perangkat pembelajaran pembelajaran aljabar linier 2 mkk414515 semester iv / 2 sks program studi...

43
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

Upload: nguyenhanh

Post on 25-Jun-2018

217 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

PERANGKAT PEMBELAJARAN

MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2

KODE : MKK414515

DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN

ALJABAR LINIER 2

MKK414515

Semester IV / 2 SKS

Program Studi

Pendidikan Matematika

Oleh :

Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

I. Identitas Mata Kuliah

Nama Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Matakuliah : MKK414515

SKS : 2 SKS

Semester : IV

Prodi : Pendidikan Matematika

Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

II. Manfaat Matakuliah

Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks

dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks dan transformasi linear dalam menyelesaikan

permasalahan, memahami pengertian teorema spektral dan bentuk kuadratik, memahami pengertian

bentuk Kanonik Jordan, dan memiliki pengetahuan untuk dapat menggunakan konsep transformasi

linear, teorema Spektral, bentuk kuadratik dan bentuk Kanonik Jordan pada persoalan-persoalan yang

berkaitan dengan ilmu-ilmu matematika atau ilmu-ilmu lainnya.

III. Deskripsi Matakuliah

Dalam perkuliahan ini dibahas:

1. Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi,

ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil

kali dalam, dan basis orthonormal.

2. Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari

Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier.

3. Nilai dan vektor eigen

IV. Kompetensi Dasar dan Indikator

Standar Kompetensi :

Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu

persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya

maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model

persamaan liniernya.

KD 1 : Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian

Indikator :

Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk

grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris

dan ruang kolom pada matriks.

KD 2 : menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-

vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta

menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor.

Indikator :

1. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier

2. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.

3. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya.

4. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

KD 3 : Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks

transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis

dari suatu ruang vektor.

Indikator :.

1. Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang

merupakan transformasi linier.

2. Mampu menentukan matriks transformasi linier.

3. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.

KD 4 : Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang

mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu

vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-

Schmidt.

Indikator :

1. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.

2. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

3. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan

proses Gram-Schmidt.

KD 5 : Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks

transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier,

serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.

Indikator :

1. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi

linier.

2. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier.

3. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.

KD 6 : Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan

bentuk kuadrat.

Indikator :

Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.

KD 7 : Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung Ae

dengan menggunakan teorema Caely-hamilton

Indikator :

Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung Ae dengan

menggunakan teorema Caely-hamilton.

V. Organisasi Materi

a. Ruang-ruang vektor

1) Ruang vektor

2) Ruang vektor bagian

3) Ruang baris

4) Ruang kolom

b. Ruang Vektor

1) Bebas linier

2) Bergantung linier

3) Kombinasi linier

4) Basis dan dimensi

c. Transformasi Linier

1) Transformasi linier

2) Koordinat relatif

3) Perubahan basis

4) Matriks transformasi linier

5) Ruang peta

6) Ruang nol

d. Vektor di R2 dan R3

1) Ruang inner product

2) Panjang vektor

3) Jarak antar vektor

4) Sudut antara dua vektor

5) Unit vektor

6) Vektor yang ortogonal

7) Ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt

e. Nilai Eigen

1) Eigenvalues dan eigen vektor

2) Similarita

3) Pendiagonalan matriks transformasi linier

f. 1) Relasi kongruensi

2) Bentuk bilinier

3) Bentuk kuadrat

g. Determinan

1) Bentuk kanonik jordan

2) Teorema Caley Hamilton

VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran

Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, diskusi, tanya jawab dan studi

kasus). Diskusi dilakukan secara kelompok, tanya jawab dan studi kasus dilaksanakan di setiap

akhir perkuliahan.

VII. Sumber Belajar

a. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

b. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

c. Modul Aljabar Linier 2

VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran

JENIS TES BOBOT

a. Presensi, sikap, perilaku, keaktifan 30%

b. Diskusi, tanya jawab, studi kasus 20%

c. UTS 20%

d. UAS 30%

IX. Jadwal Pembelajaran

MINGGU

KE- MATERI

1 Ruang vektor, ruang vektor bagian

2 Ruang baris dan ruang kolom

3 Bebas linier, bergantung linier, kombinasi linier

4 Basis dan dimensi

5 Transformasi linier, koordinat relatif, perubahan basis

6 Matriks transformasi linier, ruang peta, ruang nol

7 Ruang inner product, panjang vektor, jarak antar vektor, sudut antara dua vektor,

unit vektor.

8 Vektor yang ortogonal, ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt

9 Ujian Tengah Semester

10 Eigenvalues dan eigen vektor, similarita

11 Pendiagonalan matriks transformasi linier

12 Relasi kongruensi

13 Bentuk bilinier, bentuk kuadrat

14 Bentuk kanonik jordan, teorema Caley Hamilton

15 Review Materi

16 Ujian Akhir Semester

SILABUS MATA KULIAH

Program Studi : Pendidikan Matematika

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Bobot : 2 SKS

Semester : IV

Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar Linier 1

Deskripsi Mata Kuliah : Dalam perkuliahan ini dibahas: (1) Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi,

ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis

orthonormal; (2) Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm,

geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier; dan (3) Nilai dan vektor eigen.

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai

bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat

model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok Alokasi Waktu

(menit)

Sumber/Bahan Ajar/Media

Penilaian/ evaluasi

1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian

Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada

Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian.

Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor dan ruang bagian.

Ruang vektor Ruang vektor

bagian Ruang baris Ruang kolom

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD,

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

matriks. whiteboard 2. Menunjukkan

vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor.

5. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier

6. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.

7. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya.

8. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier.

Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.

Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.

Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor.

Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang saling bergantung linier.

Mendiskusikan persoalan tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.

Mendiskusikan persoalan mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

Bebas linier Bergantung

linier Kombinasi

linier Basis dan

dimensi

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.

Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier.

Mampu menentukan matriks transformasi linier.

Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol.

Mengkaji tentang konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi.

Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.

Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor

Transformasi linier

Koordinat relatif

Perubahan basis

Matriks transformasi linier

Ruang peta Ruang nol

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan

Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.

Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses

Menkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

Mendiskusikan persoalan tentang panjang dan sudut

Ruang inner product

Panjang vektor

Jarak antar vektor

Sudut antara dua vektor

Unit vektor Vektor yang

ortogonal Ortogonalisas

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

Gram-Schmidt. dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product

Mendiskusikan persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

i vektor dengan Gram-Schmidt

5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.

4. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.

5. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier.

Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.

Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.

Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier.

menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.

Mendiskusikan persoalan tentang eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.

Mendiskusikan persoalan tentang similaritas matriks transformasi linier.

Mendiskusikan persoalan tentang pendiagonalan matriks transformasi linier.

Eigenvalues dan eigen vektor

Similaritas Pendiagonala

n matriks transformasi linier

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat.

Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

Mendiskusikan persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

Relasi kongruensi

Bentuk bilinier

Bentuk kuadrat

4 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan

menghitung Ae

dengan menggunakan teorema Caely-hamilton

Dapat mencari

bentuk kanonik

jordan dari matriks

dengan

menghitung Ae

dengan

menggunakan

teorema Caely-

hamilton

Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks

dengan menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

Mendiskusikan persoalan tentang bentuk kanonik jordan dari matriks dengan

menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

Bentuk

kanonik

jordan

Teorema

Caley

Hamilton

2 x 50 Sumber:

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier

Modul Aljabar Linier 2

Media: LCD, whiteboard

Partisipasi dalam diskusi

Latihan soal-soal di bahan ajar.

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 1 dan 2

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor

bagian.

Indikator : 1.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi

padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor

bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada

matriks.

A. MATERI

RUANG VEKTOR

Misalkan V sebarang himpunan benda yang operasinya didefinisikan, yakni penambahhan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan suatu aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, dan w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebagai ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V dinamakan vektor. 1. Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u v berada di V 2. u v v u

3. u v w u v w

4. Ada suatu benda 0 di V sehingga 0 0u u u untuk semua u di V 5. Untuk setiap u di V, maka ada suatu benda –u di V yang dinamakan negatif u sehingga

0u u u u

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V

7. k u v ku kv

8. k l u ku lu

9. k lu kl u

10. 1u u

Sub Ruang Vektor

Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V maka W disebut sub ruang vektor (subspace vector) dari V, bila vektor-vector didalam W memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian skalar dari V. Teorema 1.4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u v terletak di W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di

W.

Ruang Baris dan Ruang Kolom Misal matriks A berukuran mxn

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

Vektor baris:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

n

n

m m m mn

r a a a

r a a a

r a a a

Vektor kolom:

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

, , ,

1 1 1

n

n

n

m m mn

a a a

a a ac c c

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

Sub ruang Rn yang direntang oleh

vektor baris disebut ruang baris

(row space) dari A

Sub ruang Rn yang direntang oleh

vektor kolom disebut ruang

kolom (colomn space) dari A

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-1

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan kontrak perkuliahan 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang

konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian.

2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang vektor dan ruang vektor bagian.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru

mengenai ruang vektor dan ruang vektor bagian.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

60 menit

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

Pertemuan ke-2

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang

konsep ruang baris dan ruang kolom.

2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang baris dan ruang kolom.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru

mengenai ruang baris dan ruang kolom.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

60 menit

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

d. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

e. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

f. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 3 dan 4

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang

vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat

mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan

dimensi ruang vektor.

Indikator : 2.1 Menentukan himpunan vektor yang bebas linier

2.2 Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.

2.3 Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap

vektor-vektor lainnya.

2.4 Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang

vektor.

A. MATERI

RUANG VEKTOR

Kombinasi Linier Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor 1 2, ,....., rv v v bila vektor w dapat

dinyatakan sebagai persamaan vektor (SPL) berikut:

1 1 2 2 r rw k v k v k v , di mana 1 2, , , rk k k adalah skalar.

Merentang

Misalkan 1 2, , , rv v v di V dan tiap-tiap vektor tersebut kombinasi linear dari 1 2, , , rv v v

maka vektor tersebut dikatakan merentang ruang V

Bebas Linier

Jika 1 2, , , rS v v v adalah himpunan vektor dan suatu persamaan vektor:

1 1 2 2 0r rk v k v k v

Persamaan tersebut pasti mempunyai “satu pemecahan” (Pemecahan trivial) yaitu:

1 2 3 0rk k k k

Jika demikian maka vektor S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent)

dan jika ada pemecahan lain (pemecahan tak trivial), maka S dinamakan tak bebas linear

(linearly independent).

Basis dan Dimensi

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan 1 2, , , rS v v v merupakan himpunan

berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika:

a. S bebas linear b. S merentang V

Contoh 1.10

Apakah himpunan 1 2 3, ,S v v v di mana 1 2 31,2,1 ; 2,9,0 ; 3,3,4v v v

merupakan basis untuk R3? Solusi:

a. Buktikan S bebas linear syarat: punya pemecahan 1 2 3 0k k k

1 1 2 2 3 3 0k v k v k v

SPL

1 2 3

1 2 3

1 3

2 3 0 1 2 3

2 9 3 0 2 9 3

4 0 1 0 4

k k k

k k k A

k k

b. Buktikan S merentang R3 syarat : kominasi linear Konsisten/tidak?

Punya invers

Det (A) 0

Det (A) 0 A dapat dibalik (punya invers)

S merentang R3 Kesimpulan: S adalah sebuah basis untuk R3

Definisi: Dimensi suatu ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Teorema:

1. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang

V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V

2. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor yang merentang pada suatu

ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V

3. Jika 1 2, , , nS v v v adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang

V yang berdimensi n, dan r n , maka S adalah dapat diperbesar menjadi basis untuk

V; yakni vektor-vektor 1, ,r nv v sehingga 1 2 1, , , , ,r r nv v v v vadalah suatu basis

untuk V B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-3

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

10 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara

menentukan himpunan vektor yang bebas linier.

2. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier.

3. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan

mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

60 menit

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

15 menit

Pertemuan ke-4

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada

pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

10 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara mencari

dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan

mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

50 menit

60 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 5 dan 6

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor,

matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta

menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.

Indikator : 3.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk

transformasi yang merupakan transformasi linier.

3.2 Mampu menentukan matriks transformasi linier.

3.3 Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan

ruang nol.

A. MATERI

RUANG VEKTOR

Kombinasi Linier Jika :F V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika

1. F u v F u F v untuk semua vektor u dan v di V

2. F ku kF u untuk semua vektor u di V dan semua skalar k

Sifat Transformasi Linear; Kernel dan Jangkauan

Jika :T V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh

ker T . Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling

sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh

R T .

Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka

1. 0 0T

2. T v T v untuk semua v di V

3. T v w T v T w untuk semua v dan w di V

Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dinamakan nulitas (nullity) T. Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear, maka

1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Jang/kauan dari T adalah subruang dari W

Teorema: Jika :T V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka:

rank dari nulitas dari T T n

Teorema: Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari 0Ax adalah:

rankn A

Misalkan 1 2, , , nv v v adalah basis untuk ruang vektor v dan :T V W adalah

transformasi linear. Jika bayangan vektor basisnya diketahui yaitu:

1 2, , , nT v T v T v

Maka kita dapat memperoleh bayangan T v dari sebarang vektor v dengan menyatakan

dulu v dalam basis tersebut, misalkan:

1 1 2 2 n nv k v k v k v

Dan kemudian dapat ditulis:

1 1 2 2 n nT v k T v k T v k T v

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-5

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

5 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Mengkaji tentang konsep

50 menit

transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi.

2. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa

kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan

mengenai transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor.

3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.

4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

70 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

Pertemuan ke-6

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada

pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi

Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor

b. Elaborasi

45 menit

1. Mahasiswa diberi persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

60 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 7 dan 8

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks

yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan

proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan

ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

Indikator : 4.1 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor.

4.2 Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang

inner product.

4.3 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal

dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

A. MATERI

RUANG VEKTOR di R2 dan R3

Ruang Hasil Kali Dalam ( Ruang Inner Product)

Hasil kali dalam atau perkalian dalam adalah pemetaan suatu bilangan rill ,u v pada

setiap pasangan vektor u dan v di ruang V yang memenuhi keempat aksioma berikut:

1. , ,u v v u simetris

2. , , ,u v w u w v w aditivitas

3. , ,ku v k u v homogenitas

4. , 0;v v dan , 0v v jhj 0v positivitas

Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian dalam (memenuhi 4 aksioma)

disebut ruang perkalian dalam ,V u v

Ketaksamaan Cauchy-Scwarz

Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V maka berlaku: 2

, , ,u v u u v v

Panjang, Jarak dan Sudut Dalam Ruang Perkalian Dalam

Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam maka panjang (norma) dari

vektor u didefinisikan: 1

2

,u u u dan jarak vektor u dan v didefinisikan:

,d u v u v

Jadi, jika dan 1 2, ,....., nv v v v adalah vektor di Rn maka:

1

2 2 2 2

1 2, . nu u u u u u

1

2 2 2 2

1 1 2 2, , n nd u v u v u v u v u v u v u v

Dari ketaksamaan CHAUCHY-SCHWARZ jika u dan v vektor-vektor pada dalam ruang hasil kali dalam, maka:

2

, , ,u v u u v v

2 2 2

,u v u v

2

,1

, ,1 1 cos dan 0

u v

u v

u v u v

u v u v

didefinisikan sebagai sudut di antara vektor u dan vektor v. Teorema:

Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma 1

2,u u v dan jarak ,d u v u v

memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas Definisi:

Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v disebut orthogonal jika , 0u v .

Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor sebarang di dalam himpunan W, maka: u orthogonal kepada W. Teorema (Teorema Pythagoras yang digeneralisasikan):

Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka: 2 2 2

u v u v

Basis Orthonormal dan Proses Gram Schmidt

Suatu himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Selanjutnya himpunan orthogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan orthonormal. Contoh:

Diketahui 1 2 3

1 1 1 10,1,0 , ,0, , ,0,

2 2 2 2v v v

. Apakah 1 2 3, ,S v v v di

ruang hasil kali dalam Euclidis orthonormal? Solusi: Cek orthogonalitas masing-masing vektor

1 2 2 3 1 3, , , 0v v v v v v

Cek jarak : 1 2 3 1v v v

Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka dapat dibuat mempunyai panjang (norma) 1 dengan jalan menormalisasikan vektor v yaitu mengalikan vektor v taknol dengan kebalikan panjangnya.

1v

v

Misal:

1

1,1,1 1,1,13

1 1 1 , , 1

3 3 3

v

v

Teorema:

Jika 1 2, , , nS v v v adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V dan u

adalah sebarang vektor dalam V maka:

1 1 2 2, , , n nu u v v u v v u v v

atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S Bukti:

1 2 3, ,S v v v : basis 1 1 2 2 n nu k v k v k v

Harus dibuktikan: , , 1,2, ,i ik u v i n

1 1 2 2

1 1 2 2

, ,

, , , *

i n n i

i i n n i

u v k v k v k v v

k v v k v v k v v

Karena S: orthonormal 2

, 1i i iv v v

, 0i jv v jika 1j

Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi 1, iu v k (terbukti)

Contoh:

Misal: 1 2 30,1,0 , 4 /5,0,3/5 , 3/5,0,4 /5v v v

A. Apakah 1 2 3, ,S v v v basis orthonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidis?

B. Nyatakan 1,1,1u sebagai kombinasi linear vektor-vektor S

Solusi:

a. 1 2 2 3 1 3, , , 0v v v v v v

1 2 3 1v v v

b. 1 1 2 2 3

1 7, 1, , , ,

5 5nk u v k u v k u v

1 2 3

1 7

5 5

1 4 3 7 3 41,1,1 0,1,0 ,0, ,0,

5 5 5 5 5 5

u v v v

Teorema:

Jika 1 2, , , nS v v v adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang hasil kali

dalam, maka S bebas linear

Bukti

S bebas linear 1 1 2 2 3 3 0n nk v k v k v k v

Harus dibuktikan: 1 2 0nk k k

1 1 2 2 3 3 , 0n n ik v k v k v k v v

1 1 2 2 3 3, , , , 0i i i n n ik v v k v v k v v k v v

Karena:

, 0

, 0

i j

i j

i j v v

i j v v

Sehingga persamaan di atas menjadi , 0 0, 1,2 ,i i j ik v v k i n

S bebas linear

Contoh:

Terdapat himpunan vektor 1 2 3

1 1 1 10,1,0 , ,0, , ,0,

2 2 2 2v v v

.

1 2 3, ,S v v v membentuk himpunan orthonormal terhadap hasil kali R3 sehingga

himpunan vektor tersebut bebas linear 1 2 3 0k k k . Cek!

Teorema:

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan 1 2, , , rS v v v adalah himpunan

orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh

1 2, , , rv v v , maka untuk setiap vektor u dalam V dapat dinyatakan sebagai:

1 2u w w

Di mana 1w terletak di W dan 2w orthogonal terhadap W dengan memisalkan:

1 1 1 2 2, , , *r rw u v v u v v u v v

dan

1 1 1 2 2, , , **r rw u u v v u v v u v v

Bukti

W

w1

w2

u

Gambar Proyeksi Orthogonal pada u dan W dan komponen u orthogonal terhadap W

w1 = proyeksi orthogonal u pada W (proy w u) w2 = proyeksi u yang orthogonal terhadap W (u-proy w u) Jadi (*) dan (**) menjadi

Proy 1 1 2 2, , ,w r ru u v v u v v u v v

1 1 2 2proy , , ,w r ru u u u v v u v v u u v

Contoh: Misalkan R3 mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah subruang yang

direntang oleh vektor-vektor orthonormal: 1 2

4 30,1,0 , ,0,

5 5v v

. Tentukan

proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang orthogonal terhadap W. Solusi:

Proyeksi orthogonal 1,1,1u pada W adalah:

1 1 2 2Proy , ,wu u v v u v v

1 4 3

1 0,1,0 ,0,5 5 5

4 3,1,

25 25

Komponen u yang orthogonal terhadap w adalah:

4 3

proy 1,1,1 ,1,25 25

21 28 ,0,

25 25

wu u

cek apakah proy wu u orthogonal terhadap 1 2, ?v v

1 2proy , proy , 0w wu u v u u v

Teorema: Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai satu basis orthonormal. Bukti:

Misalkan 1 2 3, , , , nS u u u u adalah sebarang basis untuk V yang merupakan sebarang

ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan dibangun basis orthonormal

1 2 3, , , , nv v v v untuk V dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1

Andaikan 11

1

1u

v vu

Langkah 2 Misalkan w1 sub ruang yang direntang untuk v1

Mencari komponen u2 yang tegak lurus (orthogonal) pada w1

12 2 2 2 1 1 Proy ,wu u u u v v

Normalisasi u2 maka didapat v2

2 22 2

2 2

proy1

proy

w

w

u uv v

u u

v1

v2

u2

W1

1 2proyw u

1 2proyw u

Gambar Normalisasi Komponen u2

Langkah 3: Misalkan w2 pada sub ruang yang direntang untuk v1 dan v2

Komponen 3 2u w

23 3 3 3 1 1 3 2 2 Proy , ,wu u u u v v u v v

Normalisasi u3 maka didapat v3

3 3 1 1 3 2 2

3 3

3 3 1 1 3 2 2

, ,1

, ,

u u v v u v vv v

u u v v u v v

v1

v2

u1

3 2 2proy u w u

2 2proy w u

W2

Gambar Normalisasi Komponen u3

Dengan meneruskannya dalam cara ini (analog dengan langkah 2 dan 3 4 5, , , nv v v

akan didapat himpunan orthonormal dari vektor-vektor 1 2 3, , , , nv v v v di ruang hasil

kali dalam V berdimensi n dan bebas linear. basis orthonormal untuk V Kesimpulan: Proses pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah basis ke basis orthonormal disebut proses Gram-Schmid

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-7

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

5 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi Mengkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa

kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan

mengenai panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.

4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

50 menit

70 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

Pertemuan ke-6

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada

pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi

Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang

proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

45 menit

60 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 10 dan 11

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu

matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep

similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep

pendiagonalan matriks transformasi linier.

Indikator : 5.1 Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks

transformasi linier.

5.2 Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks

transformasi linier.

5.3 Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier.

A. MATERI

NILAI EIGEN

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni:

Ax x

Untuk suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan

vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Teorema: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: 1. adalah nilai eigen dari A

2. Sistem persamaan 0I A x mempunyai pemecahan taktrivial

3. Ada vektor tak nol x di dalam Rn sehingga Ax x

4. adalah pemecahaan riil dari persamaan karakteristik dari 0I A x

Diagonalisasi

Matriks kuadrat A dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang

dapat dibalik sehingga 1P AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.

Teorema: Jika A adalah matriks 'n n , maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Teorema:

Jika 1 2, , , kv v v adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen

yang berbeda 1 2, , , k maka 1 2, , , kv v v adalah himpunan bebas linear

Teorema: Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalisasi matriks: Teorema sebelumnya menjamin bahwa suatu matriks A berukuran n x n, dengan v vektor eigen yang bebas linear dapat didiagonalkan, dan buktinya memberikan metode berikut ini untuk mendiagonalkan A.

Langkah 1:

Cari n vektor eigen yang bebas secara linear dari A, katakanlah 1 1 3, , , nP P P P

Langkah 2:

Bentuk matriks P yang mempunyai 1 1 3, , , nP P P P sebagai vektor kolom-kolomnya

Langkah 3:

Bentuk matriks 1P AP akan menjadi matriks diagonal dengan 1 1 3, , , nP P P P berturut-

turut sebagai anggota diagonalnya, di mana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan

iP untuk 1,2,3 ,i n

Contoh:

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks 3 2

1 0A

Jawab:

3 2 1 0 3 2I

1 0 0 1 1A

Polinomial karakteristik dariA;

23 2

det I det 3 2 3 21

A

Persamaan karakteritik dari A’

23 2 0 2 1 0

Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah 2, 1

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-10

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

5 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep eigenvalues dan

eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier.

2. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa

kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan

mengenai eigenvalues, eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, dan similaritas matriks transformasi linier.

3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok.

4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

50 menit

70 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

Pertemuan ke-11

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada

pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi

Menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang

proyeksi ortogonal dari suatu vektor, pendiagonalan matriks transformasi linier.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

45 menit

60 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 12 dan 13

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk

bilinier, dan bentuk kuadrat.

Indikator : 6.1 Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan

bentuk kuadrat.

A. MATERI

1. Relasi Kongruensi 2. Bentuk Bilinier 3. Bentuk Kuadrat

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-12

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan relasi kongruensi antara

matriks transformasi. 2. Memberikan contoh persoalan

tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi.

60 menit

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru

mengenai relasi kongruensi antara matriks transformasi.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

Pertemuan ke-13

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang

konsep bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru

mengenai bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

60 menit

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd.

Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Program Studi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Aljabar Linier 2

Kode Mata Kuliah : MKK414515

Bobot : 2 sks

Semester : IV

Pertemuan ke- : 14

Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya

untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di

matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama

masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya.

Kompetensi Dasar : 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan

menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

Indikator : 7.1 Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan

menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

A. MATERI

1. Bentuk kanonik Jordan 2. Teorema Caley Hamilton

B. METODE PEMBELAJARAN

Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

C. LANGKAH PEMBELAJARAN

Pertemuan ke-14

No Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa

tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari.

15 menit

2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep bentuk kanonik

jordan dari matriks dengan

menghitung Ae dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

60 menit

b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru

mengenai bentuk kanonik jordan dari

matriks dengan menghitung Ae

dengan menggunakan teorema Caely-hamilton.

2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi.

3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas.

c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan.

50 menit

15 menit

3. Penutup Refleksi

Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan.

10 menit

D. MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD dan Laptop

E. SUMBER BELAJAR

1. Anton, Howard. 2011. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

2. Budi, Wono Setyo. 2012. Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia.

3. Modul Aljabar Linier 2

F. PENILAIAN

Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi