materi

evaluasi

MATERILIMIT FUNGSI

KD, KI, & Indikator

keluar

Profil

Motivasi & apersepsi

KOMPETENSI DASAR

Setelah mengikuti pembelajaran limit fungsi , siswa mampu ;1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis , bertanggung jawab

, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

2. Mengayati kesadaran hak dan kewajiban serta toleransi terhadap berbagai perbedaan didalam masyarakat sebagai gambaran menerapkan nilai-nilai matematis

3. Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata dan menerapkannya

4. Merumuskan aturan dan sifat fungsi aljabar melalui pengamatan contoh- contoh

5. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar.

 

INDIKATOR

Siswa diharapkan mampu:1. Menentukan konsep limit fungsi.2. Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam

perhitungan limit fungsi3. Mengetahui bentuk-bentuk limit4. Menentukan nilai limit fungsi

MOTIVASI

Setelah mempelajari limit fungsi diharapkan siswa dapat menentukan konsep limit dan menyelesaikan permasalahan limit dengan

menggunakan sifat-sifat limit

Apersepsi

Sebelum kita mempelajari materi limit fungsi sebaiknya kita mengingat kembali materi yang berkaitan dengan limit fungsi

yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers

LIMIT FUNGSI

Bentuk-bentuk limit

Menentukan nilai-nilai limit

Sifat-sifat limit

Konsep limit

KONSEP LIMITKonsep limit merupakan dasar untuk mencari kekontinuan, turunan, integral dari suatu fungsi.

Maksudnya adalah untuk nilai x yang mendekati a maka f(x) akan mendekati L.

Sifat- sifat limit fungsi

Sifat - 1

Misalkan 𝒇 suatu fungsi dengan 𝒇:𝑹→𝑹 𝐝𝐚𝐧 𝑳,𝒄 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇ሺ𝒙ሻ= 𝑳 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐝𝐚𝐧 𝐡𝐚𝐧𝐲𝐚 𝐣𝐢𝐤𝐚 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄− 𝒇ሺ𝒙ሻ= 𝑳=𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄+ 𝒇(𝒙)

Sifat- 2

Misalkan 𝒇 𝐝𝐚𝐧 𝒈 adalah fungsi yang mempunyai nilai

limit pada 𝒙 mendekati 𝒄, dengan 𝒌 𝐝𝐚𝐧 𝒄 adalah

bilangan real 𝒏 adalah bilangan bulat positif.

1. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒌= 𝒌 2. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒙= 𝒄 3. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ሾ𝒌𝒇(𝒙)ሿ= 𝒌ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)ሿ 4. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ሾ𝒇ሺ𝒙ሻ+ 𝒈(𝒙)ሿ= ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)ሿ+ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒈(𝒙)ሿ 5. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ሾ𝒇ሺ𝒙ሻ− 𝒈(𝒙)ሿ= ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)ሿ−ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒈(𝒙)ሿ 6. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ሾ𝒇ሺ𝒙ሻ.𝒈(𝒙)ሿ= ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)ሿ.ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒈(𝒙)ሿ 7. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ቂ𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)ቃ= ቂ

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒈(𝒙)ቃ 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

8. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ሾ𝒇(𝒙)ሿ𝒏 = ሾ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)ሿ𝒏 9. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄ඥ𝒇(𝒙)𝒏 = ඥ𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇(𝒙)𝒏 ,𝐚𝐬𝐚𝐥𝐤𝐚𝐧 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒄𝒇ሺ𝒙ሻ>0 𝐛𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝒏 𝐠𝐞𝐧𝐚𝐩

Bentuk LimitBentuk limit dibedakan menjadi dua yaitu :1. Bentuk Tertentu

Merupakan bentuk limit yang nilainya sudah bisa diperoleh secara langsung.

Contoh Soal :a. 𝑙𝑖𝑚𝑥→2 ( x2 + 1 ) = 22 + 1 = 4 + 1 = 5

b. 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4 5 𝑥−2𝑥3− 3𝑥−1 = 5.4−2 43− 3.4−1 = 1851

2. Bentuk Tak TentuMerupakan bentuk limit yang nilainya belum dapat diperoleh secara langsung. Adapun yang termasuk ke dalam bentuk tak tentu adalah limit yang berbentuk :

Dibawah ini akan kita bahas masing-masing bentuk tersebut.

a. Bentuk Untuk menyelesaikan bentuk tersebut menggunakan

pemfaktoran.

Contoh: Nilai dari

00 ,∞∞ ,∞ − ∞,dan 0.∞

00

𝑙𝑖𝑚𝑥→2 𝑥3 − 4𝑥𝑥− 2

Penyelesaian:Dengan menggunakan pemfaktoran, diperoleh:

𝑙𝑖𝑚𝑥→2 𝑥3−4𝑥𝑥−2 = lim𝑥→2 𝑥൫𝑥2−4൯𝑥−2

= lim𝑥→2 𝑥ሺ𝑥−2ሻሺ𝑥+2ሻ𝑥−2 = lim𝑥→2 𝑥ሺ𝑥+ 2ሻ = 2.ሺ2+ 2ሻ= 8

b. Bentuk

∞∞

lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑓(∞)𝑔(∞) = ∞∞

Sif at khusus:

Misal:

𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑎0𝑥𝑚 + 𝑎1𝑥𝑚−1 + 𝑎2𝑥𝑚−2 + ⋯+ 𝑎𝑚

𝑔ሺ𝑥ሻ= 𝑏0𝑥𝑛 + 𝑏1𝑥𝑛−1 + 𝑏2𝑥𝑛−2 + ⋯+ 𝑏𝑛

Maka berlaku:

lim𝑥→∞ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = ቐ

∞,jika 𝑚 > 𝑛𝑎0𝑏0 ,jika 𝑚 = 𝑛0,jika 𝑚 < 𝑛

Contoh:

Penyelesaian:

Nilai dari lim𝑥→∞ 4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+72𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 =

lim𝑥→∞4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+72𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 = ∞

∞

Karena diperoleh ∞∞ (bentuk tak tentu), maka dengan

mengeluarkan pangkat tertingginya baik dari sisi pembilang maupun sisi penyebut, diperoleh:

lim𝑥→∞4𝑥3+5𝑥2+2𝑥+72𝑥3−6𝑥2+4𝑥−8 = lim𝑥→∞

𝑥3ቀ4+5𝑥+ 2𝑥2+ 7𝑥3ቁ𝑥3ቀ2−6𝑥+ 4𝑥2− 8𝑥3ቁ

= lim𝑥→∞ቀ4+5𝑥+ 2𝑥2+ 7𝑥3ቁቀ2−6𝑥+ 4𝑥2− 8𝑥3ቁ= 4+0+0+02−0+0−0 = 2

c. bentuk ∞ −∞

Cara menyelesikannya adalah dengan mengalikannya dengan bentuk sekawannya. Selanjutnya akan diperoleh bentuk ∞

∞ , maka dengan mengeluarkan pangkat tertingginya

baik dari sisi pembilang maupun sisi penyebut akan diperoleh hasilnya.

Perhatikan bentuk berikut:

ξ𝑥−ඥ𝑦 memiliki sekawan ξ𝑥+ඥ𝑦

ξ𝑥+ඥ𝑦 memiliki sekawan ξ𝑥−ඥ𝑦

ξ𝑥3 − ඥ𝑦3 memiliki sekawan ξ𝑥23 + ඥ𝑥.𝑦3 + ඥ𝑦23

ξ𝑥3 + ඥ𝑦3 memiliki sekawan ξ𝑥23 − ඥ𝑥.𝑦3 + ඥ𝑦23

Bentuk khusus

1. lim𝑥→∞൫ξ𝑎𝑥 + 𝑏𝑥+ 𝑐− ඥ𝑝𝑥2 + 𝑞𝑥+ 𝑟൯= ൞

∞,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝𝑏−𝑞2ξ𝑎 ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝−∞ ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝

2. lim𝑥→∞ቀξ𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑3 − ඥ𝑝𝑥3 + 𝑞𝑥2 + 𝑟𝑥+ 𝑠3ቁ= ൞

∞,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 > 𝑝𝑏−𝑞3 ξ𝑎3 2 ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 = 𝑝−∞ ,𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 𝑝

Contoh soal

lim𝑥→∞൫ξ4𝑥2 + 6𝑥− 3− ξ4𝑥2 − 2𝑥+ 8൯=

Penyelesaian:

lim𝑥→∞൫ξ4𝑥2 + 6𝑥− 3− ξ4𝑥2 − 2𝑥+ 8൯=∞ −∞

Karena diperoleh ∞−∞ (bentuk tak tentu) maka dengan menggunakan perkalian terhadap sekawannya dimana sekawan dari ξ𝑎− ξ𝑏 adalah ξ𝑎+ ξ𝑏 , diperoleh:

lim𝑥→∞൫ξ4𝑥2 + 6𝑥− 3− ξ4𝑥2 − 2𝑥+ 8൯ = lim𝑥→∞൫ξ4𝑥2 + 6𝑥− 3− ξ4𝑥2 − 2𝑥+ 8൯.൫ξ4𝑥2+6𝑥−3+ξ4𝑥2−2𝑥+8൯

൫ξ4𝑥2+6𝑥−3+ξ4𝑥2−2𝑥+8൯

= lim𝑥→∞ ൫ξ4𝑥2+6𝑥−3−ξ4𝑥2−2𝑥+8൯ξ4𝑥2+6𝑥−3+ξ4𝑥2−2𝑥+8

= lim𝑥→∞ 8𝑥−11ξ4𝑥2+6𝑥−3+ξ4𝑥2−2𝑥+8 = lim𝑥→∞

𝑥ቀ8−11𝑥ቁට𝑥2ቀ4+6𝑥− 3𝑥2ቁ+ට𝑥2ቀ4−2𝑥+ 8𝑥2ቁ

= lim𝑥→∞𝑥ቀ8−11𝑥ቁ𝑥.ටቀ4+6𝑥− 3𝑥2ቁ+𝑥.ටቀ4−2𝑥+ 8𝑥2ቁ

= lim𝑥→∞𝑥ቀ8−11𝑥ቁ

ටቀ4+6𝑥− 3𝑥2ቁ+ටቀ4−2𝑥+ 8𝑥2ቁ

= 8−0ξ4−0+0+ξ4−0+0 = 2

4. Menentukan Limit Fungsi

Cara menentukan limit fungsi adalah dengan mencari bentuk tentu dari limit fungsi, dengan pengamatan sebagai berikut :1. Substitusikan x = c ke fungsi sehingga diperoleh f

(c) = L2. Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu

maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi : Mencari beberapa titik pendekatan ( numerik ) , memfaktorkan , perkalian sekawan , dlll

Ingat : - a sekawan dengan + a

Contoh soal dengan pemfaktoran

1. Perhatikan bahwa 𝑓 ሺ𝑥ሻ= 𝑥2− 3𝑥+2𝑥2− 4

Dapat kita ubah menjadi 𝑓 ሺ𝑥ሻ= ሺ𝑥−2ሻሺ𝑥−1ሻሺ𝑥−2ሻሺ𝑥+2ሻ

Sehingga

lim𝑥 →2 𝑥2− 3𝑥+2𝑥2− 4 = ሺ𝑥−2ሻሺ𝑥+1ሻሺ𝑥−2ሻሺ𝑥+2ሻ = lim𝑥 →2 ሺ𝑥−1ሻ

ሺ𝑥+2ሻ karena x 2

= 14

Contoh soal dengan cara Perkalian Sekawan :

Perhatikan bahwa y = ඥ𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐

dapat kita ubah dengan

mengalikan bentuk sekawan dari (ξ 𝒙𝟐 + 𝒙− 𝟏 − ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 ) sehingga :

𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐

= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 − ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 𝒙+𝟐 . ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓

= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 ൫ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 ൯–( 𝟐𝒙+ 𝟓 ) ሺ 𝒙+𝟐 ሻ ( ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 )

= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 𝒙𝟐− 𝒙−𝟔

ሺ 𝒙+𝟐 ሻ ( ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 )

= 𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 ሺ 𝒙−𝟑 ሻ( 𝒙+𝟐 )

ሺ 𝒙+𝟐 ሻ ( ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 )

=𝑳𝒊𝒎𝒙→ −𝟐 ሺ 𝒙−𝟑 ሻቀ ඥ 𝒙𝟐+ 𝒙−𝟏 + ξ 𝟐𝒙+ 𝟓 ቁ

Karena x ≠ 2

= − 𝟓𝟐

Evaluasi

Soal 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

Soal 5

1. Tentukan nilai dari lim𝑥 →3 ξ𝑥4 − 3𝑥 = …?

a. ξ72

b. ξ62

c. ξ52

d. ξ42

a

b

c

d

2. Nilai dari lim𝑥 → −2 𝑥2+ 5𝑥+6𝑥2− 4 = ⋯?

a. − 12

b. − 14

c. 12

d. 14

a

b

c

d

3. Nilai dari lim𝑥 → ∞ ሺ4+5𝑥ሻሺ2−𝑥ሻሺ2+𝑥ሻሺ1−𝑥ሻ = ⋯?

a. – 5

b. 5

c. 4

d. -4

a

b

c

d

4. Nilai dari lim𝑥 → ∞ ξ9𝑥2+ 𝑥+3 + ξ162−2𝑥+47𝑥+12 = ⋯?

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

a

b

c

d

5. Nilai dari limx → ∞൫ξ9x+ 1 − ξ9x൯ ξ36x+ 1 =…?

a. 3

b. 2

c. 1

d. 12

a

b

c

d

BENAR

OH… SALAH

BENAR

OH… SALAH

BENAR

OH… SALAH

BENAR

OH… SALAH

BENAR

OH… SALAH

Kelompok 1

Ismiratin2012 121 113

Ana shintia2012 121 100

Edi suryanto2012 121 178

Dedek oktaviani2012 121 116

Mira2012 121 126

TERIMAKASIH