Selasa 18 April 2023

Persamaan dan fungsi Persamaan dan fungsi linier.linier.

Bentuk-bentuk Persamaan Garis ( PG ) 1. y = mx + c dengan m menyatakan

gradien/kemiringan m = y/ x

2. (y – yo) = m( x – xo) melalui titik (xo , yo)

3. melalui titik (xo , yo) dan (x1 , y1)

4. melalui titik (xo , 0) dan (0, yo)

01

0

01

0

xx

xx

yy

yy

1oo y

y

x

x

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang

tak diketahui.

Bentuk umum:

mnmnm

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxa

11

22121

11111

. . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.

Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.

Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol

Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen

Grafik Dari Sistem Linier

Dalam bentuk geometris, karena grafik dalam bentuk garis lurus, dapat diperlihatkan dalam 3 kemungkinan, seperti gambar berikut :

y y y

x x x

(a) (b) (c)

Grafik Dari Sistem Linier

• Untuk kasus (a) dua garis berimpit. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem bergantung (dependent).

• Untuk kasus (b) garis paralel dan tidak berpotongan. Dikatakan bahwa persamaan dalam sistem tidak konsisten (inconsistent.)

• Untuk kasus (c) garis berpotongan hanya pada satu titik. Dikatakan bahwa sistem persamaan konsisten (consistent.)

Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Subtitusi

Contoh: (untuk 2 variabel) 2x + 3y = 13x – y = 7

Menyelesaikan persamaan kedua y = 3x – 7. Mensubtitusikan ekspresi y pada persamaan pertama menghasilkan 2x + 3(3x – 7) = 1 2x + 9x – 21 = 1

11x – 21 = 1 11x = 22

x = 2

Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Subtitusi

Mensubtitusikan x = 2 kepada salah satu persamaan awalnya untuk mendapatkan nilai y.

2x + 3y = 1 3x - y = 7

2(2) + 3y = 1 3(2) - y = 7 3y = 1 – 4 6 - y = 7 y = - 3/3 - y = 7 - 6

y = - 1 y = - 1

Solusi untu sistem linier adalah (2, –1).

Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Eliminasi

Contoh : x – y = – 2 (1)

2x – 3y = – 7 (2)

Step 1 Kalikan Persamaan (1) dengan –3 –3x + 3y = 6 (1

´)

Step 2 Tambahkan persamaan (1´) ke persamaan (2) –3x + 3y = 6 (1´)

2x + (–3y) = –7 (2)

– x = –1 atau ekuivalen, x = 1

Menyelesaikan Persamaan Linier Dengan Metoda Eliminasi

Step 3 Subtitusikan nilai x = 1 kepada salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai y.

x – y = –2 2x - 3y = -7

1 – y = –2 2(1) - 3y = -7

–y = –3 2 - 3y = -7

y = 3 -3y = -9

y = 3 Solusi dari persamaan linier adalah (1, 3).

Sistem Persamaan Linier

Teorema : Sistem Persamaan Linier dalam suatu bentuk tertentu (finite) dari operasi baris elementer dapat dijadikan sebagai bentuk echelon (kecuali semua baris yang dibawah mempunyai koefisien yang nilainya nol)

Sistem Persamaan Linier ada pada bentuk echelon (echelon form) bila urutannya membentuk matrik atas.

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

Bentuk umum :

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

SPL

Mempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN

Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN

TUNGGAL

BANYAK

ILUSTRASI GRAFIK• SPL 2 persamaan 2 variabel:

• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan

PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS

SPL BENTUK MATRIKS

STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.

TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL

SPL1. Mengalikan suatu

persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu

baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

CONTOH

DIKETAHUI

kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (iii)dengan (-2).

kalikan brs (iii) dengan (-2).

LANJUTAN CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).

kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

Lanjutan CONTOH

kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).

kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).

kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)

kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.

KERJAKAN EXERCISE SET 1.1

BENTUK ECHELON-BARIS

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian

bawah.3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada

leading 1 baris berikut.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Eliminasi GaussianMengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: