MATRIKS DAN DETERMINANKELOMPOK 4

Devi Aprilia N120210102015Defrin Yuniar KS.120210102027Nanda NurA120210102029Rizka Hartami P120210102107Widya Nur I120210102121

Tabel data nilai prestasi akademis empat mahasiswa A, B, C dan D untuk matakuliah Fisika-Matematika, Medan Elektromagnet, dan Mekanika Kuantum :

Susunan bilangan dalam tabel di atas, dapat disusun ulang secara abstrak, tanpa informasi, sebagai berikut :

Fisika MatematikaMedan EMMekanika KuantumMahasiswa AMahasiswa BMahasiswa CMahasiswa D808090808090807590859080

DEFINISI DAN NOTASIMatriks adalah suatu susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom, dengan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j, dilambangkan kolom j

A = baris i

Contoh :

baris pertamaA =

kolom pertamaMatriks A terdiri atas 3 baris dan 2 kolom. Adapun bilangan-bilangan yang terdapat dalam matriks dinamakan elemen matriks.

ALJABAR MATRIKS1. Kesamaan Matriksdua buah matriks adalah sama, jika dan hanya jika mereka memiliki ukuran yang sama dan setiap elemennya yang bersangkutan adalah pula sama.

Contoh :Jika matriks A = , B = , dan C =

Maka, A = C sedangkan A B

2. Penjumlahan/pengurangan MatriksSyarat suatu matriks dapat dijumlahkan/dikurangkan jika :Ordonya samaA + B = + , untuk i = p dan j = q (unsur seletak dijumlahkan)A B = - , untuk i = p dan j = q (unsur seletak dikurangkan)

Contoh :

+ =

3. Perkalian dengan sebuah bilanganuntuk k bilangan real, kA = (k ) untuk setiap i dan j.

Contoh : =

(5) = =

4. Perkalian Matrikssebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.x =

orde hasil perkalian

sifat-sifat lain dalam perkalian matriks antara lain seperti berikutAB BAAB (C) = A (BC)A(B+C) = AB + ACk(AB) = (kA)B

A = dan B =

A x B = =

Contoh :

A = dan B = , maka AB = C

C =

= =

5. Operasi Transposmerupakan operasi pertukaran baris dan kolom sebuah matriks. Sedangkan, matriks hasil transposisi-nya disebut matriks transpos ( )

A = ( ), maka =

Contoh :Jika, A = maka =

orde (2 x 3) orde (3 x 2)

CONTOH SOAL :

Jika , maka

Penyelesaian :

LATIHAN SOAL1. Jika diketahui matriks-matriks dibawah ini :

Tentukan :

2.

PENYELESAIAN

MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

JENIS PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEARSuatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + + anxn = b dengan a1, a2, , an , b adalah konstanta riil.Contoh :

2x 3y = 2z +1 persamaan linear dengan 3 peubah2ex = 2x + 3 bukan persamaan linear

Penyelesaian sistem persamaan linearMetode Reduksi BarisAturan Cramer

A. METODE REDUKSI BARIS (Eliminasi Gauss)yaitu pereduksian terhadap matriks yang diperbesar (augmented matrix) sampai bentuk eselon baris atau eselon baris tereduksi. Matriks yang diperbesar (augmented matrix) yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system

[A|B] =

Matriks Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi

Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam baris tersebut adalah angka 1. Jika ada sembarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks. Jika dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, 1 utama dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan 1 utama dalam baris yang lebih atas. Masing-masing kolom yang berisi sebuah 1 utama mempunyai nol di tempat lainnya.

Sifat (1), (2) dan (3) = Matriks Eselon Baris, misal :

Sifat (1), (2), (3) dan (4) = Matriks Eselon Baris Tereduksi, misal :

Untuk mengubah matrik eselon baris diperlukan operasi yang tidak mengubah solusi dari SPL, yaitu Operasi Baris Elementer (OBE) :

Menukarkan dua buah barisMengalikan sebarang baris dengan sebuah tetapan taknol.Menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sebarang

Pengubahan menjadi matrik eselon baris (Eliminasi Gauss)Pengubahan menjadi matrik eselon baris tereduksi ( Eliminasi Gauss-Jordan)

Contoh Soal :

1. Tentukan solusi dari persamaan linear berikut : x + 2y + 3z = 1 2x + 5y + 3z = 6 x + 8z = -6Penyelesaian :Matriks yang diperluas dari sistem persamaan di atas adalah

Tahap pengubahan matriks lengkap menjadi matriks eselon baris

RANK (PERINGKAT) MATRIKSSebuah matriks A (m x n) dikatakan memiliki rank r m, jika matriks hasil reduksi baris ke bentuk eselon baris memiliki paling sedikit r buah baris taknol.

Contoh soal1. Selidikilah rank matriks dibawah ini :

Penyelesaian :Untuk mengalihkan matriks M ke bentuk eselon baris, kita lakukan operasi reduksi baris berikut :

Karena dalam bentuk eselon ini terdapat dua baris yang taknol, maka rank matriks M adalah r = 2.

Latihan SoalTentukan solusi dari persamaan linear berikut :x 2y + 4z = 122 x y + 5z = 18x + 3y 3z = 8x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 122x + y z = 2x y + z = 72x + 2y z = 4Tentukan rank dari matriks :

Penyelesaian :1. Matriks perluasan :

Tahap pengubahan matriks lengkap menjadi matriks eselon baris :

4.

Jadi, rank B = 3

DETERMINANUntuk setiap matriks bujur sangkar A berode n kita kaitkan sebuah bilangan det (A) atau (aij) yang disebut determinan A, yang dihitung dari elemen matriks A sebagai berikut.B. ATURAN CRAMER

Determinan matriks berordo 2x2:

Determinan matriks berordo 3x3:

Dari persamaan tersebut, dapat dituliskan pula dalam bentuk matriks:

1. MINORDeterminan orde dua pada pers sebelumnya disebut determinan minor dari elemen bersangkutan yang dikalikan. Jadi,

adalah minor dari a11

adalah minor dari a12

2. KOFAKTORKofaktor dari determinan aij adalah determinan Kij , yaituKij = (-1)i+j x (minor dari aij)

Jadi, pers determinan dapat dituliskan sebagai:det (A) = a11K11 + a12K12 + a13K13

Contoh Soal

1. Hitunglah determinan matriks dibawah ini :

Dengan menggunakan kofaktor dari elemen-elemen kolom ketiga.

Penyelesaian :Kofaktor dari elemen kolom ketiga, -1,1, dan 1, berturut-turut dinyatakan oleh K13, K23, K33 adalah

ATURAN CRAMERAturan Cramer adalah suatu aturan untuk memecahkan sebuah sistem n persamaan linear. Jika AX = B adalah system yang terdiri dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui sehingga det (A) 0.

apabila determinan matriks koefisiennya :

maka sistem tersebut mempunyai pemecahan :

Pembilang untuk pemecahan x determinan matriks yang diperoleh dari matriks koefisien A dengan menggantikan kolom pertamanya dengan kolom b;Penggantian kolom kedua matriks A dengan kolom b, determinannya memberikan pembilang untuk pemecahan y.

Contoh soalPecahkan sistem persamaan linear dibawah ini dengan menggunakan aturan Cramer2x y + z = 3x + 3y + z = 10 x y 3z = 12

Penyelesaian :

Maka menurut metode Cramer, pemecahan untuk x, y, dan z berturut-turut adalah :

Latihan Soal

1. Hitung determinan matriks

dengan menggunakan kofaktor dari elemen-elemen kolom pertama

2. Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan SPL :2x + 3y = 75x y = 9

3. Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan SPL :7x + 3y = -55x + 2y = 1

Penyelesaian :

1. Kofaktor dari elemen kolom pertama 1, 2, dan 1, berturut-turut dinyatakan oleh K13, K23, K33 adalah

2.

Dengan demikian diperoleh :

MATRIKS INVERS

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga AB = BA = I maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1.Matriks B-1 juga mempunyai invers yaitu A, maka dapat dituliskan A = B-1. Jika tidak ditemukan matriks B maka A dikatakan matriks tunggal. Apabila A dan B adalah matriks se-ordo dan memiliki invers maka invers dari AB yaitu:

Contoh Soal

A = dan B =

AB = =

BA = =

Karena AB BA I ,maka A dan B disebut matriks tunggal.

Menentukan invers dari suatu matriks dengan menggunakan adjoint

Jika A sebuah matriks berorde n dan det (A) 0 maka:

Membentuk matriks kofaktor dari A, yaitu sebuah matriks yang semua elemennya adalah kofaktor dari setiap elemen matriks A.

Membentuk transpos dari matriks kofaktor tersebut, yaitu mempertukarkan barisnya menjadi kolom dan kolomnya menjadi baris.

Membentuk transpos dari matriks kofaktor tersebut, yaitu mempertukarkan barisnya menjadi kolom dan kolomnya menjadi baris.

Matriks ini lazim disebut matriks adjoint dari A, ditulis adj (A), jadi:

Maka:

Contoh Soal

Hitunglah matriks invers dari

Penyelesaian:Kofaktor dari elemen-elemen matriks A yaitu:

sehingga:

Karena adjoint A adalah transpos dari cof (A) maka:

Kemudian menghitung det (A):

Maka:

Latihan Soal

Tentukan invers dari matriks A =

Tunjukkan matriks X dan Y di bawah ini saling invers

Tunjukkan apakah matriks B merupakan invers dari A

Penyelesaian:1. Kofaktor dari elemen-elemen matriks A yaitu:

sehingga:

Karena adjoint A adalah transpos dari cof (A) maka:

Kemudian menghitung det (A):

Jadi:

2. Saling invers berarti kita harus membuktikan bahwa

XY = YX = I2x2

Jadi, matriks X dan Y saling invers.

ROTASI KOORDINAT

Rotasi koordinat dengan sudut

Jika sudut rotasi antara sumbu (X,Y) terhadap (X,Y) adalah (arah putaran positif), maka persamaannya adalah :x = x cos + y sin y = -x sin + y cos Dapat dituliskan dalam bentuk matriks:

Matriks

dikenal sebagai matriks transformasi. Jadi, titik bayangan dari titik (x,y) yaitu:(x,y) = (x cos + y sin , -x cos + y sin ).Bentuk umum transformasi linear pada bidang adalah :

dengan matriks transformasi yang bersangkutan adalah

Transformasi linear istimewa dari (x,y) ke (x,y) yang adalah sedemikian rupa sehingga tak mengubah jarak antara 2 titik, yakni :

disebut transformasi orthogonal. Dari persamaan di atas, diperoleh nilai:a2 + c2 = 1 ; ab + cd = 0 ; dan b2 + d2 = 1Karena itu diperoleh:

Jadi, M adalah matriks orthogonal.

Berdasarkan definisi matriks invers, syarat matriks orthogonal ini menunjukkan bahwa. Matriks rotasi R, sebagaimana dapat di perlihatkan, adalah orthogonal. Karena itu, diperoleh transformasi koordinat invers (balik) :

CONTOH SOAL1. Tentukan bayangan titik (2,7) apabila dirotasi sebesar 900 terhadap titik (0,0)

2. Persamaan bayangan garis 2x y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pusat koordinat dengan sudut putaran adalah ...

berarti:x = y y = xy = -x x = -ydisubstitusi ke : 2x y + 6 = 02(-y) x + 6 = 0-2y x + 6 = 0x + 2y 6 = 0Jadi persamaan garis bayangannya:x + 2y 6 = 0

LATIHAN SOAL1. Tentukan bayangan titik A(3,4) yang diputar sejauh 45 dari pusat koordinat O(0,0).2. Persamaan bayangan parabola y = 3x2 6x + 1 setelah dirotasikan pada pusat koordinat dengan sudut putar adalah ....

PENYELESAIAN1.

2.

berarti:x = - x x = - xy = -y y = -y

disubstitusi ke : y = 3x2 6x + 1 -y = 3( x)2 6( x) +1-y = 3x2 + 6x + 1 y = 3x2 6x 1

Jadi persamaan garis bayangannya: y = 3x2 6x 1