1

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT. Tanpa karunia-Nya kami tidak akan bisa

menyelesaikan buku ini terselesaikan tepat pada waktunya. Sholawat serta salam kita

panjatkan kepada Nabi besar kita, Muhammad SAW beserta para sahabatnya dan

keluarganya.

Buku ini dibuat karena untuk menyelesaikan tugas prokom kami. Buku ini berjudul

“Belajar Vektor Asik” dengan materinya yang disajikan dari beberapa sumber, antara lain

beberapa buku dan internet. Materi – materi yang disajikan juga terbilang singkat guna untuk

mempermudah mempelajarinya. Dan didalam buku ini juga terdapat soal – soal latihan guna

untuk melatih atau mempelancarkan dari isi materi dari buku ini.

Kami menyadari bahwa buku ini masih banyak sekali kekurangannya, untuk itu kami

sangat berharap kritik dan saran dari para pembaca. Dan terima kasih juga kepada pihak –

pihak yang telah membantu membuat buku ini. Dan mudah – mudahan buku ini dapat

memberikan manfaat dalam segala bentuk kegiatan belajar mengajar.

Penulis

2

DAFTAR ISI

Kata – kata motivasi .............................................................................................. 3

Tujuan Pembelajaran ............................................................................................. 4

Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari – hari ...................................................... 4

PEMBAHASAN

A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah ................................................ 5

B. Operasi aljabar pada vektor di 𝑅2

1. Penjumlahan Vektor .......................................................................................... 6

2. Pengurangan Vektor .......................................................................................... 7

3. Perkalian Skalar dengan Vektor ......................................................................... 7

4. Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 dikatakan sama bila 𝑥1 = 𝑦1 dan 𝑦1 = 𝑦2 . ..................... 7

C. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑅3

1. Penjumlahan Vektor .......................................................................................... 7

2. Pengurangan vektor ........................................................................................... 8

3. Perkalian skalar dengan vektor .......................................................................... 8

4. Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 dikatakan sama bila 𝑥1 = 𝑥2 , 𝑦1 = 𝑦2 , 𝑧1 = 𝑧2 . ............ 8

D. Perbandingan vektor dan koordinat ................................................. 8

Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat

1. Rumus Perbandingan Vektor ............................................................................. 8

2. Rumus Perbandingan Koordinat ........................................................................ 9

E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Vektor Kolom .............................. 10

2. Sifat – sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor .......................................................... 10

F. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi Vektor 𝑎 pada Vektor 𝑏 ..................................................................... 10

2. Proyeksi Vektor 𝑏 pada Vektor 𝑎 ...................................................................... 11

Soal Latihan .......................................................................................................... 11

Daftar Pustaka ....................................................................................................... 12

Biodata ............................................................................................................ 13

3

4

Tujuan Pembelajaran Materi

Tujuan pembelajaran materi ini sebagai berikut:

- Membedakan besaran vektor dan skalar

- Menggambar sebuah vektor

- Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode segitiga

- Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode jajar genjang

- Menjumlahkan dua vektor atau lebih dengan metode poligon

- Menentukan vektor resultan dengan metode rumus kosinus

- Menentukan vektor resultan dengan metode vektor komponen

- Menentukan hasil perkalian dua buah vektor

Contoh aplikasi dalam kehidupan sehari – hari.

- Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari

bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.

- Ketika seorang melakukan olahraga tersebut, mereka akan terjun dengan kemiringan

tertentu hingga menginjak tanah.

- Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah

kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya

dorong angin.

- Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis. Grafis adalah

gambar yang tersusun dari koordinat – koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang

muncul pada layar monitor komputer terdiri atas titik – titik yang mempunyai nilai koordinat.

Layar Monitor berfungsi sebagai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek

gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan

matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan

Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll,

terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai

penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam

program tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional).

5

Vektor

A. Vektor sebagai Ruas Garis Berarah

Nama suatu vektor dapat ditulis dengan dua huruf besar dengan tanda panah diatasnya

atau satu huruf kecil dengan tanda panah atau bar di atasnya.

Dalam fisika dikenal dua macam besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor.

Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Sedangkan besaran vektor

ada besaran yang mempunyai nilai dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan dengan ruas

garis berarah. Besar suatu vektor diwakili oleh panjangnya, sedangkan arahnya ditunjukkan

oleh mata panah disalah satu ujungnya.

Q

u ̅

P

Dari gambar diatas, nama vektor tersebut adalah 𝑃𝑄 atau 𝑢 . Titik P disebut titik

pangkal dan titik Q disebut titik ujung sekaligus menunjukkan arah.

Vektor terletak pada dua tempat yaitu dibidang datar dan bidang ruang. Vektor yang

terletak di bidang datar disebut vektor di 𝑅2, sedangkan vektor yang terletak di bidang ruang

disebut vektor di 𝑅3.

Vektor di 𝑅2 secara Geometri

Penjumlahan Vektor

a. Aturan segitiga b. Aturan jajargenjang

𝑢 + 𝑣 𝑣

𝑣 𝑢 + 𝑣

𝑢 𝑢

Sifat – sifat penjumlahan vektor

a. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

b. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 )

c. 𝑢 + 0 = 𝑢 untuk setiap vektor 𝑢 , vektor 0 disebut vektor nol.

d. 𝑢 + 𝑣 = 0 , dengan vektor 𝑣 lawan dari vektor 𝑢 dan ditulis 𝑣 = 𝑢

. Pengurangan Vektor

𝐴𝐵 − 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵

𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + (−𝑣 )

6

Perkalian Skalar m dengan vektor 𝑣

a. 𝑚 𝑣 searah dengan 𝑣 jika 𝑚 > 0.

b. 𝑚 𝑣 berlawanan arah dengan 𝑣 jika 𝑚 < 0

c. 𝑚 𝑣 vektor nol jika 𝑚 = 0

Sifat perkalian skalar dengan vektor

a. 𝑚 + 𝑛 𝑢 = 𝑚𝑢 + 𝑛𝑢

b.𝑚 𝑢 + 𝑣 = 𝑚𝑢 + 𝑚𝑣

c. 𝑚𝑛 𝑢 = 𝑚(𝑛𝑢 )

d. 1𝑢 = 𝑢

Dua vektor 𝑢 dan 𝑣 disebut sama jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang

sama.

𝑢

𝑣

𝑤

𝑢 = 𝑣 tetapi 𝑢 ≠ 𝑤 dan 𝑣 ≠ 𝑤

2. Vektor di 𝑅2 secara Aljabar

Vektor 𝑝 adalah vektor posisi P dan dapat dituliskan

sebagai:

𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥,𝑦 atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑦 atau 𝑝 = 𝑂𝑃 =

𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 .

Panjang vektor 𝑝 dinyatakan sebagai:

𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2

Vektor satuan dari 𝑢 ditentukan dengan rumus:

𝑒 = 𝑢

𝑢 =

𝑢

𝑥2+𝑦2=

1

𝑥2+𝑦2 𝑥𝑦 .

B. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑹𝟐

Misalkan 𝑢 = 𝑥1

𝑦1 dan 𝑣 =

𝑥2

𝑦2 serta 𝑘 suatu konstanta.

1. Penjumlahan vektor

𝑢 + 𝑣 = 𝑥1

𝑦1 +

𝑥2

𝑦2 =

𝑥1 + 𝑥2

𝑦1 + 𝑦2

a. Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di 𝑅2 adalah vektor 0 = 00 yang

bersifat: 0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢 .

b. Lawan dari vektor 𝑢 = 𝑥1

𝑦1 adalah vektor −𝑢 =

−𝑥1

−𝑦1 .

7

2. Pengurangan vektor

𝑢 − 𝑣 = 𝑥1

𝑦1 −

𝑥2

𝑦2 =

𝑥1 − 𝑥2

𝑦1 − 𝑦2

3. Perkalian skalar dengan vektor

𝑘 .𝑢 = 𝑘 𝑥1

𝑦1 =

𝑘𝑥1

𝑘𝑦1

4. Dua vektor 𝒖 dan 𝒗 dikatakan sama bila 𝒙𝟏 = 𝒚𝟏 dan 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 .

Jika diketahui 𝑃(𝑥1,𝑦1) dan 𝑄(𝑥2,𝑦2), maka 𝑃𝑄

didefinisikan dengan:

𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 = 𝑥2

𝑦2 −

𝑥1

𝑦1 =

𝑥2 − 𝑥1

𝑦2 − 𝑦1

Panjang vektor 𝑃𝑄 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Vektor di 𝑹𝟑

Vektor 𝑝 adalah vektor posisi P dan dapat

dituliskan sebagai:

𝑝 = 𝑂𝑃 = (𝑥,𝑦, 𝑧) atau 𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑦𝑧 atau

𝑝 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

Panjang vektor 𝑝 dinyatakan sebagai: 𝑝 =

𝑂𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Vektor satuan dari 𝑢 ditentukan dengan rumus:

𝑒 = 𝑢

𝑢 =

𝑢

𝑥2+𝑦2+𝑧2=

1

𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑥𝑦𝑧 .

C. Operasi Aljabar pada Vektor di 𝑹𝟑

Misalkan 𝑢 =

𝑥1

𝑦1

𝑧1

, 𝑣 =

𝑥2

𝑦2

𝑧2

, dan 𝑘 skalar.

a. Penjumlahan Vektor

𝑢 + 𝑣 =

𝑥1

𝑦1

𝑧1

+

𝑥2

𝑦2

𝑧2

= 𝑥1 + 𝑥2

𝑦1 + 𝑦2

𝑧1 + 𝑧2

1) Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor di 𝑅3 adalah 0 = 000 yang

bersifat: 0 + 𝑢 = 𝑢 + 0 = 𝑢 .

2) Lawan dari vektor 𝑢 =

𝑥1

𝑦1

𝑧1

adalah vektor −𝑢 =

−𝑥1

−𝑦1

−𝑧1

.

8

b. Pengurangan vektor

𝑢 − 𝑣 =

𝑥1

𝑦1

𝑧1

−

𝑥2

𝑦2

𝑧2

=

𝑥1 − 𝑥2

𝑦1 − 𝑦2

𝑧1 − 𝑧2

c. Perkalian skalar dengan vektor

𝑘 . 𝑢 = 𝑘

𝑥1

𝑦1

𝑧1

= 𝑘𝑥1

𝑘𝑦1

𝑘𝑧1

d. Dua vektor 𝒖 dan 𝒗 dikatakan sama bila 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 .

Misalkan diketahui titik 𝑃(𝑥1,𝑦1 , 𝑧1) dan 𝑄(𝑥2,𝑦2 , 𝑧2) .

Ruas garis berarah 𝑃𝑄 dinyatakan sebagai: 𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 =

𝑥2

𝑦2

𝑧2

−

𝑥1

𝑦1

𝑧1

=

𝑥2 − 𝑥1

𝑦2 − 𝑦1

𝑧3 − 𝑧1

Panjang vektor 𝑃𝑄 adalah: 𝑃𝑄 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

D. Perbandingan Vektor dan Koordinat

Jika titik P terletak pada ruas garis AB sehingga titik P membagi ruas garis AB

dengan perbandingan m : n, maka diperoleh

hubungan:

𝐴𝑃 ∶ 𝑃𝐵 = 𝑚 ∶ 𝑛 atau 𝐴𝑃 ∶ 𝐴𝐵 = 𝑚 ∶ (𝑚 + 𝑛) .

Tanda – tanda dari m dan n ditentukan

dengan aturan sebagai berikut.

1. Jika titik P terletak di antara ruas garis 𝐴𝐵, maka 𝐴𝑃 dan 𝑃𝐵 searah. Jadi, m dan n berbeda

sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negatif).

2. Jika titik P pada perpanjangan ruas garis 𝐴𝐵, maka 𝐴𝑃 dan 𝑃𝐵 berlawanan arah. Jadi, m

dan n berlawanan tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumusan Perbandingan Vektor dan Koordinat

1. Rumus Perbandingan Vektor

Jika titik P terletak pada ruas garis 𝐴𝐵 sehingga titik P membagi ruas garis 𝐴𝐵 dengan

perbandingan m : n, maka vektor posisi titik P adalah:

𝑝 = 𝑚𝑏 +𝑛𝑎

𝑚+𝑛 Keterangan: 𝑏 = vektor posisi titik B

𝑎 = vektor posisi titik A

Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵, maka 𝑝 = 𝑎 +𝑏

2 .

9

2. Rumus Perbandingan Koordinat

a. Rumus Perbandingan Koordinat Titik di 𝑅2.

Diketahui titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) dan titik 𝐵(𝑥2,𝑦2). Jika titik 𝑃(𝑥𝑝 ,𝑦𝑝)

membagi ruas garis 𝐴𝐵 dengan perbandingan 𝑚 ∶ 𝑛, maka

koordinat titik P ditentukan dengan rumus:

𝑥𝑝 = 𝑚𝑥 2+ 𝑛𝑥 1

𝑚+𝑛 dan 𝑦𝑝 =

𝑚𝑦2 + 𝑛𝑦1

𝑚+𝑛

Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵 , maka

koordinat titik P ditentukan dengan rumus:

𝑥𝑝 = 𝑥2+ 𝑥1

2 dan 𝑦𝑝 =

𝑦2 + 𝑦1

2

b. Rumus Perbandingan Koordinat

Titik di 𝑅3 .

Diketahui titik 𝐴(𝑥1,𝑦1 , 𝑧1)

dan titik 𝐵(𝑥2,𝑦2 , 𝑧2). Jika titik

𝑃(𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 , 𝑧𝑝) membagi ruas garis 𝐴𝐵

dengan perbandingan 𝑚 ∶ 𝑛 , maka

koordinat titik P ditentukan dengan

rumus:

𝑥𝑝 = 𝑚𝑥 2+ 𝑛𝑥 1

𝑚+𝑛 , 𝑦𝑝 =

𝑚𝑦2+ 𝑛𝑦1

𝑚+𝑛 , 𝑧𝑝 =

𝑚𝑧 2+ 𝑛𝑧1

𝑚+𝑛 .

Jika P merupakan titik tengah 𝐴𝐵 , maka koordinat titik P ditentukan dengan rumus:

𝑥𝑝 = 𝑥2+ 𝑥1

2 , 𝑦𝑝 =

𝑦2+ 𝑦1

2 , 𝑧𝑝 =

𝑧2+ 𝑧1

2 .

E. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali skalar dua vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 (ditulis 𝑎 .𝑏 ) adalah suatu skalar yang

besarnya sama dengan jumlahnya dari hasil kali komponen – komponen 𝑎 dan 𝑏 yang

bersesuaian. Hasil kali skalar vektor 𝑎 dengan vektor 𝑏 ditentukan dengan hubungan berikut.

Keterangan :

𝑎 = panjang vektor 𝑎

𝑏 = panjang vektor 𝑏

= besar sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏

𝑎 . 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos

Rumus tersebut dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara vektor 𝑎 dan 𝑏 .

cos = 𝑎 .𝑏

𝑎 𝑏

10

1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor dalam Bentuk

Vektor Kolom

a. Hasil Kali Skalar Dua Vektor di 𝑅2

Jika vektor 𝑎 = 𝑥1

𝑦1 dan vektor 𝑏 =

𝑥2

𝑦2 , maka hasil kali skalar vektor 𝑎 dan vektor 𝑏

ditentukan dengan rumus:

𝒂 .𝒃 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 .

b. Hasil kali skalar dua vektor di 𝑅3

Misalkan diketahui vektor 𝑎 =

𝑥1

𝑦1

𝑧1

dan vektor 𝑏 =

𝑥2

𝑦2

𝑧2

.

Hasil kali skalar vektor 𝑎 dan 𝑏 di tentukan dengan rumus: 𝑎 .𝑏 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2

2. Sifat – sifat Hasil kali Skalar Dua Vektor

a. 𝑎 . 𝑏 = 𝑏 . 𝑎

b. 𝑎 . 𝑏 ± 𝑐 = 𝑎 . 𝑏 ± 𝑎 . 𝑐

c. 𝑘 𝑎 .𝑏 = 𝑘𝑎 .𝑏 = 𝑎 . (𝑘𝑏 ) ; 𝑘 bilangan riil

d. 𝑎 . 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 .𝑎

e. 𝑎 . 𝑎 > 0 jika 𝑎 ≠ 0 dan 𝑎 . 𝑎 = 0 jika 𝑎 = 0

F. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi Vektor 𝒂 pada Vektor 𝒃

𝑂𝐴 adalah wakil dari 𝑎 dan 𝑂𝐵 Wakil dari 𝑏 .Titik C merupakan

proyeksi Titik A pada garis OB.

OC = OA cos = 𝑎 cos (skalar)

a. proyeksi skalar Ortogonal vektor 𝑎 pada Vektor 𝑏 , di

tentukan oleh: 𝑐 = 𝑎 cos .

Dengan substitusi cos = 𝑎 .𝑏

𝑎 𝑏 , maka diperoleh: 𝑐 =

𝑎 .𝒃

𝑏 .

b.proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑎 pada vektor 𝑏 , ditentukan oleh: 𝑐 =

𝑐 𝑒 dengan 𝑒 adalah vektor satuan vektor 𝑐 . Oleh karena vektor 𝑐

searah dengan vektor 𝑏 , maka vektor satuan dari vektor 𝑐 sama

dengan vektor satuan dari vektor 𝑏 .

Dengan menyubstitusikan 𝑐 = 𝑎 .𝑏

𝑏 dan 𝑒 =

𝑏

𝑏 ke persamaan 𝑐 = 𝑐 𝑒 , diperoleh:

𝑐 = 𝑎 .𝑏

𝑏 .

𝑏

𝑏 𝑐 =

𝑎 .𝑏

𝑏 2 .𝑏 .

11

2. Proyeksi Vektor 𝒃 pada Vektor 𝒂

𝑂𝐷 = 𝑂𝐵 𝑐𝑜𝑠 = 𝑏 𝑐𝑜𝑠

a. Proyeksi skalar orthogonal vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 ditentukan oleh: 𝑑 = 𝑎 .𝑏

𝑎

b. Proyeksi vektor orthogonal vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 ditentukan oleh: 𝑑 = 𝑎 . 𝑏

𝑎 2 . 𝑎

2.5 Soal Latihan

1. Diberikan Vektor 𝑎 = 𝑥𝑖 − 3𝑥𝑗 + 6𝑦𝑘 dan 𝑏 = 1 − 𝑦 𝑖 + 3𝑗 − (1 + 𝑥)𝑘 dengan

𝑥 > 0 Jika 𝑎 dan 𝑏 sejajar, maka 𝑎 + 3𝑏 = ...

2. Diketahui segitiga ABC. Titik 𝑃 di tengah 𝐴𝐶 , dan 𝑄 pada 𝐵𝐶 sehingga 𝐵𝑄 = 𝑄𝐶 .

Jika 𝐴𝐵 = 𝑐 , 𝐴𝐶 = 𝑏 , dan 𝐵𝐶 = 𝑎 , maka 𝑃𝑄 = ...

3. Agar vektor 𝑎 = 2𝑖 + 𝑝𝑗 + 𝑘 dan 𝑏 = 3𝑖 + 2𝑗 + 4𝑘 saling tegak lurus, maka nilai 𝑝

adalah ...

4. Diketahui 𝑢 = (𝑎,−2,−1) dan 𝑣 = (𝑎, 𝑎,−1). Jika vektor 𝑢 tegak lurus pada 𝑣 , maka

nilai 𝑎 adalah ...

5. Diketahui vektor 𝑢 = −𝑝2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 dan 𝑣 = 𝑝𝑖 + 𝑝𝑗 − 5𝑘 dengan −2 < 𝑝 < 2. Nilai

maksimum 𝑢 .𝑣 adalah ...

6. Vektor proyeksi dari vektor (2,1,0) pada (3,1,2) adalah ...

7. Nilai 𝑝 agar vektor 𝑝 𝑖 + 2 𝑗 − 6 𝑘 dan 4 𝑖 − 3 𝑗 + 𝑘 saling tegak lurus adalah ...

8. Diketahui 𝑢 = 3 𝑖 − 2 𝑗 + 2 𝑘 dan 𝑣 = 𝑖 + 2 𝑗 + 𝑘 . Tentukan vektor 𝑤 yang

memenuhi kesamaan 3𝑢 − 2𝑣 = 𝑤 .

Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(−2,4,0), 𝐵(3,−2,1), dan 𝐶(−1,5,−3).

9. Tentukan vektor 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶

10. Hitunglah hasil 𝐴𝐵 .𝐴𝐶

11. Diketahui 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 dan 𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 2𝑘 . Tentukan 𝑎 + 𝑏

12. Diketahui segitiga ABC dengan 𝐴(−2,−1,−1), 𝐵(−1,4,−2),dan 𝐶(5,0,−3).

Tentukanlah proyeksi vektor orthogonal vektor 𝐴𝐵 pada vektor 𝐴𝐶

12

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_(spasial)

http://unipa2013.blogspot.com/2013/09/aplikasi-vektor-dalam-kehidupan-sehari.html

Jeroanayam. (2014). Wangsit Pejuang SBMPTN. Serang: Kaskuser Education.

Rosyidah, H. dan Hastuti, P. (2006). Matematika SMA/MA Kelas 3 semester gasal, Jawa

Tengah: KREATIF.

13

BIODATA

Nama saya Rahmat Nopiawan, tempat tanggal lahir saya

Indramayu 20 November 1995. Alamat asal saya Blok Punduan

RT 24 RW 15 Desa Mekarjaya Kecamatan Gantar Kabupaten

Indramayu, karena melanjutkan ke perguruan tinggi jadi Alamat

tinggal sekarang Jalan Kandang Perahu Kelurahan Karya mulya

RT 04 RW 11, saya tinggal dengan teman saya disini untuk

sementara waktu. Riwayat Pendidikan saya yaitu, SD Negeri

Punduan, SMP Negeri Satu Gantar, SMA Negeri Satu Gantar.

Nama saya Asep Lukman Hakim, umur saya kurang lebih 19

tahun. Saya lahir di Cirebon pada tanggal 8 bulan Desember tahun

1995. Saya tinggal bersama kedua orang tua dan mempunyai 1 adik.

Sekarang saya sedang melanjutkan S1 di Universitas Unswagati dan

mengambil jurusan FKIP Pendidikan Matematika. Riwayat

pendidikan saya, perjalanan pendidikan saya, saya pernah sekolah di

SD Negeri Kartini Cirebon, lalu melanjutkan ke SMP Negeri 4

Cirebon, lalu melanjutkan ke SMA Negeri 6 Cirebon.

Nama saya Durohman, biasa dipanggil Eman tempat tanggal

lahir saya di Indramayu,13 November 1992. Alamat saya di: ds.

Limpas Gg. Kyai Ali yahya Rt.05/Rw 02 kec. Patrol Kab.

Indramayu jawa Barat. Riwayat pendidikan saya yaitu SDN III

LIMPAS, SMP NEGERI 1 ANJATAN, SMA NEGERI 1

ANJATAN.