pertumbuhan dan peluruhan

Download Pertumbuhan Dan Peluruhan

Post on 17-Oct-2015

617 views

Category:

Documents

6 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Outline

    Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom

    Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Jember

    27 Februari, 2014

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Outline

    Outline

    1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

    2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial

    3 Peluruhan Radioaktif

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Outline

    Outline

    1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

    2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial

    3 Peluruhan Radioaktif

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Outline

    Outline

    1 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

    2 Menyelesaikan Persamaan Diferensial

    3 Peluruhan Radioaktif

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

    Pertumbuhan populasi y yaitu kelahiran dikurangi kematiandalam jangka waktu yang pendek t sebanding denganbanyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dansebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadiy = kyt atau

    yt

    = ky

    Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial

    dydt = ky

    k > 0 populasi bertambah. k < 0 populasi berkurang. Untukpopulasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0198.Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Menyelesaikan Persamaan Diferensial

    dydt = ky dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0. Denganmemisahkan peubah dan mengintegrasikan, diperoleh

    dyy = kdt

    dyy =

    kdt

    ln y = kt + C (1)

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Menyelesaikan Persamaan Diferensial

    Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0pada persamaan (1). Sehingga,

    ln y ln y0 = kt

    ln yy0= kt

    yy0

    = ekt y = y0ekt

    Ketika k > 0, jenis pertumbuhannya disebut PertumbuhanEksponensial dan ketika k < 0, disebut PeluruhanEksponensial.

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh

    y = 4e0,0198t

    Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh

    y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar

    .Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Contoh SoalContoh 1Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan 4milyar. Berapa jumlah penduduk pada tahun 2000 ? Setelahberapa tahun penduduk dunia menjadi dua kali lipatnya ?Penyelesaiant = banyaknya tahun setelah 1975, y dinyatakan dalam satuanmilyar sehingga y0 = 4, karena k = 0, 0198 maka diperoleh

    y = 4e0,0198t

    Pada tahun 2000, berarti t = 25, sehingga diperoleh

    y = 4e0,0198(25) 6, 6milyar

    .Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Contoh Soal

    Penyelesaian Lanjut...Penduduk dunia mencapai 8 milyar (2 kali lipatnya),dirumuskan dengan 8 = 4e0,0198t , setelah kedua ruas dibagi 4,dan melakukan logaritma maka diperoleh

    ln 2 = 0, 0198t

    t =ln 2

    0, 0198Sehingga diperoleh t = 35 tahun

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Contoh Soal

    Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?

    Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)

    ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693

    Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Contoh Soal

    Contoh 2Banyaknya bakteri dalam sebuah pembiakan pada tengah hariada 10.000. Setelah 2 jam, banyaknya menjadi 40.000. Berapabanyaknya bakteri pada pukul 17.00 ?

    Penyelesaiany0 = 10.000 dan y = 40.000 pada saat t = 2, sehinggadiperoeh y = y0ekt dan 40.000 = 10.000ek(2)

    ln 4 = 2k k = (ln 4)2 = ln 2 0, 693

    Jadi y = y0e0,693t untuk t = 5, diperolehy = 10.000e0,693(5) 320.000

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Peluruhan Radioaktif

    Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.

    yt

    = ky

    ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Peluruhan Radioaktif

    Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yangmengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktifmengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanyasaja sekarang untuk k < 0.

    yt

    = ky

    ContohKarbon 14, salah satu dari tiga isotop karbon adalah zatradioaktif. Zat ini meluruh dengan laju yang sebanding denganbanyaknya zat itu pada suatu saat. Setengah umurnya adalah5730/tahun, maksudnya zat tersebut memerlukan waktu 5730untuk menyusut menjadi setengahnya. Apabila pada saat awalada 10 gram, berapa sisanya setelah 2000 tahun ?Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014

  • Pertumbuhan dan Peluruhan EksponenMenyelesaikan Persamaan Diferensial

    Peluruhan Radioaktif

    Peluruhan Radioaktif

    Penyelesaian12 = 1e

    k(5730)

    ln 2 = 5730k

    k = ( ln 2)5730k 0, 000121

    Jika y0 = 10 dan t = 2000, makay = 10e0,000121(2000) 7, 80 gram

    Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember - 2014