penyelesaian model rangkaian listrik …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · web...

27
PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK ORDE- 2 Oleh: Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng Dua fenomena fisik berbeda (yaitu: sistem gerak benda pada pegas dan rangkaian listrik) menghasilkan model persamaan matematika dan solusi yang sama. Perilaku sistem gerak pada pegas dapat dimodelkan pada model fisis rangkaian listrik. Rangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan Persamaan Diferensial orde-2. Rangkaian tersebut diantaranya: LC seri, RLC seri Rangkaian LC seri Rangkaian LC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar Rangkaian LC seri. Dengan hukum Tegangan Kirchoff didapatkan model persamaan pada Gambar Rangkaian LC seri, yaitu: V L +V C =E dengan: V L adalah tegangan pada induktor L yaitu L dI dt V C adalah tegangan pada kapasitor C yaitu 1 C Idt diketahui bahwa I= dQ dt dengan Q adalah muatan dalam Coulomb. Sehingga model persamaan dapat dituliskan: L dI dt + 1 C Idt=E

Upload: donhi

Post on 06-Mar-2019

239 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK ORDE-2Oleh: Ir. Sigit Kusmaryanto, M.Eng

Dua fenomena fisik berbeda (yaitu: sistem gerak benda pada pegas dan rangkaian listrik) menghasilkan model persamaan matematika dan solusi yang sama. Perilaku sistem gerak pada pegas dapat dimodelkan pada model fisis rangkaian listrik. Rangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan Persamaan Diferensial orde-2. Rangkaian tersebut diantaranya: LC seri, RLC seri

Rangkaian LC seriRangkaian LC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar Rangkaian LC seri. Dengan hukum Tegangan Kirchoff didapatkan model persamaan pada Gambar Rangkaian LC seri, yaitu:

VL+VC=E

dengan: VL adalah tegangan pada induktor L yaitu L dIdt

VC adalah tegangan pada kapasitor C yaitu 1C∫ Idt

diketahui bahwa I=dQdt

dengan Q adalah muatan dalam Coulomb. Sehingga

model persamaan dapat dituliskan:

L dIdt

+ 1C∫ Idt=E

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka:

L ddt ( dIdt )+ 1C∫ d

dtIdt= d

dt(E )

L d2 Id t 2

+ 1CI= ddt

(E )

Page 2: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Gambar Rangkaian LC seri

Model persamaan untuk Gambar 33 dapat juga dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu:

L dIdt

+ 1C∫ Idt=E

L ddt ( dQdt )+ 1C∫ dQdt dt=E

L d2Qdt 2

+ 1CQ=E

Kasus A. Jika sumber baterai E= 0 ( ddt (E )=0)Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

L d2 Id t 2

+ 1CI=0

atau

d2 Id t 2

+ 1CLI=0

penyelesaian persamaan homogen orde-2 di atas adalahpersamaan karakteristik dari PD di atas:

r2+ 1CL

=0

akar-akar persamaan karakteristik:

r1,2=±i √ 1CLsehingga penyelesaian umum PD (lihat bahasan subbab 4.5)

Page 3: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

y=c1e(+i ) x+c2e

(−i ) x=Aex cos x+B exsin xdengan c1 , c2 , A ,B=konstanta ;r=±i

maka:

y (t )=A cos√ 1CLt+B sin√ 1CL t

contoh kasus LC1:Tentukan kuat arus I(t) rangkaian LC seperti Gambar 32 jika L= 10 henry, C=0,004 farad, E=0 volt !Penyelesaian:Model persamaan rangkaian LC, dengan L= 10 henry, C=0,004 farad, E=0:

d2 Id t 2

+25 I=0

persamaan karakteristik dari PD:r2+25=0

akar-akar persamaan karakteristik:r1,2=±i 5

penyelesaian PD:I (t)=A cos 5t+B sin5 t

Latihan Soal:Tentukan kuat arus I(t) pada rangkaian LC seperti Gambar 32 jika:1. L=0,2 henry, C=0,05 farad, E= 0 volt2. L=0,2 henry, C=0,1 farad, E= 0 volt3. L=0,2 henry, C=0,05 farad, E= 100 volt4. L=0,2 henry, C=0,1 farad, E= 100 volt5. L=10 henry, C=0,05 farad, E= 0 volt, I(0)=0, Q(0)=Q6. Apa yang dapat disimpulkan dari jawaban soal 1-4?

Kasus B. Jika sumber baterai E= konstanta Menentukan kuat arus I(t) untuk kasus ini berdasarkan model persamaan

diferensial Q(t), selanjutnya I(t) didapatkan dari hubungan I (t )=dQdt

. Model

persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

Page 4: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

L d2Qdt 2

+ 1CQ=E

atau

d2Qd t2

+ 1CLQ=E

Lpersamaan di atas adalah PD tak homogen orde-2, penyelesaiannya disebut penyelesaian lengkap terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen.Penyelesaian Homogen:

d2Qd t2

+ 1CLQ=0

persamaan karakteristik dari PD di atas:

r2+ 1CL

=0

akar-akar persamaan karakteristik:

r1,2=±i √ 1CLpenyelesaian homogen:

Qh(t )=A cos√ 1CLt+B sin√ 1

CLt

Penyelesaian Takhomogen:d2Qd t2

+ 1CLQ=E

Ldengan menggunakan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1)

F (t)= EL→Q p(t)=K0

substitusi Q p(t )=K0 pada PD, yaitu:1CLK 0=

EL

K0=ECjadi penyelesaian tak homogen adalah

Qp(t )=ECPenyelesaian lengkap

Page 5: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Q(t )=Qh(t)+Q p(t )=A cos√ 1CLt+Bsin √ 1CL t+EC

Contoh kasus LC2:Jika pada contoh kasus LC1 di atas diketahui, E=250 volt, arus I(0)=0 dan muatan Q(0)=0 tentukan solusi khusus I(t)Penyelesaian:model persamaan rangkaian menggunakan fungsi Q(t), karena jika dipakai model fungsi I(t) maka substitusi Q(0) untuk mendapatkan solusi khusus, yaitu dengan integrasi solusi umum I(t) akan menghasilkan konstanta baru, sehingga solusi khusus I(t) tidak dapat ditentukan.

Model persamaan rangkaian LC seri dalam fungsi Q(t):d2Qd t2

+ 1LCQ= E

L

d2Qd t2

+25Q=25

Penyelesaian model persamaan di atas disebut solusi lengkap/penyelesaian lengkap yang terdiri atas dua solusi PD, yaitu solusi homogen dan solusi takhomogenSolusi Homogen:

d2Qd t2

+25Q=0

persamaan karakteristik dari PD:r2+25=0

akar-akar persamaan karakteristik:r1,2=±i 5

penyelesaian PD homogen:Qh(t )=A cos5 t+B sin 5 t

Solusi takhomogen:R(x )=25→Q p (t)=K0

substitusi Qp(t )=K0 ke model PD didapatkan:d2Qd t2

+25Q=25

0+25K0=25→K 0=1

Page 6: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

penyelesaian khusus takhomogenQ p(t )=1

solusi umum lengkap (solusi homogen+solusi tak homogen):Q(t )=1+A cos5 t+B sin 5 t

substitusi nilai awalQ(0)=1+A cos0+B sin 0=0→A=−1

I=dQdt

=−5 A sin 5t+5Bcos5 t

I (0)=−5 A sin 0+5 Bcos0=0→B=0Jadi solusi khusus lengkap:

Q(t )=1−cos5 tdan Arus I(t) adalah

I (t)=dQdt

=5sin 5 t

Kasus C. Jika sumber baterai E= E0 cos ωt Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

L d2Qdt 2

+ 1CQ=E0cosωt

atau

d2Qd t2

+ 1CLQ=

E0cosωtL

Penyelesaian model persamaan di atas adalah penyelesaian lengkap muatan fungsi waktu, terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Penyelesaian Homogen:

d2Qd t2

+ 1CLQ=0

persamaan karakteristik dari PD di atas:

r2+ 1CL

=0

akar-akar persamaan karakteristik:

r1,2=±i √ 1CLpenyelesaian homogen:

Page 7: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Qh(t )=A cos√ 1CLt+B sin√ 1

CLt

atau

Qh(t )=C cos (√ 1CLt−θ)

jika ω02= 1CL

, maka

Qh(t )=C cos (ω0 t−θ )

Penyelesaian Takhomogen:d2Qd t2

+ 1CLQ=

E0cosωtL

dengan menggunakan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1)

E0 cosωtL

→Q p(t)=Kcos ωt+Msinωt

Q p' (t)=−ωKsinωt+ωMcosωt

Qp' '( t)=−ω2Kcosωt−ω2Msinωt

substitusi Q p ,Qp' ' ke persamaan didapatkan:

−ω2Kcosωt−ω2Msinωt+ 1CL

(Kcosωt+Msinωt )=E0Lcosωt

( 1CL K−ω2K )cosωt+( MCL−ω2M )sinωt= E0L cosωtdengan menyamakan koefisiennya maka:

( 1−CLω2CL )K=E0L→K=

E0C(1−CLω2)

jadi solusi takhomogen adalah:

Qp(t )=E0C

(1−CLω2)cosωt :CL

:CL

Page 8: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

¿E0

L( 1CL

−ω2)cosωt

jika didefinisikan ω02= 1CL

, sehingga:

Qp(t )=E0

L(ω02−ω2)

cosωt

Penyelesaian lengkap:

Q(t )=Qh(t)+Qp(t )=C cos (ω0 t−θ )+E0

L(ω02−ω2)

cosωt

Keluaran ini menggambarkan superposisi dua gelombang cosinus dengan frekuensi selaras yang disebut sebagai frekuensi dasar/alamiah (natural

frequency) besarnya f 0=ω02π

.

Amplitudo maksimum pada persamaan gelombang keluaran adalah:

Amaks=E0

L(ω02−ω2)

=E0Lρ dengan ρ=

1(ω0

2−ω2)

ρ disebut faktor resonansiAmplitudo maksimum ini tergantung pada ω0 ,ω

dan akan terjadi jika jika ω0=ω

(disebut resonansi).

Page 9: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Gambar Faktor Resonansi

Program MATLAB untuk Gambar Faktor Resonansi%faktor resonansiclear all;close all;clc;wo=3w=(0:0.1:6);p=(wo^2-w.^2).^-1;plot(w,p,'b','linewidth',3)grid onaxis equalhold onxlabel('frekuensi','fontsize',14)ylabel('faktor resonansi p','fontsize',14)

Jika terdapat kondisi awal yaitu Q(0)=0 dan Q’(0)=0 maka persamaan lengkap menjadi:Untuk kondisi awal Q(0)=0:

Q(t )=C cos (ω0 t−θ )+E0

L(ω02−ω2)

cosωt

0=C cos (0−θ )+E0

L(ω02−ω2)

cos 0

Page 10: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

C cos (θ )=−E0

L(ω02−ω2)

Untuk kondisi awal Q’(0)=0

Q' (t)=−Cω0sin (ω0 t−θ )+E0

L(ω02−ω2)

ωsinωt

0=−Cω0 sin (0−θ )+E0

L(ω02−ω2)

ω sin 0

C sin (θ )=0

Sehingga jika:

C cos (ω0 t−θ )=Ccosω0 t cosθ+Csinω0t sinθ

dengan substitusi C cos (θ )=−E0

L(ω02−ω2)

dan C sin (θ )=0

C cos (ω0 t−θ )=−E0

L(ω02−ω2)

cosω0t

sehingga:

Q(t )=C cos (ω0 t−θ )+E0

L(ω02−ω2)

cosωt

¿−E0

L(ω02−ω2)

cosω0t+E0

L(ω02−ω2)

cosωt

¿E0

L(ω02−ω2)

(cosωt−cosω0t )

jika cos A−cosB=2sin A+B2sin B−A

2 (buktikan!) maka:

Q(t )=2E0

L(ω02−ω2)

sinω0+ω2

t sinω0−ω2

t

Gambar berikut mengilustrasikan osilasi Q(t) jika selisih ω dengan ω0 kecil (Gambar a - c):

Page 11: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Gambar a. Osilasi Q(t )=2E0

L(ω02−ω2)

sinω0+ω2

t

Gambar b. Osilasi Q(t )=±2 E0

L(ω02−ω2)

sinω0−ω2

t

Gambar c. Penyelesaian lengkap Q(t) untuk kasus ω-ω0 kecil

Page 12: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Program MATLAB Gambar di atas%Arus pada Rangk LC seri E=Eo sin (wo-w)%wo-w = kecilclear all;close all;clc;E0=10;L=1;W0=1;W=0.84;A=(W0+W)*2^-1;B=(W0-W)*2^-1;t=(0:0.01:80);I=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A))plot(t,I,'r','linewidth',2)hold onI=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B));plot(t,I,'b','linewidth',2)hold onI=-2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(B));plot(t,I,'b','linewidth',2)hold onI=2*E0*L^-1*(W0^2-W^2)^-1*sin(t.*(A)).*sin(t.*(B));plot(t,I,'k','linewidth',4)xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)

Dari Gambar a. menunjukkan osilasi Q(t) lebih cepat daripada osilasi Q(t) pada Gambar b. Gambar c. adalah hasilkali persamaan Gambar a. dan b. yang merupakan penyelesaian lengkap rangkaian LC dengan ω≠ω0 . Fenomena fisik model persamaan ini dapat dirasakan pada proses penalaan nada sistem akustik dimana akan terdengar gejala naik turun suara pada saat frekuensi dua sumber suara mendekati sama.

Kasus D. Jika sumber baterai E= E0 cos ωt dengan ω=√ 1CL

Page 13: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Model persamaan rangkaian untuk Q (t) dinyatakan sebagai:

L d2Qdt 2

+ 1CQ=E0cosωt

atau

d2Qd t2

+ω2Q=E0 cosωtL

Penyelesaian Homogen:d2Qd t2

+ω2Q=0

persamaan karakteristik dari PD di atas:r2+ω2=0

akar-akar persamaan karakteristik:r1,2=±iω

penyelesaian homogen:Qh(t )=A cosωt+B sinωt atau Qh(t )=C cos (ωt−θ )

Penyelesaian Takhomogen:d2Qd t2

+ω2Q=E0 cosωtL

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1)

Q p(t )=t (Kcosωt+Msinωt )

Qp' (t)=Kcos ωt−ωtKsinωt+Msinωt+ωtMcosωt

Qp' '( t)=−ωKsinωt−ωKsinωt−ω2tKcosωt+ωMcosωt+ωMcosωt−ω2Msinωt

¿−2ωKsinωt−ω2 tKcosωt+2ωMcosωt−ω2Msinωt

substitusi Qp ,Qp' ' ke persamaan didapatkan:

−2ωKsinωt−ω2 tKcosωt+2ωMcosωt−ω2Msinωt

+ω2t (Kcosωt+Msinωt)=E0Lcosωt

Page 14: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

(2ωM ) cosωt+(−2ωK )sinωt=E0Lcosωt

dengan menyamakan koefisiennya maka:

2ωM=E0L→M=

E02ωL

−2ωK=0→K=0jadi solusi takhomogen adalah:

Q p(t )=t (Kcosωt+Msinωt ) ¿ E02ωL

t sinωt

Penyelesaian lengkap:

Q(t )=Qh(t)+Q p(t )=Qh(t)=C cos (ω0 t−θ )+E02ωL

t sinωt

Gambar Solusi Partikular untuk Kasus ω=√ 1ωL

Program MATLAB Gambar di atas sebagai berikut:

%Arus pada Rangk LC seri E=10t sin 5t dengan ω=√ 1ωL

clear all;close all;clc;

Page 15: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

t=(0:0.01:4);I=10*t.*sin(5*t);plot(t,I,'b','linewidth',2)xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)ylabel('Muatan Q(t)','fontsize',14)

Rangkaian RLC seriRangkaian RLC seri dengan sumber baterai E volt digambarkan pada Gambar 38. Model persamaan rangkaian didapatkan dengan hukum Tegangan Kirchoff, yaitu:

VR+VL+VC=Edengan: VR adalah tegangan pada resistor R yaitu RI

VL adalah tegangan pada induktor L yaitu L dIdtL dIdt

VC adalah tegangan pada kapasitor C yaitu 1C∫ Idt

diketahui bahwa I=dQdt

dengan Q adalah muatan dalam Coulomb.

Gambar 1 Rangkaian RLC seri

Model persamaan rangkaian dapat dinyatakan sebagai:

RI+L dIdt

+ 1C∫ Idt=E

untuk menghilangkan tanda integral, persamaan dideferensialkan, maka:

R ddtI+L d

dt ( dIdt )+ 1C∫ ddtIdt= d

dt(E )

Page 16: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

L d2 Id t 2

+R dIdt

+ 1CI= ddt

(E )

Model persamaan untuk Gambar 38 dapat juga dinyatakan dalam muatan Q(t), yaitu:

RI+L dIdt

+ 1C∫ Idt=E

R dQdt

+L ddt ( dQdt )+ 1C∫ dQdt dt=E

L d2Qdt 2

+R dQdt

+ 1CQ=E

Kasus A. Jika sumber baterai E= E0 ( ddt (E )=0)Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

L d2 Id t 2

+R dIdt

+ 1CI=0

penyelesaian persamaan homogen orde-2 di atas adalahpersamaan karakteristik dari PD di atas:

Lr2+Rr+ 1C

=0

akar-akar persamaan karakteristik:

r1,2=−R±√R2−4 L/C

2 Lsehingga penyelesaian umum PD :

Terdapat tiga kemungkinan akar-akar nilai r:1. Jika √R2−4 L/C>0, maka r1,2 adalah dua akar Real yang berbeda dengan

r1,2‌ R maka solusi umumnya:y=c1 e

r1 t+c2 er2 t

2. Jika √R2−4 L/C=0 , maka r1=r2=r dengan m1,2 ‌ R, maka solusi umumnya:

y=c1 ert+c2 x e

rt

3. Jika √R2−4 L/C<0 , maka r1,2= i dengan , ‌ R maka solusi umumnya:

y=c1 e(+i )t+c2e

(−i) t

Page 17: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

dengan rumus Euler, yaitu e i t=cos t+i sin t maka bentuk trigonometri rumus dapat ditentukan:

y=c1 e(+i )t+c2 t e

(−i) t

¿c1 et (cos t+i sin t )+c2 e

t (−cos t – isin t );−cos t=cos t

¿ (c1+c2 )et (cos t )+i (c1−c2 )e t (sin t )

¿ Aet cos t+Be t sin t , A ,B∈ konstantabil . kompleks

Kasus B. Jika sumber baterai yaitu ddt

(E )=E0cosωt

Model persamaan rangkaian dinyatakan sebagai:

L d2 Id t 2

+R dIdt

+ 1CI=E0cosωt

Penyelesaian model persamaan di atas terdiri atas penyelesaian homogen dan penyelesaian takhomogen. Untuk penyelesaian homogen sama dengan penyelesaian pada kasus A.Penyelesaian TakHomogen:

L d2 Id t 2

+R dIdt

+ 1CI=E0cosωt

dengan menggunakan metode koefisien taktentu aturan modifikasi maka bentuk solusi partikular (lihat subbab 4.8.1)

I p(t)=Kcosωt+Msinωt

I p'( t)=−ωKsinωt+ωMcosωt

I p' ' (t)=−ω2Kcosωt−ω2Msinωt

substitusi I p , I p' ' ke persamaan didapatkan:

L (−ω2Kcosωt−ω2Msinωt )+R (−ωKsinωt+ωMcosωt )+ 1C

(Kcosωt+Msinωt )=E0cosωt

(ωRM+( 1C−ω2

L)K )cosωt+(−ωRK+( 1C−ω2L)M )sin ωt=E0 cosωtdengan menyamakan koefisiennya maka:

Page 18: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

−ωRK+( 1C−ω2L)M=0……….(i)

M= ωR

( 1C−ω2 L)K= R

( 1ωC−ωL)K

Jika didefiniskan reaktansi −S=( 1ωC−ωL) maka

M=−RSK

ωRM +( 1C−ω2L)K=E0………(i i)

Jika kedua ruas dibagi dgn ω, maka

RM+( 1ωC−ωL)K=E0ω

R−RSK−sK=

E0ω

−( R2S +S )K=E0ω↔−(R2+S2S )K=

E0ω

K=−E0S

ω (R2+S2 )

M=−RSK=

E0R

ω (R2+S2 )Jadi penyelesaian takhomogen adalah:

I p(t)=[ −E0 S

ω (R2+S2 ) ]cosωt+[ E0R

ω (R2+S2 ) ]sinωtContoh 1:Tentukanlah muatan Q dan I sebagai fungsi watku t dalam rangkaian RLC serijika R = 16 Ω, L = 0,02 H, C = 2×10-4 F dan E = 12 volt. Anggaplah pada saat t= 0, arus I = 0 dan muatan kapasitor Q = 0

Penyelesaian:Persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan kasus ini:

L d2Qdt 2

+R dQdt

+ 1CQ=E (t)

Page 19: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

Dengan substitusi R = 16 Ω, L = 0,02 H, C = 2×10-4 F dan E = 12 volt, maka diperoleh:

0,02 d2Qdt 2

+16 dQdt

+ 1(2×10−4 )

Q=12

d2Qdt 2

+ 800dQdt

+250.000Q=600

Penyelesaian Persamaan Homogen Persamaan karakteristik r2 + 800 r + 250.000 = 0, mempunyai akar-

akar:

r1,2=[−800±√640.000−1.000 .000 ]

2 = -400 ± 300 i

Sehingga penyelesaian homogen:Qh=e

−400t (C1cos300 t+C2sin 300 t )Penyelesaian TakHomogen Dengan menggunaan metode koefisien taktentu (subbab 4.8.1), maka:

Qk=A ,d Qkdt

=0 ,d2Qkdt 2

=0

Substitusi Qk=A ,d Qkdt

=0 ,d2Qkdt 2

=0 ke dalam persamaan :

d2Qkdt2

+800dQkdt

+250.000Q=600

Menghasilkan Qk=2,4×10−3

Karena itu penyelesaian lengkap adalah,Q ( t )=2,4×10−3+e−400t ¿

I ( t ) diperoleh dengan diferensiasi Q (t ) didapatkan:

I ( t )=dQdt

=−400e−400t (C 1cos300 t+C2sin 300 t )

+e−400t (−300C1sin 300 t+300C2cos300 t )I (t )=e−400t [(−400C1+300C2)cos300 t+(−300C1−400C2) sin 300 t ]

Bila diberlakukan syarat awal, t = 0, I = 0, Q = 0, maka:0=2,4×103+C1→C1=−2,4×103

Page 20: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

0=−400C1+300C2→C2=4C13

=−3,2×10

Jadi penyelesaian lengkap muatan listrik adalahQ(t) = 10-3 [2,4 – e-400t (2,4 cos 300t + 3,2 sin 300t)]

Contoh 2:Suatu induktor 2 henry, resistor 16 ohm dan kapasitor 0,02 farad dihubungkan secara seri dengan sutu baterai dengan ggl.E = 100 sin 3t. Pada t=0 muatan dalam kapasitor dan arus dalam rangkaian adalah nol. Tentukanlah (a) muatan dan (b) arus pada t>0.

Penyelesaian:Misalkan Q dan I menyatakan muatan dan arus sesaat pada waktu t,

berdasarkan Hukum Kirchhoff, maka diperoleh persamaan:

2dldt

+ 16I + Q0,02

= 100 sin 3t

Atau karena I=dQ/dt,

d2Qdt 2

+ 8dQdt

+ 25Q = 20 sin 3t

Selesaikan ini terhadap syarat Q = 0,dQ/dt = 0 pada t = 0, kita memperoleh hasil akhir:

(a) Q = 2552

(2 sin 3t – 3 cos 3t) + 2552

e-4t(3 cos 3t + 2 sin 3t)

(b) I = dQdt

= 7552

(2 cos 3t + 3 sin 3t) - 2552

e-4t(17 sin 3t + 6 cos 3t)

Suku pertama adalah arus stabil (steady-state) dan suku kedua, yang dapat diabaikan untuk waktu yang bertambah, dinamakan arus transien.

Page 21: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

SOAL-SOAL1. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan

E=100 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

2. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=0,25F dan E=30 sin t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

3. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=10H, C=1/90F dan E=10 cos 2t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

4. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=10H, C=0,1F dan E=10t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

5. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=2,5H, C=10-3F dan E=10t2 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

6. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan E=1 volt jika 0<t<1 dan E=0 jika t>1! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

7. Tentukan arus l(t) dalam rangkaian LC seri dimana L=1H, C=1F dan E=1-e-t volt jika 0<t<∏ dan E=0 jika t>∏! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

8. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=4 Ω, L=1H, C=2x10-4 F dan E= 220 volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0, dan muatan kapasitor Q=0.

9. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=10H, C=10-3F dan E=100 cos t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0, dan muatan kapasitor Q=0.

10. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=200 Ω, L=100H, C=0,005F dan E=500 sin t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

11. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=5H, C=10-2F dan E=85 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat t=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

12. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=80 Ω, L=20H, C=10-2 F dan E=100 volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

Page 22: PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK …sigitkus.lecture.ub.ac.id/files/2013/11/pemodelan... · Web viewRangkaian Listrik orde-2 adalah rangkaian listrik yang dapat dimodelkan dengan

13. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=160 Ω, L=20H, C=2x10-3 F dan E=481 sin 10t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

14. Tentukan arus dalam rangkaian RLC seri dimana R=6 Ω, L=1H, C=0,04 F dan E=24 cos 5t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

15. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=50 Ω, L=30H, C=0,025 F dan E=200 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

16. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC seri dimana R=20 Ω, L=4H, C=0,5 F dan E=10 sin 10t volt. Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

17. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=8 Ω, L=2H, C=0,125 F dan E=10 sin 5t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

18. Tentukan arus transien dalam rangkaian RLC dimana R=15 Ω, L=5H, C=1,25x10-2 F dan E=15 sin 4t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

19. Tentukan arus steady state dalam rangkaian RLC seri dimana R=8 Ω, L=4H, C=0,125 F dan E=2 sin 2t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

20. Tentukan arus lengkap dalam rangkaian RLC seri dimana R=250 Ω, L=125H, C=0,002 F dan E=250 sin 3t volt! Anggaplah bahwa pada saat 1=0, arus l=0 dan muatan kapasitor Q=0.

DAFTAR PUSTAKAKreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, 1988.Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, 1987.Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their

Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994 Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 2007 Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB,

Cambridge University Press, 2003 Rosenberg, J.M., Lipsman, R.L., Hunti, B.R., A Guide to MATLAB for Beginners

and Experienced Users, Cambridge University Press, 2006