Universitas Konservasi

Lambang Almamater

Aljabar Elementer

Aljabar

• Salah satu cabang utama matematika, selain geometri, analisis, topologi, teori bilangan, dan kombinatorik

• Cabang matematika yang mengkaji aturan/hukum-hukum operasi dan relasi, serta konstruksi dan konsep yang muncul dari operasai dan relasi, mencakup term, polinomial, persamaan, struktur aljabarnya.

• a generalization of arithmetic in which letters representing numbers are combined according to the rules of arithmetics

• the branch of mathematics that deals with            general statements of relations, utilizing letters and other symbols to represent 

     specific sets of numbers, values, vectors, etc      in the description of such relations.• any of various systems or branches of mathematics or logic concerned with the properties and relationships of abstract entities (as complex numbers, matrices, sets, vectors, groups, rings, or fields) manipulated in symbolic form under operations often analogous to those of arithmetic 

Algebraic thinking• Algebraic thinking is about generalising arithmetic operations and operating on unknown quantities.  It involves recognising and analysing patterns and developing generalisations about these patterns.  In algebra, symbols can be used to represent generalisations.  

• For example, a + 0 = a is a symbolic representation for the idea that when zero is added to any number it stays the same.  Studying and representing relationships is also an important part of algebra.

• "The language of arithmetic focuses on answers, while the language of algebra focuses on relationships."1  

MacGregor, M & Stacey, K. (1999) “A flying start to algebra. Teaching Children Mathematics, 6/2, 78-86.  Retrieved 17 May 2005

Aljabar Elementer

• Aljabar yg mengenalkan konsep  variabel yg mewakili bilangan. Pernyataan-pernyataan yang berdasarkan pada variabel-variabel itu dimanipulasi dengan menggunakan aturan-aturan operasi yang menggunakan bilangan, yang utama yaitu penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Ini dapat dilakukan untu berbagai pertimbangan, termasuk penyelesaian persamaan.

• Biasanya menjadi bagian dalam kurikulum sekolah.

Elementary AlgebraThree categories of questions 

• operations with integers and rational numbers, includes computation with integers and negative rationals, the use of absolute values, and ordering.

• operations with algebraic expressions (skills in evaluating simple formulas and expressions, and in adding and subtracting monomials and polynomials).

Both of the preceeding categories include questions about multiplying and dividing monomials and polynomials, evaluating positive rational roots and exponents, simplifying algebraic fractions, and factoring.

• skill in solving equations, inequalities, and word problems (solving systems of linear equations, quadratic equations by factoring, verbal problems presented in algebraic context, geometric reasoning, the translation of written phrases into algebraic expressions, and graphing).

Aljabar dan Aljabar Elementer

• Algebra lebih luas dari pada aljabar elementer. • Aljabar mengkaji apa yang terjadi ketika aturan yang bberbeda dari suatu operasi digunakan dan ketika operasi direncanakan untuk digunakan untuk sesuatu selain bilangan

• Penjumlahan dan pengurangan dan digeneralisasikan dan definisi yang mirip untuk membangun struktur-struktur aljabar seperti grup, ring, field, yang mempelajari bidang matematika yang disebut Aljabar Abstrak. 

hasil kegiatan manusia yang terorganisir,

suatu konstruksi sosial,

suatu hasil budaya,

pengetahuan yang mungkin salah

HAKIKAT MATEMATIKA

• abstrak, teoritis, non empiris,• umum, objektif, formal, rational

• konsep epistemologis self evidensi, deduktif aksiomatik, • artificial,

• kebenarannya tidak mutlak .

KARAKTERISTIK MATEMATIKA

undefined term

konsep,

aksioma,

teorema

KOMPONEN MATEMATIKA

Sistem Matematika

Teorema

(dibuktikan)

deduktifdeduktif

Defined term

(didefinisikan)

Aksioma

(ditetapkan)

kesepakatankesepakatan

unsur primitive/

undefined term

Cara Memahami Definisi1. Menganalisis rumusan definisi atas:

- Latar belakang, konteks, ketentuan dasar,- Subjek atau objek pembicaraan- Istilah - Ungkapan (yang didefinisikan)- Atribut (biasanya merupakan suatu gugus kalimat)- Simbol yang digunakan

2. Mengingat kembali - istilah/konsep yang ada dalam definisi- teorema-teorema yang terlibat dalam definisi

3. Memberi contoh objek yang - memenuhi rumusan definisi- tidak memenuhi rumusan definisi (noncontoh)

4. Membuktikan objek yang sudah diketahui memenuhi rumusan definisi

Contoh

Definisi  Misalkan  a suatu bilangan real. Harga mutlak dari a ditulis |a|didefinikan oleh            |a|  =  a,      jika a≥0                        -a,     jika a<0

Menganalisis definisi

- LB : R, a bilangan real- Subjek : elemen-elemen R- Istilah : harga mutlak- Ungkapan : X adalah harga mutlak a- Simbol : X = |a|- Atribut :                    X  = |a| =  a,      jika a≥0                                       -a,     jika a<0

Barisan Bilangan

• Definisi 3.1.1    A sequence of real number ( or sequence in R) is a function on the set N of natural number whose range is contained in the set R of real number.

Menganalisis definisi

- LB : R, N- Subjek : f (fungsi)- Istilah : barisan- Ungkapan : f adalah barisan bilangan real- Atribut : f: N → R- Simbol : X atau (xn)

            

Konsep yang terlibat

• Fungsi• Limit fungsi• ...

Contoh dan noncontoh

•  2,  4, 6, 8,....   (barisan)• ½, ¼, 1/8, ... (barisan• f: N→ {1,-1} (barisan)• 2,4,8,10, 12.    (bukan barisan)• f: R→ R (bukan barisan)• f: Q→ R (bukan barisan)

Himpunan Rentangan

Misalkan vektor-vektor v1, v2, v3, ...vn dalam V.

S = { v1, v2, v3, v4, ...vk }.

W disebut himpunan rentang dari S (S merentang W), jika

W= himpunan semua kombinasi linear dari v1, v2, v3, ...vk

.

Menganalisis definisi

- LB : V ruang vektor- Subjek : S himpunan bagian V- Ungkapan : S merentang W- Atribut :            W = himpunan semua   kombinasi   linear  

                                 dari anggota-anggota S

Mengingat kembali istilah/konsep yang ada dalam definisi

Ruang vektor

Kombinasi linear

Cara Memahami Teorema

1. Menganalisis teorema atas- Latar belakang, konteks, ketentuan dasar,- Hipotesis, premis, antiseden- Konklusi, kesimpulan, konsekuen

Cara Memahami Teorema(lanjutan)

2. Mengingat kembali - istilah/konsep yang ada dalam teorema,- teorema-teorema yang terlibat dalam teorema

3. Menjajagi corrolies (teorema akibat) dan merumuskannya

4. Menganalisis bukti dengan menunjukkan- langkah utama,- langkah rinci dari setiap langkah utama,- alasan/justifikasi yg dipakai,- teorema yang digunakan

Contoh

Teorema|a|=0 jika dan hanya jika a=0

Bukti:Jika a=0, maka |a|=a=0Jika a≠0, maka   -a ≠ 0, sehingga |a|≠0. Jadi, jika |a|=0, maka a=0

Menganalisis Teorema

- Latar belakang, konteks, ketentuan dasar: R- Hipotesis, premis, antiseden:        Bagian pertama: |a|=0        Bagian kedua : a=0- Konklusi, kesimpulan, konsekuen:

      Bagian pertama a=0       Bagian kedua |a|

Konsep yg terlibat

                                                             Harga mutlak

Menganalisis Bukti

• Langkah utama     1. membuktikan bahwa           jika a=0, maka |a|=0     2. membuktikan bahwa          jika |a|=0 maka a=0

Memberi Justifikasi

Teorema|a|=0 jika dan hanya jika a=0

Bukti:Jika a=0, maka |a|=a=0 ......definisi harga mutlakJika a≠0, maka   -a ≠ 0..........sifat bilangan       Sehingga |a|≠0............. definisi harga mutlak        jadi, jika |a|=0, maka a=0...........