picture start

PICTURE

START

introducing

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

Penyusun Pendahuluan

Materi

Latihan SoalContoh Soal Pemahaman

Andini Tresnaningsih

1

Karina2

Marissa Dwi Andrianne

34

Sylvia Nopiani Risa P.

Turunan Fungsi


Materi


Standar Kompetensi:

Menggunakan konsep limit fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:

1. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran Pengantar

Turunan Fungsi


Materi


Setelah mempelajari materi turunan, siswa diharapkan mampu:

1. Menentukan turunan fungsi menggunakan definisi turunan

2. Menjelaskan arti fisis dan arti geometri turunan di satu titik

3. Menggunakan aturan turunan untuk menentukan turunan

fungsi aljabar dan fungsi trigonometri

4. Menentukan turunan fungsi komposisi menggunakan

aturan rantai

5. Menentukan interval dimana suatu fungsi naik dan turun

6. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya

Tujuan Pembelajaran :

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran Pengantar

Turunan Fungsi


Materi


Turunan Fungsi

Pada bab sebelumnya telah dipelajari tentang limit. Konsep limit mendasari pembicaraan tentang turunan, bahkan tentang kalkulus pada umumnya. Dalam hal ini, limit akan digunakan untuk menentukan rumus umum turunan fungsi.

Konsep turunan sendiri ternyata memberikan bantuan nyata dalam mempelajari matematika, sehingga pada bab ini bukan hanya akan mempelajari bagaimana menentukan turunan dari suatu fungsi, tetapi juga penggunaan turunan untuk menyelesaikan masalah-masalah lain. Masalah tersebut adalah tentang kecepatan, percepatan, persamaan garis singgung, dan masalah tentang nilai stasioner yang telah banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Apa sebenarnya hubungan antara turunan dengan masalah-masalah tersebut?

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Tujuan Pembelajaran PengantarPenyusun

PendahuluanMateri


Turunan Fungsi

Definisi Turunan

Arti Fisis dan Arti Geometris Turunan Suatu Titik

Turunan Fungsi Aljabar

Turunan Fungsi Trigonometri

Aturan Rantai

Fungsi Naik dan Turun

Nilai Stasioner

1

2

3

4

5

6

7


Materi


Turunan FungsiDefinisi Turunan

Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f’(x).Jika f’(x) ada, maka: dikenal sebagai rumus umum turunan fungsi f(x).h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Penyelesaian :

xxxf 2)( 2

hhhxxhxf 2)1(2)( 22

)(2)()( 2 hxhxhxf

h

hhxhxf

h

22lim)('

2

0

22)22(lim)('0

xhxxfh

Sehingga :h

xxhhxxhxxf

)2()222(lim)('

222

0h


Materi


Turunan FungsiArti Fisis dan Geometris Turunan di Suatu

Titik

Arti Fisis

Secara fisis, turunan fungsi f(x) di x=a merupakan kecepatan sesaat dari sebuah benda atau titik yang bergerakmengikuti kurva y=f(x) pada saat x=ah

xfhxfv

h

)()(lim

0


Materi



Titik

Contoh:Sebuah benda jatuh dalam ruang hampa, di mana jarak bendadari titik asal dirumuskan sebagai meter. Berapa kecepatan sesaat benda tersebut saat t=2 detik?)232( 2 tts


Materi



Titik

Penyelesaian :Dalam hal ini

Jadi, kecepatan benda saat t=2 detik adalah 130meter/detik.

tttf 232)( 2

h

fhfv

h

)2()2(lim

0

h

hhv

h

)]2(2)2(32[)]2(2)2(32[lim

22

0

h

hhhv

h

)4128()2432128128(lim

2

0

h

hhhv

h

41282432128128lim

2

0

h

hhhv

h

232128lim

2

0

130)232128(lim0

hvh


Materi



Titik

Arti Geometris

Secara geometris, turunan fungsi f(x) di x=a merupakan gradien garis singgung kurva y=f(x) di titik (a,f(a)).


Materi


Turunan Fungsi

Gradien tali busur adalah:

Jika titik Q semakin mendekati titik P, maka nilai h→0, dan tali busur tersebut menjadi garis singgung kurva di titik (a,f(a)), sehingga gradien garis singgung tersebut adalah:

h

afhaf

aha

afhafm

)()()()(

h

afhafm

h

)()(lim

0

Arti Fisis dan Geometris Turunan di Suatu TitikPenyusun

PendahuluanMateri



Titik

Contoh:Tentukan gradien garis singgung kurva di titik yang berabsis x=-2!Penyelesaian :

xxxf 35)( 2

14)2(3)2(5)2(

35)(2

2

f

xxxf

14175)2(

)2(3)2(5)2(2

2

hhhf

hhhf

17)175(lim

14)14175(lim

)2()2(lim

0

2

0

0

hmh

hhm

h

fhfm

h

h

h


Materi



Turunan dari fungsi y = f(x) dinotasikan dengan y’ = f’(x). Notasi lain dari turunan fungsi y = f(x) adalah :

Rumus-rumus turunan, antara lain:

Turunan Fungsi

0)(' maka ,)( Jika .1 xfcxf

1)(' maka ,)( Jika .2 xfxxf

. , ,)(' maka ,)( Jika .3 1 Rnaanxxfaxxf nn


Materi


dx

dfy

dx

d

dx

dy


Contoh:Tentukan turunan dari fungsi berikut:Jawab:

Turunan Fungsi

xxf

xxf

)( b.

4)( a. 2

(3) rumus4)( a. 2 xxf

xxf 8)(

12)2(4)( xxf

(3) rumus)( b. 2

1

xxxf

xxf

2

1)(

2

1

1.

2

1)(

x

xf

)12

1(

2

1)(

xxf


Materi



Contoh:Tentukan turunan dari fungsi:→ →

Turunan Fungsi

243)( a. 23 xxxxf

)(')(')(' maka ),()()( Jika 4. xhxgxfxhxgxf

0)1(4)2(33)( )12()13( xxxf

463)( 2 xxxf

xxxxf

12)( b. )

2

1(

2

3

2)(

xxxf

)2

3(

2

1

2

13)(

xxxf

xxxxf

2

13)(

)12

1()1

2

3(

)2

1()

2

3(2)(

xxxf


Materi



Contoh:Tentukan y’ jika Jawab:

Turunan Fungsi

''' maka ,. Jika 5. uvvuyvuy

)!12)(23( 23 xxxy

3'23 :Misal uxu

xxvxxv 43'12 223 ''' uvvuy

)43)(23()12(3' 223 xxxxxy

xxxxxxy 86129363' 22323

381212' 23 xxxy


Materi



Contoh:Tentukan y’ jika Jawab:

Turunan Fungsi

2

''' maka , Jika 6.

v

uvvuy

v

uy

!54

32

x

xy

2'32 :Misal uxu

4'54 vxv

2

'''

v

uvvuy

2)54(

4)32()54(2'

x

xxy

2)54(

128108'

x

xxy

2)54(

22'

xy


Materi



Contoh:Tentukan f’(x) jikaJawab:

Turunan Fungsi


Materi

Latihan Soal

' . . ' maka , Jika 7. 1 uunyuy nn

!)1()( 32 xxf

1 :Misal 2 xu

' . . ' 1 uuny n

xxy 2.)1(3' 22 xxy 2.)1.(3' 132

22 )1(6' xxy

12.2' xuxu 2'

Contoh Soal Pemahaman


Sama halnya turunan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri dapat ditentukan dengan mudah dengan menggunakan definisi dan rumus turunan fungsi. Berikut adalah beberapa definisi dan rumus turunan fungsi trigonometri:

Turunan Fungsi


Materi


xxfxxf cos)(' maka ,sin)( Jika 1. xxfxxf sin)(' maka ,cos)( Jika .2

xxfxxf 2sec)(' maka ,tan)( Jika .3 xxfxxf 2csc)(' maka ,cot)( Jika .4

xxxfxxf tan.sec)(' maka ,sec)( Jika .5

xxxfxxf cot.csc)(' maka ,csc)( Jika .6


Contoh 1: Buktikan bahwa turunan dari fungsi f(x)=sin x adalah f’(x)=cos x !Jawab:

Turunan Fungsi

xxf sin)(

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

)sin()( hxhxf

h

hxxf

h

)21

sin(lim.cos2)('

0

h

hxxf

h

)21

sin(.cos2lim)('

0

h

xhxxf

h

sin)sin(lim)('

0

(terbukti) cos2

1.cos2)(' xxxf


Materi



Contoh 2: Tentukan turunan dari fungsi Jawab:

Turunan Fungsi

! sin.)( 2 xxxf

xuxu 2' :Misal 2

xxxxxf cos.sin.2)(' 2

'')(' uvvuxf

xvxv cos'sin

Catatan:

)(sin)( baxxf n

)cos().(sin.)(' 1 baxbaxanxf n


Materi


Jika u = f(x), v = f(u), y = f(v), dimana u, v, dan y terdiferensialkan, maka berlaku:

Contoh:

dx

du

du

dv

dv

dy

dx

dy

42 )32( jika ,Tentukan xydx

dy

xdx

duxu 432:Misal 2

3234 )32(44 xudu

dyuy

dx

du

du

dy

dx

dy.

3232 )32.(164.)32(4 xxxxdx

dy

Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi

a


Materi


Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan dari Komposisi Fungsi

)(sin jika ,Tentukan 23 xydx

dy

xdx

duxu 2:Misal 2

udu

dvuv cossin

dx

du

du

dv

dv

dy

dx

dy..

xuvdx

dy2.cos.3 2

23 3vdu

dyvy

uuxdx

dycos.sin.6 2

)cos().(sin.6 222 xxxdx

dy

bPenyusun Pendahuluan

Materi


Fungsi Naik dan Turun

+ - + -2 2

Diberikan fungsi kontinu dan terdiferensialkan dalam interval I.1. Jika f’(x) ˃ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) naik dalam interval I.2. Jika f’(x) ˂ 0 untuk tiap x Є I, maka fungsi f(x) turun dalam interval I.:Jawab 212)( 3 xxxf

123)(' 2 xxf

0)(' :naik fungsiSyarat xf

0123 2 x042 x

:kiri ruas nol Harga

042 x

0)2)(2( xx2atau 2 xx

22 interval pada turun f(x)dan

2atau 2 interval padanaik f(x) Jadi,

x

xx

! turun )(dan naik )( intervaltentukan

,212)( diketahui Jika

:Contoh3

xfxf

xxxf Penyusun

PendahuluanMateri


Nilai Stasioner

1. Jenis-Jenis Nilai Stasionera. Jika f’(a-) < 0 dan f’(a+) > 0 , maka f(a) merupakan nilai balik minimum.b. Jika f’(a-) > 0 dan f’(a+) < 0 , maka f(a) merupakan nilai balik maksimum.c. Jika f’(a-) dan f’(a+) bertanda sama, maka f(a) merupakan nilai belok horizontal.

Apabila fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel, maka f(a) dikatakan nilai stasioner dari f(x) jika dan hanya jika f’(a) = 0, sedangkan titik (a,f(a)) dinamakan titik stasioner.

Keterangan: • f’(a-) artinya nilai f’(x) untuk x yang kurang dari a.• f’(a+) artinya nilai f’(x) untuk x yang lebih dari a.


Materi


Nilai StasionerContoh:Jawab: ! jenisnya beserta

762

5

3

1)( daristasioner nilai-nilaiTentukan 23 xxxxf

762

5

3

1)( 23 xxxxf

65)(' 2 xxxf

0)(' jikadiperoleh f(x) daristasioner Nilai xf

0652 xx

0)1)(6( xx

1atau 6 xx

maksimum.balik nilai

merupakan6

61)1( nyastasioner nilai -1,Untuk x f

minimum.balik nilaimerupakan47)6( nyastasioner nilai 6,Untuk x f


Materi


2. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum di Suatu Interval TertentuUntuk mencari nilai maksimum dan minimum sebuah fungsi dalam suatu interval tertutup, dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut:a. Tentukan nilai-nilai stasioner untuk nilai-nilai x yang termasuk dalam interval.b. Tentukan nilai-nilai fungsi di ujung interval.c. Dari nilai-nilai tersebut, nilai terkecil adalah nilai minimum dan nilai terbesar adalah nilai maksimum.

Nilai Stasioner


Materi


Titik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika:a. f’(a)=0b. f”(a)=0, di mana f”(x) adalah turunan pertama dari f’(x) atau turunan kedua dari f(x).AtauTitik (a,f(a)) dikatakan titik belok dari f(x), jika:c. f’(a)=0d. f’(a-) dan f’(a+) sama-sama positif atau sama-sama negatif

Nilai Stasioner

Titik Belok1Penyusun

PendahuluanMateri


Contoh:Jawab: » Nilai-nilai stasioner diperoleh jika f’(x) = 0

• f(x) mencapai maksimum untuk x = -1, f(-1) = 2• f(x) mempunyai titik belok untuk x = 0, f(0) = 0, sehingga titik beloknya (0,0)• f(x) mencapai minimum untuk x = 1, f(1) = -2» Nilai fungsi di ujung intervalf(-1) = 2f(2) = 56Jadi, nilai maksimumnya 56 dan nilai minimumnya 2

! 21 pada 53)(fungsi minimum nilaidan maksimum nilaiTentukan

35 xxxxf

0)(' xf

01515 24 xx0)1( 22 xx

0)1)(1(2 xxx

Nilai Stasioner


Materi



1. Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan dariJawab: ! 4)( 2 xxxf

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('adalah turunan Definisi

0

)()(4)( # 2 hxhxhxf

hxhxhxhxf 22 484)(

h

xxhxhxhxxf

h

)4()484(lim)('

222

0

h

xxhxhxhxxf

h

222

0

4484lim)('

h

hhxhxf

h

2

0

48lim)('

)148(lim)('0

hxxfh

18)(' xxf


Materi


Jawab:

! cos jika y'Tentukan 2. 3 xxy

23 3' :Misal xuxu xvxv sin'cos

''' uvvuy

xxxxy cos3)sin(' 23

xxxxy cos3sin' 23



Materi


Jawab:

! )12(sin)( fungsi dari pertamaurunan Tentukan t 3. 3 xxf

212:Misal dx

duxu

udu

dvuv cossin

dx

du

du

dv

dv

dy

dx

dy..

2cos3 2 uvdx

dy

23 3vdu

dyvy

uudx

dycos.sin.6 2

)12cos()12(sin.6 2 xxdx

dy



Materi


Jawab:

Masukkan (2) ke (1):Sehingga nilai dari a dan b adalah 6 dan -4.

! bdan a dari nilai tentukan maka4,)('dan -2(0) Jika .cos)( Diketahui 4.

2

ffxbaxf

0':Misal ubu

xvxv sin'cos )sin()cos0[(0)(' xbxxf

xbxf sin)('

4)sin(4)(' # 22 bf

(2) -4 4 bb

20cos2)0( # baf(1) 2 ba

242 aba6a



Materi


......(1)f' maka ,3

)( Jika 1.2

x

xxxxf

......)('adalah 3sin)( dari pertamaTurunan 2. 3 2

xfxxf

......)(' maka ),24(cos)( Jika 3. 5 xfxxf

...... interval padanaik Kurva .793persamaandengan kurvaDiberikan 4.

23 xxxy

......adalah 1093 kurva daristasioner titik -Titik 5. 23

xxxy

Latihan Soal


Materi


......adalah 22 intervalpada ,23 dari maksimum Nilai 6. 3

xxxy

......adalah 143)( fungsi kurvabelok titik Koordinat 8.

3

4

xxxf

! (4,8) titik di kurva singgung garisgradien Tentukan 10. xxy

......adalah 21 intervalpada ,293)( dari minimum Nilai 7. 23

xxxxxf

! bdan a dari nilai tentukan maka12,)('dan 9)( Jika .3sin)( Diketahui 9.

3

2

ffxbaxf

Latihan Soal


Materi


Siti Lestari, dkk. (2011). Buku Ajar Acuan Pengayaan Matematika (Program IPA) untuk SMA/MA Semester 2. Solo: Sindunata

Daftar Pustaka


Materi


Profile

Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada:1. Slide 1-10 yang menjelaskan tentang pembukaan materi bahan ajar Turunan Fungsi.2. Slide 11 yang menyebutkan penusun pada materi bahan ajar Turunan Fungsi.3. Slide 12 yang menjelaskan tentang Standar Kompetensi dan kompetensi dasar.4. Slide 13 yang menjelaskan tentang Tujuan Pembelajaran.5. Slide 25-28 yang menjelaskan tentang Turunan Fungsi Aljabar beserta contohnya.6. Slide 29-31 yang menjelaskan tentang Turunan Fungsi Trigonometri beserta

contohnya.7. Slide 40 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang pertama beserta

penjelasannya.8. Slide 46 dan 51 yang menjelaskan tentang referensi beserta penutup materi bahan

ajar Turunan Fungsi.


Materi


Saya mendapat bagian mengedit video Power Point pada Camtasia.Mulai dari menyusun video, mengedit audio sampai memproduce dalam bentuk Web.Lalu saya juga membantu dalam pembuatan peta konsep tentang bahan ajar.

Nama : Andini TresnaningsihTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 21 September 1994Alamat : Jl. Kandang Perahu no. 6 CirebonHobby : Mendengarkan musik

Profile

Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada:1. Slide 17-19 yang menjelaskan tentang Arti Fisis turunan di suatu titik.2. Slide 20-22 yang menjelaskan tentang Arti Geometris turunan di suatu

titik.3. Slide 41 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang kedua

beserta penjelasannya.4. Slide 42 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang ketiga

beserta penjelasannya.5. Slide 44-45 yang menyebutkan tentang Latihan Soal pada bahan ajar

Turunan Fungsi.


Materi


Saya mendapat bagian mencari buku referensi untuk materi bahan ajar Turunan Fungsi serta membuat naskah skenario untuk diterpkan pada video Camtasia.

Nama : KarinaTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 29 Juli 1994Alamat: Villa Intan 2 blok K1. no 3Hobby: Mendengarkan musik

ProfileNama : Marissa Dwi AndrianneTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 27 Maret 1995Alamat: Jl. Sukasari VI no.85 CirebonHobby: Memasak dan membuat kueSaya mendapat bagian membuat dan mengedit Power Point untuk bahan ajar Turunan Fungsi. Dan saya juga membuat cover CD menggunakan TBS Cover Editor.

Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada:1. Slide 15yang meyebutkan subbab yang ada pada bahan ajar Turunan

Fungsi.2. Slide 16yang menjelaskan tentang contoh soal definisi turunan.3. Slide 32-33 yang menjelaskan tentang Aturan Rantai beserta contoh dan

penyelesaiannya.4. Slide 34 yang menjelaskan tentang Fungsi Naik dan Turun pada Turunan

Fungsi.5. Slide 35-39 yang menjelaskan tentang Nilai stasioner.6. Slide 43 yang menjelaskan tentang contoh soal pemahaman yang

keempat beserta penjelasannya.


Materi


ProfileNama : Sylvia Nopiani Risa PrihatiniTempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 27 Maret 1995Alamat: Jl. Sukasari VI no.85 CirebonHobby: Memasak dan membuat kueSaya mendapat bagian mengetik bahan ajar pada Ms. Word untuk dipindahkan pada Ms. Power Point. Pada perekaman video Camtasia, saya mendapat bagian menjelaskan pada:1. Slide 14yang menjelaskan tentang

Pengantar untuk bahan ajar Turunan Fungsi.

2. Slide 16yang menjelaskan tentang definisi Turunan.


Materi


Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Perfection and the most Perfection is ALLAH SWTTERIMA KASIH

picture start

Documents