ANALISIS REGRESI

Bentuk-bentuk RegresiY = a0 + a1X

Y = a0 + a1X + a2X2

Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3

Hubungan antara X dengan Y bisa Linear,kuadratik, kubik dst

Tergantung datayang diperoleh?? ao, a1, a2,…

1. Metode Kuadrat Terkecil untuk Kurva Linier

Jumlah kuadrat dr kesalahan

g (x) = a + bx

𝑫𝟐=∑𝒊=𝟏

𝒏

𝑬𝒊❑𝟐=¿∑

𝒊=𝟏

𝒏

{𝒚 𝒊−𝒂−𝒃𝒙 𝒊 }𝟐¿

Agar supaya D2 minimum, maka persamaan di atas diturunkan terhadap parameter a dan b dan kemudian disama dengankan nol

y x xy x2 Y2

.

...

.

...

.

.Σy Σx Σxy Σx2 Σy2

22 )( xxn

yxxynb

xbya n

xx

n

yy ;

2

22

t

t

D

DDr

n

iit yyD

1

22

n

ii xaayD

1

210

2

Untuk mengetahui derajad kesesuaian dr persamaan yg didapat dihitung nilai koefisien korelasi (r) :

2. Linierisasi Kurva Tidak Linier

a. Persamaan berpangkat dengan a2 dan b2 adalah koef. Konstan

Persamaan tersebut dpt dilinierkan dg menggunakan fungsi logaritmik :

merpk hub. log-log antara log y dan log x. Persm. tsb.

mpy. Bentuk grs lurus dg kemiringan b2 dan

memotong sumbu log y pada log a2.

𝒚=𝒂𝟐𝒙𝒃𝟐

𝒍𝒐𝒈 𝒚=𝒃𝟐𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝒍𝒐𝒈 𝒂𝟐

b. Fungsi eksponensial dengan a1 dan b1 adalah konstanta

Persamaan tersebut dpt dilinierkan dg menggunakan logaritma natural mjd :

oleh karena ln e = 1, maka

mrpk hubungan semi logaritmik antara ln y dan x. Persm. tsb. mpy. bentuk grs lurus dg kemiringan b1 dan

memotong sumbu ln y pada ln a1.

𝒚=𝒂𝟏𝒆𝒃𝟏 𝒙

𝒍𝒏 𝒚=𝒍𝒏𝒂𝟏+𝒃𝟏𝒙

Contoh :

Tentukan persamaan kurva lengkung yg mewakili data berikut ini : x Y

1 0,5

2 1,7

3 3,4

4 5,7

5 8,4

Penyelesaiana. Transformasi Log

𝒍𝒐𝒈 𝒚=𝒃 𝒍𝒐𝒈 𝒙+𝒍𝒐𝒈𝒂𝒚=𝒂𝒙𝒃

𝒑=𝑩𝒒+𝑨

No. xi yi

qi = log xi

pi = log yi qi pi qi

2

1 1 0,5 0,0000 -0,3010 0,0000 0,0000

2 2 1,7 0,3010 0,2304 0,0694 0,0906

3 3 3,4 0,4771 0,5315 0,2536 0,2276

4 4 5,7 0,6021 0,7559 0,4551 0,3625

5 5 8,4 0,6990 0,9243 0,6460 0,4886

 S 15 19,7 2,0792 2,1411 1,4241 1,1693 Rata-

2 0,4158 0,4282

Koefisien A dan B dihitung dg persamaan

𝒑=𝟏 ,𝟕𝟓𝟕𝟐𝒒−𝟎 ,𝟑𝟎𝟐𝟒

22 )( ii

iiii

qqn

qpqpnB

7572,1

0791,20791,21692,15

1411,20791,24240,15

qBpA 3024,0

4158,07572,142822,0

𝒑=𝑩𝒒+𝑨

𝑨=𝒍𝒐𝒈 𝒂→−𝟎 ,𝟑𝟎𝟐𝟒=𝒍𝒐𝒈𝒂→𝒂=𝟎 ,𝟒𝟗𝟖𝟒

a

𝑩=𝒃→𝒃=𝟏 ,𝟕𝟓𝟕𝟐 y = 0,4984 x1,7572

ANALISIS REGRESI3. REGRESI POLINOMIALPersamaan polinomial orde r :

Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah :

Persamaan di atas diturunkan terhadap tiap koefisien dari polinomial dan disamadengankan nol :

.

.

.

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk :

Contoh :Cari persamaan kurva polinomial orde dua yang mewakili data berikut :

xi 0 1 2 3 4 5

yi 2,1 7,7 13,6 27,2 40,9 61,1

Penyelesaian :Persamaan polinomial orde 2 mempunyai bentuk :

Differensial dari D2 terhadap tiap koefisien dari polinomial dan kemudian disama-dengankan nol menghasilkan bentuk :

Hitungan dilakukan dengan menggunakan tabel berikut :

No. xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi1 0 2.1 0 0 0 0 02 1 7.7 1 1 1 7.7 7.73 2 13.6 4 8 16 27.2 54.44 3 27.2 9 27 81 81.6 244.85 4 40.9 16 64 256 163.6 654.46 5 61.1 25 125 625 305.5 1528 15 152.6 55 225 979 585.6 2489

Sehingga sistem persamaan di atas menjadi :6a0 + 15 a1 + 55 a2 = 152,615a0 + 55 a1 + 225 a2 = 585,655a0 + 225 a1 + 979 a2 = 2489

Penyelesaian dr persamaan di atas adalah a2 = 1,86071; a1 = 2,359286; a0 = 2,478571

Dengan demikian persamaan kurvanya adalah :y = 2,478571 + 2,359286 x + 1,86071 x2

4. REGRESI LINIER DENGAN BANYAK VARIABELMisal y fungsi dari variabel p dan q

Jumlah kuadrat dari kesalahan adalah :

Persamaan di atas diturunkan terhadap tiap koefisien dari polinomial dan disamadengankan nol :

Persamaan di atas dapat ditulis :

N a0 + ∑pi a1 + ∑qi a2 = ∑yi

∑pi a0 + ∑pi2 a1 + ∑pi qi a2 = ∑pi yi

∑qi a0 + ∑pi qi a1 + ∑qi2 a2 = ∑qi yi

Dalam bentuk matrik menjadi :

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan sistem persamaan linier untuk mendapatkan koefisien a0, a1 dan a2

Penyelesaian :Tabel hitungan regresi linier dengan banyak variabel No yi pi qi pi

2 qi2 piqi piyi qiyi

1 5 0 0 0 0 0 0 02 10 2 1 4 1 2 20 103 9 2.5 2 6.25 4 5 22.5 184 0 1 3 1 9 3 0 05 3 4 6 16 36 24 12 186 27 7 2 49 4 14 189 54 54 16.5 14 76.25 54 48 243.5 100

Sehingga matrik di atas menjadi :

Dengan menggunakan sistem persamaan linier didapatkan koefisien a0 = 5, a1 = 4 dan a2 = -3

Sehingga persamaan kurva yang dihasilkan adalah :

y = 5 + 4p – 3q