pertemuan 03 - 04 [compatibility mode]
DESCRIPTION
khkTRANSCRIPT
Limit dan FungsiLimit dan FungsiFungsi dan Grafiknya
Operasi pada Fungsi
Pendahuluan LimitPendahuluan Limit
Teorema Limit
Kekontinuan Fungsi
Fungsi dan GrafikSebuah fungsi f adalah suatu aturan yang menghubungkan masing-masing elemen x dalam suatu himpunan A (domain f) secara teliti dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).
x – variable bebas , f(x) – variable tidak bebas.r A(r)=πr2
Contoh:
t i
x1
x
f(x1) black boxx f(x)input output
aturan, mesin
x2
x3
f(x2)
f(x3)
fungsi
Grafik dari sebuah fungsi: {(x f(x)) | x∈A}
domain A range B = Semua kemungkinan harga
y
y=x2 1
{(x,f(x)) | x∈A}
Semua kemungkinan harga
x0 1
Fungsi Didefinisikan Secara Alj bAljabar
Sebuah fungsi A function diwakili
2
Sebuah fungsi A function diwakili dengan rumus.
2( ) 3 2f x x= + adalah sebuah fungsi.Contoh.
2
( )f h
2(5) 3(5) 2 77f = + =
( )23 2h( )f x h+ ( )3 2x h= + +2 23 6 3 2x xh h= + + +
Jenis Umum Fungsi Aljabar
Linear( )f x mx b= +
Kuadratik
( )f x mx b+
(a tidak 0)
P l i l
2( )f x ax bx c= + +( tid k 0)Polynomial
1( ) n nf x a x a x a−= + + +
(an tidak 0)
1 0( ) ...n nf x a x a x a−= + + +
Jenis Umum Fungsi Aljabar
Exponensial (A, b konstan, b >0)
R ti l (P Q l i l)
( ) xf x Ab=
Rational (P, Q polynomial)
( )( ) P xf ( )( )( )
f xQ x
=
Fungsi Piecewiseg
Beberapa rumus untuk mendefinisikanBeberapa rumus untuk mendefinisikan fungsi tunggal
Gunakan ketika h k
Contoh 2
32 5.5 if 2( )
13 8 2 5 if 2
x xf x
− ≤⎧⎪= ⎨+ >⎪⎩
harga x kurang atau sama dengan 2
13.8 2.5 if 2x x+ >⎪⎩Gunakan ketika harga x lebih besar
Catatan
(1) 32 5.5(1)f = −2(3) 13 8 2 5(4)f = +
= 26.5
= 53 8
harga x lebih besar dari2
(3) 13.8 2.5(4)f = + = 53.8
Fungsi Secara GrafikFungsi Secara GrafikGrafif fungsi kumpulan semua titik (x, f (x)) dimana x dalam domain fdimana x dalam domain f .
Diberikan grafik y = f (x), tentukan f (1).
f (1) = 2f (1) 2 (1, 2)
Grafik Sebuah FungsiGrafik Sebuah FungsiUji Garis Vertikal: Grafik fungsi hanya dapat dil l i k li l h b b i ik ldilalui sekali oleh beberapa garis vertikal.
Fungsi Bukan fungsig g
Dilalui lebih dari sekali.
Membuat Sket Fungsi PiecewiseMembuat Sket Fungsi Piecewise2 if 2 1x x− − ≤ <⎧⎪
2
2 if 2 1( )
+1 if 1 2
x xf x
x x
≤ <⎧⎪= ⎨≤ ≤⎪⎩
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−=
1,1,1
)(2 xx
xxxf
Sket bagian rumus pada
⎪⎩ >1, xxy
y=x2pdomain
y x
1y=1-x
0 1
Fungsi Trigonometri
Gambar di bawah meringkas definisi fungsi-fungsi sinus, cosinus dancosinus dan
θθiθ sinθcosθ cot
θ cosθsinθ tan ==
sin θ1sc θ c
cos θ1sec θ ==
→
Fungsi SinusFungsi Sinus
Sinus dari bilangan real t koordinat-y titik P seperti diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.
y
Pi t
1
x
Psin t
–1 |t|
1 unit 1
–1
Fungsi SinusFungsi Sinus
i (0) 0sin(0) 0π=
⎛ ⎞sin 12π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠( )sin 0
3
π =
⎛ ⎞
2ππ
3sin 12π⎛ ⎞ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2π 3
2π
Priode dan Amplitudo Fungsi-fungsi
Pergrseran vertikalTrigonometri.
( ) ( )2sinf x A x C DBπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
Pergeseran horizontal 4
adalah periode.BB
2
3A C
( )21.5sin 1 24
y xπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
1D
→→
4⎣ ⎦
-1
0-1 1 2 3 4 5x
F ngsi Sin sFungsi Sinus
( )( ) if A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) sinf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)
C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)
P adalah priode (panjang gelombang)
adalah frekuensi sudut 2 /P π ω=
ωadalah pergeseran fasaα
Fungsi Sinusg[ ]( ) 1.5sin 0.5 1.3 1.8f x x= − +Contoh
1 5 adalah amplitudo
[ ]1.5sin 0.5( 2.6) 1.8x= − +1.5 adalah amplitudo
1.8 pergeseran vertikal
adalah priode
0.5 adalah frekuensi sudut
2 / .5 4P π π= =
2.6 adalah fasa
4π
Fungsi KosinusFungsi KosinusKosinus dari sebuah bilangan real t kordinat-x titik Pseperti dalam diagram dimana |t| adalah panjangseperti dalam diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.
y
P
1
x
P
1 unit1
–1 |t|
cos t 1
–1
Fungsi KosinusFungsi Kosinus
cos(0) 1
0π=
⎛ ⎞⎜ ⎟
( )
cos 02
cos 1π
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
=2ππ
( )cos 1
3cos 0
π
π
= −
⎛ ⎞ =⎜ ⎟π 3πcos 0
2⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2
F ngsi Kosin sFungsi Kosinus
( )( )f A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) cosf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)
C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)
2 /P π ω=ωP adalah priode (panjang gelombang)
adalah frekuensi sudut α adalah pergeseran fasa
Tangen, Cotangen, Secan, g , g , ,CosecanTangen: sintan
cosxxx
=cos x
Cotangen: cos 1cotsin tan
xxx x
= =
Secan:
sin tanx x1sec
cosx
x=
Cosecan:
cos x1csc
ix =
sin x
Indentitas TrigonometrigHubungan antara sinus dan Sinusg
2 2sin cos 1t t+ =
( )( )
cos sin / 2
i / 2
t t π= +
( )sin cos / 2t t π= −
( )cos sin / 2t tπ= −( )( )
cos sin / 2
sin cos / 2
t t
t t
π
π
= −
= −
Trigonometri: f(x) = {sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)}, x dalam radian yx dalam radian
y
y=sin(x)
1
y
y=cos(x)1domain: (−∞,∞)range: [-1,1]periode: 2π (gelombang)
l
x0
y=sin(x)
π/2 π-π/2
x0 π/2 π-π/2nol:
πn untuk sin(x)π/2+πn untuk cos(x)
ββ+
)()()(
xcosxsinxtan =
2sin
2sin2coscos
2cos
2cos2coscos
βαβαβα
βαβαβα
−⋅
+−=−
−⋅
+=+
y
domain: cos(x) ≠ 0 range: (−∞,∞)periode: π 2
cos2
sin2sinsin
22βαβαβα +
⋅−
=+
yy=tan(x)1nol: πn untuk sin(x)
xx sectan1 22 =+
22cos1sin xx
−=
x0 π/2 π-π/2122 =+ xsinxcos2
2cos1cos
2xx
+=
Pendahuluan Limit
Evaluasi Limit Secara NumerikContoh. Diberikan fungsi f (x) = 2x2 – 3,
t j di t h d f tapa yang terjadi terhadap f saat xmendekati 2?
x 2.01 2.001 1.99 1.99
f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920…
Saat x mendekati 2, f mendekati 5.
Limit – contoh
( ) 1xf x −=
Limit contoh
x→ 1 ← x
( )1
fx −
x 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001f(x) 0.50126 0.50013 0.50001 × 0.499999 0.49999 0.49988
Bilangan pada garis bawah pada tabel menunjukkan bahwa f(x) mendekati 0.5 saat x mendekati 1; jadi,
1lim 0.51
x −=
1 1x x→ −
Limit contohLimit – contohGunakan tabel untuk mengestimasi limit:
1
1lim1x
xx→
−−
Penyelesaian:( ) 1xf x −
=
dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari
( )1
f xx −
dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari kiri dan kanan.
Limit – contoh…Limit contoh…y Celah pada titik (1, 0.5)
konsisten dengan pengamatan
1
konsisten dengan pengamatan bahwa fungsi tidak didefinisikan pada x = 1.
L = 0.5(1, 0.5)
11
xyx−
=−
a = 1x
Fungsi cendrung ke arah L = 0.5 t d k ti 1
( ) 11
xf xx−
=−
saat x mendekati a = 1.
Defenisi secara kasarKita tulis ( ) Lxf
ax=
→lim
… ketika x
yang berarti (sangat kasar)“bilamana x mendekati dan mendekati a, tetapi tidak
menuju a
b x e de d e de a, e p dsama dengan a, f(x) mendekati dan mendekati L.”
f(x) mempunyai
Kita sebut L limit dari f(x) bilamana x mendekati a,
kecendrungan menuju L …
atau lebih sederhana, limit f(x) pada a.
Dengan kata lain,g ,
… f(x) bergerak menuju L.
( ) Lxflim ( ) Lxfax
=→
lim
x menuju a, …
Maka, “limit” Ladalah bilangan… adalah bilangan
dimana f(x) berada ketika x
jmenuju a.
Li it C t hLimit – Contoh Anggap kita mempunyai sebuah fungsiAnggap kita mempunyai sebuah fungsi,
9-)(2xxf =
Karena 1 / 0 tidak didefenisikan maka f (x) tidak
3-)(
xxf =
Karena 1 / 0 tidak didefenisikan, maka f (x) tidak didefenisikan pada x = 3. Untuk itu, jika xmendekati 3, f (x) mendekati 6. Untuk itu,
6)(lim3 →
=xfx
Perhitungan Limit Secara Grafikg
1
2 ( )1
limx
f x→ tidak ada
1 2 3 4
1karena limit kiri dan limit kanan tidak sama!
Pada x=1: ( )lim 0f x = limit kiri( )1x
f−→
( )1
lim 1x
f x+→
= limit kanan
( )1 1f = Harga dari fungsi
( )2
lim 1x
f x→
=2
karena limit kiri dan kanan sama.
1 2 3 4
1
Pada x=2: ( )lim 1f x = limit kiriPada x=2: ( )2
lim 1x
f x−→
=
( )2
lim 1f x+
=
limit kiri
limit kanan( )2x +→
( )2 2f = harga fungsi
( )3
lim 2x
f x→
=2
karena limit kiri dan kanan sama.
1 2 3 4
1
pada x=3: ( )lim 2f x = Limit kiripada x=3: ( )3
lim 2x
f x−→
=
( )3
lim 2f x+
=
Limit kiri
Limit kanan( )3x +→
( )3 2f = Harga fungsi
Contoh. 2lim ( ) x
f x→−
2lim ( ) 6 x
f x→
=6
2x→−
2
Catatan: f (-2) = 1
tidak termasuk -2
Contoh. lim ( )f xContoh.5
( )x
f→
2( )y f x=
5
2
2-2
P b k li i d i i i 5 d l hPembentukan limit dari satu sisi 5 adalah 2 dan sisi yang lain dari 5 adalah –2.
adatidakf(x)x
=→5
lim
P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi
Perhitungan Limit - ContohAnggap sebuah fungsi
1x21x-4)( 2
≥+≤=
jikax jika xxf
Untuk menentukan limit f (x) bila x mendekati 1, kita hitung bahwa
1x2 ≥+ jika x
312)(lim1 →
=+=+
xfx
31-4)(lim 2
1 → -==xf
x
Untuk itu, limit fungsi x adalah 3
P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi
Perhitungan Limit - Contohgg p g
Untuk menentukan limit f (x) ketika x mendekati π / 2, kita hitung
xxf tan)( =
hitung
)(limπ→
∞ xfx
=+
2→x
∞-)(lim-
2π →
=xfx
Untuk itu, limit dari f (x) tidak didefenisikan padax = π / 2
2
x π /
LimitLimitKeberadaan LimitLlimit f(x) mengkin tidak ada1. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran (positif
atau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yangatau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yang lain, kita tulis (limit tidak ada)
2. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran ( )lim
x af x or
→= ∞ −∞
(positif) dimana x mendekati a dari satu sisi dan besar tak terhingga dalam besaran (negatif) dimana x mendekati adari sisi yang lain maka tidak ada( )lim f xdari sisi yang lain, maka tidak ada.
3. Jika dan L ≠ M, maka tidak ada
( )limx a
f x→
( ) ( )lim and limx a x a
f x L f x M→ →
= =
( )lim f x( )limx a
f x→
Sifat-sifat LimitSifat sifat Limit
[ ] Akxflimkk.f(x) dankklim:konstanta adalah k Jika .)(. ===
Bxg dan AxfAnggapaxax
==→→
)(lim)(lim:
1)
( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limf x g x f x g x A B± ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦
(Limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri)
[ ] ff( )axax
)(→→
1)
( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x A B→ → →
± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦
(Limit dari jumlah atau pengurangan adalah jumlah atau pengurangan limit)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤( ) ( ) ( ) ( )3) lim lim limx a x a x a
f x g x f x g x A B→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(Limit perkalian adalah perkalian limit)
( )( )
( )( )
lim4) lim if 0
limx a
x ax a
f xf x A Bg x g x B
→
→→
= = ≠
(Limit pembagian adalam pembagian limit)
Sifat-sifat LimitSifat sifat LimitBxg dan AxfAnggap
axax==
→→)(lim)(lim:
)()()5 apxplimmakapolynomialadalahp(x)Jika = )()()5 apxplimmaka ,polynomialadalah p(x)Jika ax
=→
[ ] kk
ax
k
axAxfxflim k, real bilanganbeberapa Untuk =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
→→)(lim)()6
ax ⎦⎣ →
ax semua untuk g(x)jikaf(x) xglimxflim xxxx
≠==→→
)()()7⎤⎡
Axf
xf
axbbblim 0,b real bilanganbeberapa Untuk ax ==>
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
→
→)(lim
)()8
[ ] 0Ajika Axfxflog
b,1 atau 1b0dimana b real bilanganbeberapa Untuk
bbb >=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
<<<
log)(loglog)(log
)9
[ ] jffg bax
bbax ⎥⎦⎢⎣ →→
g)(gg)(g
ContohContohAnggap .
Gunakan aturan limit untuk menentukan harga4)(3)(lim
2==
→xg dan xf
xGunakan aturan limit untuk menentukan harga
limit tesebut. ( ) ( )1) lim 5f x g x+⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( )
21) lim 5
xf x g x
→+⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
lim 5 lim lim5x x x
f x g x f x g x→ → →
+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ penjumlahan, #2
( ) ( )2 2
lim 5limx x
f x g x→ →
= +
( )3 5 4= +
konstanta, #1
( )23=
ContohContohAnggap . Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit
4)(3)(lim2
==→
xg dan xfx
Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit tesebut.
( ) 2
2) lif x⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) 2
2limx
f x→
⎡ ⎤⎣ ⎦ pembagian #4( )( )2
2) limlnx g x→
⎣ ⎦ ( )( )
2
2lim lnx
xg x
→
→
⎣ ⎦=
( )2
li f⎡ ⎤
pembagian, #4
E i l #6( )
( )2
2
lim
ln limx
x
f x
g x→
→
⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦
Exponesial, #6
log , #9x→⎣ ⎦
23 9 6.4921ln 4 1.38629
= = ≈
ContohContoh( )( )
3
0lim 3 8
lim 2x
x
x→
−= pembagian, #4
283 3 −
→ xxlim Tentukan
0x ( )0
lim 2x
x→
−
33lim lim8x − konstanta; pengurangan, #2
2−→ x0x
00
0 0lim lim 2
xx
x xx
→→
→ →
=−
; p g g ,
pengurangan, #2
l i l #5 k0 80 2−
=−
polynomial , #5; konstantapolynomial , #5; konstanta
4=
Li it L tihLimit – LatihanTentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:
851.353 ++x 428
21.451.3
2453lim
1==
−+
=−+
→ xx
x
Jika hasil 0/0 maka faktor yang
00
2242)(,
24lim
22
2=
−−
=−−
→xf
xx
x
mengebabkannya harus dihilangkan dengan cara menguraikan pembilang danmenguraikan pembilang dan penyebut atau aturan Hospital
( )( )2242 + xxx ( )( ) ( ) 42lim2
22lim24lim
222=+=
−−+
=−−
→→→x
xxx
xx
xxx
Kekontinuan Fungsi
K ti it S b h F iKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalahSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalah garis kontinius dengan tidak ada “lobang” diantaranyayLimit kiri dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kiriLimit kanan dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kanan
Kontinuitas Sebuah FungsiKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi f kontinu pada titik x = a jika i h l dib h btiga hal dibawah benar:
kandidefinisi afi )().
) lim ( ) ( )iii f x f a= f( )
adaxflim iiax
)()→
) ( ) ( )x a
iii f x f a→ f(a)
a
Banyak teknik dalam calculus memerlukan fungsi y gkontinu. Sebuah fungsi kontinu jika anda dapat mengambar dalam satu gerak tanpa picking up pesil andaanda.
Sebuah fungsi kontinu pada sebuh titik jika limit sama seperti harga fungsi.
Fungsi ini tidak kontinu pada g px=1 dan x=2.
F i k ti d 0 d1
2
Fungsi kontinu pada x=0 dan x=4, karena satu sisi limit sesuai dengan harga fungsi
1 2 3 4
→
g g g
Ketidak kontinuan dapat dihilangkan:p g
(anda dapat mengisi lobang(anda dapat mengisi lobang
Diskontinu yang perlu:
lompat Tak terhingga osilasi→
Contoh:Contoh:
Selidiki kontinuitas dari ⎨⎧ ≤+
=1xjika 3
)(x
xfSelidiki kontinuitas dari ⎩⎨ >
=1xjika x -3
)(xf
Fungsi menunjukkan keanehan di titik x =1
4)3(lim1
=+−→
xx
2)3(lim1
1
=−+→
→
xx
x
Limit x = 1, limit kiri ≠ limit kanan, maka
kandidefenisidapat tidak )(lim xf p)(1
fx→
Fungsi diskontinu untuk x = 1
Menghilangkan ketidak kontinuan:
( )3
2
11
xf xx−
=−
diskontinu pada . 1x =1x
3
21
1lim 1x
xx→
−−
( )( )( )( )
2
1
1 1lim 1 1x
x x xx x→
− + +=+ −
1 1 12
+ +=
32
=
3
2
1 , 1x x⎧ −
≠⎪⎪ Catatan: Ada ketidak kontinuan( )
2 , 11
3 , 12
xxf x
x
≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩
Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.
1x = −
2⎪⎩
Menghilangkan kitidak kontinuan:
345
10
12
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4-3-2-1
3
2
1 , 1x x⎧ −
≠⎪⎪
-54
Catatan: Ada ketidak kontinuan( )
2 , 11
3 , 12
xxf x
x
≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩
Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.
1x = −
2⎪⎩
Beberapa Limit Fungsi yang IstimewaBeberapa Limit Fungsi yang Istimewa
1xlim tg=1xsinlim =
x0→x
( )1lim /1 ex x+
x0 →x
( ) 11lnli x⎟⎞
⎜⎛ + ( )1lim
0 →xe x =+( ) 11lnlim
0→x xx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
11lim →x
e x
x
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞± 11lim
0→x
xex
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
11lim0→x
x
ax
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − 0lnlim0 →x
xx =⎠⎝
0lim0 →x
x x =+
Li it L tihLimit – Latihan
Tentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:
3133sinli33sin3li3sinli xxx 31.3sin
lim3sin3
limsin
lim000
====→→→ xxx xxx
111311633 xtgxxtgxtg211.1.
21
661)
33(lim
21
21
66)
33(lim
63lim
000====
→→→
xxtgx
xtgxtg
xxxtg
xtgxtg
xxx
Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga
Contoh.2
23 5 1lim x x+ +Contoh. 22 4x x→∞ −
Anggap x mempunyai harga yang besar
x 100 1000 10,000
3
f (x) -0.76256 -0.75125 -0.750125
34
−f mendekati
23 5 1 32
23 5 1 3lim
42 4x
x xx→∞
+ += −
−
Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga
( ) Lxf =lim
Lf(x) mendekatid
( ) Lxfx ∞→lim
dan mendekati L
f(x)
xx bergerak menjauh ke kanan
Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga
( ) Lxf =lim
L
( ) Lxfx −∞→lim
f(x)f(x) mendekati
dan mendekati L
x
f( )
xx bergerak menjauh ke kiri
Limit di Tak Terhinggat d a e ggaJika harga dari f(x) mendekati harga tertentu L bila x
k b k kit t licukup besar, maka kita tulis,
)(lim∞→x
L xf =
Secara nyata, kita tahu bahwa x
01lim =
untuk semua bilangan rasional rxr 0lim
∞ →x=
Limit di Tak Terhingga…
U t k l ik li it di t k t hi
Limit di Tak Terhingga…
Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi yangpenyebut dengan x pangkat tertinggi yang terjadi
Bila fungsi rasional dengan pangkat pembilang g g p g p gkurang dari pangkat penyebut maka nilai limit fungsi di tak terhingga atau di minus tak t hi d lterhingga sama dengan nol
Li it L tihLimit – Latihan
113
2lim
132lim
3333
333
3
3
=+−
−=
+−−
∞→∞→ xxxx
x
xxx
xx333 xxx
122 − x
21
14
2lim
142lim
2222
=+
−=
+
−∞→∞→
xxx
xx
xx
xxx
xx
Limit Tak Terhingga
f(x) ( ) ∞=xflimmembesar dan
membesar
( ) ∞+→
xfax
lim
f(x)membesar
a xb k d k i d d k ix bergerak mendekati dan mendekati a,
dari kanan a.
Limit Tak Terhingga: Skenario
( ) ∞=xflim
yang lain..( ) −∞=
+→xf
axlim
( ) −∞=xflim ( )−→
fax
( ) ∞=xflim ( )−→
xfax
lim
Limit Tak Terhingga: Skenario yang lain ..
( ) ∞=→
xfax
lim ( ) −∞=→
xfax
lim
3
4
Limit Tak Terhingga:
( ) 1f x = 1
2
gg
( )f xx
=
-10-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
Jika penyebut mendekati nol, harga pecahan akan menjadi sangat besar
Asymtut vertikal 4
-3
-2
1lim = ∞
sangat besar.
Jika penyebut positif maka pecahan j itif
pada x=0.-4
0limx x+→
= ∞juga positif.
1lim ∞Jika penyebut negatif maka pecahan0
limx x−→
= −∞Jika penyebut negatif maka pecahan negatif
Contoh
1li 20limx x+→
= ∞
1
Dalam kedua hal ini penyebut positif, maka limit
20
1limx x−→
= ∞sama.
20
1 limx x→
∴ = ∞
Metode Utama Menghitung Limit
Kuantitas tak terdefinisikan mengebabkan persoalan:
10 ∞
Dalam evaluasi persamaan gunakan aturan,2
persoalan: 0 000 , , , ,0 , .0
∞∞∞ − ∞ ∞
∞
∞a
Jika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, definisikan 3
∞=∞∞=∞
=∞
-negatif)(bilangan xpositif bilangan
a ,,0
g , g,dengan persamaan aljabar, ambil harga tertentu pada titik limit, maka harga tertentu ini adalah harga limit.
3
a ga tJika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, tidak dapat dievaluasi pada titik (yaitu harga tidak didefenisikan seperti dalam (1)) maka tulis
4
didefenisikan seperti dalam (1)), maka tulis kembali fungsi kedalam bentuk yang dapat dievaluasi pada titik limit.
Metode Perhitungan Utama
Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional
Sering dibutuhkan aturan1 ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −
Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional.2( ) ( )2
1
1 11 1 2.1 1 x
x xx xx x →
− +−= = + ⎯⎯⎯⎯→
− −Jika akar kuadrat muncul dalam persamaan , maka kalikan dan bagikan dengan menghubungkan/tafsiran persamaan akar kuadrat.
3
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 21 2
1 21 2 3
x x x xx x
x xx x
+ − + + + −+ − − =
+ + −+( ) ( )1 2 3 0
1 2 1 2 x
x x
x x x x →∞
+ − −= = ⎯⎯⎯⎯→
+ + − + + +
k f k b h4 ( )sin xGunakan fakta bahwa4 ( )
0
sinlim 1.x
xx→
=
Kerjakan Soal di bawah
12
2
3 2lim2x
x xx→
− +−
2
3 2
3 2
1lim3 5 2x
x x xx x x→∞
+ + ++ + +2x
3 2 2lim 1 1x
x x→∞
+ − − 2 2lim 1 1x
x x x x→∞
+ + − − −
( )i 3
4
( )2i
→ + + − − +2 20
2lim2 1 3 1x
xx x x x
( )0
sin 3lim
6x
xx→
5 6
( )( )
2
0
sinlim
sinx
xx x→
( )( )0
sin sinlimx
xx→
7 8
9 10( )( ) ( )→
+
+ + − − +2 20
2sinlim
2sin 1 sin 1x
x x
x x x x
( )tan x
2
lim ex π→ +