pohon(tree) matematika diskrit
TRANSCRIPT
1
Pohon
Bahan Kuliah Matematika Diskrit
Program Studi Teknik Informatika Unimal
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 2
Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit
p o h o n p o h o n b u k a n p o h o n b u k a n p o h o n
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 3
H u t a n ( f o r e s t ) a d a l a h - k u m p u l a n p o h o n y a n g s a l i n g l e p a s , a t a u - g r a f t i d a k t e r h u b u n g y a n g t i d a k m e n g a n d u n g s i r k u i t . S e t i a p
k o m p o n e n d i d a l a m g r a f t e r h u b u n g t e r s e b u t a d a l a h p o h o n .
H u t a n y a n g t e r d i r i d a r i t i g a b u a h p o h o n
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 4
Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan
lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah
sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi
pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari
pohon.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 5
Pohon Merentang (spanning tree)
P o h o n m e r e n t a n g d a r i g r a f t e r h u b u n g a d a l a h u p a g r a f m e r e n t a n g y a n g b e r u p a p o h o n .
P o h o n m e r e n t a n g d i p e r o l e h d e n g a n m e m u t u s s i r k u i t d i d a l a m g r a f .
G T 1 T 2 T 3 T 4
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 6
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 7
Aplikasi Pohon Merentang1 . J u m la h r u a s j a la n s e m in im u m m u n g k in y a n g
m e n g h u b u n g k a n s e m u a k o ta s e h in g g a s e t i a p k o ta t e ta p te r h u b u n g s a tu s a m a la in .
2 . P e r u te a n ( r o u t in g ) p e s a n p a d a j a r in g a n k o m p u te r .
(a) (b)Router
Subnetwork
( a ) J a r in g a n k o m p u te r , ( b ) P o h o n m e r e n ta n g m u l t ic a s t
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 8
Pohon Merentang Minimum G r a f t e r h u b u n g - b e r b o b o t m u n g k i n m e m p u n y a i l e b i h d a r i 1
p o h o n m e r e n t a n g . P o h o n m e r e n t a n g y a n g b e r b o b o t m i n i m u m – d i n a m a k a n p o h o n
m e r e n t a n g m i n i m u m ( m i n i m u m s p a n n i n g t r e e ) .
a
bc
d
e
f
g
h55
5
40
25
45
30
5020
15
35 10
a
bc
d
e
f
g
h
5
40
25 30
20
15
10
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 9
Algoritma Prim Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum,
masukkan ke dalam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 10
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 11
Contoh:
1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 12
L an gk ah S is i B o b o t P o ho n ren tang
1 (1, 2) 101 210
2 (2, 6) 25
1 2
6
10
25
3 (3, 6) 151
3
6
10
15
25
4 (4, 6) 201 2
3
4
6
10
2015
25
5 (3, 5) 351 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 13
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 14
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang
akan dipilih berbobot sama.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 15
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
ef g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
ef h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
ef g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2
43
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
ef g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6324
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 16
Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 17
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 18
Contoh: 1 2
3
4
5
6
1050
4530
2015
35
55
25
40
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 19
S i s i - s i s i d i u r u t m e n a i k :
S i s i ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 5 ) ( 1 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) B o b o t 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5
L a n g k a h S i s i B o b o t H u t a n m e r e n t a n g
1 (1, 2) 10
2 (3, 6) 15
3 (4, 6) 20
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 2 3
6
4 5
1 2 3
6
4
5
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 20
Pohon m erentang m inim um yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
4 (2, 6) 251 2 3
4
5
5 (1, 4) 30 ditolak
6 (3, 5) 351 2
3
6
4
5
1 2
3
4
5
6
10
45
2015
35
55
25
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 21
Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan
sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).
(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat
dibuang
a
bc
d
ef g
h i j
a
bc
d
ef g
h i j
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 22
b s e b a g a i a k a r e se b a g a i a k a r
P o h o n d a n d u a b u a h p o h o n b e ra k a r y a n g d ih a s ilk a n d a r i p e m ilih a n d u a s im p u l b e rb e d a se b a g a i a k a r
a
b
c
d
e f
g
h
f
g
a
b
cd
e
f
g h
d
e
hb
a c
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 23
Terminologi pada Pohon Berakar
Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 24
2. Lintasan (path) Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j. Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. 3. Saudara kandung (sibling) f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 25
4. Upapohon (subtree)
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 26
5. Derajat (degree) Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0. Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 27
6. Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. 7. Simpul Dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 28
8. Aras (level) atau Tingkat
9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.
a
b
k
g
j
f
c d
ml
i
e
h
0
1
2
3
4
Aras
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 29
Pohon Terurut (ordered tree)Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).
(a) (b)
(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda
1
2
6 87
34
9
10
5
1
2
68 7
3 4
9
10
5
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 30
Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai
paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>
<subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat
Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat
Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 31
Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak
aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai
paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak
kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon
biner adalah pohon terurut.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 32
a
b c
d
a
b c
d
Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 33
Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan
a
b
c
d
a
b
c
d
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 34
Gambar Pohon biner penuh
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 35
P o h o n B i n e r S e i m b a n g P a d a b e b e r a p a a p l i k a s i , d i i n g i n k a n t i n g g i u p a p o h o n k i r i d a n t i n g g i u p a p o h o n k a n a n y a n g s e i m b a n g , y a i t u b e r b e d a m a k s i m a l 1 .
T 1 T 2 T 3
G a m b a r T 1 d a n T 2 a d a l a h p o h o n s e i m b a n g , s e d a n g k a n T 3 b u k a n p o h o n s e i m b a n g .
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 36
Terapan Pohon Biner1. Pohon Ekspresi
Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))
*
+ /
a b+
d e
c
daun operandsimpul dalam operator
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 37
2. Pohon Keputusan
Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen
a : b
a : c b : c
b : c c > a > b a : c c > b > a
a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a
a > b b > a
a >c c > a
b > c c > b
b > c c > b
a >c c > a
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 38
3. Kode Awalan
Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}
1
11
1
0
0
0
0
111001
001000
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 39
4. Kode Huffman
Tabel Kode ASCII
Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100 rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:
01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001
atau 7 8 = 56 bit (7 byte).
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 40
Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman untuk string ABACCDA
Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111
Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:
0110010101110
hanya 13 bit!
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 41
Algoritma pembentukan pohon Huffman1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling
kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang kedua anaknya.
2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 42
A = 0, C = 10, B = 110, D = 111
A BCD , 7 /7
A , 3/7 CBD , 4 /7
C , 2/7 BD , 3/7
B , 3 /7 D , 3/7
1
1
1
0
0
0
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 43
5. Pohon Pencarian Biner
R
T1 T2
Kunci( T1) < Kunci( R )
Kunci( T2) > Kunci( R )
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 44
Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70
50
32
4018
50
52 70
5 25
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 45
Penelusuran (traversal) Pohon Biner1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 46
( a ) p re o r d e r (b ) in o rd e r
( c ) p o s to rd e r
R
T1 T2
Langkah 3: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara postorder
Langkah 2: kunjungi T2secara postorder
R
T1 T2
Langkah 1: kunjungi R
Langkah 2: kunjungi T1secara preorder
Langkah 3: kunjungi T2secara preorder
R
T1 T2
Langkah 2: kunjungi R
Langkah 1: kunjungi T1secara inorder
Langkah 3: kunjungi T2secara inorder
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 47
preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)
*
+ -
a / d *
b c e f
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 48
Soal latihan1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari
delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 49
2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:
a
b c d
e f g h i j k l m
n o p q
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 50
3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 51
4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).
a b c
de
f
g h i
5 4
2 3 5 6 37 1
6 8 3 4 4
4 2
Rinaldi M/IF2091 Strukdis 52
6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:
P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O
(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,
dari pohon jawaban (a) di atas.