plagiat merupakan tindakan tidak terpuji … · panas jenis zat padat 2.2. panas jenis menurut...
TRANSCRIPT
PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK
MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
Margareta Inke Mayasari
NIM : 023214002
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
" Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya " ( Matius 21:22)
PERSEMBAHAN :
"Skripsi ini aku persembahkan untuk Ayah dan Ibuku
serta kakakku mas Robert yang selalu memberikan
dukungan, semangat, doa, dan kasih sayang sepanjang
hidupku"
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA NUMERIK UNTUK
MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP PANAS JENIS KRISTAL
ABSTRAK
Telah dilakukan perhitungan secara numerik terhadap batas terendah nilai perbandingan antara suhu Debye dan suhu kristal yang digunakan dalam perhitungan panas jenis Debye satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0. Hasil perhitungan secara numerik menunjukkan
bahwa untuk kD x
T<
θ nilai integral I bergantung pada suhu T , sedangkan untuk
kD x
T≥
θ nilai integral I konstan. Nilai untuk satu dimensi adalah , untuk
dua dimensi , dan untuk tiga dimensi adalah . kx 19≥kx
22≥kx 25≥kx
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
CALCULATION OF THE RATIO VALUE LOWER LIMIT BETWEEN DEBYE AND CRYSTAL TEMPERATURES NUMERICALLY FOR
DETERMINING THE TEMPERATURE EFFECT ON THE CRYSTAL SPECIFIC HEAT
ABSTRACT
The calculations of the ratio value lower limit between Debye temperature and crystal temperature which is used on the calculation of the Debye heat specific for one, two, and three dimension(s) have been performed numerically by using Mathematica 5.0 package program. The numerical results show that the values of the
integral I for kD x
T<
θ are depend on the temperature (T), meanwhile for kD x
T≥
θ the
values of the I are constants. The values of the are , , and corresponding to one, two, and three dimension (s) respectively.
kx 19≥kx 22≥kx 25≥kx
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Yesus Kristus atas segala kasih dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi
ini berjudul : ”PERHITUNGAN BATAS TERENDAH NILAI
PERBANDINGAN ANTARA SUHU DEBYE DAN SUHU KRISTAL SECARA
NUMERIK UNTUK MENENTUKAN PENGARUH SUHU TERHADAP
PANAS JENIS KRISTAL”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang
penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing
yang telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing,
mendampingi, memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan
tugas akhir ini.
2. Ayah dan Ibuku tercinta yang tanpa henti memberikan dukungan,
dorongan, doa, dan kasihnya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Kakakku tercinta mas Robert yang selalu memberikan semangat dan
doanya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.
4. Erig yang selama ini selalu menemaniku, memberikan dorongan,
semangat dan doanya pada waktu pengerjaan tugas akhir ini.
5. Adik sepupuku Wahyu dan Angga yang senantiasa memberikan
dukungannya.
6. Mbak Asti dan mas Anto yang selama ini telah memberikan
dukungannya.
7. Temen-teman kosku terutama Chika, Jule dan Anis yang selalu
memberikan semangat dan menjadi sahabat yang baik bagiku serta
menemaniku mengerjakan skripsi.
8. Temen-teman fisika yang selama bertahun-tahun selalu berjuang
bersamaku.
9. Dr. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang sudah
banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.
10. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan
pengajaran dan pendampingan.
11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu demi satu. Terimakasih
atas segala bantuannya.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh
karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun
dari berbagai pihak.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia
pendidikan dan khususnya pembaca.
Yogyakarta, Juni 2007
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL………………………..............................................
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………….....
HALAMAN PENGESAHAN .…………………………………………..
HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN …………......………………….
ABSTRAK ……………………………………………………………….
ABSTRACT ……………………………………………………………..
KATA PENGANTAR …………………………………………………...
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………………….
DAFTAR ISI …………………………………………………………….
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………
BAB I. PENDAHULUAN……………………………………………….
1.1. Latar Belakang ………………………………………………….
1.2. Perumusan Masalah …………………………………………….
1.3. Batasan Masalah ………………………………………………..
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………………
1.4.1. Tujuan Penelitian ………………………………………...
1.4.2. Manfaat Penelitian ……………………………………….
1.5. Sistematika Penulisan …………………………………………...
BAB II. DASAR TEORI ………………………………………………...
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
x
xi
xiv
1
1
4
5
5
5
6
6
7
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.1. Panas Jenis Zat Padat ……………………………………………
2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik ………………………………
2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein …………………………….
2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye……………………………….
2.4.1. Panas Jenis Zat Padat Dalam Satu Dimensi ……………...
2.4.2. Panas Jenis Zat Padat Dalam Dua Dimensi ......................
2.4.3. Panas Jenis Zat Padat Dalam Tiga Dimensi ….………….
2.5. Integrasi Numerik Dengan Menggunakan Mathemetica 5.0…….
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN ……………………………….
3.1. Jenis Penelitian ………………………………………………….
3.2. Sarana Penelitian ………………………………………………..
3.3. Langkah-Langkah Penelitian ……………………………………
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………….
4.1. Hasil Integrasi Numerik …………………………………………
4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu dimensi ……………………...
4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi ...................................
4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi ……………………..
4.2. Pembahasan ……………………………………………………..
BAB V. PENUTUP ……………………………………………………...
5.1. Kesimpulan ……………………………………………………...
5.2. Saran …………………………………………………………….
7
9
13
16
17
18
20
23
24
24
24
24
26
26
26
27
28
29
33
33
34
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………
LAMPIRAN A
LAMPIRAN B
LAMPIRAN C
35
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1
Gambar 1.2
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Gambar 4.4
Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T
Panas Jenis Cu pada volume tetap dengan
KE 240=θ
Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi
Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi
Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi
Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan
tiga dimensi
1
3
27
28
29
32
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Dalam fisika diketahui ada tiga model atau teori mengenai panas jenis
suatu zat padat, yaitu teori Klasik, teori Einstein dan teori Debye. Menurut teori
Klasik nilai panas jenis suatu zat padat pada volume tetap ( )vc tidak bergantung
pada suhu ( . Dengan kata lain, panas jenis suatu zat pada volume tetap menurut
teori Klasik adalah
)T
Rcv 3= (1.1)
dengan R tetapan gas umum ( J / kmol K = 1.99 kcal / kmol K). 31031.8 ×=R
Berdasarkan hasil eksperimen, nilai panas jenis suatu zat pada volume
tetap bergantung pada suhu atau secara matematis dapat dituliskan
( )Tcc vv ≡ . (1.2)
Sebagai contoh, panas jenis Cu berdasarkan hasil eksperimen (Omar, 1975)
diperlihatkan pada Gambar 1.1
6
5
4
2
1
100 300
3
200
Cu: E =240 K
Cv c
al/
g m
ol, K
T, K
Gambar 1.1 Panas jenis Cu pada volume tetap sebagai fungsi T
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dari gambar 1.1 terlihat bahwa nilai pada suhu tinggi mendekati
(sesuai dengan teori Klasik), tetapi pada suhu rendah nilai sangat bergantung
pada
vc R3
vc
T .
Untuk mengatasi kelemahan teori Klasik tersebut, Einstein merumuskan
teori panas jenis pada volume tetap dengan menganggap (mengandaikan) bahwa
zat padat tersusun dari atom-atom yang bergetar secara bebas (independen)
disekitar titik kesetimbangannya satu dengan yang lainnya. Dengan asumsi
tersebut, Einstein memperoleh energi rata-rata sebesar (Omar, 1975) :
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
=
0
/
0
/
n
kTE
n
kTEn
n
n
e
eEE (1.3)
dengan En nE ωh⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
21 (h tetapan Planck tereduksi,
π2h
=h dan Eω frekuensi
getar), sehingga (Sears dan Salinger, 1975)
( )2/
/2
13
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=∂∂
=T
TE
vE
E
e
eT
RTEc
θ
θθ. (1.4)
Pada suhu tinggi nilai menurut teori Einstein mendekati nilai (sesuai teori
Klasik) dan pada suhu rendah (Omar, 1975)
vc R3
TEv
EeT
Rc /2
3 θθ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (1.5)
dengan Eθ suhu Einstein.
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
5
4
2
1
100 300
3
200
Cu: E =240 KC
v c
al/
g m
ol, K
T, K
Gambar 1.2 Panas jenis Cu pada volume tetap dengan 240=Eθ K
Jika dibandingkan nilai menurut teori Einstein terhadap hasil
eksperimen untuk Cu dengan
vc
240=Eθ K maka terlihat bahwa nilai
berdasarkan perhitungannya teori Einstein untuk
vc
200<<T K kurang sesuai
dengan hasil eksperimen (Gambar 1.2).
Kelemahan teori Einstein tersebut diperbaiki oleh Debye, yang
mengasumsikan bahwa kisi kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan
volume V (Suwitra, 1989). Suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi
frekuensi yang kontinu pada interval frekuensi ω sampai ωω d+ . Tenaga
kontinum elastis Debye diberikan oleh (Omar, 1975)
( ) ( ) ωωω dgEE ∫= , (1.6)
dengan ( )ωg adalah rapat modus, dan 1/ −
= kTeE ω
ωh
h adalah energi rata-rata atom
kristal. Rapat modus ( )ωg untuk kontinum elastik volume V diberikan oleh
3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( ) 3
2
2
3
2 svLg ωπ
ω = (1.7)
dengan L panjang rusuk volume V, ω frekuensi kontinum elastik, dan
kecepatan gelombang. Sehingga persamaan (1.6) dapat dituliskan menjadi
sv
∫ −=
D
dev
VE kTs
ω
ω ωωπ 0
/
3
32 123
h
h . (1.8)
Jika didefenisikan kT
x ωh= ,
kTx D
Dωh
= , dan DDk ωθ h= atau h
DD
kθω = ( Dθ
adalah suhu Debye), maka panas jenis pada volume tetap diberikan oleh
TEcv ∂∂
=
( )
dxe
exTRDx
xx
x
D∫= −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
02
43
19
θ. (1.9)
1.2. Perumusan Masalah
Dari persamaan (1.9) terlihat bahwa nilai integral
( )∫= −
=Dx
xx
x
dxe
exI
02
4
1 (1.10)
untuk suhu rendah ( DT )θ<< adalah 15
4 4π (suatu konstanta). Secara umum hasil
integral persamaan (1.10) masih merupakan fungsi Dθ dan T atau
( )TII D ,θ≡ . (1.11)
Yang menjadi permasalahan adalah berapa batas terendah nilai T
Dθ agar hasil
integral persamaan (1.10) untuk suhu rendah ( )DT θ<< terpenuhi.
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.3. Batasan Masalah
Masalah yang diteliti dalam penelitian ini dibatasi pada masalah
1. Penentuan batas terendah nilai T
Dθ agar hasil integral persamaan (1.9)
untuk suhu rendah terpenuhi.
2. Implikasi batas terendah nilai T
Dθ terhadap panas jenis Debye pada
panjang tetap, luas tetap dan volume tetap.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk:
1. Menentukan batas terendah nilai T
Dθ agar hasil integral pada
persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi.
2. Mengetahui implikasi batas terendah nilai T
Dθ terhadap panas jenis
suatu zat pada panjang tetap, luas tetap dan volume tetap ( ) . vc
1.4.2. Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk pengembangan ilmu pengetahuan
khususnya pengetahuan terhadap panas jenis pada panjang tetap, luas tetap dan
volume tetap dan kaitannya dengan suhu Debye Dθ dan .T
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.5. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut:
BAB I. PENDAHULUAN
Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II. DASAR TEORI
Dalam Bab II dijabarkan teori panas jenis zat padat menurut teori Klasik,
Einstein, dan Debye.
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian dan
langkah-langkah penelitian.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian secara numerik serta
pembahasannya
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II DASAR TEORI
2.1. Panas Jenis Zat Padat
Zat padat terbentuk dari atom-atom (berupa ion atau atom netral) atau
molekul yang sangat tersusun dengan posisi sangat berdekatan. Energi zat padat
dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu energi termal dan energi lain.
Energi lain dapat berasal dari energi kinetik, energi potensial listrik, energi
potensial magnetik energi rotasi, energi potensial gravitasi, dll. Perubahan energi
termal tiap satu satuan perubahan suhu disebut kapasitas panas C (Suwitra, 1989)
TEC∂∂
= . (2.1)
Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis yang
didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat
untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis, panas jenis dituliskan
sebagai
TE
mc
∂∂
=1 (2.2)
dengan c panas jenis ( satuan J / kmol atau kcal / kmol K) dan m adalah besarnya
massa satu mol zat. Jika suatu sistem bekerja pada volume tetap, maka panas jenis
itu disebut panas jenis pada volume tetap ( ), secara matematis dituliskan vc
vv T
Em
c ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=1 (2.3)
Menurut hukum I termodinamika, jika sejumlah kalor dQ diberikan
kepada suatu sistem, maka kalor/energi tersebut dapat digunakan oleh sistem
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
untuk mengubah energi dalamnya ( )dU dan untuk melakukan sejumlah kerja
. Hukum termodinamika tersebut dapat dituliskan sebagai (Nainggolan,
1978)
(dW )
dWdUdQ += (2.4)
Energi dalam sistem ditentukan oleh volume ( )V dan suhu sistem sehingga
(Sears dan Salinger, 1975)
( )T
dVVUdT
TUdU
Tv⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= (2.5)
Jika persamaan (2.5) disubstitusikan ke persamaan (2.4) maka diperoleh
dWdVVUdT
TUdQ
Tv
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
(2.6) Mengingat , persamaan (2.6) dapat dituliskan kembali dalam
bentuk
dVpdW =
.dVpVUdT
TUdQ
Tv ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= (2.7)
Maka kapasitas panas ( pada volume tetap)C ( )0=dV diberikan oleh
.vv
v TU
TQC ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= (2.8)
Selain konsep kapasitas panas, dikenal juga konsep panas jenis ( yang
didefenisikan sebagai jumlah kalor atau energi yang diperlukan oleh satu mol zat
untuk menaikkan suhunya sebesar 1K. Secara matematis panas jenis ( pada
volume tetap dituliskan
)vc
)vc
8
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vv T
UmT
Qm
c ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∂∂
=11 (2.9)
Selanjutnya panas jenis zat padat ditinjau menurut tiga teori, yaitu teori Klasik,
teori Einstein, dan teori Debye.
2.2. Panas Jenis Menurut Teori Klasik
Menurut teori klasik dengan menggunakan teori kinetik gas, jika suatu
kotak yang mempunyai volume V diisi N molekul gas dengan masing-masing
molekul memiliki massa m dan bergerak dengan kecepatan (searah sumbu x),
maka akan terjadi tumbukan antara molekul dengan luasan (A) dinding kotak
sehingga perubahan momentum sebelum dan sesudah terjadinya tumbukan adalah
.
xv
xvm2
Besarnya perubahan momentum dalam interval sampai
diberikan oleh (Bradbury, 1984)
xv xx dvv +
xxx vvdnxAmp )(2=Δ (2.10)
dengan x adalah panjang lintasan, dan adalah jumlah molekul tiap satu
satuan volume sebagai fungsi . Perubahan momentum tersebut terjadi dalam
interval waktu
)( xvdn
xv
xvxt =Δ . (2.11)
Perubahan gaya yang dihasilkan dalam luasan A akibat terjadinya tumbukan
adalah
9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( xxx
x vdnvmAt
pdF 22=
Δ)Δ
= . (2.12)
sehingga
(∫∞
=0
22 xxx vdnvmAF ). (2.13)
Nilai 2xv diberikan oleh (Bradbury, 1984)
( )
( )
( )
VN
vdnv
vdn
vdnvv
xx
x
xx
x /
20
22
2∫
∫
∫∞
∞+
∞−
+∞
∞− == . (2.14)
Jika persamaan (2.13) dan (2.14) digabungkan, maka akan diperoleh
VvNm
AF
P xx2
== (2.15)
dengan P adalah tekanan. Persamaan (2.15) dapat dituliskan dalam bentuk
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
21
32 vmNPV , (2.16)
sebab 222zyx vvv == dan 2222
zyx vvvv ++= . Dengan demikian energi kinetik
molekul gas dapat dituliskan menjadi
Tkvm23
21 2 = . (2.17)
Pada persamaan (2.17) digunakan relasi TkNVP = (Martin, 1986)
Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga
memiliki energi potensial. Dari persamaan (2.11) dan (2.12) diperoleh relasi
10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xpv
dF xxx
Δ=
atau
xxx pvdFx ΔΔ= (2.18)
Besarnya gaya dalam luasan A adalah
( )txxdnxAmdFt x Δ=Δ )(2 (2.19)
Persamaan (2.19) dapat dituliskan menjadi
( )xdnt
xAmdFt x 2
2
)(2
Δ=Δ . (2.20)
Meningat nilai 2x adalah
∫
∫∞
∞−
∞
∞−=)(
)(2
2
xdn
xdnxx (2.21)
sehingga dari persamaan (2.20) diperoleh
VN
tdFtAm
VN
xdnxx
x Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
==∫∫∞∞
00
2
2
1)(2. (2.22)
Dari persamaan (2.15) diperoleh
AdF
dP x= . (2.23)
Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.23) dikalikan xΔ , maka diperoleh
xdFdPxA x Δ=Δ
xx vtdFdPxA Δ=Δ
11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
atau
xx dFtvdPV ∫ Δ= (2.24)
Jika persamaan (2.24) diintegralkan, maka dihasilkan
∫∞
Δ=0
xx dFtvVP
Jika dimasukkan ke dalam persamaan (2.22)
VN
tdFtAmx
x Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=∫∞
02
1
tVNvPV
mAx Δ=
//1
2x
VtvNAm
PV x
Δ=
2x
VtvNAm
kTN xA Δ
=
2x
VNtvNAm
kTA
x
Δ=
atau
2
21
21 x
tNVvNAm
TkA
x
Δ= (2.25)
Jika ctNV
vNAm
A
x =Δ
, maka persamaan (2.25) menjadi
12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
21
21 xcTk = (2.26)
sehingga besarnya energi potensial adalah adalah Tk21 .
Dengan demikian besarnya panas jenis (satu dimensi) menurut teori klasik
ditinjau dari teori kinetik gas adalah sebesar (Omar, 1975)
vc
kNc Av =
Rcv = . (2.27)
Untuk panas jenis ( ) tiga dimensi vc Rcv 3=
Berdasarkan hasil eksperimen (Gambar 1.1) panas jenis zat padat
bergantung pada suhu T khususnya pada suhu rendah. Pada suhu tinggi
mendekati 3R. Oleh sebab itu teori panas jenis klasik masih memiliki kelemahan
karena tidak dapat menjelaskan kebergantungan terhadap T.
vc
vc
2.3. Panas Jenis Menurut Teori Einstein
Menurut teori panas jenis Einstein osilasi zat padat mengikuti statistik
Bose-Einstein (Suwitra, 1989). Einstein juga mengajukan asumsi bahwa semua
fonon (osilator) memiliki frekuensi yang sama. Tiap atom berprilaku sebagai tiga
osilator harmonis yang independen. Menurut mekanika kuantum, tenaga osilator
harmonik diberikan oleh (Alonso dan Finn, 1968)
ω 21 h⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += nEn , ,...3 ,2 ,1 ,0=n (2.28)
13
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan ω frekuensi osilator harmonik, π2h
=h . Tenaga rata-rata osilator harmonik
diberikan oleh (Omar, 1975)
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
=
0
/
0
/
n
kTE
n
kTEn
n
n
e
eEE (2.29)
Jika dituliskan kT1
=β , maka persamaan (2.29) dapat dituliskan
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
=
0
0
n
E
n
En
n
n
e
eEE
β
β
(2.30)
Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.30) digunakan substitusi
∑∞
=
−=0n
EneZ β (2.31)
yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, maka tenaga
rata-rata pada persamaan (2.30) menjadi
( ZZZ
E ln1ββ ∂
)∂−=
∂∂
−= (2.32)
Jika persamaan (2.28) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.30) maka diperoleh
∑∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=0
21
n
neZ
ωβh
∑∞
=
−−=0
2/
n
nee ωβωβ hh
( )......1 322/ ++++= −−−− ωβωβωβωβ hhhh eeee (2.33)
14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika 0>ωβh , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.32)
dapat dituliskan menjadi
1<<− ωβhe
ωβωβωβωβ
h
hhh
−−−−
−=++++
eeee
11...1 32
Dengan demikian fungsi partisi dapat dituliskan menjadi
ωβ
ωβ
h
h
−
−
−=
eeZ
1
2/
(2.34)
Dengan substitusi persamaan (2.34) ke dalam persamaan (2.32)
diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar
( )ZE lnβ∂∂
−=
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
∂∂
−= ωβωββ
hh e1ln21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+=
11
21
ωβωh
he
(2.35)
Jika ditinjau osilator tiga dimensi dan ada sejumlah N osilator, maka tenaga total
osilator harmonik sebesar
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+==
1 1
21 3 3 / kTe
NENE ωωh
h (2.36)
Kalau ada satu mol zat (kristal), maka ANN = (bilangan Avogadro). Dengan
demikian panas jenis diberikan oleh vc
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=TEcv
15
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
( )2/
/2
1 3
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
kT
kT
Ae
ekT
kNω
ωωh
hh
( )2/
/ 2
1 3
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
kT
kTE
E
E
ee
TR
θ
θθ (2.37)
dengan dankNR A = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
kEωθ h yang dikenal sebagai suhu Einstein.
Untuk mengetahui daya prediksi panas jenis Einstein tersebut, ditinjau
dua keadaan ekstrim yaitu pada suhu rendah dan suhu tinggi. Pada suhu tinggi
ET θ>> atau 1<<T
Eθ sehingga T
e ETEθθ +≈1/ . Jadi panas jenis Einstain pada
suhu tinggi dapat dituliskan
232
32
2
...
...13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛++
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
TTT
TTTT
RcEEE
EEE
Ev
θθθ
θθθθ
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +≈ TR Eθ13
(2.38)
Pada suhu rendah
Rcv 3≈
ET θ<< atau 1>>T
Eθ , sehingga . Jika ,
maka faktor . Jadi panas jenis Einstein pada suhu rendah dapat
dituliskan
1/ >>TEeθ 1/ >>TEeθ
TT EE ee // 1 θθ ≈−
TEv
EeT
Rc /2
3 θθ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (2.39)
16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Model panas jenis Einstein hanya cocok untuk suhu tinggi, sedangkan
pada suhu rendah kurang sesuai.
2.4. Panas Jenis Menurut Teori Debye
Debye mengembangkan suatu model dengan mengasumsikan bahwa kisi
kristal itu adalah suatu kontinum elastik dengan volume V (Suwitra, 1989). Pada
model Debye, suatu kontinum elastik akan memiliki distribusi frekuensi yang
kontinu pada interval frekuensi ω sampai ωω d+ , dan tenaga total diberikan oleh
( ) ( ) ωωωω
dEgED
∫=0
(2.40)
dengan )(ωg adalah rapat modus dan Dω adalah frekuensi Debye. Rapat modus
didefenisikan
( )ω
ωddNg = (2.41)
dengan N adalah jumlah modus.
2.4.1. Panas jenis zat padat dalam satu dimensi
Jumlah modus fonon untuk satu dimensi adalah
λLN = (2.42)
dengan λ adalah panjang gelombang. Mengingat λ
πλk2
= , persamaan (2.42)
dapat dituliskan menjadi
17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
λπkLN ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2. (2.43)
Sebab k dapat juga dituliskan sebagai sv
k ωλ = , maka
svLN ωπ2
= . (2.44)
Jadi rapat modus untuk satu dimensi adalah
( )sv
Lgπ
ω2
= (2.45)
Dengan menggunakan persamaan (2.44), frekuensi ω untuk gelombang satu
dimensi diberikan oleh
LNvsπ
ω2
= (2.46)
Dengan demikian tenaga kontinum elastis satu dimensi diberikan oleh
( ) ωωω ω
ωd
egE kT
D
1/0 −= ∫ h
h
ωωπ
ω
ω dev
LED
kTs∫ −
=0
/ 12 h
h (2.47)
Jika didefenisikan kT
x ωh= ,
kTx D
Dωh
= , dan DDk ωθ h= atau
hD
Dkθ
ω = ( Dθ adalah suhu Debye), maka panas jenis zat padat satu dimensi
diberikan oleh
Lc
TEcL ∂∂
=
18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫ −=
Dx
x
x
s
dxe
exTk
vL
02
22
)1(hπ (2.48)
atau
TcL ≈ (2.49)
2.4.2. Panas jenis zat padat dalam dua dimensi
Jumlah modus fonon dua dimensi
22
2 λπkLN ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
22
2 svL ωπ
= (2.50)
Sehingga rapat modus diberikan oleh
( ) 22
2
2 svLg ωπ
ω = , (2.51)
dan frekuensi ω untuk gelombang dua dimensi diberikan oleh
21
2
222⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
LNvsπ
ω (2.52)
Jadi tenaga kontinum elastis dua dimensi diberikan oleh
( ) ωωω ω
ωd
egE kT
D
12 /0 −
= ∫ h
h
ωωπ
ω
ω dev
LED
kTs∫ −
=0
/
2
22
2
122
h
h (2.53)
19
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Mengingat kT
x ωh= ,
kTx D
Dωh
= , dan DDk ωθ h= atau h
DD
kθω = ( Dθ adalah suhu
Debye), maka panas jenis zat padat untuk dua dimensi diberikan oleh
TEcA ∂∂
=
dxe
exTk
vL Dx
x
x
s∫ −
=0
2
32
2
3
22
2
)1(hπ (2.54)
atau
2TcA ≈ (2.55)
2.4.3. Panas jenis zat padat dalam tiga dimensi
Jumlah modus fonon tiga dimensi
33
34
2 λπ
πkLN ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
3
3
2
3
6 svL ωπ
= (2.56)
sehingga rapat modus diberikan oleh
( ) 3
2
2
3
2 svLg ωπ
ω = , (2.57)
dan frekuensi ω untuk gelombang tiga dimensi diberikan oleh
31
3
326⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
LNvsπ
ω (2.58)
20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jadi tenaga kontinum elastis tiga dimensi dapat dituliskan sebagai
atau
Mengingat
21
( ) ωωω ω
ωd
egE kT
D
13 /0 −
= ∫ h
h
ωωπ
ω
ω dev
LE
D
kTs∫ −
=0
/
3
32
3
123
h
h (2.59)
kTx ωh= ,
kTx D
Dωh
= DDk, dan ωθ h= atau h
DD
kθω = D(θ adalah suhu
Debye), maka panas jenis untuk zat padat tiga dimensi adalah
Bentuk integrasi numerik yang terdapat dalam panas jenis Debye satu
dimensi (persamaan (2.48)), dua dimensi (persamaan (2.54)), dan tiga dimensi
(persamaan (2.60)) akan diselesaikan dengan menggunakan paket program
Mathematica 5.0
3Tcv ≈
vc
TEcv = ∂∂
dxe
exTk
vL Dx
x
x
s∫ −
=0
2
43
3
4
32
3
)1(23
hπ
(2.61)
(2.60)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Unsur / Senyawa
Li Na K Cu Ag Au Al Ga Pb Ge Si C NaCl KCl CaF2 LiF SiO2
Dθ (K) 335 156 91.1 343 226 162 428 325 102 378 647 1860 280 230 470 680 255
Tabel 2.1 Temperatur Debye ( )Dθ untuk beberapa unsur dan senyawa (Omar, 1975)
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.5. Integrasi Numerik Menggunakan Mathematica 5.0
Bentuk- bentuk integrasi numerik yang ada di dalam persamaan (2.48),
(2.54) dan (2.60) akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan paket
program Mathematica 5.0. Secara umum penyelesaian integrasi numerik untuk
dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 adalah ( )∫=max
min
x
x
dxxfI
NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}], dengan f adalah fungsi yang akan diintegralkan ,
xmin adalah batas bawah, xmaks adalah batas atas, dan NIntegrate adalah perintah
yang digunakan untuk mengevaluasi integrasi numeriknya.
Selain itu ada juga penyelesaian integrasi numerik dengan
Table[NIntegrate[f, {x, xmin, y}],{y,ymin,ymaks}], dimana {y,ymin,ymaks}
dihitung dahulu nilai integralnya kemudian hasilnya akan digunakan sebagai batas
dalam {x, xmin, y}.
Contoh 1: In[1]:= NIntegrate[Exp[-x^3], {x, 0, Infinity}]
Out[1]= 0.89298
Hasil penyelesaian contoh diatas tersebut hanya untuk satu nilai dalam suatu
daerah integral.
Contoh 2 : In[2]:= Table[NIntegrate[(x^3)/(Exp[x]-1),{x,0,y}],{y,0,8}]
Out[2]=
{0.,0.224805,1.17634,2.55222,3.87705,4.89989,5.58586,6.00317,6.23962}
Hasil penyelesaian contoh 2 tidak seperti hasil penyelesaian contoh 1.
Hasil penyelesaian contoh 2 berupa nilai-nilai hasil integrasi numerik sekaligus
dalam interval tertentu untuk nilai x tertentu.
23
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah
penelitian studi pustaka dan paket program Mathematica 5.0.
3.2. Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku
yang berhubungan dengan panas jenis zat padat yang terdapat di UPT
Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.
3.3. Langkah – langkah penelitian
Langkah – langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Menelusuri bahan – bahan mengenai teori panas jenis Klasik,
Einstein dan Debye serta integrasi numerik dengan menggunakan
paket program Mathematica 5.0.
2. Mengelaborasi teori-teori panas jenis Klasik, Einstein dan Debye
secara analitik.
3. Menyelesaikan teori panas jenis Debye secara numerik dengan
menggunakan paket program Mathematica 5.0.
4. Batasan angka desimal numerik yang akan diambil untuk panas
jenis satu dimensi dan dua dimensi adalah lima digit sedangkan
24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
untuk panas jenis tiga dimensi adalah empat digit. Batasan angka
desimal numerik yang akan diambil mengikuti paket program
Mathematica 5.0.
5. Menentukan batas terendah nilai T
Dθ agar hasil integral pada
persamaan (1.10) untuk suhu rendah terpenuhi.
6. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah
dilakukan.
25
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Hasil Integrasi Numerik
Sebagaimana diketahui dari persamaan (2.48), (2.54) dan (2.60) bahwa
panas jenis kristal pada panjang tetap ( )Lc , luas tetap ( )Ac dan volume tetap
tergantung pada nilai integrasi
( )vc
( )∫=Dx
dxxfI0
Dengan adalah fungsi yang bentuknya bersesuaian dengan dimensi kristal.
Dari berbagai studi literatur (Omar, 1975 ; Sears, 1975 ; Mandl, 1988) nilai
integral I konstan.
( )xf
4.1.1. Panas Jenis Zat Padat Satu Dimensi
Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari
dxe
exDx
x
x
∫ −02
2
)1( dapat dilihat pada Lampiran A dan jika hasil integrasi numerik
(Lampiran A) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.1. Dari gambar 4.1
terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah . Sedangkan untuk daerah
nilai I bergantung pada x.
19≥x 19<x
26
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.1 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal satu dimensi
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 10 20 30 40
x
I
4.1.2. Panas Jenis Zat Padat Dua Dimensi
Seperti halnya panas jenis satu dimensi, untuk panas jenis dua dimensi
hasil integrasi numerik dari dxe
exDx
x
x
∫ −02
3
)1( dapat dilihat pada Lampiran B. Jika
hasil integrasi numerik (Lampiran B) digambar maka hasilnya terlihat pada
Gambar 4.2. Dari Gambar 4.2 terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah .
Sedangkan untuk daerah nilai I bergantung pada x.
22≥x
22<x
27
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.2 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal dua dimensi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 10 20 30 40x
I
4.1.3. Panas Jenis Zat Padat Tiga Dimensi
Untuk panas jenis satu dimensi hasil integrasi numerik dari
dxe
exDx
x
x
∫ −02
4
)1( dapat dilihat pada Lampiran C dan jika hasil integrasi numerik
(Lampiran C) digambar maka hasilnya terlihat pada Gambar 4.3. Dari Gambar 4.3
terlihat bahwa nilai I tetap pada daerah . Sedangkan untuk daerah
nilai I bergantung pada x.
25≥x 25<x
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4.2. Pembahasan
Gambar 4.3 Grafik I sebagai fungsi x untuk kristal tiga dimensi
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40x
I
Berdasarkan hasil integrasi numerik yang telah dilakukan terhadap
persamaa
nilai I bergantung pada x seperti terlihat pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3.
n (2.48), (2.54), dan (2.60) (Lampiran A, B dan C ) terlihat bahwa panas
jenis kristal satu dimensi nilai I tetap pada daerah 19≥x , untuk kristal dua
dimensi nilai I tetap pada daerah 22≥x , dan untuk kristal tiga dimensi nilai I
tetap pada daerah .25≥x Jika nila bih kecil dari nilai-nilai tersebut, maka i x le
29
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Berdasark ai-nilai kx yang telah diperoleh, dapat dihitung suhu
kristal (satu, dua, dan tiga dimensi) dengan menggunakan relasi berikut:
an nil
kTx D
Dωh
=
hD
Dkθ
ω =
Tx D
Dθ
=
Jika nila dan i Dx Dθ diketahui, maka nilai T dapat diperoleh. Contohnya unsur Li
(pada Tabel 2.1) untuk tiga dimensi, 335=Dθ , 25=Dx , nilai T dapat dihitung
ng andengan me gunak persamaan diatas, yaitu
Tx D
Dθ
=
T33525=
KT 4.13=
Nilai T yang telah dihitung untuk beberapa unsur dan senyawa berdasarkan relasi
Tx DD
θ= dan data Tabel 2.1 disajikan pada Tabel 3.1.
Unsur / senyawa T (K) Dθ
Na 156 6.24
Cu 343 13.72
Ag 226 9.04
N aCl 280 11.2
30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D
D
xT
θ<Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, jika nilai maka
nilai panas jenis bergantung pada suhu. Tetapi jika nilai Dx
T Dθ≥ mak i panas
Sears, 1975 ; Mandl, 19
a nila
jenis mendekati klasik.
Sebagaimana yang telah diketahui dari buku-buku teks (Omar, 1975 ;
88) yang memuat panas jenis Debye bahwa nilai integrasi
pada persamaan (1.9) adalah sebesar 15
4 4π untuk kristal tiga dimensi (suatu
pada persamaan (1.9) untuk daerah 2≥x alah sama dengan yang ada di buku-
konstanta). Dengan menggunakan paket program Mathematica 5.0 nilai integrasi
ad
buku teks yaitu
5
154 4π
. Tetapi untuk 25<x nilai integral persamaan (1.9)
bergantung pada nilai x.
I ters
jenisnya adalah sebesar (untuk kristal tiga dimensi),
sedangka
Nilai-nilai ebut akan mempengaruhi panas jenis Debye, dimana jika
pada daerah 25≥x panas R3
n jika pada daerah 25<x nilainya tertentu atau dengan kata lain panas
jenisnya buka . Demikian juga dengan panas nis kristal satu dimensi, dua
dimensi dan tiga dimensi, yang masing-masing memiliki batas daerah dimana
nilai integrasinya ulai konstan.
Jika ketiga grafik pada Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 digabungkan, maka
diperoleh gambar grafik seperti te
n R3 je
m
rlihat pada Gambar 4.4.
31
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 4.4 Gabungan grafik satu dimensi, dua dimensi dan tiga dimensi
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40x
I
I (satu dimensi)I (dua dimensi)I (tiga dimensi)
Seperti yang telah diketahui bahwa pada panas jenis satu dimensi , dua
dimensi dan tiga dimensi . Dari Gambar 4.4 diatas perbandingan
(batas mulainya nilai I yang konstan) antara panas jenis satu dimensi, dua dimensi
dan tiga dimensi adalah 19 : 22 : 25. Jadi nilai semakin besar jika dimensi
kristal yang ditinjau semakin besar.
19≥x
22≥x 25≥x kx
kx
32
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian
ini dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut
1. Pada panas jenis zat padat satu dimensi nilai I tetap ( konstan )
pada daerah , dua dimensi pada daerah dan tiga
dimensi pada daerah .
19≥x 22≥x
25≥x
2. Nilai I tetap ( konstan ) jika kD x
T≥
θ ( adalah batas mulainya
nilai I yang konstan ). Sedangkan untuk
kx
kD x
T<
θ nilai I
bergantung pada x.
3. Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah ,
, dan
19<x
22<x 25<x nilai I sangat bergantung suhu (T), pengaruh
suhu terhadap panas jenis zat padat satu dimensi , dua
dimensi , dan tiga dimensi menyebabkan
besarnya panas jenis satu dimensi , dua dimensi
, dan tiga dimensi
TcL ~
2~TcA3~Tcv
( )TITcL ~
( )TITcA2~ ( )TITcv
3~ .
33
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5.2. Saran
Saran yang dapat diberikan untuk penyempurnaan dan pengembangan
tulisan ini adalah
1. Perlu dilakukan penelitian lanjutan tentang perbandingan hasil integrasi
numerik menggunakan paket program Mathematica 5.0 dengan paket
program lainnya.
2. Untuk suhu yang sangat rendah khususnya pada daerah , ,
dan
19<x 22<x
25<x nilai I sangat bergantung suhu (T), oleh karena itu nilai I
haruslah diperhitungkan karena akan mempengaruhi besarnya panas jenis
zat padat satu dimensi, dua dimensi, dan tiga dimensi.
34
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Alonso, M., dan Finn, E.J., 1986, Quantum and Statistical Physics, United States
of America: Addison-Wesley Publishing Company.
Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in
the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing
Company.
Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.
Martin, M. C., 1986, Elements of Thermodynamics, New Jersey : Prentice – Hall.
Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.
Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–
Wesley Publishing Company.
Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and
Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley
Publishing Company.
Suwitra, N., 1989, Pengantar Fisika Zat Padat, Jakarta : Depertemen Pendidikan
dan Kebudayaan.
Zeemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New
York : McGraw-Hill Book Company.
Wolfram, S., 2007, Mathematica6.0, http://reference.wolfram.com/mathematica/
tutorial/NumericalIntegration.html.
35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN A
Tabel hasil integrasi numerik dxe
exI
Dx
x
x
∫ −=
02
2
)1( untuk kristal satu dimensi
xD I
0 0
1 0.973033
2 1.80172
3 2.41105
4 2.80667
5 3.03917
6 3.16567
7 3.23055
8 3.26235
9 3.2774
10 3.28433
11 3.28745
12 3.28882
13 3.28942
14 3.28968
15 3.28979
16 3.28984
17 3.28985
18 3.28986
19 3.28987
20 3.28987
21 3.28987
22 3.28987
23 3.28987
24 3.28987
25 3.28987
26 3.28987
27 3.28987
28 3.28987
29 3.28987
30 3.28987
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN B
Tabel hasil integrasi numerik dxe
exI
Dx
x
x
∫ −=
02
3
)1( untuk kristal dua dimensi
xD I
0 0
1 0.479841
2 1.70635
3 3.2106
4 4.57922
5 5.61439
6 6.3034
7 6.72139
8 6.95799
9 7.08497
10 7.15032
11 7.18285
12 7.19859
13 7.20604
14 7.2095
15 7.21107
16 7.21178
17 7.2121
18 7.21224
19 7.2123
20 7.21232
21 7.21233
22 7.21234
23 7.21234
24 7.21234
25 7.21234
26 7.21234
27 7.21234
28 7.21234
29 7.21234
30 7.21234
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN C
Tabel hasil integrasi numerik dxe
exI
Dx
x
x
∫ −=
02
4
)1( untuk kristal tiga dimensi
xD I
0 0
1 0.317244
2 2.20109
3 5.96482
4 10.7319
5 15.3598
6 19.123
7 21.8212
8 23.584
9 24.6565
10 25.2737
11 25.6132
12 25.7933
13 25.886
14 25.9324
15 25.9552
16 25.9661
17 25.9713
18 25.9737
19 25.9748
20 25.9754
21 25.9756
22 25.9757
23 25.9757
24 25.9757
25 25.9858
26 25.9858
27 25.9858
28 25.9858
29 25.9858
30 25.9858
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BIOGRAFI
Nama lengkap penulis Margareta Inke Mayasari, lahir di
Margodadi, 9 mei 1985, merupakan anak kedua dari pasangan
Bapak Hadi Suprapto dan Ibu Maria Sumiyati. Pada waktu SD
(tahun 1990) bersekolah di SDN I Margodadi, SMP (1996)
bersekolah di SMP Xaverius Pringsewu, SMU (tahun 1999)
bersekolah di SMU Xaverius Pringsewu, kemudian pada tahun
2002 melanjutkan jenjang pendidikannya di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Jurusan Fisika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI