Pertemuan 9

Geometri Projektif

Sasaran

Pengkajian tentang Teorema Pascal (khusus)

Pokok Bahasan

Lemma 7.2 dan Teorema 7.3 (Teorema Pascal khusus)

Lemma 7.2

Misalkan dua lingkaran L1 dan L2 berpotongan di A dan B. Misalkan CD tali busur pada L1. Misalkan juga AC dan BD memotong L2 di E dan F. Maka CD dan EF sejajar.

Bukti Lemma 7.2

Menggunakan Lemma Star Trek dua kali, diperoleh:

Sudut ACD = 180 derajat – sudut ABD = sudut ABF = 180 derajat – sudut AEF. Dari hasil tersebut berakibat CD dan EF

sejajar.

Gambar Lemma 7.2

C

A

E

D F

B

Teorema Pascal (khusus)

Teorema 7.3

Misalkan ABCDEF adalah segienam dengan lingkaran luar L.Misalkan R adalah titik potong sisi-sisi AB dan DE, S titik potong sisi-sisi BC dan EF, T titik potong sisi-sisi CD dan FA. Maka titik-titik R, S dan T kolinier.

Gambar Teorema 7.3

A

F

E D B

C

T

S

R

Bukti Teorema 7.3

Dari gambar, dengan Lemma 7.2 didapat BA sejajar PH, CD sejajar QH, BC sejajar PQ. Jadi segitiga BGC dan segitiga PHQ sebangun dengan sisi-sisinya sejajar. Dapat diturunkan bahwa BP, CQ, GH koinsiden. Jadi segitiga BGC dan segitiga PHQ adalah perspektif terhadap titik. Jadi segitiga BGC dan segitiga EHF adalah juga perspektif terhadap titik. Dengan Teorema Desargues, R, S dan T kolinier.

Gambar Bukti Teorema 7.3

A

F

Q

H B

E

F G

D C

Catatan

Teorema Pascal khusus melibatkan lingkaran L. Sedangkan Teorema Pascal (umum) melibatkan irisan kerucut dengan bidang datar, yang berupa elips (termasuk lingkaran), hiperbola, atau parabola.