pertemuan 03 - 04 [compatibility mode]

67
Limit dan Fungsi Limit dan Fungsi Fungsi dan Grafiknya Operasi pada Fungsi Pendahuluan Limit Pendahuluan Limit Teorema Limit Kekontinuan Fungsi

Upload: kirana223

Post on 23-Dec-2015

45 views

Category:

Documents


7 download

DESCRIPTION

khk

TRANSCRIPT

Page 1: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit dan FungsiLimit dan FungsiFungsi dan Grafiknya

Operasi pada Fungsi

Pendahuluan LimitPendahuluan Limit

Teorema Limit

Kekontinuan Fungsi

Page 2: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi dan GrafikSebuah fungsi f adalah suatu aturan yang menghubungkan masing-masing elemen x dalam suatu himpunan A (domain f) secara teliti dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).dengan elemen tunggal f(x) dalam himpunan B (range f).

x – variable bebas , f(x) – variable tidak bebas.r A(r)=πr2

Contoh:

t i

x1

x

f(x1) black boxx f(x)input output

aturan, mesin

x2

x3

f(x2)

f(x3)

fungsi

Grafik dari sebuah fungsi: {(x f(x)) | x∈A}

domain A range B = Semua kemungkinan harga

y

y=x2 1

{(x,f(x)) | x∈A}

Semua kemungkinan harga

x0 1

Page 3: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi Didefinisikan Secara Alj bAljabar

Sebuah fungsi A function diwakili

2

Sebuah fungsi A function diwakili dengan rumus.

2( ) 3 2f x x= + adalah sebuah fungsi.Contoh.

2

( )f h

2(5) 3(5) 2 77f = + =

( )23 2h( )f x h+ ( )3 2x h= + +2 23 6 3 2x xh h= + + +

Page 4: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Jenis Umum Fungsi Aljabar

Linear( )f x mx b= +

Kuadratik

( )f x mx b+

(a tidak 0)

P l i l

2( )f x ax bx c= + +( tid k 0)Polynomial

1( ) n nf x a x a x a−= + + +

(an tidak 0)

1 0( ) ...n nf x a x a x a−= + + +

Page 5: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Jenis Umum Fungsi Aljabar

Exponensial (A, b konstan, b >0)

R ti l (P Q l i l)

( ) xf x Ab=

Rational (P, Q polynomial)

( )( ) P xf ( )( )( )

f xQ x

=

Page 6: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi Piecewiseg

Beberapa rumus untuk mendefinisikanBeberapa rumus untuk mendefinisikan fungsi tunggal

Gunakan ketika h k

Contoh 2

32 5.5 if 2( )

13 8 2 5 if 2

x xf x

− ≤⎧⎪= ⎨+ >⎪⎩

harga x kurang atau sama dengan 2

13.8 2.5 if 2x x+ >⎪⎩Gunakan ketika harga x lebih besar

Catatan

(1) 32 5.5(1)f = −2(3) 13 8 2 5(4)f = +

= 26.5

= 53 8

harga x lebih besar dari2

(3) 13.8 2.5(4)f = + = 53.8

Page 7: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi Secara GrafikFungsi Secara GrafikGrafif fungsi kumpulan semua titik (x, f (x)) dimana x dalam domain fdimana x dalam domain f .

Diberikan grafik y = f (x), tentukan f (1).

f (1) = 2f (1) 2 (1, 2)

Page 8: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Grafik Sebuah FungsiGrafik Sebuah FungsiUji Garis Vertikal: Grafik fungsi hanya dapat dil l i k li l h b b i ik ldilalui sekali oleh beberapa garis vertikal.

Fungsi Bukan fungsig g

Dilalui lebih dari sekali.

Page 9: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Membuat Sket Fungsi PiecewiseMembuat Sket Fungsi Piecewise2 if 2 1x x− − ≤ <⎧⎪

2

2 if 2 1( )

+1 if 1 2

x xf x

x x

≤ <⎧⎪= ⎨≤ ≤⎪⎩

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−=

1,1,1

)(2 xx

xxxf

Sket bagian rumus pada

⎪⎩ >1, xxy

y=x2pdomain

y x

1y=1-x

0 1

Page 10: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi Trigonometri

Gambar di bawah meringkas definisi fungsi-fungsi sinus, cosinus dancosinus dan

θθiθ sinθcosθ cot

θ cosθsinθ tan ==

sin θ1sc θ c

cos θ1sec θ ==

Page 11: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi SinusFungsi Sinus

Sinus dari bilangan real t koordinat-y titik P seperti diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.

y

Pi t

1

x

Psin t

–1 |t|

1 unit 1

–1

Page 12: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi SinusFungsi Sinus

i (0) 0sin(0) 0π=

⎛ ⎞sin 12π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠( )sin 0

3

π =

⎛ ⎞

2ππ

3sin 12π⎛ ⎞ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2π 3

Page 13: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Priode dan Amplitudo Fungsi-fungsi

Pergrseran vertikalTrigonometri.

( ) ( )2sinf x A x C DBπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Pergeseran horizontal 4

adalah periode.BB

2

3A C

( )21.5sin 1 24

y xπ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

1D

→→

4⎣ ⎦

-1

0-1 1 2 3 4 5x

Page 14: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

F ngsi Sin sFungsi Sinus

( )( ) if A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) sinf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)

C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)

P adalah priode (panjang gelombang)

adalah frekuensi sudut 2 /P π ω=

ωadalah pergeseran fasaα

Page 15: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi Sinusg[ ]( ) 1.5sin 0.5 1.3 1.8f x x= − +Contoh

1 5 adalah amplitudo

[ ]1.5sin 0.5( 2.6) 1.8x= − +1.5 adalah amplitudo

1.8 pergeseran vertikal

adalah priode

0.5 adalah frekuensi sudut

2 / .5 4P π π= =

2.6 adalah fasa

Page 16: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi KosinusFungsi KosinusKosinus dari sebuah bilangan real t kordinat-x titik Pseperti dalam diagram dimana |t| adalah panjangseperti dalam diagram, dimana |t| adalah panjang lengan.

y

P

1

x

P

1 unit1

–1 |t|

cos t 1

–1

Page 17: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Fungsi KosinusFungsi Kosinus

cos(0) 1

0π=

⎛ ⎞⎜ ⎟

( )

cos 02

cos 1π

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=2ππ

( )cos 1

3cos 0

π

π

= −

⎛ ⎞ =⎜ ⎟π 3πcos 0

2⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2

Page 18: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

F ngsi Kosin sFungsi Kosinus

( )( )f A C⎡ ⎤⎣ ⎦( )( ) cosf x A x Cω α⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

A adalah amplitudo (tinggi puncak diatas garis dasar)

C adalah pergeseran vertikal (tinggi dari garis dasar)

2 /P π ω=ωP adalah priode (panjang gelombang)

adalah frekuensi sudut α adalah pergeseran fasa

Page 19: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Tangen, Cotangen, Secan, g , g , ,CosecanTangen: sintan

cosxxx

=cos x

Cotangen: cos 1cotsin tan

xxx x

= =

Secan:

sin tanx x1sec

cosx

x=

Cosecan:

cos x1csc

ix =

sin x

Page 20: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Indentitas TrigonometrigHubungan antara sinus dan Sinusg

2 2sin cos 1t t+ =

( )( )

cos sin / 2

i / 2

t t π= +

( )sin cos / 2t t π= −

( )cos sin / 2t tπ= −( )( )

cos sin / 2

sin cos / 2

t t

t t

π

π

= −

= −

Page 21: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Trigonometri: f(x) = {sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)}, x dalam radian yx dalam radian

y

y=sin(x)

1

y

y=cos(x)1domain: (−∞,∞)range: [-1,1]periode: 2π (gelombang)

l

x0

y=sin(x)

π/2 π-π/2

x0 π/2 π-π/2nol:

πn untuk sin(x)π/2+πn untuk cos(x)

ββ+

)()()(

xcosxsinxtan =

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

βαβαβα

βαβαβα

−⋅

+−=−

−⋅

+=+

y

domain: cos(x) ≠ 0 range: (−∞,∞)periode: π 2

cos2

sin2sinsin

22βαβαβα +

⋅−

=+

yy=tan(x)1nol: πn untuk sin(x)

xx sectan1 22 =+

22cos1sin xx

−=

x0 π/2 π-π/2122 =+ xsinxcos2

2cos1cos

2xx

+=

Page 22: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Pendahuluan Limit

Page 23: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Evaluasi Limit Secara NumerikContoh. Diberikan fungsi f (x) = 2x2 – 3,

t j di t h d f tapa yang terjadi terhadap f saat xmendekati 2?

x 2.01 2.001 1.99 1.99

f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920f (x) 5.0802 5.0080... 4.9202 4.9920…

Saat x mendekati 2, f mendekati 5.

Page 24: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit – contoh

( ) 1xf x −=

Limit contoh

x→ 1 ← x

( )1

fx −

x 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001f(x) 0.50126 0.50013 0.50001 × 0.499999 0.49999 0.49988

Bilangan pada garis bawah pada tabel menunjukkan bahwa f(x) mendekati 0.5 saat x mendekati 1; jadi,

1lim 0.51

x −=

1 1x x→ −

Page 25: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit contohLimit – contohGunakan tabel untuk mengestimasi limit:

1

1lim1x

xx→

−−

Penyelesaian:( ) 1xf x −

=

dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari

( )1

f xx −

dan hitung f(x) untuk harga x mendekati 1 dari kiri dan kanan.

Page 26: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit – contoh…Limit contoh…y Celah pada titik (1, 0.5)

konsisten dengan pengamatan

1

konsisten dengan pengamatan bahwa fungsi tidak didefinisikan pada x = 1.

L = 0.5(1, 0.5)

11

xyx−

=−

a = 1x

Fungsi cendrung ke arah L = 0.5 t d k ti 1

( ) 11

xf xx−

=−

saat x mendekati a = 1.

Page 27: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Defenisi secara kasarKita tulis ( ) Lxf

ax=

→lim

… ketika x

yang berarti (sangat kasar)“bilamana x mendekati dan mendekati a, tetapi tidak

menuju a

b x e de d e de a, e p dsama dengan a, f(x) mendekati dan mendekati L.”

f(x) mempunyai

Kita sebut L limit dari f(x) bilamana x mendekati a,

kecendrungan menuju L …

atau lebih sederhana, limit f(x) pada a.

Page 28: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Dengan kata lain,g ,

… f(x) bergerak menuju L.

( ) Lxflim ( ) Lxfax

=→

lim

x menuju a, …

Maka, “limit” Ladalah bilangan… adalah bilangan

dimana f(x) berada ketika x

jmenuju a.

Page 29: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Li it C t hLimit – Contoh Anggap kita mempunyai sebuah fungsiAnggap kita mempunyai sebuah fungsi,

9-)(2xxf =

Karena 1 / 0 tidak didefenisikan maka f (x) tidak

3-)(

xxf =

Karena 1 / 0 tidak didefenisikan, maka f (x) tidak didefenisikan pada x = 3. Untuk itu, jika xmendekati 3, f (x) mendekati 6. Untuk itu,

6)(lim3 →

=xfx

Page 30: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Perhitungan Limit Secara Grafikg

1

2 ( )1

limx

f x→ tidak ada

1 2 3 4

1karena limit kiri dan limit kanan tidak sama!

Pada x=1: ( )lim 0f x = limit kiri( )1x

f−→

( )1

lim 1x

f x+→

= limit kanan

( )1 1f = Harga dari fungsi

Page 31: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

( )2

lim 1x

f x→

=2

karena limit kiri dan kanan sama.

1 2 3 4

1

Pada x=2: ( )lim 1f x = limit kiriPada x=2: ( )2

lim 1x

f x−→

=

( )2

lim 1f x+

=

limit kiri

limit kanan( )2x +→

( )2 2f = harga fungsi

Page 32: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

( )3

lim 2x

f x→

=2

karena limit kiri dan kanan sama.

1 2 3 4

1

pada x=3: ( )lim 2f x = Limit kiripada x=3: ( )3

lim 2x

f x−→

=

( )3

lim 2f x+

=

Limit kiri

Limit kanan( )3x +→

( )3 2f = Harga fungsi

Page 33: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Contoh. 2lim ( ) x

f x→−

2lim ( ) 6 x

f x→

=6

2x→−

2

Catatan: f (-2) = 1

tidak termasuk -2

Page 34: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Contoh. lim ( )f xContoh.5

( )x

f→

2( )y f x=

5

2

2-2

P b k li i d i i i 5 d l hPembentukan limit dari satu sisi 5 adalah 2 dan sisi yang lain dari 5 adalah –2.

adatidakf(x)x

=→5

lim

Page 35: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi

Perhitungan Limit - ContohAnggap sebuah fungsi

1x21x-4)( 2

≥+≤=

jikax jika xxf

Untuk menentukan limit f (x) bila x mendekati 1, kita hitung bahwa

1x2 ≥+ jika x

312)(lim1 →

=+=+

xfx

31-4)(lim 2

1 → -==xf

x

Untuk itu, limit fungsi x adalah 3

Page 36: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

P hit Li it C t hAnggap sebuah fungsi

Perhitungan Limit - Contohgg p g

Untuk menentukan limit f (x) ketika x mendekati π / 2, kita hitung

xxf tan)( =

hitung

)(limπ→

∞ xfx

=+

2→x

∞-)(lim-

2π →

=xfx

Untuk itu, limit dari f (x) tidak didefenisikan padax = π / 2

2

x π /

Page 37: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

LimitLimitKeberadaan LimitLlimit f(x) mengkin tidak ada1. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran (positif

atau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yangatau negatif) seperti x mendekati bilangan a dari sisi yang lain, kita tulis (limit tidak ada)

2. Jika f(x) menjadi besar tak terhingga dalam besaran ( )lim

x af x or

→= ∞ −∞

(positif) dimana x mendekati a dari satu sisi dan besar tak terhingga dalam besaran (negatif) dimana x mendekati adari sisi yang lain maka tidak ada( )lim f xdari sisi yang lain, maka tidak ada.

3. Jika dan L ≠ M, maka tidak ada

( )limx a

f x→

( ) ( )lim and limx a x a

f x L f x M→ →

= =

( )lim f x( )limx a

f x→

Page 38: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Sifat-sifat LimitSifat sifat Limit

[ ] Akxflimkk.f(x) dankklim:konstanta adalah k Jika .)(. ===

Bxg dan AxfAnggapaxax

==→→

)(lim)(lim:

1)

( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limf x g x f x g x A B± ± ±⎡ ⎤⎣ ⎦

(Limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri)

[ ] ff( )axax

)(→→

1)

( ) ( ) ( ) ( )2) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

± = ± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦

(Limit dari jumlah atau pengurangan adalah jumlah atau pengurangan limit)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤( ) ( ) ( ) ( )3) lim lim limx a x a x a

f x g x f x g x A B→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦(Limit perkalian adalah perkalian limit)

( )( )

( )( )

lim4) lim if 0

limx a

x ax a

f xf x A Bg x g x B

→→

= = ≠

(Limit pembagian adalam pembagian limit)

Page 39: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Sifat-sifat LimitSifat sifat LimitBxg dan AxfAnggap

axax==

→→)(lim)(lim:

)()()5 apxplimmakapolynomialadalahp(x)Jika = )()()5 apxplimmaka ,polynomialadalah p(x)Jika ax

=→

[ ] kk

ax

k

axAxfxflim k, real bilanganbeberapa Untuk =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→→)(lim)()6

ax ⎦⎣ →

ax semua untuk g(x)jikaf(x) xglimxflim xxxx

≠==→→

)()()7⎤⎡

Axf

xf

axbbblim 0,b real bilanganbeberapa Untuk ax ==>

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

→)(lim

)()8

[ ] 0Ajika Axfxflog

b,1 atau 1b0dimana b real bilanganbeberapa Untuk

bbb >=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

<<<

log)(loglog)(log

)9

[ ] jffg bax

bbax ⎥⎦⎢⎣ →→

g)(gg)(g

Page 40: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

ContohContohAnggap .

Gunakan aturan limit untuk menentukan harga4)(3)(lim

2==

→xg dan xf

xGunakan aturan limit untuk menentukan harga

limit tesebut. ( ) ( )1) lim 5f x g x+⎡ ⎤⎣ ⎦( ) ( )

21) lim 5

xf x g x

→+⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

lim 5 lim lim5x x x

f x g x f x g x→ → →

+ = +⎡ ⎤⎣ ⎦ penjumlahan, #2

( ) ( )2 2

lim 5limx x

f x g x→ →

= +

( )3 5 4= +

konstanta, #1

( )23=

Page 41: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

ContohContohAnggap . Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit

4)(3)(lim2

==→

xg dan xfx

Gunakan aturan limit untuk menentukan harga limit tesebut.

( ) 2

2) lif x⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) 2

2limx

f x→

⎡ ⎤⎣ ⎦ pembagian #4( )( )2

2) limlnx g x→

⎣ ⎦ ( )( )

2

2lim lnx

xg x

⎣ ⎦=

( )2

li f⎡ ⎤

pembagian, #4

E i l #6( )

( )2

2

lim

ln limx

x

f x

g x→

⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎣ ⎦

Exponesial, #6

log , #9x→⎣ ⎦

23 9 6.4921ln 4 1.38629

= = ≈

Page 42: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

ContohContoh( )( )

3

0lim 3 8

lim 2x

x

x→

−= pembagian, #4

283 3 −

→ xxlim Tentukan

0x ( )0

lim 2x

x→

33lim lim8x − konstanta; pengurangan, #2

2−→ x0x

00

0 0lim lim 2

xx

x xx

→→

→ →

=−

; p g g ,

pengurangan, #2

l i l #5 k0 80 2−

=−

polynomial , #5; konstantapolynomial , #5; konstanta

4=

Page 43: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Li it L tihLimit – LatihanTentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:

851.353 ++x 428

21.451.3

2453lim

1==

−+

=−+

→ xx

x

Jika hasil 0/0 maka faktor yang

00

2242)(,

24lim

22

2=

−−

=−−

→xf

xx

x

mengebabkannya harus dihilangkan dengan cara menguraikan pembilang danmenguraikan pembilang dan penyebut atau aturan Hospital

( )( )2242 + xxx ( )( ) ( ) 42lim2

22lim24lim

222=+=

−−+

=−−

→→→x

xxx

xx

xxx

Page 44: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Kekontinuan Fungsi

Page 45: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

K ti it S b h F iKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalahSebuah fungsi kontinius pada a jika grafik adalah garis kontinius dengan tidak ada “lobang” diantaranyayLimit kiri dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kiriLimit kanan dari sebuah fungsi f (x) pada a adalah harga f (x) dimana x mendekati a dari kanan

Page 46: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Kontinuitas Sebuah FungsiKontinuitas Sebuah FungsiSebuah fungsi f kontinu pada titik x = a jika i h l dib h btiga hal dibawah benar:

kandidefinisi afi )().

) lim ( ) ( )iii f x f a= f( )

adaxflim iiax

)()→

) ( ) ( )x a

iii f x f a→ f(a)

a

Page 47: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Banyak teknik dalam calculus memerlukan fungsi y gkontinu. Sebuah fungsi kontinu jika anda dapat mengambar dalam satu gerak tanpa picking up pesil andaanda.

Sebuah fungsi kontinu pada sebuh titik jika limit sama seperti harga fungsi.

Fungsi ini tidak kontinu pada g px=1 dan x=2.

F i k ti d 0 d1

2

Fungsi kontinu pada x=0 dan x=4, karena satu sisi limit sesuai dengan harga fungsi

1 2 3 4

g g g

Page 48: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Ketidak kontinuan dapat dihilangkan:p g

(anda dapat mengisi lobang(anda dapat mengisi lobang

Diskontinu yang perlu:

lompat Tak terhingga osilasi→

Page 49: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Contoh:Contoh:

Selidiki kontinuitas dari ⎨⎧ ≤+

=1xjika 3

)(x

xfSelidiki kontinuitas dari ⎩⎨ >

=1xjika x -3

)(xf

Fungsi menunjukkan keanehan di titik x =1

4)3(lim1

=+−→

xx

2)3(lim1

1

=−+→

xx

x

Limit x = 1, limit kiri ≠ limit kanan, maka

kandidefenisidapat tidak )(lim xf p)(1

fx→

Fungsi diskontinu untuk x = 1

Page 50: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Menghilangkan ketidak kontinuan:

( )3

2

11

xf xx−

=−

diskontinu pada . 1x =1x

3

21

1lim 1x

xx→

−−

( )( )( )( )

2

1

1 1lim 1 1x

x x xx x→

− + +=+ −

1 1 12

+ +=

32

=

3

2

1 , 1x x⎧ −

≠⎪⎪ Catatan: Ada ketidak kontinuan( )

2 , 11

3 , 12

xxf x

x

≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩

Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.

1x = −

2⎪⎩

Page 51: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Menghilangkan kitidak kontinuan:

345

10

12

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

3

2

1 , 1x x⎧ −

≠⎪⎪

-54

Catatan: Ada ketidak kontinuan( )

2 , 11

3 , 12

xxf x

x

≠⎪⎪ −= ⎨⎪ =⎪⎩

Catatan: Ada ketidak kontinuan pada yang tidak dapat dihilangkan.

1x = −

2⎪⎩

Page 52: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Beberapa Limit Fungsi yang IstimewaBeberapa Limit Fungsi yang Istimewa

1xlim tg=1xsinlim =

x0→x

( )1lim /1 ex x+

x0 →x

( ) 11lnli x⎟⎞

⎜⎛ + ( )1lim

0 →xe x =+( ) 11lnlim

0→x xx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11lim →x

e x

x

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞± 11lim

0→x

xex

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

11lim0→x

x

ax

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − 0lnlim0 →x

xx =⎠⎝

0lim0 →x

x x =+

Page 53: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Li it L tihLimit – Latihan

Tentukan limit dari fungsi di bawah:Tentukan limit dari fungsi di bawah:

3133sinli33sin3li3sinli xxx 31.3sin

lim3sin3

limsin

lim000

====→→→ xxx xxx

111311633 xtgxxtgxtg211.1.

21

661)

33(lim

21

21

66)

33(lim

63lim

000====

→→→

xxtgx

xtgxtg

xxxtg

xtgxtg

xxx

Page 54: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

Contoh.2

23 5 1lim x x+ +Contoh. 22 4x x→∞ −

Anggap x mempunyai harga yang besar

x 100 1000 10,000

3

f (x) -0.76256 -0.75125 -0.750125

34

−f mendekati

23 5 1 32

23 5 1 3lim

42 4x

x xx→∞

+ += −

Page 55: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

( ) Lxf =lim

Lf(x) mendekatid

( ) Lxfx ∞→lim

dan mendekati L

f(x)

xx bergerak menjauh ke kanan

Page 56: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit di Tak TerhinggaLimit di Tak Terhingga

( ) Lxf =lim

L

( ) Lxfx −∞→lim

f(x)f(x) mendekati

dan mendekati L

x

f( )

xx bergerak menjauh ke kiri

Page 57: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit di Tak Terhinggat d a e ggaJika harga dari f(x) mendekati harga tertentu L bila x

k b k kit t licukup besar, maka kita tulis,

)(lim∞→x

L xf =

Secara nyata, kita tahu bahwa x

01lim =

untuk semua bilangan rasional rxr 0lim

∞ →x=

Page 58: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit di Tak Terhingga…

U t k l ik li it di t k t hi

Limit di Tak Terhingga…

Untuk menyelesaikan limit di tak terhingga dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi yangpenyebut dengan x pangkat tertinggi yang terjadi

Bila fungsi rasional dengan pangkat pembilang g g p g p gkurang dari pangkat penyebut maka nilai limit fungsi di tak terhingga atau di minus tak t hi d lterhingga sama dengan nol

Page 59: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Li it L tihLimit – Latihan

113

2lim

132lim

3333

333

3

3

=+−

−=

+−−

∞→∞→ xxxx

x

xxx

xx333 xxx

122 − x

21

14

2lim

142lim

2222

=+

−=

+

−∞→∞→

xxx

xx

xx

xxx

xx

Page 60: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit Tak Terhingga

f(x) ( ) ∞=xflimmembesar dan

membesar

( ) ∞+→

xfax

lim

f(x)membesar

a xb k d k i d d k ix bergerak mendekati dan mendekati a,

dari kanan a.

Page 61: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit Tak Terhingga: Skenario

( ) ∞=xflim

yang lain..( ) −∞=

+→xf

axlim

( ) −∞=xflim ( )−→

fax

( ) ∞=xflim ( )−→

xfax

lim

Page 62: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Limit Tak Terhingga: Skenario yang lain ..

( ) ∞=→

xfax

lim ( ) −∞=→

xfax

lim

Page 63: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

3

4

Limit Tak Terhingga:

( ) 1f x = 1

2

gg

( )f xx

=

-10-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

Jika penyebut mendekati nol, harga pecahan akan menjadi sangat besar

Asymtut vertikal 4

-3

-2

1lim = ∞

sangat besar.

Jika penyebut positif maka pecahan j itif

pada x=0.-4

0limx x+→

= ∞juga positif.

1lim ∞Jika penyebut negatif maka pecahan0

limx x−→

= −∞Jika penyebut negatif maka pecahan negatif

Page 64: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Contoh

1li 20limx x+→

= ∞

1

Dalam kedua hal ini penyebut positif, maka limit

20

1limx x−→

= ∞sama.

20

1 limx x→

∴ = ∞

Page 65: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Metode Utama Menghitung Limit

Kuantitas tak terdefinisikan mengebabkan persoalan:

10 ∞

Dalam evaluasi persamaan gunakan aturan,2

persoalan: 0 000 , , , ,0 , .0

∞∞∞ − ∞ ∞

∞a

Jika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, definisikan 3

∞=∞∞=∞

=∞

-negatif)(bilangan xpositif bilangan

a ,,0

g , g,dengan persamaan aljabar, ambil harga tertentu pada titik limit, maka harga tertentu ini adalah harga limit.

3

a ga tJika fungsi, dibutuhkan untuk dihitung, tidak dapat dievaluasi pada titik (yaitu harga tidak didefenisikan seperti dalam (1)) maka tulis

4

didefenisikan seperti dalam (1)), maka tulis kembali fungsi kedalam bentuk yang dapat dievaluasi pada titik limit.

Page 66: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Metode Perhitungan Utama

Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional

Sering dibutuhkan aturan1 ( ) ( ) 2 2.a b a b a b+ − = −

Hilangkan faktor umum dari fungsi rasional.2( ) ( )2

1

1 11 1 2.1 1 x

x xx xx x →

− +−= = + ⎯⎯⎯⎯→

− −Jika akar kuadrat muncul dalam persamaan , maka kalikan dan bagikan dengan menghubungkan/tafsiran persamaan akar kuadrat.

3

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 21 2

1 21 2 3

x x x xx x

x xx x

+ − + + + −+ − − =

+ + −+( ) ( )1 2 3 0

1 2 1 2 x

x x

x x x x →∞

+ − −= = ⎯⎯⎯⎯→

+ + − + + +

k f k b h4 ( )sin xGunakan fakta bahwa4 ( )

0

sinlim 1.x

xx→

=

Page 67: Pertemuan 03 - 04 [Compatibility Mode]

Kerjakan Soal di bawah

12

2

3 2lim2x

x xx→

− +−

2

3 2

3 2

1lim3 5 2x

x x xx x x→∞

+ + ++ + +2x

3 2 2lim 1 1x

x x→∞

+ − − 2 2lim 1 1x

x x x x→∞

+ + − − −

( )i 3

4

( )2i

→ + + − − +2 20

2lim2 1 3 1x

xx x x x

( )0

sin 3lim

6x

xx→

5 6

( )( )

2

0

sinlim

sinx

xx x→

( )( )0

sin sinlimx

xx→

7 8

9 10( )( ) ( )→

+

+ + − − +2 20

2sinlim

2sin 1 sin 1x

x x

x x x x

( )tan x

2

lim ex π→ +