persamaan pembentuk aliran

Computational Fluid Dynamics (CFD) Preparedby: Mechanical Engineering Department, USU Himsar AMBARITA

Chapter-IIPersamaan Pembentuk Aliran

(Governing Equations)

Dasar dari persamaan pembentuk aliran untuk aliran dan perpindahan panas pada fluida dikembangkan dari tiga hukum kekekalan fisika. Hukum-hukum tersebut adalah hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum, dan hukum kekekalan energi. Hukum-hukum ini akan dibahas dalam koordinat Cartesian.

2.1.1 Hukum Kekekalan MassaAnggap sebuah elemen kecil dari fluida dalam kasus dua-dimensi dengan dimensi dan seperti

ditunjukkan pada gambar 2.1. Konsep utama dalam kasus ini adalah bahwa laju penambahan massa dalam volume atur sama dengan selisih massa aliran yang masuk dengan massa aliran yang keluar.

(2.1)dimana M adalah massa yang terjebak didalam elemen fluida dan adalah laju aliran massa yang melalui permukaan elemen.

Gbr 2.1 Kekekalan massa pada elemen fluida dalam kasus dua-dimensi

Dengan menggunakan simbol pada gambar, persamaan dapat diubah menjadi

(2.2)Dengan menyelesaikan persamaan tersebut dan membagi hasilnya dengan ukuran luas elemen diperoleh,

(2.3)

Untuk membuat persamaan yang sama pada aliran tiga-dimensi, elemen fluida yang sama ditunjukkan pada gambar 2.2. Pada gambar, kecepatan dalam arah sumbu-z dinamakan w. Dengan menggunakan konsep yang dilukiskan pada gambar, persamaan (2.1) menghasilkan

(2.4)

Dengan menyelesaikan persamaan tersebut dan membagi hasilnya dengan ukuran luas elemen diperoleh

(2.5)

Dengan menggunakan operator divergensi, persamaan (2.5) dapat dituliskan menjadi

(2.6)

SustainableEnergyResearchGroup Mechanical Engineering, USU 1


Gbr 2.2 Kekekalan massa pada elemen fluida dalam kasus tiga-dimensi

Persamaan kekekalan massa dalam persamaan (2.5) dapat dituliskan menjadi

(2.7)

By introducing material derive, it defines as

(2.8)

Dan juga operator divergensi,

(2.9)

Persamaan (2.7) dapat dituliskan menjadi bentuk sederhana menjadi

(2.10)

Persamaan diatas adalah bentuk umum dari hukum kekekalan massa atau juga dikenal sebagai persamaan kontuinitas. Pada aliran tak mampu mampat, yang berarti variasi kerapatan terhadap ruang dan waktu diabaikan, persamaan ini dapat disederhanakan dengan menghilangkan dari persamaan. Dalam notasi tensor, persamaan kontuinitas dapat dituliskan

(2.11), dimana , menunjukkan sumbu , secara berurutan.

2.1.2 Hukum Kekekalan Momentum

Hukum ini juga dikenal sebagai hukum gerak Newton kedua. Dikatakan bahwa resultan gaya yang yang bekerja pada benda sama dengan percepatan dikali dengan massa benda tersebut. Sebuah elemen kecil fluida pada kasus dua-dimensi dengan dimensi dan ditunjukan pada Gbr 2.3. Pada kasus dua-dimensi, hanya gaya pada sumbu-x dan sumbu-y yang dipertimbangkan. Pada gambar hanya gaya pada sumbu-x yang ditunjukkan. Gaya yang bekerja pada elemen dapat dipisahkan menjadi gaya pada permukaan dan gaya didalam benda.gaya pada permukaan



dihasilkan oleh distribusi tekanan, tegangan normal, dan tegangan geser. Gaya didalam benda, dinotasikan sebagai f, didefinisikan sebagai gaya per satuan massa yang bekerja pada pusat elemen fluida. Dalam kejadian sebenarnya, gaya ini dapat berupa gaya gravitasi, listrik, dan magnet.

x

y

x

y

yp

yxx

yxxpp

yxxxx

xx

xyx

xyyyx

yx

xf

Gbr 2.3 Kekekalan momentum pada elemen fluida dalam kasus dua-dimensi

Hukum kedua Newton pada sumbu-x dapat dituliskan (2.12)

,dimana dan adalah resultan gaya dan percepatan dalam sumbu-x, masing-masing. Dengan mensubstitusikan semua gaya yang dilukiskan pada gambar dan menggunakan definisi percepatan , persamaan (2.11) dapat dijabarkan

(2.13)

Dengan menyelesaikan persamaan dan mensubstitusi massa diperoleh

(2.14)Bagi persamaan dengan , kita memperoleh persamaan yang lebih singkat seperti berikut:

(2.15)

Persamaan momentum yang lebih sempuran dari sebuah elemen fluida pada kasus tiga-dimensi ditunjukkan pada Gbr 2.4.pada gambar hanya gaya pada sumbu-x yang ditampilkan. Catatan, untuk kasus tiga-dimensi, ada enam tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada permukaan. Gaya-gaya ini, dua gaya berasal dari distribusi tekanan dan dua gaya berasal dai dalam benda yang dilukiskan pada gambar.

Substitusikan gaya-gaya ini pada definisi hukum kedua Newton pada persamaan (2.11) diperoleh

(2.16)Solving this equation and divide by , results in a more compact equation as follows.

(2.17a)



xz

yx

z

yzyp zyx

xpp

zyxx zyxxxx

xx

zxyx

zxyyyx

yx

yxzx

yxzzzx

zx

xf

Fig 2.4 A fluid element for conservation of momentum in three-dimensional case

Dengn cara yang sama, persamaan pada sumbu-y dan -z, secara berurut adalah

(2.17b)

, dan

(2.17c)

Persamaan diatas dihasilkan oleh elemen fluida yang mengalir atau dikenal sebagai bentuk tidak kekal. Jadi, bagian turunan substansial harus diubah kedalam bentuk konservasi. For instance, the conversion process of is shown in the following.

(2.18)

Dengan menjabarkan turunan berikut dan menggunakan identitas vektor untuk divergensi hasil perkalian skalar vektor dihasilkan

(2.19)

dan(2.20)

Substitusikan persamaan (2.19) dan persamaan (2.20) ke persamaan (2.18) diperoleh

(2.21)

yang dapat disusun menjadi

(2.22)

Bagian terakhir dari persamaan ini sama dengan nol seperti ditunjukan pada persamaan (2.6). Jadi persamaan (2.22) dapat dituliskan

(2.23)

Substitusikan persamaan (2.23) kedalam persamaan (2.17) dihasilkan persamaan momentum pada sumbu-x dalam bentuk konservasi.

(2.24a)

Dengan cara yang serupa, persamaan pada sumbu-y dan –z, yang secara berurut, adalah

(2.24b)



(2.24c)

Persamaan (2.24) juga dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes dalam bentuk konservasi.Jika kurva laju tegangan vs regangan fluida diplot, ada dua fenomena yang dapat digambarkan yaitu fluida

dengan kurva linier dan kurva non-linier. Fluida dengan kurva linier dikenal dengan fluida Newtonian, contohnya air. Fluida dengan kurva non-linier dikenal dengan fluida non-Newtonian, contohnya darah. Pada disertasi ini kita hanya mempertimbangkan fluida Newtonian. Untuk fluida ini, tegangan normal dapat dirumuskan sebagai berikut.

(2.25a)

(2.25b)

(2.25c)

Dan tegangan geser

(2.26a)

(2.26b)

(2.26c)

,dimana adalah gradien kurva laju tegangan vs regangan atau dikenal dengan viskositas molekul (lebih dikenal dengan viskositas dinamik) dan adalah viskositas kedua. Kedua viskositas ini berhubungan dengan viskositas bulk dengan persamaan

(2.27)Pada umumnya, viskositas bulk dapat diabaikan kecuali dalam pembahasan struktur gelombang kejut dan dalam penyerapan dan peredaman gelombang suara. Dengan kata lain, untuk hampir semua fluida viskositas bulk sama dengan nol atau . Sehingga, viskositas kedua menjadi

(2.28)Sebagai catatan, hipotesis ini diperkenalkan oleh Stokes pada 1845. Meskipun hipotesis ini sudah tidak digunaan, namun, terkadang masih. Termasuk kerja saat ini.

Mensubstitusikan persamaan hipotesis dan persamaan tegangan normal dan geser ke persamaan (2.24) kita peroleh persamaan sempurna Navier-Stokes.

(2.29a)

(2.29b)



(2.29c)Persamaan ini dapat dituliskan dengan lebih pendek dengan menggunakan persamaan tensor yaitu

(2.30)Dimana yang secara berurut mengacu pada sumbu .

2.1.3 Hukum Konservasi Energi

Pada sub-bab ini, kaidah fisika ketiga adalah penerapan kekekalan energi. Berbunyi bahwa laju perubahan energi dalam sebuah elemen sama dengan besar fluks panas yang masuk kedalam elemen ditambah laju kerja yang dilakukan pada elemen oleh gaya pada tubuh dan permukaan. Hukum ini dapat ditulis

(2.31)Laju kerja yang dilakukan pada elemen oleh gaya pada tubuh dan permukaan yang pertama akan dievaluasi. Anggap sebuah elemen kecil dari fluida ditunjukan pada Gbr 2.5. Gaya-gaya yang ditinjau disini adalah gaya-gaya yang disebabkan oleh bidang tekanan, tegangan normal dan geser, dan gaya pada tubuh. Sebagai catatan, definisi laju kerja yang dilakukan pada elemen adalah gaya dikali kecepatan. Sehingga, semua gaya harus dipertimbangkan disini. Namun, akan ribet jika semua gaya digambarkan pada elemen yang sama. Agar mempermudah, hanya gaya-gaya pada sumbu-x yang ditunjukkan pada gambar. Gaya-gaya ini yang pertama kali dievaluasi dan kemudian cara yang sama akan digunakan untuk mengevaluasi kerja oleh gaya-gaya pada sumbu-y dan –z.

xz

yx

z

yzyup zyx

xupup

)(

zyu xx zyxx

uu xxxx

)(

zxu yx

zxyy

uu yx

yx

)(

yxu zx

yxzz

uu zxzx

)(

xuf

Gbr 2.5 Kerja yang dilakukan gaya pada elemen dalam sumbu-x

Menggunakan definisi, laju kerja oleh gaya-gaya pada sumbu-x dihitung dengan persamaan berikut.(2.32)

Substitusikan semua gaya yang ditunjukan pada gambar diatas maka dihasilkan



(2.33)

Dengan menyelesaikan persamaan ini dan definisikan diperoleh

(2.34a)Cara yang sama menghasilkan laju kerja oleh gaya-gaya pada sumbu-y dan –z, yang secara berurut ditunjukan, seperti berikut

(2.34b)

(2.34c)

Secara keseluruhan, total laju kerja yang dilakukan pada elemen fluida adalah jumlah dari persamaan ini. Sehingga, total laju kerja adalah

(2.35)

Bagian selanjutnya adalah total laju fluks panas yang masuk elemen fluida. Fluks panas ini berasal dari dua sumber. Yang pertama disebabkan oleh pertumbuhan panas didalam elemen, seperti penyerapan panas, reaksi kimia, atau radiasi. Yang kedua adalah perpindahan panas ke elemen melalui permukaan yang karena perbedaan temperatur. Defenisikan pertumbuhan panas volumetrik didalam elemen sebagai dan perpindahan panas yang melalui permukaan pada sumbu-x, -y, dan -z adalah , , dan . Semua sumber-sumber panas ini ditunjukkan pada gambar, sehingga total laju fluks panas yang masuk ke elemen dapat dihitung seperti berikut

(2.36)

Dengan menyelesaikan persamaan diperoleh

(2.37)



xz

y xz

yzyq x zyx

xqq x

x

yxq z

yxz

zq

q

z

z

zx

qy

z

xy

yqq

yy

zyxq

Fig 2.6 Heat flux across the surfaces of fluid element

Fluks panas pada persamaan diatas dapat di evaluasi menggunakan hukum Fourier, yang sebanding dengan gradien

temperatur lokal, dimana , , dan , adalah secara berurut fluks panas pada

sumbu-x, -y, dan -z. Disini, adalah kunduktivitas termal. Jadi, persamaan (2.37) dapat dituliskan

(2.38)

Terakhir kita akan menghitung laju perubahan energi didalam elemen fluida pada persamaan (2.31). Dimana energi adalah total energi didalam elemen fluida. Yaitu jumlah energi dalam dan energi kinetik akibat kecepatan elemen. Di satu sisi, berdasarkan termodinamika klasik, energi dalam berhubungan dengan jumlah translasi, rotasi, dan elektronik molekul tersebut. Pada disertasi ini kita tidak akan membahas perhitungan energi molekul. Kita hanya mendefinisikan bahwa semua energi ini didefinisikan sebagai energi dalam per satuan massa elemen fluida, yang dinotasikan dengan . Di sisi lain, energi kinetik elemen fluida dapat dihitung dengan mempertimbangkan semua komponen kecepatan. Disini energi kinetik per satuan massa adalah , dimana

. Dengan menggunakan pernjelasan ini, laju perubahan energi dalam elemen fluida dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:

(2.39)

Dengan mensubstitusikan pengembangan persamaan diatas ke persamaan (2.31) kita peroleh persamaan umum energi

(2.40)

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan energi dalam bentuk non-konservasi dan mengandung energi dalam bentuk energi total, energi dalam dan kinetik. Sebagai catatan persamaan diatas merupakan satu dari sekian banyak persamaan energi. Terlebih lagi, persamaan ini tidak jelas menunjukan hubungan dari semua parameter. Contohnya, jika kita ingin menggunakan persamaan ini untuk menghitung temperatur permukaan, sperti disiratkan pada sisi kiri persamaan. Oleh karena itu, persamaan ini harus diubah kedalam bentuk yang labh spesifik.

Dalam hal untuk mengubah persamaan energi menjadi lebih spesifik, kita gunakan persamaan momentum



pada persamaan (2.17). anggap persamaan momentum pada sumbu-x dan kali dengan komponen kecepatan maka diperoleh

(2.41)

Dengan menggunakan definisi bahwa , persamaan diatas dapat dituliskan menjadi

(2.42a)Dengan cara yang sama untuk momentum pada sumbu-y dan –z, diperoleh

(2.42b)

(2.42c)

Tambahkan semua persamaan (2.42) dan gunakan definisi sebagai hasil sebuah persamaan. Keluarkan persamaan yang dihasilkan dari persamaan umum energi pada persamaan (2.40), diperoleh

(2.43)

Persamaan energi diatas adlaah persamaan dalam bentuk tak-kekal dan pada sisi kiri hanya terdapat energi dalam. Dengan kata lain, gaya kinetik dan gaya tubuh dikeluarkan. Tegangan normal dan tegangan geser muncul pada persamaan. Sangat dianjurkan untuk mengubahnya kedalam komponen keecepatan. Untuk melakukan itu, gunakan persamaan (2.25) ke persamaan (2.26) untuk fluida Newtonian. Jadi persamaan (2.43) menjadi

(2.44)

Dengan mensubstitusikan hubungan tegangan normal dan tegangan geser, diperoleh

(2.45)

Agar persamaan ini lebih enak dilihat, semua efek kekentalan dikelompokan menjadi satu faktor yang dikenal sebagai fungsi disipasi , yang dapat ditulis kembali pada persamaan diatas menjadi



(2.46)

Mengunakan fungsi ini, persamaan energi yang dikembangkan sejauh ini dapat ditulis menjadi

(2.47)

Turunan pada sisi kiri persamaan ini menunjukan bahwa persamaan ini masih dalam bentuk tak-kekal. Pada bentuk kekal dapat dituliskan

(2.48)

Untuk mengubah persamaan ini sehingga sisi kiri mengandung temperatur, persamaan keadaan yang menunjukan hubungan antara energi dalam dan temperatur dapat diguakan. Misalnya menggunakan hubungan sederhana energi dalam , dimana c adlah kapasitas panas fluida. Substitusikanpersamaan ini, diperoleh

(2.49)Catatan, tujuan menyelesaikan persamaan energi adalah untuk memperoleh distribusi temperatur pada medan aliran. Dengan begitu, perlu ditampilkan kondisi temperatur. Sekarang jelas ditunjukan bahwa persamaan energi hanya pada kondisi suhu.

Persamaan energi yang ditunjukan persamaan (2.49) dapat dituliskan dengan lebih singkat dengan menggunakan persamaan tensor

(2.50)

Dimana yang secara berurut mengacu pada sumbu . Jika beberapa asumsi diusulkan, beberapa suku pada persamaan energi (2.50) dihilangkan. Misalnya, jika kerapatan konstan atau fuida tak mampu mampat maka akan sama dengan nol. Sebagai tambahan, jika disipasi kekentalan diabaikan, akan dikeluarkan dari persamaan. Dan juga, jika pertumbuhan panas didalam elemen nol, akan dikeluarkan juga.

2.1.4 Ringkasan persamaan pembentuk aliran

Meskipun persamaan yang dihasilkan terlihat sangat rumit, namun persamaan ini berasal dari tiga hukum kekekalan yang sangat sederhana, kekekalan massa, kekekalan momentum, dan kekekalan energi. Pada tiga dimensi, hukum ini menghasilkan lima persamaan diferensial yaitu penggabungan sistem persmaan diferential parsial non linear. Sehingga, sangat sulit diselesaikan secara analisis. Tidak ada penyelesaian umum untuk persamaan ini. Beberapa orang mungkin mengatakan dengan optimis penyelesaian belum ditemukan atau belum dilaporkan. Dengan kata lain, ini tidak berarti bahwa tidak ada penyelsaian umum tetapi para ilmuwan saja yang belum mampu untuk menemukannya. Persamaan-persamaan ini adalah sebuah masalah terbuka yang tanpa solusi analitis selama hampir 200 tahun. Institut matematika Clay, sebuah yayasan pribadi non-profit yang berbasis di Cambridge, Massachusetts telah menyebutkan bahwa persamaan Navier-Stokes adalah salah satu dari tujuh masalah terbuka yang paling penting di matematika. Yayasan telah menawarkan satu juta US dolar untuk penyelasiannya atau contoh penghitungnya. Sampai saat ini, tidak satu orang pun yang menerima uang ini. Solusi analitis masih terbuka. Metode lain untuk menyelesaikan persamaan-persamaan itu adalah metode numerik yang merupakan perhatian utama bab ini. Pada metode ini, persamaan akan diselesaikan dengan menggunkan iterasi untuk menemukan sebuah solusi pendekatan yang sedekat mungkin dengan solusi eksak. Bagaimana metode ini bekerja akan didiskusikan pada bab



selanjutnya.Kita sekarang akan merangkum semua persamaan pembentuk aliran. Ada beberapa bentuk yang dapat

digunakan untuk menampilkan persamaan pembentuk aliran. Beberapa bentuk telah digunakan pada subbab sebelumnya. Bentuk lain yang mungkin akan digunakan untuk merangkum persamaan-persamaan ini. Pada transien tiga dimensi fluida Newtonian tak mampu mampat, bentuknya sebagai berikut.

Persamaan kontuinitas

(2.51)

Persamaan momentum

Momentum-x: (2.52a)

Momentum-y:

(2.52b)

Momentum-z: (2.52c)

Persamaan energi

(2.53)

Dimana , , , dan adalah istilah-istilah sumber yang berhubungan dengan u, v, w, dan T, secara berurut.sumber-sumber ini dapat dihitung dengan membandingkan persamaan-persamaan ini dengan persamaan sebelumnya.

Tujuan utama menganti persamaan-persamaan ini ke bentuk yang ditunjukan adalah untuk menunjukkan kesamaannya. Perhatikan persamaan (2.51) sampai (2.53). jika kita mengenalkan variabel umum persamaan kekekalan semua persamaan pembentuk aliran dapat ditulis sebagai berikut

(2.54)

Dengan kata-kata, jumlah laju penambahan elemen fluida dengan laju aliran keluar sama dengan jumlah laju penambahan yang disebabkan difusi dengan laju penambahan disebabkan sumber. Persamaan (2.54) dikenal sebagai persamaan pengangkutan untuk properti . Hal ini jelas menunjukkan persamaan dapat dibagi menjadi empat segi, yaitu laju perubahan transien, konvektif term, difusif term ( adlah koefisien difusi), dan sumber term. Jadi kita menutup bab ini dengan mengatakan penyelesaian numerik persamaan (2.54) dapat digunakan untuk memecahkan semua persamaan pembentuk aliran. Metode untuk menyelesaikan persamaan ini akan didiskusikan pada bab selanjutnya.


persamaan pembentuk aliran

Documents