PERTEMUAN 3

BARISAN DARI BILANGAN-BILANGAN REAL

Sasaran

Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari bilangan – bilangan real.

Pokok Bahasan Barisan dari bilangan – bilangan real.Barisan – barisan Monoton.

Definisi

Barisan {an} disebut naik monoton bila an+1 an untuk setiap bilangan alam n. Barisan {an} disebut turun monoton bila an+1 an untuk setiap bilangan alam n. Barisan {an} disebut monoton bila {an} naik monoton atau turun monoton.

Teorema

(Teorema Konvergensi Monoton)

Diberikan barisan {an} yang monoton.

Maka, {an} konvergen bila dan hanya bila {an} terbatas.

Definisi

Pandang barisan {an} dan ambil barisan dari bilangan bilangan alam {nk} yang naik tajam, yaitu n1 < n2 < n3 < Maka barisan {bk} yang didefinisikan dengan bk = untuk setiap bilangan alam k disebut barisan bagian dari barisan {an}.

Teorema-teorema

Setiap barisan punya barisan bagian yang monoton.

Setiap barisan terbatas punya barisan bagian yang konvergen.

(Teorema Bolzano – Weierstrass)Misalkan a dan b adalah bilangan dengan a < b. Setiap barisan dalam interval [a,b] punya barisan bagian yang konvergen ke suatu titik dalam [a,b].

Proposisi

Diberikan barisan {an} yang konvergen ke limit a. Maka setiap barisan bagian dari {an} juga konvergen ke limit yang sama a.

Teorema

(Teorema Nested Interval)Untuk setiap bilangan alam n, misalkan an dan bn adalah bilangan – bilangan sedemikian sehingga an < bn. Ambil In = [an , bn]. Misalkan

In+1 In untuk setiap bilangan alam n.