CK-FI112-03.1

Potensial Listrik

Sebagaimana halnya medan gaya gravitasi, medan gaya

coulomb juga merupakan medan gaya konseravtif.

Gerak partikel bermuatan q dalam ruang bermedan listrik dapat dianalogikan dengan gerak partikel bermassa m dalam

medan gravitasi dekat permukaan bumi.

Gaya konservatif

Ingat bahwa untuk menguji apakah suatu gaya F merupakan

gaya konservatif adalah bila

0=×∇ F

dengan ∇ adalah operator differensial parsial, yang dalam koordinat kartesis bentuknya adalah

kjizyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Medan gaya coulomb mempunyai bentuk 2−= KrF , dapat

ditunjukkan bahwa gaya coulomb merupakan gaya konservatif.

Untuk medan gaya yang bersifat konservatif ada fungsi

potensial skalar (ingat kembali tentang potensial gravitasi). Untuk gaya konservatif, usaha yang dilakukan dari suatu

tempat ke tempat lain hanya bergantung pada posisi awal dan

akhirnya saja.

Beda energi potensial antara dua titik adalah

CK-FI112-03.2

∫ •−=−=−B

A

dWAUBU sFAB)()(

Potensial listrik Potensial listrik merupakan besaran skalar yang berkaitan dengan kerja dan energi potensial pada medan listrik. Beda energi potensial dapat dituliskan

∫ •−=−B

A

dqAUBU )()( sE → ∫ •−=−B

A

dqAU

qBU

sE)()(

Jadi beda potensial antara dua tempat adalah

∫ •−=−B

A

dAVBV )()( sE

Definisi

potensial

listrik

A

B

Medan listrik ds

E θ

CK-FI112-03.3

Potensial listrik di sekitar muatan titik Medan listrik yang diakibatkan oleh muatan titik adalah

r̂)( 2rq

kr =E

Karena E(r) berarah radial, maka

drrEdr )()( =• sE

Sehingga

−=−=•−=− ∫∫

AB

B

A

B

AAB rr

kqdrrEdrVV11

)()( sE

Jika dipilih V = 0 pada r = ∞, maka potensial listrik pada

jarak r dari suatu muatan titik adalah

rq

krV =)(

Besaran potensial listrik di suatu tempat hanya mempunyai makna jika dibandingkan dengan potensial di tempat lain.

Yang mempunyai makna fisis adalah beda potensial (ada titik

acuannya).

Dengan mengambil posisi ∞ sebagai titik acuan yang potensialnya nol

(V(∞) = 0), maka potensial di suatu

tempat akibat muatan titik q adalah

AqA r

qkV =

dengan qAAqr rr −=

A

B

rA rq

rA − rq

A

q

CK-FI112-03.4

Jika ada beberapa muatan titik, maka potensial di suatu titik

dapat diperoleh dengan prinsip superposisi

∑=

=

+++=++++=

n

Aq

Aqn

n

AqAqAqnAqAqAqA

qk

rq

rq

rq

kVVVVV

1i i

i

2

2

1

1321

r

......

Contoh bentuk potensial satu dimensi yang dihasilkan oleh dua buah muatan Untuk muatan yang terdistribusi kontinu akan diperoleh

∫=

muatanseluruh r

dqkVA

Potensial Listrik dan Medan listrik Bila bentuk medan listrik telah diketahui, maka dapat diperoleh bentuk potensial listriknya dengan cara

∫ •−=−B

AAB dVV sE

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+q

−−−−q

0 1 2 3 4 5 6 7 8

+q +2q

CK-FI112-03.5

Sebaliknya medan listrik dapat diperoleh dari potensial dengan cara

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=−∇= kjiE

zV

yV

xV

V

Himpunan titik-titik dalam ruang yang mempunyai potensial yang sama dinamakan permukaan/garis equipotensial. Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan sebuah muatan titik

Dalam

sistem

koordinat

Cartessian

CK-FI112-03.6

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan oleh suatu dipol listrik

Peta kontur

potensial yang

dihasilkan

suatu dipol

muatan

positif

muatan

negatif

Peta kontur

yang dihasilkan

muatan +q dan

+2q

+2q

+q

CK-FI112-03.7

Beberapa contoh � Tiga buah muatan titik q1 = q, q2 = −q, dan q3 = 2q yang

masing-masing berada di titik (0,a), (a,0) dan (0,0). Tentukan potensial di titik P(a,a). Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari titik S(2a,2a) ke titik P tersebut Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari ∞ ke titik P tersebut

r1 = a j r2 = a i r3 = 0 rP = a(i+j)

=

+−=

++=++=

2

2

2

211

P3

3

P2

2

P1

1P3P2P1P

akq

aaakq

rq

rq

rq

kVVVV

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari S ke

P adalah

( )SPPS VVQW −=→

=

+−=

2

2

28

2

5

1

5

1S a

kqaaa

kqV

( )

=

−=−=→ 222

2

2

2SPPS a

kqQ

akq

akq

QVVQW

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari ∞

ke P adalah

( ) ( )

=−=−= ∞→∞ 2

20PPP a

kqQVQVVQW

CK-FI112-03.8

� Dua buah keping bermuatan masing-masing dengan rapat

muatan σ dan −σ disusun sejajar. Keping pertama berada di x = 0 sedangkan keping kedua berada di x = d. Tentukan V(x).

Bentuk fungsi medan listrik

>−

<<

<

=

dx

dx

x

x

untuk ; 2

0 untuk ; 2

3

0 untuk ; 2

)(

o

o

o

i

i

i

E

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Misalkan diambil potensial acuan pada keping yang kiri (keping yang terletak di x = 0)

Maka

Untuk x < 0 dengan E(x) = (σ/2εo)i

o0o0 o0xo 2

'2

'2

')(ε

σ

ε

σ

ε

σ xdxdxEdxVxV

xxx

−=−=−=−=− ∫∫∫

xVxVo

xo 2)(

ε

σ−=

Untuk 0 < x < d dengan E(x) = (3σ/2εo)i

o0o0 o0xo 2

3'

2

3'

2

3')(

ε

σ

ε

σ

ε

σ xdxdxEdxVxV

xxx

−=−=−=−=− ∫∫∫

xVxVo

xo 2

3)(

ε

σ−=

d

CK-FI112-03.9

Untuk x > d dengan E(x) = (−σ/2εo)i

oo

o0 o0xo

22

3

'2

'2

3')(

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

xd

dxdxEdxVxVx

d

dx

+−=

−−−=−=− ∫∫∫

xVxd

VxVo

xdoo

xo 2

3)(

ε

σ

ε

σ

ε

σ+=+

−=

Plot V(x)

� Fungsi potensial yang disebabkan suatu muatan titik

adalah ( ) ( ) ( )2o

2o

2o

),,(zzyyxx

kqzyxV

−+−+−=

Tentukan fungsi medan listrik yang ditimbulkan muatan

titik tersebut

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=−∇=

zV

yV

xV

Vzyx ),,(E

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−+−+−∂

∂=

−+−+−∂

∂=

∂

∂

2o

2o

2o

2o

2o

2o

1

zzyyxxxkq

zzyyxx

kqx

Vx

d

Vxo

Vxd

1/r2

CK-FI112-03.10

( )

( )( ) ( )o2/3o2/3

2/3

22

2

xxrkq

xxrkq

rxr

kq

−−=−−=

∂

∂−=

dengan cara yang sama

( )o2/3yy

rkq

Vy

−−=∂

∂

( )o2/3zz

rkq

Vz

−−=∂

∂

Jadi

( )

−+−+−

−+−+−=

2/32o

2o

2o

ooo

)()()(

)()()(),,(

zzyyxx

zzyyxxkqzyx

kjiE

� Dua kulit bola bermuatan yang jari-jarinya a dan b (a <

b) masing-masing mempunyai rapat muatan σa dan σb. Keduanya disusun sepusat (konsentrik), kulit bola yang terluar digroundkan. Tentukan fungsi potensial di dalam dan di luar kulit bola tersebut.

Dengan hukum gauss dapat diperoleh medan listrik yang dihasilkan oleh kedua kulit bola, yaitu

0)( =rE untuk r < a

2o

2a)(ra

rEε

σ= untuk a < r < b

2o

2b

2a)(

rba

rEε

σσ += untuk r > b

Medan listrik

yang dihasilkan

oleh muatan titik

yang berada

pada (xo,yo,zo)

b a σb

σa

CK-FI112-03.11

Sehingga bentuk potensialnya

Untuk a <r < b → ∫−=−r

EdrbVrVb

')()(

−=−= ∫ br

adr

r1a r 11

'' o

2a

b2

o

2a

ε

σ

ε

σ

ba

ra

ba

ra

bVrVo

2a

o

2a

o

2a

o

2a)()(

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ−=−+= *

Untuk r < a → 0')()(a

=−=− ∫r

EdraVrV → )()( aVrV =

Sedangkan dari * diperoleh

−=ba

aaV

11)(

o

2a

ε

σ

Untuk r > b→ ∫+

−=−r

drr

babVrV

b2

o

2b

2a '

'

1)()(

ε

σσ

−

+=

brba

rV11

)(o

2b

2a

ε

σσ

Plot V(r)

r

V(r)

Va

a b