BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang

berhubungan dengan geometri. Yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Samgat diperlukan pemahaman terhadap hal hal yamh berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.

Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubunngan dengan geometri. Materi yang kam bahas adalah persamaan garis singgung parabola.

Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan mateeri yang kami bahas, maka mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.

B. Perumusan Masalah

1. Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (0,0) ?2. Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (a,b) ?

C. Tujuan

Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah:

1. Menentukan garis singgung parabola ?2. Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak ?

1

BAB II

ISI

Definisi Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

A. Persamaan Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.

1. Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (0 , 0)

o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada parabola y2=−4 px ,

dapat dinyatakan sebagai:

y− y1=m( x−x1 )

Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

¿ x= y2

−4 p

¿dxdy

=2 y−4 p

¿dxdy

= y−2 p

¿dydx

=−2 py

jadi ,m=dydx

=−2 py

Dititik (x1, y1) : m = −2 p

y1

Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah

y1y = -2p (x +x1 )

nilai m = −2 p

y1 didistribusikan ke persamaan y− y1=m( x−x1 ) diperoleh

2

⇔ y− y1=−2 py1

(x−x1 )

⇔ y1 ( y− y1 )=−2 px+2 px1

⇔ y1 y− y12=−2 px+2 px 1 ( ingaty

12=−4 px )

⇔ y1 y−(−4 px )=−2 px+2 px1

⇔ y1 y+4 px=−2 px+2 px1

⇔ y1 y=−2 px−2 px1

⇔ y1 y=−2 p ( x+x1 )

o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada parabola x2 = - 4py,

dapat dinyatakan sebagai y− y1=m( x−x1 )

dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:

x2=−4 py

⇒ y=x2

−4 p

⇒dydx

=2 x−4 p

⇒dydx

=x−2 p

Jadi, m=dydx

=x−2 p

Dititik ( x−x1 ):m=x1

−2 pdisubtitusikankepersamaan

y− y1=m( x−x1 )diperoleh:

y− y1=x1

−2 p( x−x1 )

⇒−2 p( y− y1 )=x1 x−x12

⇒−2 py+2 py1=x1x−x1

2( ingatx1

2=−4 py1 )

⇒−2 py+2 py1=x1x−(−4 py1 )⇒−2 py+2 py1=x1x+4 py1

⇒ x1 x=−2 py1−2 py⇒ x1 x=−2 p( y+ y1 )

d x

d y

= y−2 p

3

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti

pada tabel dibawah ini:

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 y2 = 4px y1 y =2p (x + x1)

2 y2 = - 4px y1 y = - 2p (x + x1)

3 x2 = 4py x1 x = 2p (y + y1 )

4 x2 = - 4py x1 x = - 2p (y + y1 )

Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan ℓ : y = mx + b maka

(mx+b )2=−4 px

m2 x2+2mbx+b2+4 px=0x + b2 + 4px = 0

m2 x2+(2mb+4 px ) x+b2=04p )x + b2 = 0

Garis menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0, sehingga b2 – 4ac = 0

(2mb + 4p )2 – 4 m2 b2 = 0

↔ 4 m2 b2+16 mbp+16 p2−4 m2 b

2 = 0

↔ 16mbp = −16 p2

mb =

−16 p2

16 p

mb = - p

b =

−pm

4

y

x

y1 = mx – pm 2

y = mx + c

P(x,y)

Subtitusi b =

−pm pada persamaan garisℓ , diperoleh y = mx +

−pm

Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px dengan gradien m adalah y = mx +

−pm

Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py dan

ℓ : y = mx+b, maka

⇔ x2=4 p (mx+b )⇔ x2=4 pmx+4 pb⇔ x2−4 pmx−4 pb=0

Garis ℓ menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0, sehingga: b2 – 4ac = 0

⇔(−4 pmx )2−4(−4 pb )=0⇔16 p2 m2+16 pb=0⇔16 p2 m2=−16 pb

⇔b=16 p2 m2

−16 p⇔b=−pm2

b2−4 ac=0

Subtitusi b=−pm2 pada persamaan garis ℓ , diperoleh y = mx−pm2

Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py x2=4 py dengan gradien m adalah y =

mx−pm2

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan

gradien m seperti tabel berikut ini:

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

5

1. y2 = 4px y = mx +

pm

2. y2=−4 py y=mx− pm

3. x2=4 py y = mx−pm2

4. x2=−4 py y=mx+ pm2

1. Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (a , b)

a. Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b)

Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan

mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola

(x –a)2 = 4p (y – b)

Subtitusi y = mx + n

⇔ (x –a)2 = 4p (mx + n – b)

⇔ x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)

⇔ x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0

⇔ x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0

⇔ x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0

⇔ ( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0

⇔4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0

⇔16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0

--------------------------------------------------------------------- : 16p

6

y

x

y-b = m(x-a) – pm 2

y = mx + n

P(x,y)

⇔ma + pm2 + (n – b) =0

⇔ (n – b) = -ma – pm2

⇔n = -ma – pm2 + b

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh dengan cara

mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n

⇔ y = mx + n

⇔ y = mx + ( -ma – pm2 + b)

⇔ y = mx – ma – pm2 + b

⇔ y – b = m( x – a ) – pm2

n=−ma+ρ m2+b

Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n dapat

kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan

parabola

(y – b)2 = 4p( x – a)

⇔ ((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)

⇔ (mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)

⇔m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)

⇔m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

⇔m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0

Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0

(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0

4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn – 4m2n2 – 4m2b2 = 0

7

- 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0

---------------------------------------------------------- : 16p

- mn + mb + p – m2a = 0

- mn = - mb + m2a – p

- mn = m (ma – b) – p −mn=−mb−m2 a−p

n = - (ma – b) –

pm

Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n

y = mx + n

y = mx + (- ma + b) –

pm

(y – b) = m(x – a) -

pm

Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien

m seperti tabel di bawah ini.

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 (y – b)2 = 4p( x – a) ( y−b)=m(x−a)− pm

2 (y – b)2 = - 4p( x – a)

( y−b)2=−4 p (x−a) ( y−b )=m ( x−a )+ p

m

3 (x−a)2=4 p( y−b) ( y−b)=m(x−a)−p m2

4 (x−a)2=−4 p( y−b) ( y−b )=m ( x−a )+ p m2

8

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)

Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P (x1, y1)

(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)

y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)

y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)

Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)

adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

( y−b)2=4 p ( x−a )

( x−a )=14 p

( y−b )2

d ( x−a )dy

=14 p

.2( y−b )

d ( x−a )dy

=( y−b )2 p

dydx

=2 p( y−b )

9

Jadi m di titik P (x1, y1) =

2 p( y1−b )

.. . .. .. .( iii )

Subtitusi (iii) ke (ii)

y− y1=m( x−x1)

y− y1=2 p( y1−b )

( x−x1 )

( y− y1 )( y1−b=2 p( x−x1 )yy1−by− y

12+by1=2 p (x−x1 ) .. .. . ..( iv )

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)

yy1−by− y12+by1=2 px−2 px1

yy1−by−(2 by1−b2+4 p ( x1−a ))+by1=2 px−2 px1

yy1−by−by1+b2=4 px1−4 pa+2 px−2 px1

( y−b)( y1−b )=2 px1−4 ap+2 px

( y−b)( y1−b )=2 p( x+ x1−2 a )

Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)

( x1−a)2=4 p ( y1−b)x1

2−2ax1+a2=4 p ( y1−b )

x12=2ax1−a2+4 p ( y 1−b) .. . .. ..( i )

p( X1 , Y 1)

Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah

(y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii)

Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:

10

( x1−a)2=4 p ( y1−b)

( y1−b )=14 p

( x1−a)2

( y1−b )dx

=14 p

.2( x1−a )

dydx

=( x1−a )2 p

jadi m =

x1−a

2 p.. . .. .. . .( iii )

Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)

( y− y1 )=m( x−x1 )

( y− y1 )=( x1−a)2 p

( x−x1 )

2 p( y− y1 )=( x1−a )(x−x1 )2 p( y− y1 )=x1 .x+x1

2−ax+ax1 .. . .. ..( iv )

Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)

2 py−2 py1= xx1−x12−ax+ax1

2 py−2 py1=xx1−(2 ax1−a2+4 p( y1−b ))−ax+ax 1

2 py−2 py1+4 py1−4 pb=xx1−ax−ax1+a2

2 py+2 py1−4 pb=xx1−ax1−ax+a2

2 p ( y+ y1−2 p )=( x−a)( x1−a )

Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)

(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)

Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel

dibawah ini:

11

No Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1 (y – b)2 = 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)

2 (y – b)2 = - 4p( x – a) (y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)

3 (x – a)2 = 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)

4 (x – a)2 = - 4p(y – b) (x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)

BAB III

PENUTUP

Soal Latihan.

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2=8 xdi titik yang mempunyai koordinat 4.

12

Jawab:Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku y2=8 x

y2=4.2 x

Dari persamaan di atas terlihat bahwa c = 2 dan puncak parabola di titik (0, 0)Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 4,kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis

42= 8xx = 2

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakanpersamaan (5) kita peroleh

4y = 2 2(x + 2)4y = 4x + 8x y + 2 = 0

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 -4y 8x + 28 = 0 di titik yangmempunyai ordinat 6.

Jawab:Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku

y2−4 y−8x=0y2−4 y=8x 28

y2−4 y+4=8 x 28+4 ¿¿

Dari persamaan terakhir diperoleh (h, k) = (3, 2) dan c = 2.Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan koordinat 6,kita substitusikan y = 6 pada parabola maka diperoleh absis

(6−2)2=4.2(x−3)x = 5

Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (5, 6). Dengan mempergunakanpersamaan (6) akan diperoleh

(6−2)( y−2)=2. 2(x+5−2 .3)4 ( y−2)=4 (x−1)

4 y−8=4 x−4x− y+1=0

DAFTAR PUSTAKA

Leithold, Louis. 1986. Kalkulus dan Ilmu Analitik 3. Jakarta: PT Bina Aksara

Sukirman. (1995). Modul geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Universitas Terbuka Jakarta

13