Inferensia dan Perbandingan

Vektor Nilai Tengah

Perbandingan Kasus Peubah

Tunggal dan Peubah GandaPeubah Tunggal Peubah Ganda

Penduga titik parameter

nilai tengah

Skalar Vektor nilai

tengah

Penduga selang nilai tengah Selang

Kepercayaan

Daerah (elips)

Kepercayaan

Pengujian hipoteis nilai

tengah satu populasi

Uji t-student Uji T2-Hotelling

Pengujian beda nilai tengah

dua populasi

Uji t-student Uji T2-Hotelling

Pengujian beda nilai tengah

beberapa populasi

ANOVA MANOVA

Pengujian Hipotesis: Vektor

Nilai Tengah

Bentuk Hipotesis

Hipotesis yang diuji dalam pengujian

vektor nilai tengah populasi mirip seperti

pada kasus univariate, yaitu:

H0: = 0 vs H1: 0

Dengan,

0

20

10

)1(0

p

px

Statistika uji untuk vektor nilai tengah

0

1

00

1

0

2 '1

'

XSXnXSn

XT

Statistik uji yang dapat digunakan dalam

pengujian vektor nilai tengah populasi adalah

(1) T2-Hotelling dan (2) Wilk-lambda.

1. T2-Hotelling, sebagai berikut:

n

j

j)(px

Xn

X11

1

n

j

jjpxp

XXXXn

S1

)('

1

1

Dengan,

2. Uji Wilk-Lambda, sering juga disebut uji

rasio kemungkinan (likelihood ratio test)

2/

2/

0

2/0

2/

2/2/

2/

0,

0

ˆ2

1),(

ˆ2

1),(

,

ˆ

ˆ

),(max

),(max

np

nnp

np

nnp

n

eL

eL

dengan

L

L

12

11

n

T2/n

Lambda,- Wilkdengan Hotelling Hubungan

Daerah Penolakan H0

Daerah penolakan untuk hipotesis nol dapat

dihampiri dengan menggunakan sebaran F,

sebagai berikut:

pnpFpn

pnXS

nXT

,0

1

0

2 11'

Untuk ukuran sampel besar maka T2-Hotelling

dapat juga dihampiri dengan sebaran khi-

kuadrat berderajat bebas p.

Makna Penolakan H0

• Jika hipotesis nol ditolak itu artinya bahwa

paling sedikit ada satu kombinasi linier

peubah yang rata-ratanya berada diluar

selang kepercayaan (1-).

• Perlu uji lanjut, yaitu:

– Daerah kepercayaan ganda, dapat disajikan

dalam bentuk Ellips.

– Selang kepercayaan simultan

– Selang kepercayaan Bonferoni

ILUSTRASI

Perspirasi dari 20 wanita yang tergolong

sehat dianalisa. Tiga komponen, yaitu X1

= laju perspirasi, X2 = kandungan sodium

dan X3 = kandungan potasium diukur

Ujilah apakah hipotesis H0: ’ = [4, 50,

10] lawan H1: ’ [4, 50, 10] pada taraf

nyata = 0.10

Ringkasan Data

965.9

400.45

640.4

x

628.3640.5810.1

640.5788.199010.10

810.1010.10879.2

S

402.002.258.

002.006.022.

258.022.586.1S

Perhitungan T2-Hotelling

74.9

10965.9

50400.45

4640.4

402.002.258.

002.006.022.

258.022.586.

'10965.950400.454640.4202

T

18.844.2353.310.17

31910.

117,3,

FF

pn

pnpnp

Terlihat bahwa T2 = 9.74 > 8.18,

sehingga konsekuensinya kita tolak H0

pada taraf nyata 10%.

Daerah (ellips) Kepercayaan

bagi Vektor Nilai Tengah

Daerah (ellips) Kepercayaan

Suatu daerah kepercayaan 100(1-)% bagi nilai

tengah suatu sebaran normal ganda p adalah suatu

elips yang ditentukan oleh semua sedemikian

rupa sehingga

di mana

dan x1, x2, ..., xn adalah pengamatan contoh.

pnpFpn

pnXSXn

,

1 1'

n

j

j)(px

Xn

X11

1

n

j

jjpxp

XXXXn

S1

)('

1

1

ILUSTRASI

603.

564.X

0146.0117.

0117.0144.S

228.200391.163

391.163018.2031S

05.40

412

603.

564.

228.200391.163

391.163018.203603.564.42 40,2

2

1

21 F

ellips kepercayaan 95% bagi terdiri dari

semua nilai (1, 2) yang memenuhi

Mencari Akar dan Vektor Ciri

Pasangan akar ciri dan vektor ciri bagi S

adalah

1 = .026 e1’ = [.704, .710]

2 = .002 e2’ = [-.710, .704]

Pusat ellips tersebut pada titik [.564, .603]

Hitung Panjang Sumbu

setengah dari panjang sumbu mayor dan minornya masing-masing adalah:

Sumbu-sumbu tersebut teletak sepanjang e1’ = [.704, .710] dan e2’ = [-.710, .704]

064.23.3

4042

412026.

1,1

pnpF

pnn

np

018.23.3

4042

412002.

1,2

pnpF

pnn

np

Menggambar Ellips Kepercayaan

Menggambar Elips Kepercayaan

0.60

0.65

0.55

0.55 0.60 1

2

Pengujian Hipotesis:

Perbandingan Vektor Nilai

Tengah

Kasus Dua Sample

Saling Bebas

Populasi I

X~N(1,12)

Sampel I

(n1)

Populasi II

X~N(2,22)

Sampel II

(n2)

Acak dan

saling bebas

1 ??? 2

– Setiap populasi diambil

sampel acak berukuran

tertentu (bisa sama, bisa

juga tidak sama)

– Pengambilan kedua

sampel saling bebas

– Tujuannya adalah

menguji apakah

parameter 1 sama

dengan parameter 2

Deskripsi masing-masing sampel

1

1

1

1

1

1 n

j

jn

xx '1

111

1

11

1

1

1

xxxxS

j

n

j

jn

1

1

2

2

2

1 n

j

jn

xx '1

122

1

22

2

2

1

xxxxS

j

n

j

jn

Multivariate:

Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Misal:

vektor peubah acak untuk sampel 1 adalah x1’=(x11, x12,…,x1p) dan

vektor peubah acak sampel 2 adalah x2’=(x21, x22,…,x2p)

Bentuk Hipotesis: H0: 1 = 2 vs H1: 1 2.

Statistik uji:

a. Ragam sama

Daerah penolakan H0:

Langkah Pengujiannya

21

1

21

21

2 11' xxxx

gabSnn

T

121,

21

2122

1

2

pnnpF

pnn

pnncT

2

11

21

2211

nn

SnSnSgab

Statistik uji:

a. Ragam tidak sama (Gunakan

matriks kovarian masing-

masing sample

Daerah penolakan H0:

21

1

2

2

1

121

2 ' xxxx

n

S

n

ST

2

),(

22

pcT

Ilustrasi

Misal:

x1=lebar badan kura-kura; x2=panjang badan kura-kura

Sampel 1:

(n1=24)

Sampel 2:

(n2=24)

Hipotesis :

52.042

102.583Jx

64.737101.844

101.844171.732JS

40.708

88.292Bx

11.25921.654

21.65450.042BS

BJBJ ::0 1H H

• Kasus ragam sama

• Tolak Ho, jika

21

1

21

|

21

2 11xxS

nnxxT gab

2

11

21

2211

nn

SnSnSgab

37.99861.749

61.749110.887gabS

0.2770.154-

0.154-0.0951

gabS

11.333

14.29221 xx

2

24995.4

11.333

14.292

0.2770.154-

0.154-0.0945

24

1

24

1333.11292.142 xT

988.444.245

24601.

1

21,

21

2122

21

pnnpF

pnn

pnncT

• Kasus ragam tidak sama

• Tolak Ho, jika

21

1

2

2

1

121

2 ' xxn

S

n

SxxT

11.333

14.292

13.95625.898

25.89857.1971

2 333.11292.14T

170.14333.11292.142

11.333

14.292

0.4480.203-

0.203-0.109T

99.522

)2;05.0( T