1

Matematika Ekonomi

Hand Out :Pertemuan 14Hitung Keuangan

2

Hitung Keuangan

Definisi bunga (interest)

opportunity cost biaya terhadap alternatif kesempatan penggunaan sejumlah uang selama jangka waktu tertentu

faktor resiko atas pinjaman yang diberikan kreditur kepada debitur

3

Tingkat bunga (suku bunga) dinyatakan dalam persen

Jumlah bunga adalah hasil perhitungan tingkat bunga dengan sejumlah uang tertentu, misalnya 8% dari Rp. 3.000.000 = Rp.240.000

4

Perhitungan Future Value dari satu kali tabungan/ Pinjaman :

• Kalau pinjaman P dengan bunga tunggal

1100

rF P n

●Kalau pinjaman P dengan bunga majemuk, maka :

F = P(1 + i )n

P = modal awal/pinjaman (Present Value)F = nilai akhir modal/pinjaman P (future value)n = jumlah periode (biasanya tiap tahun)i = r% = tingkat bunga tiap periode (rate of interest)

• Kalau bunga dihitung secara kontinyu (Roll on) maka :

F = Peni dimana e = 2,718281...

5

Adi menabung Rp 2.500.000 di Bank Z. Hitung tabungan Adi setelah 10 tahun jika Bank memberi bunga 10% tiap tahun secara

a. Tunggal

b. Majenuk

c. kontinu

6

Dari Rumus : F = P (1+i)n

Diperoleh :

P = F/(1+i)n

dan

i = ((F/P)1/n -1) 100%

7

Tiap triwulan Ferry menabung Rp. 350.000 di bank X yang memberi bunga 9% tiap tahun. Jika Ferry mengharapkan agar tabungannya menjadi sekurang-kurangnya Rp. 40 juta , maka berapa kali Ferry harus menabung ?

8

Perhitungan bunga efektif

Kalau tingkat bunga per periode (kurang dari 1 tahun) adalah r% dan 1 tahun adalah k periode maka bunga efektif per tahun adalah:

1 % 1 100%k

i r

9

Pada awal Januari 2008, Shinta meminjam Rp 7 juta ke koperasi X. Jika awal Juli dia harus mengembalikan sejumlah Rp 8.020.000, maka besarnya bunga efektif yang dikenakan koperasi tersebut adalah …

10

Perhitungan Total Future Value (Jumlah Nilai Akhir) :

Tiap akhir periode ditabung sebesar A maka setelah n periode jumlah nilai akhir adalah:

1 1n

iJNA F A

i

A =Tabungan tiap periode

JNA = jumlah nilai akhir setelah n periode

n = jumlah periode

i = r% = tingkat bunga (rate of interest)

(F > nA)

11

)!(utuh 11

: maka

bulatkanJangan 1dulu Hitung

:n menabung kali berapa

11

: periode A tiaptabungan

: dihitungdapat 11

knki

zn

zA

iF

dan

n

FA

i

iFA

i

iAF

n

n

,.....)log(

log

.

)(

.

)(.

Menghitung A (tabungan tiap periode) dan n (berapa kali menabung)

12

Soal 1

Tiap bulan Eni ingin menabung di Bank X yang memberi bunga 12% per tahun; jika setelah menabung selama 5 tahun, Eni mengharapkan jumlah tabungannya menjadi sejumlah Rp. 15 juta, maka berapakah yang harus Eni tabung tiap bulan ?

13

Jawab :

Pada soal ini harus dihitung A dan diketahui : i = 12 % tiap tahun = 1 % (=0,01) tiap bulan dan n = 5 tahun = 60 bulan

dan F = 15 juta, sehingga yang harus ditabung Eni tiap bulan adalah A =

726661831(1,01

0,01 x 00000015

11 60,..

)

..

)(

.Rp

i

iFn

Kalau dibulatkan puluhan rupiah,

maka A = Rp. 183.670,-

14

Perhitungan jumlah nilai sekarang (Total Present Value)

Serangkaian cicilan sebesar A selama n periode berturut-turut maka jumlah seluruh cicilan:

A = Cicilan / Penerimaan tiap periode/ Anuitas

JNS = jumlah nilai Tunai setelah n periode, Kalau n tak terhingga, maka P = A/i

n = periode cicilan

i = r% = tingkat bunga (rate of interest)

i

iA

ii

iAPJNS

n

n

n )1/(11.

)1.(

1)1(.

(P< n.A)

15

Perhitungan Anuitas A

Besarnya Anuitas (annuity)

Setiap anuiteit A terdiri dari dua bagian angsuran dari utang P, dinyatakan sebagai ak

bunga dari P, dinyatakan sebagai bk

dimana b1 = i .P dan a1 = A - b1

1 ,1

n

Aa

i

1

1 1 , dank

ka a i 1

k mk

m

ai

a

bn = bunga terakhir = i.an

nPA

i

iPA

n

/

)(

.

1

11

nn bababaA ..... 2211

16

Soal 2 Menghitung Angsuran Utang

Jika Budi mendapat pinjaman dari Bank Rp.12 jutayang dibebani bunga 1,5% tiap bulan secara bunga majemuk dan akan dilunasi secara Anuitas tiap bulan selama 6 tahun, maka hitunglah besarnya A tiap bulan.

17

Jawab :

pada soal ini P = Rp. 12 juta, i = 1,5%= 0,015 tiap bulan dan n= 6 tahun = 72 bulan, maka

49693273015111

0150 x 00000012

111 72,..

),/(

,..

)/(

.Rp

i

iPA

n

Jika angsuran utang ini justru dibayar dengan angsuran tetap sejumlah Rp. 250.000 tiap bulan, maka berapa kali pinjaman ini diangsur dengan jumlah tetap ini dan berapa angsuran terakhir agar Utang ini lunas ?

18

Pada soal tadi A = Rp. 250.000 tiap bulan ; P = Rp. 12 juta dan i =0,015, maka kita hitung dulu : b1 = iP = 0,015 x 12 juta = 180.000, sehingga a1= A - b1 = 250.000 - 180.000=70.000

Dengan menggunakan rumus :

1

11

11

logaritma) (di 1 1

aAini

a

Ai

i

Aa

n

nn

loglog)log(.)log(

)()(

49928185850151

00070000250 maka ,

,log

.log.log

n

Jadi utang ini akan dilunasi selama 85 kali dan 1 kali terakhir dapat dihitung yang pasti < Rp.250.000

yakni sejumlah Rp. 125.285,71(bagaimana menghitungnya ??)

19

Perhitungan Saldo Utang

Perhitungan sisa / saldo utang

1 1 1n k

k

aS i i

i

1 1

1 1

n k

k n

i iS P

i

1 1k kk

b A aS

i i

Sisa utang setelah angsuran k periode (k < n) dari pelunasan utang pinjaman P yang diangsur secara anuiteit A dalam n periode adalah

atau

atau

20

Soal 3:

Jika dari soal 2, Budi telah melunasi kreditnya selama 50 kali, maka hitung Saldo utang Budi setelah angsuran ke 50

Jawab : pada soal ini : P= 12 juta, n = 72, i =1,5%= 0,015 dan k = 50, maka dengan menggunakan rumus ke 2 dari yang tertera di halaman 16 kita peroleh :

Saldo ini akan kurang dari 22 x Rp. 273.693,49(22 = 72 - 50)

47398096510151

0151015100000012

11

11

72

5072

50 ,...,

,,...

)(

)()(.

RpS

i

iiPS

n

kn

k

21

Anuitet yang ditangguhkan

Pembayaran aniuteit yang ditunda sampai periode ke-k maka anuiteit dihitung dari rumus berikut

1 11

1

nk

n

iP i A

i i

11

1 Jadi

n

kn

i

iiPA

)(

).(.

22

Pelunasan Utang (kredit) secara flat rate

bunga dihitung atas pinjaman pokok P angsuran dihitung per bulan dengan rumus:

1

12

P nfA

n

Hubungan antara f dan i

12

11

1

112

n

if

ni

(f < i)

23

Soal 4

Jika dari soal 2, Budi justru memilih cara pelunasan kredit ini melalui Bank yang memberi bunga secara flat rate tiap tahun 12% dan tetap diangsur tiap bulan selama 6 tahun, maka hitunglah angsuran Budi tiap bulan.

24

Jawab :

Pada soal ini P = 12.000.000, f = 12% per tahun dan n = 6 tahun, maka dengan rumus :

1

12

P nfA

n

67666286 72

721 x 00000012

12 x 6

12%) x 61 x 00000012

,..,..

(..

Rp

A

Jadi :

tiap bulan

25

Soal kelompok A :

1. Jika MC dari x unit barang : MC = 4x + 500 dan saat x = 200 unit TC = 295200, maka : a). Hitung Optimum rate of output b). Kalau Fungsi Demand barang ini adalah p = 2300 – x, maka hitung Laba maksimum yang dicapai.2. Jika Sn suatu deret : Sn = -3n2 + 400n, maka hitung suku ke 24 deret ini3. Jika Z = -3x2 + 6xy –4y2 + 60x – 30y + 275, maka a). Hitung differensial total, kalau x berubah dari 4 turun 0,4 dan y berubah dari 2 naik 0,2 b). Hitung harga ekstrim Z.

26

Soal kelompok B :

1. Jika Z = –3x2 + 6xy – 3y2 + 115x – 50y + 325, a). Hitung differensial total, kalau x berubah dari 3 turun 0,5 dan y berubah dari 4 naik 0,2 b). Hitung harga ekstrim Z.2. Hitung x, y dan z secara CRAMER :

2y-133253z2y2x

112 53

31562823

zyx

xzyx

35

7

63 : 3n

nHitunglah )(.

27

Soal Kelompok C :

1. Tiap triwulan Ferry menabung Rp. 350.000 di bank X yang memberi bunga 9% tiap tahun. Jika Ferry meng- harapkan agar tabungannya menjadi sekurang-kurangnya Rp. 40 juta , maka berapa kali Ferry harus menabung ?

2. Hitung untuk n tak terhingga: 8000 + 8000/1,0125 + 8000/1,01252 + … + 8000/1,0125n

3. Jika Z = 2x2 – 5xy + 4y2 – 20x – 10y + 600, maka a). Hitung differensial total, kalau x berubah dari 4 turun 0,4 dan y berubah dari 2 naik 0,2 b). Hitung harga ekstrim Z.

28

1. Adi menabung Rp 2.550.000 di Bank Z yang memberi bunga 10% tiap tahun secara kontinu. Hitung tabungan Adi setelah 10 tahun.

2. Tiap dua bulan Ana menabung di Bank yang memberi bunga 7.8% tiap tahun. Jika setelah 10 tahun dia mengharapkan tabungannya menjadi Rp 125.000.000 maka berapa yang harus ditabung Ana tiap dua bulan?

3. Gani akan membeli kendaraan seharga Rp 12.500.000. Jika Gani membayar uang muka 5% dan sisanya diangsur secara anuitas selama 4 tahun, hitung besarnya anuitas per bulan jika dealer membebani bunga 9% tiap tahun.

4. Feni akan membeli sebuah TV seharga Rp.12.000.000. Feni hanya membayar uang muka 5% dan sisanya akan dilunasi dengan angsuran tetap tiap bulan selama 3 tahun. Jika toko membebani bunga secara flat 11%, maka hitung besarnya angsuran Feni setiap bulan.