akar persamaan x3 + ax2 + ax + 1 = 0 adalah x = 2.

Akar-akar yang lain adalah . . .

5. Jika 1, 2, dan 3 akar-akar dari 23-2 +5x -2= 0 dan dua

akarnya berkebalikan,tentukan nilai a

6. Jika 1, 2, dan 3 akar-akar dari 3-122 +28x -k= 0 dan1 = 2 + 3 ,tentukan nilai k



1. Diketahui 2x2 + x – 6 faktor dari 2x

3 + mx

2 – nx + 12

2x2 + x – 6 = (2x-3) (x+2)

x=2 2 m -n 12

-4 -2m+8 4m+2n-16

X=

2 m-4 -2m-n+8 4m+2n-4 sisa

3

−

2 m-1 −

−+

sisa

4m + 2n – 4 = 0

-m - 2n + 13 = 0

+

3m + 9 = 0 m = 3

4m + 2n – 4 = 0

4(3) + 2n – 4 = 0

2n = 16

n = 8



2. Persamaan x

2 + x – 2 (x-1) (x+2)

Untuk x = 1

x4 – ax

3 – (a-b)x

2 + (3a+b+2)x – (3a+b) = x – 3

(1)4 –a(1)

3 – (a-b)1

2 + (3a+b+2)1 – (3a+b) = 1 – 3

1 –

a –

(a-b) + (3a+b+2) –

(3a+b) = -2

-2a + b = -5 (i)

Untuk x = -2

x4 – ax

3 – (a-b)x

2 + (3a+b+2)x – (3a+b) = x – 3

(-2)4 – a(-2)

3 – (a-b)(-2)

2 + (3a+b+2)(-2) – (3a+b) = -5

16 + 8a –

4(a-b) + (-6a-2b-4) –

(3a+b) = -5-5a + b = -17 (ii)

Metode substitusi

-2a + b = -5

-5a + b = -17 _

3a = 12

a = 4

-2a + b = -5

-2(4) + b = -5

b = 3

Jadi nilai a adalah 4, dan nilai b adalah 3.



3. F(x) = P(x) H(x) + S

ax2 + bxy + cy

2 + 5x – 2y + 3 = (x-y+1) (ax-cy+3) + S S = 0

ax2 + bxy + cy

2 + 5x – 2y + 3 = ax

2 – cxy + 3x – axy + cy

2 – 3y + ax - cy + 3

5x – 2y + bxy = (3+a)x – (3+c)y – (a+c)xy

5 = 3 + a

a = 2

2 = 3 + c

c = -1

-b = a + c

-b = 2 + (-1)

b = -1



4. Persamaan x

3 + ax

2 + ax + 1 = 0 memiliki x = 2 sebagai salah satu faktornya

2 1 a a 1

2 4+2a 8+6a

1 2+a 4+3a 9+6a

6a = -9

a =

1

−

(x – 2) (x2 +

x -

) = 0

x2 +

x -

= 0

2x2 + x – 1 = 0

(2x – 1) (x + 1) = 0

x =

dan x = -1 Jadi faktor lainnya adalah x =

dan x = -1



5. jika ,, akar-akar dari - +5x -2= 0 dan dua akarnya

berkebalikan,tentukan nilai a

Jawab :

+ + = -

+ + =

+ + =

. + + . =

. + + . =

. +

+ . =

+ . =

1 =1

2



.. = -

.. = 1

= 1

+ . =

+ =

+

=

+ 2 = 5

− + 2 = 0

(2-1)( − ) =

=

atau = 2

=

=2

= 2 =

+ + =

+ 2 + 1 =

a = 7



6. jika ,, akar-akar dari - +28x -k= 0 dan = +

,tentukan nilai k

Jawab :

+ + = -

+ + = 12

+ = 12

= 12

=

. + + . =

. + + . = 28

( + ) + . = 28

() + . = 28

. + . = 28

+ . = 28

. = -8

1 = 2 + 3



1. 2 .3 = -

1. (2. 3 )= -

1. (2. 3 )= -k6 . (−8) = -k

-k = -48

K= 48

proyek mtk sukubanyak1

Documents